Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Les séries numériques sont l’un des piliers de l’analyse en classe préparatoire. Elles prolongent naturellement l’étude des suites en posant une question fondamentale : que signifie « additionner une infinité de termes » ? Derrière cette question se cachent des outils essentiels — du calcul de constantes comme \(\pi\), \(e\) ou \(\ln 2\) à la résolution d’équations différentielles, en passant par les séries entières et les séries de Fourier.
Ce cours constitue la page de référence du cocon Séries en mathématiques. Il couvre le programme officiel de MPSI/PCSI et MP/PC/PSI (2025-2026) : définitions rigoureuses, propriétés fondamentales, tous les critères de convergence et les 10 réflexes méthodiques pour étudier la nature de n’importe quelle série. Chaque théorème est démontré — les démonstrations exigibles au programme sont marquées ⋆. Tu trouveras aussi 6 exercices corrigés de difficulté croissante, un tableau d’erreurs classiques en DS et concours, ainsi qu’une FAQ ciblée sur les confusions les plus fréquentes.
I. Définitions et premières notions
A. Série associée à une suite — sommes partielles
Le point de départ est une suite \((u_n)_{n \geq 0}\) de nombres réels (ou complexes). On cherche à donner un sens à la « somme infinie » \(u_0 + u_1 + u_2 + \cdots\). L’outil pour y parvenir est la suite des sommes partielles.
Définition — Série et sommes partielles
Soit \((u_n)_{n \geq 0}\) une suite réelle. On appelle série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\) ou \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} u_n\), la suite \((S_n)_{n \geq 0}\) des sommes partielles définie par :
\(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\)
Point essentiel : la série \(\sum u_n\) n’est pas un nombre — c’est la suite \((S_n)\). Étudier la « nature » d’une série, c’est étudier le comportement asymptotique de la suite de ses sommes partielles. On notera la relation fondamentale entre terme général et sommes partielles :
\(u_n = S_n – S_{n-1} \quad (n \geq 1)\)B. Convergence, divergence et somme d’une série
Définition — Convergence et somme d’une série
La série \(\sum u_n\) est dite convergente si la suite \((S_n)\) admet une limite finie. Dans ce cas, cette limite est appelée somme de la série et notée :
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} S_n\)
Si \((S_n)\) n’admet pas de limite finie, la série est dite divergente.
Une série peut diverger de deux façons : par divergence vers \(\pm\infty\) (comme la série harmonique \(\sum 1/n\)) ou par oscillation sans limite (comme \(\sum (-1)^n\), dont les sommes partielles alternent entre 0 et 1).
Convention de notation. On distingue soigneusement \(\displaystyle\sum_{n=0}^{N} u_n\) (somme partielle, c’est un nombre, toujours défini) et \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) (somme de la série, qui n’existe que si la série converge). Écrire \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = S\) présuppose la convergence : il faut toujours la justifier avant d’utiliser cette notation.
C. Reste d’une série convergente
Définition — Reste d’ordre \(n\)
Si \(\sum u_n\) converge de somme \(S\), le reste d’ordre \(n\) est :
\(R_n = S – S_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\)
On a \(R_n \to 0\) quand \(n \to +\infty\).
Le reste \(R_n\) mesure l’erreur commise en approchant la somme \(S\) par la somme partielle \(S_n\). Majorer le reste est un problème central en analyse numérique et un classique de concours. Les techniques de majoration dépendent de la nature de la série : comparaison à une intégrale pour les séries à termes positifs, encadrement par \(a_{n+1}\) pour les séries alternées (cf. section IV).
D. Séries de référence
Certaines séries reviennent systématiquement comme éléments de comparaison. Leur nature doit être connue sans hésitation.
Série géométrique. Soit \(q \in \mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)). Pour \(q \neq 1\), la somme partielle vaut :
\(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \displaystyle\frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\)Si \(|q|\) < \(1\), alors \(q^{n+1} \to 0\) et la série converge de somme \(\displaystyle\frac{1}{1-q}\). Si \(|q| \geq 1\), alors \((q^n)\) ne tend pas vers 0 (condition nécessaire violée) et la série diverge.
Série harmonique. La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n}\) diverge vers \(+\infty\).
