Séries entières : cours complet, propriétés et convergence

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Les séries entières \(\displaystyle\sum a_n x^n\) constituent l’un des outils les plus puissants de l’analyse en CPGE. En associant à une suite de scalaires \((a_n)\) la série de fonctions \(\displaystyle\sum a_n x^n\), elles fournissent un cadre algébrique et analytique d’une richesse considérable : représenter les fonctions usuelles — exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques — comme des « polynômes de degré infini », résoudre des équations différentielles, et démontrer des résultats profonds d’analyse. Ce chapitre, au programme de MP, PC et PSI, est incontournable dans les épreuves de concours (CCINP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS), tant pour les exercices techniques sur le rayon de convergence que pour les problèmes liant séries entières et fonctions spéciales.

Tu trouveras ici : la définition rigoureuse, le lemme d’Abel, le théorème de Cauchy-Hadamard avec sa démonstration complète (⋆ exigible), les propriétés de la somme (dérivation et intégration terme à terme), les opérations algébriques, le lien avec les séries de Taylor, 8 exercices corrigés de difficulté croissante (★ à ★★★★), et les erreurs classiques en DS et concours.

I. Définition et premiers exemples

A. Définition formelle

Pour chaque valeur de \(x\), on étudie la convergence de la série numérique \(\displaystyle\sum a_n x^n\). La somme, quand elle existe, définit une fonction \(S\) :

\(\displaystyle S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\)

On remarque immédiatement que la série converge toujours en \(x = 0\) (la somme vaut \(a_0\)). La question fondamentale est : pour quels autres \(x\) la série converge-t-elle ?

B. Exemples fondamentaux

Avant de développer la théorie, examinons trois exemples classiques qui illustrent la diversité des comportements possibles.

C. Convergence — premières observations

Ces trois exemples illustrent un phénomène général : il existe un « seuil » \(R\) tel que la série converge pour \(|x|\) < \(R\) et diverge pour \(|x|\) > \(R\). Pour la série géométrique, \(R = 1\) ; pour l’exponentielle, \(R = +\infty\) ; pour la série \(\displaystyle\sum n! \, x^n\), on vérifierait que \(R = 0\) (convergence uniquement en \(x = 0\)). Ce seuil est le rayon de convergence, notion que nous formalisons maintenant.

On observe aussi que le comportement aux bornes \(x = \pm R\) varie d’un exemple à l’autre : la série logarithmique converge en \(x = 1\) mais pas en \(x = -1\). L’étude aux bornes est toujours un cas par cas.

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II. Rayon de convergence

Le lemme d’Abel est le résultat fondateur qui structure toute la théorie : il montre que le domaine de convergence d’une série entière est nécessairement un intervalle (ou un disque) centré en \(0\).

A. Lemme d’Abel ⋆

Démonstration ⋆. Supposons \(|a_n x_0^n| \leq M\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), avec \(M \geq 0\). Soit \(x \in \mathbb{K}\) tel que \(|x|\) < \(|x_0|\). Posons \(r = \displaystyle\frac{|x|}{|x_0|}\), de sorte que \(0 \leq r\) < \(1\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\(\displaystyle |a_n x^n| = |a_n x_0^n| \cdot \left|\displaystyle\frac{x}{x_0}\right|^n \leq M \, r^n\)

La série géométrique \(\displaystyle\sum M r^n\) converge car \(r\) < \(1\). Par comparaison à une série à termes positifs, \(\displaystyle\sum |a_n x^n|\) converge : la série \(\displaystyle\sum a_n x^n\) converge absolument. ∎

B. Définition du rayon de convergence

Le lemme d’Abel montre que l’ensemble des \(|x|\) pour lesquels la série converge est un intervalle de \(\mathbb{R}_+\) (il contient \(0\) et est « stable vers le bas »). Cela justifie la définition suivante.

