En classe de 3ème, la notion de fonction est l’un des chapitres les plus importants du programme de mathématiques. C’est aussi l’un des plus fréquents au Brevet. Si tu comprends bien ce chapitre, tu poseras des bases solides pour tout le lycée.
Cette page te propose un cours complet sur les fonctions en maths, adapté au niveau 3ème. Pour un entraînement complet, va directement sur notre page d’exercices corrigés sur les fonctions en 3ème.
Notion de fonction en 3ème : définition, notations, vocabulaire
Fonction = « machine » mathématique : de x à f(x)
Définition — Fonction
Une fonction \(f\) est un procédé qui, à tout nombre \(x\) autorisé, associe un unique nombre noté \(f(x)\) (on lit « \(f\) de \(x\) »).
On écrit : \(f : x \mapsto f(x)\)
Le nombre \(x\) est appelé la variable de la fonction.
On peut voir une fonction comme une machine : tu entres un nombre, la machine effectue un calcul, et elle te renvoie un résultat.
Notations et vocabulaire : image, antécédent, variable, valeur
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2x + 1\). Calculons \(f(3)\) :
\(f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\)
Image et antécédent
Si \(f(3) = 7\), on dit que :
- 7 est l’image de 3 par la fonction \(f\).
- 3 est un antécédent de 7 par la fonction \(f\).
Un nombre a toujours une seule image par une fonction donnée. En revanche, un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Astuce pour ne pas confondre
Pense à l’ordre alphabétique : Antécédent → le nombre de départ (on le met dans la machine). Image → le nombre d’arrivée (ce qui sort de la machine). A vient avant I, tout comme le départ vient avant l’arrivée.
Pour approfondir ces notions et maîtriser toutes les méthodes de calcul associées, consulte la page dédiée : image et antécédent d’une fonction : cours et méthodes.
Ensemble de définition (niveau 3ème) : quand a-t-on le droit de calculer f(x) ?
En 3ème, on rencontre surtout des fonctions définies par une formule. On doit alors vérifier pour quelles valeurs de \(x\) la formule « a un sens ». Par exemple, si \(f(x) = \frac{1}{x}\), on ne peut pas prendre \(x = 0\).
L’ensemble de définition d’une fonction, c’est l’ensemble de tous les nombres \(x\) pour lesquels le calcul de \(f(x)\) est possible. En 3ème, la plupart des fonctions rencontrées sont définies pour tous les nombres, mais il est important de garder ce réflexe : avant de calculer, vérifie que le calcul a un sens.
Pour un cours complet sur ce point (avec de nombreux exemples), consulte la page sur l’ensemble de définition d’une fonction.
Représenter une fonction : formule, tableau de valeurs, graphique
En cours de maths en 3ème, tu rencontreras trois façons de décrire une fonction. Savoir passer de l’une à l’autre est une compétence essentielle pour le Brevet.
Définir une fonction par une formule (expression)
C’est la représentation la plus directe. Une formule donne la « règle de calcul » de la fonction.
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 – 4\).
- \(f(0) = 0^2 – 4 = -4\)
- \(f(3) = 3^2 – 4 = 9 – 4 = 5\)
- \(f(-2) = (-2)^2 – 4 = 4 – 4 = 0\)
Attention aux parenthèses : \((-2)^2 = 4\), et non \(-4\).
Définir une fonction par un tableau de valeurs
Un tableau de valeurs regroupe plusieurs couples (nombre de départ ; image). C’est pratique pour visualiser rapidement plusieurs résultats et pour préparer un tracé graphique.
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Dans ce tableau, on lit par exemple que l’image de \(-1\) est \(-3\), ou encore que 0 a deux antécédents : \(-2\) et \(2\).
Définir une fonction par un graphique (courbe représentative)
La courbe représentative d’une fonction \(f\) est l’ensemble de tous les points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\) dans un repère. Chaque point de la courbe associe un nombre \(x\) (en abscisse) à son image \(f(x)\) (en ordonnée).
On verra plus bas comment lire les coordonnées d’un point et tracer une courbe proprement.