Démonstration (par regroupement). On regroupe les termes par paquets de puissances de 2 :
\(S_{2^p} = 1 + \displaystyle\frac{1}{2} + \left(\displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{1}{4}\right) + \left(\displaystyle\frac{1}{5} + \cdots + \displaystyle\frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\displaystyle\frac{1}{2^{p-1}+1} + \cdots + \displaystyle\frac{1}{2^p}\right)\)Le \(k\)-ème groupe (pour \(k \geq 1\)) contient \(2^{k-1}\) termes, chacun supérieur ou égal à \(\displaystyle\frac{1}{2^k}\). Donc chaque groupe vaut au moins \(\displaystyle\frac{1}{2}\), ce qui donne \(S_{2^p} \geq 1 + \displaystyle\frac{p}{2} \to +\infty\). ■
Attention : la série harmonique est le contre-exemple fondamental en théorie des séries. Son terme général \(1/n\) tend vers 0, mais la série diverge. Cela montre que la condition \(u_n \to 0\) est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.
Séries de Riemann. Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\). Les cas à connaître par cœur :
- \(\alpha = 2\) : \(\sum 1/n^2\) converge (de somme \(\pi^2/6\), résultat dû à Euler)
- \(\alpha = 1\) : série harmonique — diverge
- \(\alpha = 1/2\) : \(\sum 1/\sqrt{n}\) — diverge
La démonstration complète (triple preuve : comparaison série-intégrale, condensation de Cauchy, regroupement dyadique) ainsi que l’extension aux séries de Bertrand \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\) font l’objet d’une page dédiée : Séries de Riemann et de Bertrand.
Séries télescopiques. Si le terme général s’écrit \(u_n = f(n+1) – f(n)\) pour une certaine suite \((f(n))\), alors :
\(S_N = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} \bigl(f(n+1) – f(n)\bigr) = f(N+1) – f(0)\)La série converge si et seulement si \(f(n)\) admet une limite finie quand \(n \to +\infty\).
Exemple. Calculer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n(n+1)}\).
Décomposition en éléments simples : \(\displaystyle\frac{1}{n(n+1)} = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{n+1}\). C’est une série télescopique avec \(f(n) = \displaystyle\frac{1}{n}\). On a \(S_N = 1 – \displaystyle\frac{1}{N+1} \to 1\). Donc la série converge et sa somme vaut \(1\).
II. Propriétés fondamentales
Avant d’aborder les critères de convergence, trois résultats généraux s’appliquent à toute série numérique.
A. Condition nécessaire de convergence
Théorème — Condition nécessaire de convergence ⋆
Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\).
Démonstration ⋆. Supposons \(\sum u_n\) convergente de somme \(S\). Alors \(S_n \to S\) et \(S_{n-1} \to S\). Or \(u_n = S_n – S_{n-1}\), donc \(u_n \to S – S = 0\). ■
Contraposée (divergence grossière) : si \(u_n \not\to 0\), la série \(\sum u_n\) diverge. C’est le premier test à effectuer, avant tout autre critère. En concours, une divergence grossière bien identifiée rapporte des points en quelques lignes.
Piège classique : la réciproque est fausse. La série harmonique \(\sum 1/n\) montre que \(u_n \to 0\) n’entraîne pas la convergence. Ne jamais écrire « \(u_n \to 0\) donc la série converge ».
B. Linéarité
Propriété — Linéarité
Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, alors pour tous \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), la série \(\sum (\alpha u_n + \beta v_n)\) converge et :
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (\alpha u_n + \beta v_n) = \alpha \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \beta \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} v_n\)
La démonstration est immédiate par passage à la limite dans \(S_n^{(\alpha u + \beta v)} = \alpha S_n^{(u)} + \beta S_n^{(v)}\). On notera que la convergence de \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) est indispensable : la somme de deux séries divergentes peut converger (par exemple \(\sum 1/n + \sum (-1/n) = \sum 0\)).
C. Convergence absolue et semi-convergence
Définition — Convergence absolue
La série \(\sum u_n\) converge absolument si la série \(\sum |u_n|\) converge.