D’après le lemme d’Abel :

• Pour tout \(x\) tel que \(|x|\) < \(R\) : la série converge absolument.
• Pour tout \(x\) tel que \(|x|\) > \(R\) : la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers \(0\)).
• Pour \(|x| = R\) : aucune conclusion générale.

C. Théorème de Cauchy-Hadamard ⋆

Le théorème de Cauchy-Hadamard fournit une formule explicite pour le rayon de convergence en termes des coefficients \((a_n)\). C’est un résultat exigible aux concours.

Démonstration ⋆. Posons \(\ell = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n} \in [0, +\infty]\). On montre que \(R = 1/\ell\) en établissant la convergence absolue pour \(|x|\) < \(1/\ell\) et la divergence pour \(|x|\) > \(1/\ell\).

Étape 1 — Convergence absolue pour \(\ell \, |x|\) < \(1\).

Supposons \(\ell \, |x|\) < \(1\) (avec la convention \(0 \cdot |x| = 0\) < \(1\)). Choisissons \(\varepsilon\) > \(0\) tel que \(q = (\ell + \varepsilon)|x|\) < \(1\). Par définition de la limite supérieure, il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N\) :

\(\displaystyle |a_n|^{1/n} \leq \ell + \varepsilon\)

Donc pour tout \(n \geq N\) :

\(\displaystyle |a_n x^n| = \big(|a_n|^{1/n} \cdot |x|\big)^n \leq \big((\ell + \varepsilon)|x|\big)^n = q^n\)

Comme \(q\) < \(1\), la série géométrique \(\displaystyle\sum q^n\) converge, donc \(\displaystyle\sum |a_n x^n|\) converge par comparaison.

Étape 2 — Divergence grossière pour \(\ell \, |x|\) > \(1\).

Supposons \(\ell \, |x|\) > \(1\). Alors \(\limsup_{n \to +\infty} |a_n x^n|^{1/n} = \ell \cdot |x|\) > \(1\). Par définition du lim sup, il existe une infinité d’indices \(n\) tels que \(|a_n x^n|^{1/n}\) > \(1\), soit \(|a_n x^n|\) > \(1\). Le terme général ne tend pas vers \(0\) : la série diverge grossièrement.

Conclusion : \(R = 1/\ell\). Les cas limites se traitent par les conventions : si \(\ell = 0\), alors \(R = +\infty\) (convergence pour tout \(x\)) ; si \(\ell = +\infty\), alors \(R = 0\) (convergence uniquement en \(x = 0\)). ∎

D. Règle de d’Alembert (critère du quotient)

En pratique, le calcul du rayon passe souvent par le critère de d’Alembert, plus maniable que la formule de Cauchy-Hadamard lorsque la limite du quotient existe.

Ce résultat repose sur le fait que l’existence de \(\displaystyle\lim \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L\) entraîne \(\lim |a_n|^{1/n} = L\), et donc \(\limsup |a_n|^{1/n} = L\).

E. Comportement aux bornes et théorème d’Abel

Le rayon \(R\) détermine l’intervalle ouvert de convergence \(]-R, R[\). Le comportement aux bornes \(x = \pm R\) est un cas par cas qui mobilise les critères de convergence des séries numériques (Leibniz, Riemann, Abel, etc.).

Un résultat classique garantit la continuité de la somme au bord, lorsque la série y converge.

Ce théorème est crucial pour « passer à la limite au bord » et calculer des sommes de séries numériques à partir de séries entières connues. Nous l’utiliserons dans les exercices corrigés.

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III. Propriétés de la somme d’une série entière

La somme d’une série entière de rayon \(R\) > \(0\) jouit de propriétés remarquablement fortes. La clé est la convergence normale sur tout compact inclus dans l’intervalle ouvert de convergence, qui permet de permuter somme et opérations d’analyse.