Passer d’une représentation à l’autre : réflexes attendus en contrôle
En évaluation, tu dois savoir passer rapidement d’une représentation à l’autre. Voici les réflexes à acquérir :
| Passage | Comment faire |
|---|---|
| Formule → Tableau | Choisir plusieurs valeurs de \(x\), calculer \(f(x)\) pour chacune, compléter le tableau. |
| Tableau → Graphique | Placer chaque couple \((x\,;\,f(x))\) comme un point dans le repère, puis relier les points par une courbe lisse (pas des segments droits). |
| Graphique → Tableau | Lire les coordonnées de plusieurs points sur la courbe. Attention : ce sont des valeurs approchées. |
| Formule → Graphique | Passer par un tableau intermédiaire, puis placer les points. |
Calculer l’image d’un nombre : méthodes selon la représentation
Savoir calculer une image est la compétence de base sur les fonctions en 3ème. La méthode dépend de la représentation dont tu disposes.
Méthode 1 : par calcul (à partir de l’expression)
Méthode — Calculer \(f(a)\) à partir de la formule
- Repère l’expression de \(f(x)\).
- Remplace chaque \(x\) par la valeur \(a\) (avec des parenthèses).
- Effectue le calcul en respectant les priorités opératoires.
Exemple
Soit \(h(x) = 3x^2 – 5x + 2\). Calculons \(h(-1)\).
\(h(-1) = 3 \times (-1)^2 – 5 \times (-1) + 2 = 3 \times 1 + 5 + 2 = 10\)
L’image de \(-1\) par \(h\) est 10.
Méthode 2 : dans un tableau
Si un tableau indique la ligne des \(x\) et celle des \(f(x)\), alors : l’image de \(a\) est la valeur située sous (ou en face de) \(a\).
Si la valeur de \(x\) cherchée n’apparaît pas dans le tableau, il est impossible de donner l’image exacte à partir du tableau seul.
Méthode 3 : sur un graphique (valeurs exactes vs approchées)
Méthode — Lire l’image de \(a\) sur un graphique
- Repère la valeur \(a\) sur l’axe des abscisses (axe horizontal).
- Trace une droite verticale passant par \(a\) jusqu’à la courbe.
- Depuis le point d’intersection, trace une droite horizontale jusqu’à l’axe des ordonnées.
- Lis la valeur obtenue : c’est l’image de \(a\) (valeur approchée).
Voici cette méthode illustrée sur la fonction \(f(x) = x^2 – 4\). On cherche l’image de \(1{,}5\) :
En suivant la droite verticale depuis \(x = 1{,}5\) jusqu’à la courbe, puis la droite horizontale jusqu’à l’axe des ordonnées, on lit \(f(1{,}5) = -1{,}75\). On peut vérifier par le calcul : \(1{,}5^2 – 4 = 2{,}25 – 4 = -1{,}75\). Ici les deux valeurs coïncident, mais sur un graphique, la lecture est souvent approchée.
Trouver un antécédent : résoudre une équation du type f(x) = a
Trouver un antécédent graphiquement (intersection avec une droite horizontale)
Méthode — Trouver les antécédents de \(b\) sur un graphique
- Repère la valeur \(b\) sur l’axe des ordonnées (axe vertical).
- Trace une droite horizontale passant par \(b\).
- Repère tous les points d’intersection de cette droite avec la courbe.
- Pour chaque point d’intersection, lis l’abscisse : ce sont les antécédents de \(b\).
S’il n’y a aucune intersection, le nombre \(b\) n’a pas d’antécédent par cette fonction.
Voici cette méthode illustrée sur la même fonction \(f(x) = x^2 – 4\). On cherche les antécédents de 0 :
La droite horizontale \(y = 0\) coupe la courbe en deux points : \(x = -2\) et \(x = 2\). Le nombre 0 a donc deux antécédents par cette fonction. On vérifie : \(f(-2) = (-2)^2 – 4 = 0\) et \(f(2) = 2^2 – 4 = 0\).
Trouver un antécédent par calcul (cas simples, niveau 3ème)
Quand la fonction est donnée par une formule, trouver un antécédent revient à résoudre une équation.
Exemple
Soit \(f(x) = 3x – 6\). Cherchons le(s) antécédent(s) de 9.