Théorème — La convergence absolue implique la convergence ⋆
Si \(\sum u_n\) converge absolument, alors \(\sum u_n\) converge. De plus :
\(\left|\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\)
Démonstration ⋆. Pour tout \(n\), posons \(v_n = |u_n| + u_n\). On a \(0 \leq v_n \leq 2|u_n|\). Comme \(\sum |u_n|\) converge, la série \(\sum 2|u_n|\) converge aussi, et par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum v_n\) converge. Or \(u_n = v_n – |u_n|\), donc par linéarité \(\sum u_n = \sum v_n – \sum |u_n|\) converge. ■
Définition. Une série convergente qui n’est pas absolument convergente est dite semi-convergente. L’exemple emblématique est la série harmonique alternée \(\sum (-1)^{n+1}/n\) : elle converge par le théorème de Leibniz (cf. section IV), mais \(\sum 1/n\) diverge. Le comportement des séries semi-convergentes est plus délicat : le théorème de réarrangement de Riemann montre qu’en permutant les termes, on peut obtenir n’importe quelle somme (ou même faire diverger la série).
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Définitions, théorèmes, critères de convergence et les 10 réflexes méthodiques — format imprimable pour tes révisions.
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III. Séries à termes positifs — critères de convergence
Les séries à termes positifs constituent le cadre le plus maniable de la théorie. La suite des sommes partielles est croissante, ce qui réduit la convergence à une question de majoration. La quasi-totalité des critères de ce chapitre s’appliquent dans ce cadre.
A. Principe fondamental
Théorème fondamental des séries à termes positifs ⋆
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs (\(u_n \geq 0\) pour tout \(n\)). La suite \((S_n)\) est croissante. Donc :
\(\sum u_n \text{ converge} \iff (S_n) \text{ est majorée}\)
Démonstration ⋆. \(S_{n+1} – S_n = u_{n+1} \geq 0\), donc \((S_n)\) est croissante. Toute suite croissante de réels converge si et seulement si elle est majorée (théorème de la limite monotone). ■
Ce théorème est la clé de voûte de tous les critères qui suivent : pour montrer la convergence, il suffit de majorer \(S_n\) ; pour montrer la divergence, il suffit de montrer que \(S_n \to +\infty\).
B. Critères de comparaison et d’équivalence
Théorème — Comparaison directe ⋆
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes positifs telles que \(u_n \leq v_n\) à partir d’un certain rang. Alors :
- si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge ;
- si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.
Démonstration ⋆. Si \(u_n \leq v_n\) pour \(n \geq N\), alors pour tout \(n \geq N\) :
\(S_n^{(u)} = S_N^{(u)} + \displaystyle\sum_{k=N+1}^{n} u_k \leq S_N^{(u)} + \displaystyle\sum_{k=N+1}^{n} v_k \leq S_N^{(u)} + \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} v_k\)La suite \((S_n^{(u)})\) est croissante et majorée : elle converge. Le second point est la contraposée. ■
Ce théorème s’étend aux notations de Landau : si \(u_n = O(v_n)\) avec \(v_n \geq 0\) et \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum |u_n|\) converge (donc \(\sum u_n\) converge absolument). De même pour \(u_n = o(v_n)\).
Théorème — Critère d’équivalence ⋆
Si \(u_n \geq 0\), \(v_n \geq 0\) et \(u_n \sim v_n\) quand \(n \to +\infty\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature (convergent ou divergent ensemble).
Démonstration. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(u_n / v_n \to 1\). Pour \(\varepsilon = 1/2\), il existe \(N\) tel que pour \(n \geq N\) : \(\displaystyle\frac{1}{2}\,v_n \leq u_n \leq \displaystyle\frac{3}{2}\,v_n\). La double comparaison conclut dans les deux sens. ■
En pratique : face à un terme général « compliqué », cherche d’abord un équivalent simple quand \(n \to +\infty\), puis compare à une série de Riemann. Exemple : \(\displaystyle\frac{1}{n^2 + 3n + 1} \sim \displaystyle\frac{1}{n^2}\). Comme \(\sum 1/n^2\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)), la série converge par équivalence.
Exemple. Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{\sin(1/n)}{n}\).
Quand \(n \to +\infty\), \(\sin(1/n) \sim 1/n\), donc \(\displaystyle\frac{\sin(1/n)}{n} \sim \displaystyle\frac{1}{n^2}\). Comme \(\sum 1/n^2\) converge, la série \(\sum \sin(1/n)/n\) converge par critère d’équivalence.
C. Séries de Riemann — la référence universelle
Théorème — Séries de Riemann ⋆
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\).