A. Convergence normale sur les compacts

Démonstration. Pour \(x \in [-r, r]\) : \(|a_n x^n| \leq |a_n| \, r^n\). Comme \(r\) < \(R\), la série \(\displaystyle\sum |a_n| \, r^n\) converge (convergence absolue dans le disque ouvert). Donc \(\displaystyle\sup_{x \in [-r, r]} |a_n x^n| = |a_n| \, r^n\) est le terme général d’une série convergente : c’est la convergence normale. ∎

La convergence normale entraîne la convergence uniforme, qui permet d’invoquer les théorèmes d’interversion somme-limite du chapitre sur les séries de fonctions.

B. Continuité de la somme

Chaque fonction \(x \mapsto a_n x^n\) est continue, et la série converge uniformément sur tout segment \([-r, r]\). Le théorème de continuité de la limite uniforme d’une série de fonctions continues s’applique : \(S\) est continue sur chaque \([-r, r]\), donc sur \(]-R, R[\).

C. Dérivation terme à terme ⋆

C’est le résultat central de ce chapitre. Il distingue les séries entières des séries de fonctions générales, pour lesquelles la dérivation terme à terme exige des hypothèses plus lourdes.

Démonstration ⋆ — Conservation du rayon. Le rayon de \(\displaystyle\sum n \, a_n \, x^{n-1}\) est celui de \(\displaystyle\sum n \, a_n \, x^n\) (le facteur \(x^{-1}\) ne change pas le rayon). Notons-le \(R^\prime\). Par Cauchy-Hadamard :

\(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{R^\prime} = \limsup_{n \to +\infty} |n \, a_n|^{1/n} = \limsup_{n \to +\infty} \big( n^{1/n} \cdot |a_n|^{1/n} \big)\)

Or \(n^{1/n} \to 1\) quand \(n \to +\infty\). Comme le produit d’une suite tendant vers \(1\) et d’une suite quelconque ne change pas le lim sup :

\(\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} |n \, a_n|^{1/n} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n} = \displaystyle\frac{1}{R}\)

Donc \(R^\prime = R\). ∎

Démonstration — Dérivabilité de la somme. Fixons \(r\) tel que \(0\) < \(r\) < \(R\). La série \(\displaystyle\sum n \, a_n \, x^{n-1}\) converge normalement sur \([-r, r]\) (son rayon \(R\) > \(r\)). Chaque \(x \mapsto a_n x^n\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) avec dérivée \(x \mapsto n \, a_n \, x^{n-1}\). Par le théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions, \(S\) est dérivable sur \(]-r, r[\) et \(S^\prime(x) = \displaystyle\sum n \, a_n \, x^{n-1}\). Ceci étant vrai pour tout \(r\) < \(R\), le résultat vaut sur \(]-R, R[\) tout entier. ∎

D. Intégration terme à terme

La démonstration est analogue : la convergence uniforme sur \([-r, r]\) autorise la permutation \(\int\) et \(\displaystyle\sum\). La conservation du rayon se vérifie par Cauchy-Hadamard avec \((n+1)^{-1/n} \to 1\).

E. Régularité \(\mathcal{C}^\infty\) et unicité des coefficients

En itérant le théorème de dérivation terme à terme (la série dérivée est elle-même une série entière de même rayon, que l’on peut dériver à nouveau, etc.), on obtient le résultat suivant.

Cette formule est fondamentale : les coefficients d’une série entière sont entièrement déterminés par sa somme. Il en découle immédiatement :

Démonstration. Notons \(S\) la somme commune sur un voisinage de \(0\). Pour tout \(n\) : \(a_n = \displaystyle\frac{S^{(n)}(0)}{n!} = b_n\). ∎

Voici un récapitulatif des propriétés essentielles :

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IV. Opérations sur les séries entières

Les séries entières se combinent algébriquement comme des polynômes : on peut les additionner, les multiplier (produit de Cauchy) et les composer. Ces opérations respectent la structure de série entière.