On résout \(f(x) = 9\) :
\(3x – 6 = 9\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\)
Le nombre 5 est l’unique antécédent de 9 par \(f\).
Erreur fréquente : confondre « calculer une image » et « chercher un antécédent »
Piège classique — Deux opérations très différentes
- Calculer l’image de 5 : on remplace \(x\) par 5 dans la formule et on calcule. C’est un calcul direct.
- Trouver un antécédent de 5 : on pose \(f(x) = 5\) et on résout l’équation. C’est un calcul inverse.
Lis bien l’énoncé pour identifier ce qu’on te demande avant de commencer.
Pour aller plus loin sur ce sujet avec des exercices dédiés, consulte la page image et antécédent d’une fonction.
Lire et tracer une courbe en 3ème : méthode propre et efficace
Au Brevet comme en contrôle, tu devras souvent construire ou exploiter un graphique. Voici les méthodes pour le faire proprement.
Construire un tableau de valeurs pertinent (choix des x)
Un bon tableau de valeurs est la base d’un bon tracé. Quelques règles :
- Prends au minimum 7 à 8 valeurs de \(x\), régulièrement espacées (par exemple : \(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\)).
- Inclus toujours \(x = 0\) et les valeurs qui donnent des résultats « remarquables » (image nulle, image entière, etc.).
- Si la fonction comporte une division, évite les valeurs qui annulent le dénominateur.
Exemple — Tableau de valeurs de \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\)
On choisit des valeurs de \(x\) régulièrement espacées entre \(-2\) et \(4\) :
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
On peut maintenant placer ces 7 points dans un repère :
Placer les points et tracer une courbe propre (repère, échelle, lisibilité)
Pour obtenir un tracé soigné :
- Choisis une échelle adaptée : ni trop grande (la courbe déborde), ni trop petite (les points sont collés).
- Trace les axes en les nommant et en plaçant les graduations.
- Place chaque point à l’aide de sa coordonnée \((x\,;\,f(x))\), avec un petit « × » ou un point bien visible.
- Relie les points par une courbe lisse et arrondie, sans angles brusques (sauf si la fonction en impose un).
En reliant les points du tableau précédent par une courbe lisse, on obtient :
Erreur fréquente
Ne relie jamais les points par des segments de droite, sauf si la fonction est réellement affine (droite). La plupart des fonctions donnent des courbes lisses, pas des lignes brisées.
Lire sur un graphique : coordonnées, intersections, variations « visuelles » (niveau 3ème)
Un graphique permet de répondre rapidement à de nombreuses questions :
- Coordonnées d’un point : repère l’abscisse et l’ordonnée en projetant sur les axes.
- Image d’un nombre : droite verticale → point sur la courbe → droite horizontale → ordonnée.
- Antécédent d’un nombre : droite horizontale → point(s) sur la courbe → droite(s) verticale(s) → abscisse(s).
- Variations : même si le cours formel sur les variations arrive en seconde, tu peux observer visuellement si la courbe « monte » ou « descend » sur un intervalle donné.
Pièges classiques en contrôle et au Brevet : ce qui fait perdre des points
En évaluation sur les fonctions en 3ème, certaines erreurs reviennent à chaque copie. Voici les quatre pièges les plus fréquents et comment les éviter.
Piège 1 : image vs antécédent (et les phrases mal lues)
Le piège
L’énoncé dit : « Déterminer l’image de 3 par \(f\). » Beaucoup d’élèves posent \(f(x) = 3\) et résolvent une équation. C’est l’inverse de ce qui est demandé.
Le bon réflexe : « image de 3 » = on calcule \(f(3)\). « Antécédent de 3 » = on résout \(f(x) = 3\).
Avant de commencer, surligne dans l’énoncé le mot « image » ou « antécédent ».
Piège 2 : lecture graphique « à l’envers » et erreurs d’échelle
Le piège
Sur un graphique, certains élèves inversent les axes : ils lisent l’abscisse au lieu de l’ordonnée (ou inversement). D’autres se trompent d’échelle, surtout quand les graduations ne sont pas de 1 en 1.