Ce résultat est l’outil de comparaison le plus utilisé en pratique. Pour identifier la nature d’une série à termes positifs, on cherche presque toujours à comparer le terme général à \(1/n^\alpha\) pour un \(\alpha\) bien choisi. La démonstration complète et les extensions (séries de Bertrand, équivalent du reste) sont développées dans le cours Séries de Riemann et de Bertrand.
À retenir : si \(u_n \sim C/n^\alpha\) avec \(C \neq 0\), la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(\alpha\) > \(1\) (par équivalence). C’est la méthode la plus fréquente aux concours.
D. Règle de d’Alembert
Théorème — Règle de d’Alembert ⋆
Soit \(\sum u_n\) une série à termes strictement positifs. Si \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell\), alors :
- si \(\ell\) < \(1\) : la série converge ;
- si \(\ell\) > \(1\) : la série diverge ;
- si \(\ell = 1\) : on ne peut pas conclure.
Démonstration ⋆. Supposons \(\ell\) < \(1\). Choisissons \(r\) tel que \(\ell\) < \(r\) < \(1\). Par définition de la limite, il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N\) :
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq r\)Par récurrence immédiate : pour tout \(n \geq N\), \(u_n \leq u_N \cdot r^{n-N} = \displaystyle\frac{u_N}{r^N} \cdot r^n\). Comme \(r\) < \(1\), la série géométrique \(\sum r^n\) converge, et par comparaison \(\sum u_n\) converge.
Si \(\ell\) > \(1\), on choisit \(r\) avec \(1\) < \(r\) < \(\ell\) et on montre de même que \(u_n \geq u_N \cdot r^{n-N} \to +\infty\). Donc \(u_n \not\to 0\) et la série diverge par la condition nécessaire. ■
Exemple 1. Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} \displaystyle\frac{n^3}{3^n}\).
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{3^n}{n^3} = \displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{n+1}{n}\right)^3 \to \displaystyle\frac{1}{3}\) < \(1\). La série converge.
Exemple 2. Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n!}{n^n}\).
\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} = \displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \displaystyle\frac{n^n}{n!} = \displaystyle\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\displaystyle\frac{n}{n+1}\right)^n = \displaystyle\frac{1}{\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n}\right)^n} \to \displaystyle\frac{1}{e}\) < \(1\). La série converge.
Le cas \(\ell = 1\) est inconclusif. Les séries \(\sum 1/n\) (diverge) et \(\sum 1/n^2\) (converge) vérifient toutes deux \(u_{n+1}/u_n \to 1\). Quand d’Alembert « échoue » avec \(\ell = 1\), il faut utiliser un autre critère (comparaison, Riemann, intégral…). Consulte la fiche méthode sur les critères pour savoir lequel choisir.
E. Règle de Cauchy (racine n-ième)
Théorème — Règle de Cauchy ⋆
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. Si \((u_n)^{1/n} \to \ell\), alors :
- si \(\ell\) < \(1\) : la série converge ;
- si \(\ell\) > \(1\) : la série diverge ;
- si \(\ell = 1\) : on ne peut pas conclure.
Démonstration ⋆. Supposons \(\ell\) < \(1\) et fixons \(r\) avec \(\ell\) < \(r\) < \(1\). Pour \(n \geq N\), \((u_n)^{1/n} \leq r\), soit \(u_n \leq r^n\). Par comparaison à la série géométrique convergente \(\sum r^n\), la série \(\sum u_n\) converge. Le cas \(\ell\) > \(1\) est analogue : \(u_n \geq r^n \to +\infty\), la CN échoue. ■
D’Alembert ou Cauchy ? Le critère de Cauchy est théoriquement plus fin que celui de d’Alembert : si d’Alembert conclut, Cauchy conclut aussi (mais pas toujours la réciproque). En pratique, utilise d’Alembert quand le rapport \(u_{n+1}/u_n\) se simplifie bien (factorielles, puissances), et Cauchy quand le terme général a la forme \((v_n)^n\).
Exemple. Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \left(\displaystyle\frac{n}{2n+1}\right)^n\).
\((u_n)^{1/n} = \displaystyle\frac{n}{2n+1} \to \displaystyle\frac{1}{2}\) < \(1\). La série converge par la règle de Cauchy.