A. Combinaison linéaire

B. Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy est licite ici car les deux séries convergent absolument sur l’intervalle ouvert commun. La formule de \(c_n\) est la même que pour le produit de polynômes : on « multiplie les séries comme des polynômes ».

C. Composition et substitution

Si \(f(x) = \displaystyle\sum a_n x^n\) a un rayon \(R\) > \(0\) et si \(u(x)\) est une fonction vérifiant \(|u(x)|\) < \(R\) sur un certain domaine, alors on peut substituer \(u(x)\) à \(x\) :

\(\displaystyle f(u(x)) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \, \big(u(x)\big)^n\)

La convergence est assurée pour tout \(x\) tel que \(|u(x)|\) < \(R\).

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V. Séries entières, séries de Taylor et séries de fonctions

Cette section clarifie les liens entre trois notions proches mais distinctes, sources de confusions fréquentes en DS.

A. Rappel sur les séries de Taylor

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur un intervalle contenant \(0\). La série de Taylor de \(f\) en \(0\) est la série entière :

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n\)

Les coefficients \(\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) sont uniquement déterminés par \(f\) et ses dérivées successives en \(0\). On dit que \(f\) est développable en série entière (DSE) au voisinage de \(0\) si cette série converge vers \(f(x)\) sur un voisinage de \(0\). Pour les techniques de calcul, consulte la page développement en série entière et le formulaire des DSE usuels.

B. Fonctions développables en série entière

En revanche, toute série entière de rayon \(R\) > \(0\) est la série de Taylor de sa somme. C’est une conséquence immédiate de la formule \(a_n = S^{(n)}(0)/n!\). On dit que la somme d’une série entière est analytique.

C. Les séries entières comme cas particulier de séries de fonctions

Une série entière \(\displaystyle\sum a_n x^n\) est un cas particulier de série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\), où \(f_n : x \mapsto a_n x^n\). Les théorèmes de continuité, dérivation et intégration terme à terme des séries entières sont des cas particuliers des théorèmes généraux, avec un avantage décisif : la structure polynomiale de \(a_n x^n\) garantit automatiquement la convergence normale sur tout compact de \(]-R, R[\), sans avoir à la vérifier.

Les séries de Fourier \(\displaystyle\sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\) sont un autre cas particulier important de séries de fonctions, où les fonctions de base sont trigonométriques au lieu de polynomiales. Le théorème de dérivation terme à terme des séries de Fourier nécessite des hypothèses plus restrictives que celui des séries entières.

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VI. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante (★ à ★★★★). Chaque correction est détaillée pas à pas. Pour un entraînement intensif avec des exercices de concours étiquetés (CCINP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS), consulte la banque d’exercices corrigés sur les séries entières.

Exercice 1 ★★ — Rayon par d’Alembert (cas factoriel)

Déterminer le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{n!}{n^n} \, x^n\).

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On pose \(a_n = \displaystyle\frac{n!}{n^n}\). Pour \(n \geq 1\) :

\(\displaystyle \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{n^n}{n!} = \displaystyle\frac{n^n}{(n+1)^n} = \displaystyle\frac{1}{(1 + 1/n)^n}\)

Or \(\displaystyle (1 + 1/n)^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \mathrm{e}\) (limite usuelle). Donc \(|a_{n+1}/a_n| \to 1/\mathrm{e}\) et par d’Alembert : \(R = \mathrm{e}\).

Remarque. Ce résultat est cohérent avec la formule de Stirling \(n! \sim \sqrt{2\pi n} \cdot (n/\mathrm{e})^n\) : on trouve alors \(a_n \sim \sqrt{2\pi n}/\mathrm{e}^n\), ce qui donne directement \(R = \mathrm{e}\) par Cauchy-Hadamard.

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Exercice 2 ★★ — Cauchy-Hadamard (coefficients oscillants)

Déterminer le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{(-1)^n} \, x^n\).