Le bon réflexe : commence toujours par identifier l’échelle de chaque axe. Puis suis la méthode « droite verticale / droite horizontale » selon que tu cherches une image ou un antécédent.
Piège 3 : parenthèses, signes, carré (erreurs de calcul typiques)
Le piège
Calculer \(f(-3)\) quand \(f(x) = x^2 – 2x\) :
- Erreur fréquente : \((-3)^2 – 2 \times -3 = -9 + 6 = -3\) ✗
- Calcul correct : \((-3)^2 – 2 \times (-3) = 9 + 6 = 15\) ✓
Le bon réflexe : mets toujours le nombre négatif entre parenthèses quand tu remplaces \(x\). Et rappelle-toi que \((-3)^2 = 9\) (positif), alors que \(-3^2 = -9\) (négatif).
Piège 4 : valeurs approchées (ce qu’on peut et doit écrire)
Le piège
En lecture graphique, écrire « l’image de 2 est 3,7 » sans préciser que c’est une valeur approchée fait perdre des points.
Le bon réflexe : utilise le mot « environ » ou le symbole \(\approx\). Par exemple : « Graphiquement, l’image de 2 est environ 3,7 » ou « \(f(2) \approx 3{,}7\) ». En revanche, quand tu calcules à partir de la formule, donne la valeur exacte.
Réviser vite : fiche synthèse et exemples guidés
Fiche de révision : l’essentiel à connaître
| Notion | Définition | Exemple | Piège à éviter |
|---|---|---|---|
| Fonction | Procédé qui associe à chaque \(x\) un unique \(f(x)\). | \(f(x) = 2x + 1\) | Ce n’est pas un tableau ou un graphique : c’est la règle derrière. |
| Image | Résultat obtenu quand on entre \(x\) dans la fonction. | \(f(3) = 7\) : 7 est l’image de 3. | Ne pas confondre avec antécédent. |
| Antécédent | Nombre de départ qui donne un résultat donné. | \(f(x) = 7 \Rightarrow x = 3\). | Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. |
| Courbe | Ensemble des points \((x\,;\,f(x))\) dans un repère. | La parabole pour \(f(x) = x^2\). | Ne pas relier les points par des segments. |
4 exemples « type contrôle » (très courts, guidés)
Exemple 1 — Calcul d’image
Soit \(f(x) = -4x + 7\). Calcule l’image de \(-2\).
Voir la correction
\(f(-2) = -4 \times (-2) + 7 = 8 + 7 = 15\)L’image de \(-2\) par \(f\) est 15.
Exemple 2 — Recherche d’antécédent
Soit \(g(x) = 5x + 3\). Quel est l’antécédent de 28 par \(g\) ?
Voir la correction
On résout \(g(x) = 28\) :
\(5x + 3 = 28\) \(5x = 25\) \(x = 5\)L’antécédent de 28 par \(g\) est 5.
Exemple 3 — Tableau de valeurs
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −1 | 2 | 7 | 2 | −1 |
Quelle est l’image de 3 ? Quels sont les antécédents de 2 ?
Voir la correction
L’image de 3 est 7 (on lit la valeur sous le 3).
Les antécédents de 2 sont 2 et 4, car \(f(2) = 2\) et \(f(4) = 2\). Le nombre 2 a bien deux antécédents dans ce tableau.
Exemple 4 — Problème concret (type Brevet)
Un cinéma propose deux tarifs. Tarif A : 9 € par séance. Tarif B : un abonnement de 30 € puis 4 € par séance. On note \(x\) le nombre de séances.
Les fonctions associées sont \(A(x) = 9x\) et \(B(x) = 4x + 30\). À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux ?
Voir la correction
On cherche quand \(B(x)\) < \(A(x)\), c’est-à-dire quand \(4x + 30\) < \(9x\).
\(30\) < \(9x – 4x\)
\(30\) < \(5x\)
\(x\) > \(6\)
À partir de 7 séances, le tarif B est plus avantageux que le tarif A. Pour 6 séances, les deux tarifs sont identiques : \(A(6) = 54\) € et \(B(6) = 54\) €.
Pour s’entraîner sérieusement
Ces exemples te donnent les réflexes de base. Pour un entraînement complet avec des exercices progressifs et des annales du Brevet corrigées, consulte notre page dédiée : exercices corrigés sur les fonctions en 3ème.