F. Critère intégral
Théorème — Comparaison série-intégrale ⋆
Soit \(f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}^+\) une fonction continue, positive et décroissante. Alors la série \(\sum_{n \geq 1} f(n)\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} f(t)\,dt\) sont de même nature. Plus précisément, pour tout \(N \geq 1\) :
\(\displaystyle\int_1^{N+1} f(t)\,dt \leq \displaystyle\sum_{n=1}^{N} f(n) \leq f(1) + \displaystyle\int_1^{N} f(t)\,dt\)
Démonstration ⋆. Comme \(f\) est décroissante, pour tout entier \(k \geq 1\) et tout \(t \in [k, k+1]\) :
\(f(k+1) \leq f(t) \leq f(k)\)En intégrant sur \([k, k+1]\) :
\(f(k+1) \leq \displaystyle\int_k^{k+1} f(t)\,dt \leq f(k)\)En sommant l’inégalité de droite de \(k = 1\) à \(k = N\) : \(\displaystyle\int_1^{N+1} f(t)\,dt \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{N} f(k)\). En sommant l’inégalité de gauche de \(k = 1\) à \(k = N\) : \(\displaystyle\sum_{k=2}^{N+1} f(k) \leq \displaystyle\int_1^{N+1} f(t)\,dt\), soit \(\displaystyle\sum_{k=1}^{N} f(k) \leq f(1) + \displaystyle\int_1^{N} f(t)\,dt\). L’encadrement montre que la somme partielle tend vers \(+\infty\) si et seulement si l’intégrale impropre diverge. ■
Exemple. Nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n \ln n}\).
La fonction \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x \ln x}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\). On a \(\displaystyle\int_2^{N} \displaystyle\frac{dt}{t \ln t} = [\ln(\ln t)]_2^N = \ln(\ln N) – \ln(\ln 2) \to +\infty\). L’intégrale diverge, donc la série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n \ln n}\) diverge.
IV. Séries alternées et théorème de Leibniz
Les critères de la section précédente s’appliquent aux séries à termes positifs. Pour les séries dont les termes changent de signe de façon régulière, le théorème de Leibniz fournit un critère de convergence puissant et une majoration du reste.
A. Critère spécial des séries alternées
Théorème de Leibniz (séries alternées) ⋆
Soit \((a_n)_{n \geq 0}\) une suite réelle vérifiant :
- \(a_n \geq 0\) pour tout \(n\) ;
- \((a_n)\) est décroissante ;
- \(a_n \to 0\).
Alors la série alternée \(\sum_{n \geq 0} (-1)^n a_n\) converge.
Démonstration ⋆. Posons \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k\). On étudie séparément les sous-suites de rang pair et impair.
Étape 1 : \((S_{2n})\) est décroissante. On a \(S_{2n+2} – S_{2n} = -a_{2n+1} + a_{2n+2} \leq 0\) car \((a_n)\) décroissante.
Étape 2 : \((S_{2n+1})\) est croissante. On a \(S_{2n+3} – S_{2n+1} = a_{2n+2} – a_{2n+3} \geq 0\).
Étape 3 : bornes. En regroupant par paires :
- \(S_{2n} = a_0 – (a_1 – a_2) – (a_3 – a_4) – \cdots – (a_{2n-1} – a_{2n})\). Chaque parenthèse est positive, donc \(S_{2n} \leq a_0\).
- \(S_{2n} = (a_0 – a_1) + (a_2 – a_3) + \cdots + a_{2n} \geq 0\).
Ainsi \((S_{2n})\) est décroissante et minorée par 0 : elle converge vers une limite \(S\). De même, \((S_{2n+1})\) est croissante et majorée par \(a_0\) : elle converge. Enfin, \(S_{2n+1} = S_{2n} – a_{2n+1} \to S – 0 = S\). Les deux sous-suites convergent vers la même limite, donc \(S_n \to S\). ■
Les trois hypothèses sont indispensables. Oublier de vérifier la décroissance ou la convergence vers 0 est une erreur fréquente en DS. Par exemple, la série \(\sum (-1)^n\) est alternée mais \(a_n = 1 \not\to 0\) : elle diverge. Rédige toujours les trois vérifications explicitement.
B. Encadrement du reste
Propriété — Encadrement du reste d’une série alternée ⋆
Sous les hypothèses du théorème de Leibniz, le reste \(R_n = S – S_n\) vérifie :
\(|R_n| \leq a_{n+1}\)
De plus, \(R_n\) est du signe du premier terme négligé \((-1)^{n+1} a_{n+1}\).