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Posons \(a_n = n^{(-1)^n}\) : \(a_n = n\) si \(n\) pair, \(a_n = 1/n\) si \(n\) impair.

La règle de d’Alembert est inapplicable : \(a_{n+1}/a_n\) oscille entre \((n+1) \cdot n\) (n impair, \(\to +\infty\)) et \(1/((n+1) \cdot n)\) (n pair, \(\to 0\)).

Utilisons Cauchy-Hadamard : \(|a_n|^{1/n} = n^{(-1)^n/n}\). Quel que soit le signe de \((-1)^n\), \((-1)^n/n \to 0\), donc \(n^{(-1)^n/n} = \mathrm{e}^{(-1)^n \ln n / n} \to \mathrm{e}^0 = 1\).

\(\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n} = 1 \quad \Longrightarrow \quad R = 1\)

Vérification. Aux bornes \(x = \pm 1\) : la suite \((a_n)\) n’est pas bornée (sous-suite paire \(\to +\infty\)), donc le terme général ne tend pas vers 0 : divergence grossière en \(x = \pm 1\).

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Exercice 3 ★★★ — Étude aux bornes (Riemann + Leibniz)

Déterminer le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{\sqrt{n} \cdot 3^n}\) et étudier la convergence aux bornes \(x = \pm 3\).

Voir la correction

On pose \(a_n = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n} \cdot 3^n}\). Par d’Alembert :

\(\displaystyle \left|\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \displaystyle\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{1}{3} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \displaystyle\frac{1}{3}\)

Donc \(R = 3\).

En \(x = 3\) : \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{3^n}{\sqrt{n} \cdot 3^n} = \displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} = \displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^{1/2}}\) : série de Riemann avec \(\alpha = 1/2 \leq 1\), diverge.

En \(x = -3\) : \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{(-3)^n}{\sqrt{n} \cdot 3^n} = \displaystyle\sum \displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). La suite \((1/\sqrt{n})\) est décroissante et tend vers \(0\) : par le critère de Leibniz, convergence (semi-convergence : \(\sum 1/\sqrt{n}\) diverge).

Domaine de convergence : \([-3, 3[\) (semi-convergence en \(x = -3\)).

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Exercice 4 ★★★ — Somme par combinaison de dérivations

Calculer \(\displaystyle S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n^2 + n + 1) \, x^n\) pour \(|x|\) < \(1\).

Voir la correction

On part de la série géométrique \(\displaystyle\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\) (pour \(|x|\) < \(1\)). En dérivant terme à terme deux fois :

\(\displaystyle \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} n \, x^{n-1} \quad ; \quad \displaystyle\frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) \, x^{n-2}\)

D’où, en multipliant par \(x\) et \(x^2\) respectivement :

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \displaystyle\frac{x}{(1-x)^2} \quad ; \quad \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) x^n = \displaystyle\frac{2x^2}{(1-x)^3}\)

On écrit alors \(n^2 + n + 1 = n(n-1) + 2n + 1\). Par linéarité :

\(\displaystyle S(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) x^n + 2 \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n + \sum_{n=0}^{+\infty} x^n\)

(les premiers termes manquants pour \(n(n-1)\) sont nuls pour \(n = 0, 1\), et pour \(n\) le terme manquant est nul). D’où :

\(\displaystyle S(x) = \displaystyle\frac{2x^2}{(1-x)^3} + \displaystyle\frac{2x}{(1-x)^2} + \displaystyle\frac{1}{1-x}\)

Mise au même dénominateur \((1-x)^3\) :

\(\displaystyle S(x) = \displaystyle\frac{2x^2 + 2x(1-x) + (1-x)^2}{(1-x)^3} = \displaystyle\frac{x^2 + 1}{(1-x)^3}\)

Vérification en \(x = 0\) : \(S(0) = 1\) (terme \(n = 0\) de la série), et \((0^2 + 1)/(1-0)^3 = 1\). Cohérent.