Pour aller plus loin : les prochaines étapes
Les fonctions ne s’arrêtent pas à la 3ème. En seconde et au-delà, tu découvriras de nouveaux outils et de nouvelles familles de fonctions :
- Les fonctions affines et linéaires en détail (coefficient directeur, ordonnée à l’origine, variations).
- Le tableau de variation d’une fonction pour décrire précisément quand une fonction croît ou décroît.
- Les fonctions en seconde : fonction carré, fonction inverse, et bien d’autres.
FAQ : fonctions en 3ème (questions fréquentes)
C'est quoi une fonction en maths (3ème) ?
Une fonction est un procédé mathématique qui, à chaque nombre \(x\), associe un unique résultat noté \(f(x)\). On peut la voir comme une « machine » : on entre un nombre, la machine applique une règle de calcul, et elle renvoie un résultat. En 3ème, tu apprends à manipuler les fonctions à travers trois représentations : la formule, le tableau de valeurs et le graphique.
Quelle différence entre image et antécédent ?
L’image est le nombre obtenu après le calcul : si \(f(3) = 7\), alors 7 est l’image de 3. L’antécédent est le nombre de départ : dans le même exemple, 3 est un antécédent de 7. Pour résumer : image = résultat (ce qui sort de la machine), antécédent = point de départ (ce qu’on met dans la machine).
Comment lire une image sur un graphique ?
Repère la valeur \(x\) sur l’axe horizontal. Trace une droite verticale jusqu’à la courbe. Depuis le point d’intersection, trace une droite horizontale jusqu’à l’axe vertical. La valeur lue est l’image de \(x\). Attention : c’est une valeur approchée, pense à écrire « environ » ou \(\approx\).
Pourquoi je trouve parfois plusieurs antécédents ?
Parce qu’une fonction peut attribuer la même image à plusieurs nombres de départ différents. Par exemple, avec \(f(x) = x^2\), le nombre 9 a deux antécédents : 3 et \(-3\), car \(3^2 = 9\) et \((-3)^2 = 9\). C’est normal et fréquent : un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Quand est-ce qu'on écrit une valeur approchée ?
En lecture graphique, toujours. Les coordonnées lues sur un graphique ne sont pas exactes : il faut écrire « environ » ou utiliser le symbole \(\approx\). En revanche, quand tu calcules à partir d’une formule, le résultat est exact (sauf si l’énoncé te demande un arrondi).
Comment tracer rapidement la courbe d'une fonction ?
Construis d’abord un tableau de valeurs avec 7 à 8 valeurs de \(x\) bien réparties. Place les points dans un repère bien gradué. Puis relie-les par une courbe lisse (arrondie), sans angles brusques ni segments de droite (sauf pour une fonction affine, qui est une droite).
Qu'est-ce qui tombe au Brevet sur les fonctions ?
Les fonctions sont présentes presque chaque année au Brevet. Les exercices types sont : calculer des images et des antécédents (par formule, tableau ou graphique), résoudre un problème concret avec une ou plusieurs fonctions (comparaison de tarifs, distances, vitesse…), et exploiter une représentation graphique. S’entraîner avec des exercices corrigés sur les fonctions en 3ème est le meilleur moyen de se préparer.
Fonction linéaire vs affine : comment ne pas confondre ?
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = ax\) : sa courbe est une droite qui passe par l’origine. Une fonction affine est de la forme \(f(x) = ax + b\) avec \(b \neq 0\) : sa courbe est une droite qui ne passe pas par l’origine. La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine (avec \(b = 0\)). Pour un cours complet sur ce sujet, consulte la page fonction affine et linéaire.
Besoin d’aide pour maîtriser les fonctions ?
Les fonctions sont un chapitre fondamental en 3ème, et bien les comprendre maintenant te fera gagner un temps précieux au lycée. Si tu rencontres des difficultés ou si tu veux progresser plus vite, un accompagnement personnalisé peut faire toute la différence.
Réserve un cours particulier avec un professeur Excellence Maths — suivi rigoureux, méthodes claires, résultats concrets.