Démonstration. La démonstration du théorème de Leibniz montre que \(S\) est encadrée entre deux sommes partielles consécutives \(S_n\) et \(S_{n+1}\). Donc \(|S – S_n| \leq |S_{n+1} – S_n| = a_{n+1}\). ■
Application. La série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\). Pour approcher \(\ln 2\) à \(10^{-2}\) près, il suffit de prendre \(N\) tel que \(\displaystyle\frac{1}{N+1}\) < \(10^{-2}\), soit \(N \geq 99\). Il faut sommer 99 termes — c’est lent, mais l’encadrement est garanti.
V. Les 10 réflexes pour étudier la nature d’une série
Face à une série \(\sum u_n\) en DS ou en concours, voici la démarche systématique à suivre. Ces 10 réflexes, dans cet ordre, couvrent la quasi-totalité des situations rencontrées en MPSI, MP, PC et PSI.
| # | Réflexe | Quand l’utiliser | Conclusion rapide |
|---|---|---|---|
| 1 | CN : \(u_n \to 0\) ? | Toujours, en premier | Si \(u_n \not\to 0\) : DV grossière |
| 2 | Série télescopique ? | \(u_n = f(n+1) – f(n)\) | CV \(\Leftrightarrow \lim f(n)\) finie ; somme explicite |
| 3 | Série géométrique ? | \(u_n = a\,q^n\) (ou assimilable) | CV \(\Leftrightarrow |q|\) < \(1\) |
| 4 | Comparaison à Riemann | \(u_n \sim C/n^\alpha\) (termes positifs) | CV \(\Leftrightarrow \alpha\) > \(1\) |
| 5 | Équivalent ou domination | Terme général compliqué, termes positifs | Même nature que la série de référence |
| 6 | Règle de d’Alembert | \(n!\), \(a^n\) dans \(u_n\) | \(\ell\) < \(1\) → CV ; \(\ell\) > \(1\) → DV |
| 7 | Règle de Cauchy | \(u_n = (v_n)^n\) | Idem d’Alembert (plus fin en théorie) |
| 8 | Critère intégral | \(u_n = f(n)\), \(f\) monotone | Même nature que \(\int f\) |
| 9 | Théorème de Leibniz | Série alternée \((-1)^n a_n\) | CV si \(a_n \geq 0\), \(a_n \downarrow 0\) |
| 10 | DL asymptotique | Aucun critère direct ne s’applique | Développer \(u_n\) en puissances de \(1/n\) puis comparer |
Stratégie générale. On progresse du haut vers le bas : les premiers réflexes sont les plus rapides et les plus décisifs. Le réflexe 10 (développement asymptotique) est le « dernier recours » mais aussi le plus puissant — il résout presque toujours les cas où d’Alembert et Cauchy échouent avec \(\ell = 1\). Pour un arbre de décision détaillé et des exercices d’entraînement sur chaque critère, consulte la page Critères de convergence d’une série numérique.
VI. Exercices corrigés
Six exercices progressifs couvrant les techniques essentielles du cours. Résous chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 (★ — Incontournable)
Étudier la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3}\).
Voir la correction
On calcule la limite du terme général :
\(u_n = \displaystyle\frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3} = \displaystyle\frac{1 + 1/n^2}{2 + 3/n^2} \to \displaystyle\frac{1}{2} \neq 0\)La condition nécessaire de convergence n’est pas vérifiée. La série diverge grossièrement (réflexe 1).
Exercice 2 (★★)
Calculer la somme de la série \(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2 – 1}\).
Voir la correction
Décomposition en éléments simples : \(\displaystyle\frac{1}{n^2-1} = \displaystyle\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{n-1} – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
La somme partielle est télescopique :
\(S_N = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=2}^{N}\left(\displaystyle\frac{1}{n-1} – \displaystyle\frac{1}{n+1}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{2} – \displaystyle\frac{1}{N} – \displaystyle\frac{1}{N+1}\right)\)Quand \(N \to +\infty\) : \(S_N \to \displaystyle\frac{1}{2}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{3}{4}\). La série converge et sa somme vaut \(\displaystyle\frac{3}{4}\).
Exercice 3 (★★)
Étudier la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{\ln n}{n^2}\).