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Exercice 5 ★★★ — Somme par intégration

Calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n}\) pour \(|x|\) < \(1\), puis en déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n \cdot 2^n}\).

Voir la correction

On part de la série géométrique : \(\displaystyle\frac{1}{1-t} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} t^n\) pour \(|t|\) < \(1\).

En intégrant terme à terme de \(0\) à \(x\) (avec \(|x|\) < \(1\)) :

\(\displaystyle \int_0^x \displaystyle\frac{\mathrm{d}t}{1-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\)

Le membre de gauche vaut \(-\ln(1-x)\). En renumérotant :

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n} = -\ln(1-x) \quad \text{pour } |x| \lt 1\)

Application : en \(x = 1/2\) : \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n \cdot 2^n} = -\ln(1 – 1/2) = -\ln(1/2) = \ln 2\).

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Exercice 6 ★★★★ — Théorème d’Abel et formules sommatoires

1. En utilisant le DSE de \(x \mapsto \ln(1+x)\), montrer que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\).
2. En utilisant le DSE de \(\arctan\), montrer que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1} = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) (formule de Leibniz-Gregory).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)}\) en exprimant le terme général comme combinaison de \(\frac{1}{n}\) et \(\frac{1}{2n+1}\) (décomposition en éléments simples), puis en utilisant 1) et 2).

Voir la correction

1. Le DSE \(\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\) est valable pour \(|x|\) < \(1\). La série numérique \(\sum (-1)^{n-1}/n\) converge (Leibniz : \(1/n \searrow 0\)). Par le théorème d’Abel, on peut passer à la limite \(x \to 1^-\) dans le DSE :

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} \ln(1+x) = \ln 2\)

2. Même méthode : \(\arctan(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\) pour \(|x|\) < \(1\). La série \(\sum (-1)^n/(2n+1)\) converge (Leibniz). Par Abel :

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1^-} \arctan(x) = \arctan(1) = \displaystyle\frac{\pi}{4}\)

3. Décomposons \(\displaystyle\frac{1}{n(2n+1)}\) en éléments simples :

\(\displaystyle\frac{1}{n(2n+1)} = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{2}{2n+1}\)

(Vérification : \(\frac{2n+1}{n(2n+1)} – \frac{2n}{n(2n+1)} = \frac{1}{n(2n+1)}\) ✓.) D’où :

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n} – 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\)

La séparation est licite car les deux séries de droite convergent (Leibniz). La première vaut \(\ln 2\) (question 1). Pour la seconde :

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1} = -\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1} = -\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} – 1\right) = 1 – \displaystyle\frac{\pi}{4}\)

(on a retiré le terme \(n = 0\) qui vaut \(1\) dans la somme de la question 2). D’où :

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)} = \ln 2 – 2\!\left(1 – \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \ln 2 + \displaystyle\frac{\pi}{2} – 2\)

Commentaire méthode. Cet exercice illustre la puissance du théorème d’Abel pour calculer des sommes de séries numériques en passant à la limite au bord du disque de convergence. La technique de décomposition en éléments simples puis combinaison linéaire de DSE connus est un classique aux écrits Centrale et X.

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Exercice 7 ★★★★ — Résolution d’EDL par série entière

Résoudre \(y^\prime – 2xy = 0\) en cherchant les solutions sous forme de série entière.

Voir la correction

Posons \(y(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) de rayon \(R\) > \(0\). Alors :

\(\displaystyle y^\prime(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n \, a_n \, x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) \, a_{n+1} \, x^n\)

\(\displaystyle 2x \, y(x) = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \, x^{n+1} = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n-1} \, x^n\)

L’équation \(y^\prime = 2xy\) donne, par unicité des coefficients :

• Pour \(n = 0\) : \(a_1 = 0\).
• Pour \(n \geq 1\) : \((n+1) \, a_{n+1} = 2 \, a_{n-1}\).