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On cherche un équivalent ou une domination. Pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), \(\ln n = o(n^\varepsilon)\). Avec \(\varepsilon = 1/2\) :
\(\displaystyle\frac{\ln n}{n^2} = o\left(\displaystyle\frac{n^{1/2}}{n^2}\right) = o\left(\displaystyle\frac{1}{n^{3/2}}\right)\)La série de Riemann \(\sum 1/n^{3/2}\) converge (\(\alpha = 3/2\) > \(1\)). Par comparaison (domination par une série convergente à termes positifs), la série \(\sum \ln n / n^2\) converge (réflexes 4 et 5).
Exercice 4 (★★★)
Étudier la convergence et la convergence absolue de \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \displaystyle\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
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Convergence absolue. La série des valeurs absolues est \(\sum \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} = \sum \displaystyle\frac{1}{n^{1/2}}\). C’est une série de Riemann avec \(\alpha = 1/2\) < \(1\) : elle diverge. Il n’y a pas de convergence absolue.
Convergence. Posons \(a_n = 1/\sqrt{n}\). Vérifions les trois hypothèses de Leibniz :
- \(a_n = 1/\sqrt{n} \geq 0\) ✓
- \((a_n)\) décroissante ✓ (car \(\sqrt{n}\) croissante)
- \(a_n = 1/\sqrt{n} \to 0\) ✓
Par le théorème de Leibniz, la série converge. Conclusion : la série est semi-convergente.
Exercice 5 (★★★)
Étudier la nature de \(\displaystyle\sum_{n \geq 2} \displaystyle\frac{1}{n(\ln n)^2}\).
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On applique le critère intégral (réflexe 8). La fonction \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x(\ln x)^2}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\).
Avec le changement de variable \(u = \ln x\) (donc \(du = dx/x\)) :
\(\displaystyle\int_2^{+\infty} \displaystyle\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \displaystyle\int_{\ln 2}^{+\infty} \displaystyle\frac{du}{u^2} = \left[-\displaystyle\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{+\infty} = \displaystyle\frac{1}{\ln 2}\)L’intégrale converge, donc la série converge par le critère intégral.
Remarque : noter que \(\sum 1/(n \ln n)\) diverge (cf. exemple de la section III.F) mais \(\sum 1/(n (\ln n)^2)\) converge. L’exposant sur le logarithme est décisif — c’est un cas de série de Bertrand.
Exercice 6 (★★★★ — Type Mines-Ponts) 🟠 MP
Soit \((a_n)_{n \geq 1}\) une suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) converge. Montrer que \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\sqrt{a_n}}{n}\) converge.
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On utilise l’inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels \(x, y \geq 0\),
\(\sqrt{xy} \leq \displaystyle\frac{x + y}{2}\)On l’applique avec \(x = a_n\) et \(y = \displaystyle\frac{1}{n^2}\) :
\(\displaystyle\frac{\sqrt{a_n}}{n} = \sqrt{a_n \cdot \displaystyle\frac{1}{n^2}} \leq \displaystyle\frac{1}{2}\left(a_n + \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\)Par hypothèse, \(\sum a_n\) converge. La série \(\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)). Par linéarité, \(\sum \displaystyle\frac{1}{2}\left(a_n + \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\) converge. Comme \(\displaystyle\frac{\sqrt{a_n}}{n} \geq 0\), on conclut par comparaison :
\(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\sqrt{a_n}}{n}\) converge. ■
Commentaire concours : cet exercice est un grand classique (Mines-Ponts, Centrale). La clé est de « créer » le produit \(a_n \cdot 1/n^2\) pour appliquer l’inégalité AM-GM. C’est un réflexe à automatiser.
Pour t’entraîner davantage, retrouve 15+ exercices supplémentaires de difficulté croissante (CCP, Centrale, Mines, X-ENS) sur la page Exercices corrigés : séries numériques.