Récurrence sur la parité. Comme \(a_1 = 0\), par récurrence \(a_{2k+1} = 0\) pour tout \(k\) (les coefficients impairs sont tous nuls). Pour les coefficients pairs :

\(\displaystyle a_{2k+2} = \displaystyle\frac{2 \, a_{2k}}{2k+2} = \displaystyle\frac{a_{2k}}{k+1}\)

Donc \(a_{2k} = \displaystyle\frac{a_0}{k!}\) (par récurrence immédiate).

Conclusion :

\(\displaystyle y(x) = a_0 \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^{2k}}{k!} = a_0 \sum_{k=0}^{+\infty} \displaystyle\frac{(x^2)^k}{k!} = a_0 \, \mathrm{e}^{x^2}\)

Le rayon de convergence est \(+\infty\). La solution générale est \(y(x) = C \, \mathrm{e}^{x^2}\), \(C \in \mathbb{R}\). On vérifie : \((C \, \mathrm{e}^{x^2})^\prime = 2Cx \, \mathrm{e}^{x^2} = 2x \cdot C \, \mathrm{e}^{x^2}\). ✓

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Exercice 8 ★★★★ — Somme de \(\displaystyle\sum H_n x^n\) (type concours)

On pose \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k}\) (nombres harmoniques), avec \(H_0 = 0\). Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} H_n \, x^n\).

Voir la correction

Rayon de convergence. On a \(H_n \sim \ln(n)\) quand \(n \to +\infty\), donc :

\(\displaystyle |H_n|^{1/n} = \mathrm{e}^{\ln(H_n)/n} \longrightarrow \mathrm{e}^0 = 1\)

Par Cauchy-Hadamard, \(R = 1\).

Calcul de la somme. Pour \(|x|\) < \(1\), écrivons \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k}\) et intervertissons les sommations (licite car convergence absolue) :

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} H_n \, x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k}\right) x^n = \sum_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{k} \sum_{n=k}^{+\infty} x^n\)

Or \(\displaystyle\sum_{n=k}^{+\infty} x^n = \displaystyle\frac{x^k}{1-x}\) (somme géométrique). Donc :

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} H_n \, x^n = \displaystyle\frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^k}{k} = \displaystyle\frac{-\ln(1-x)}{1-x}\)

On a utilisé l’exercice 5 pour la dernière égalité.

Résultat : \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} H_n \, x^n = \displaystyle\frac{-\ln(1-x)}{1-x}\) pour \(|x|\) < \(1\).

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs les plus sanctionnées en DS et concours sur les séries entières. Chaque erreur est illustrée par une copie fautive commentée.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant les fondements des séries entières : définition, rayon de convergence (Cauchy-Hadamard), propriétés de la somme et opérations. Pour approfondir chaque aspect :

• Rayon de convergence d’une série entière — les 5 méthodes de calcul détaillées, cas lacunaires et exercices
• Développement en série entière (DSE) — méthode pas à pas pour développer une fonction
• DSE usuels : formulaire et démonstrations — toutes les formules de référence (\(\mathrm{e}^x\), \(\ln(1+x)\), \(\sin\), \(\cos\), \((1+x)^\alpha\), \(\arctan\)…)
• Exercices corrigés sur les séries entières — banque d’exercices type concours (CCINP, Centrale, Mines-Ponts, X-ENS)
• Séries de fonctions : cours complet — le cadre général (convergence simple, uniforme, normale)
• Séries de Fourier — l’autre grande famille de séries de fonctions
• Séries numériques — les fondements (convergence, divergence, critères)
• Séries de Riemann — la série de référence pour les comparaisons

Bibliographie recommandée : X. Gourdon, Les maths en tête — Analyse (chap. Séries entières) · Ramis, Deschamps, Odoux, Cours de mathématiques spéciales (tome 4) · Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS — Analyse (exercices de séries entières). Conforme au programme CPGE 2025-2026.

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