VII. Erreurs fréquentes et pièges de concours
Les erreurs suivantes sont systématiquement sanctionnées par les correcteurs. Le tableau confronte la rédaction fautive à la version correcte.
| ❌ Ce que l’étudiant écrit | ✅ Ce qu’il faut écrire | Pourquoi |
|---|---|---|
| « \(u_n \to 0\) donc \(\sum u_n\) converge » | « \(u_n \to 0\) : CN vérifiée. Il faut un critère supplémentaire. » | \(1/n \to 0\) mais \(\sum 1/n\) diverge. |
| « \(u_{n+1}/u_n \to 1\) donc la série converge » | « D’Alembert inconclusif pour \(\ell = 1\). On utilise un autre critère. » | \(\sum 1/n\) (DV) et \(\sum 1/n^2\) (CV) ont \(\ell = 1\). |
| « Série alternée, donc convergente » | « \(a_n \geq 0\) ✓, \((a_n)\) décroissante ✓, \(a_n \to 0\) ✓ : par Leibniz, CV. » | Les 3 hypothèses doivent être vérifiées. \(\sum (-1)^n\) est alternée et diverge. |
| « \(\sum 1/(n^2+1)\) CV car Riemann \(\alpha = 2\) » | « \(1/(n^2+1) \sim 1/n^2\). Riemann \(\alpha = 2\) > \(1\) : CV par équivalence. » | Riemann = exactement \(1/n^\alpha\). Ici il faut d’abord un équivalent. |
| « \(\sum u_n = S\). Calculons \(S\)… » (sans preuve de CV) | « Montrons d’abord que \(\sum u_n\) converge. […] Notons \(S\) sa somme. » | Toujours prouver la convergence avant de calculer la somme. |
| « Par CA, \(\sum (-1)^n/n^2\) converge » (sans justification) | « \(\sum 1/n^2\) CV (Riemann, \(\alpha = 2\) > \(1\)). Donc \(\sum (-1)^n/n^2\) CA, donc CV. » | Toujours expliciter pourquoi \(\sum |u_n|\) converge. |
VIII. Questions fréquentes
C'est quoi une série numérique ?
Une série numérique est la somme formelle \(\sum u_n\) des termes d’une suite \((u_n)\) de nombres réels ou complexes. On l’étudie via la suite de ses sommes partielles \(S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\). Si \((S_n)\) admet une limite finie \(S\), la série converge et \(S\) est appelée somme de la série.
Quelle est la différence entre une suite et une série ?
Une suite \((u_n)\) est une liste de nombres indexés par \(n\). Une série \(\sum u_n\) est la suite des sommes cumulées \(S_n = u_0 + \cdots + u_n\) de cette suite. La convergence d’une suite (\(u_n \to \ell\)) et la convergence de la série associée (\(S_n \to S\)) sont deux notions distinctes. Exemple classique : \(1/n \to 0\) (suite convergente) mais \(\sum 1/n = +\infty\) (série divergente).
Qu'est-ce qu'une série numérique à termes positifs ?
C’est une série \(\sum u_n\) dont tous les termes vérifient \(u_n \geq 0\). La suite des sommes partielles est alors croissante, et la série converge si et seulement si les sommes partielles sont majorées. Ce cadre autorise l’utilisation des critères de comparaison, d’Alembert, Cauchy et intégral, qui constituent l’essentiel de la boîte à outils de MPSI et MP.
Convergence absolue et convergence : quelle différence ?
La série \(\sum u_n\) converge absolument si \(\sum |u_n|\) converge. La convergence absolue implique toujours la convergence, mais la réciproque est fausse : \(\sum (-1)^n/n\) converge (Leibniz) sans converger absolument (\(\sum 1/n\) diverge). Une telle série est dite semi-convergente. En pratique, la convergence absolue est plus commode car elle ramène l’étude à une série à termes positifs.
Comment choisir le bon critère de convergence ?
Suis les 10 réflexes dans l’ordre : (1) CN, (2) télescopique, (3) géométrique, (4) comparaison à Riemann, (5) équivalent, (6) d’Alembert, (7) Cauchy, (8) intégral, (9) Leibniz, (10) DL asymptotique. Pour un arbre de décision détaillé avec exemples d’application pour chaque critère, consulte notre fiche méthode sur les critères de convergence.
Série numérique et série de fonctions : quelle différence ?
Une série numérique \(\sum u_n\) est une somme de nombres réels ou complexes : le résultat est un nombre (ou l’infini). Une série de fonctions \(\sum f_n(x)\) est une somme de fonctions : la convergence peut dépendre du point \(x\), et la somme est elle-même une fonction. Les séries entières \(\sum a_n x^n\) et les séries de Fourier sont des cas particuliers importants de séries de fonctions.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les fondements des séries numériques : définitions, propriétés, critères de convergence et méthode systématique. Pour approfondir chaque aspect :
- Critères de convergence d’une série : fiche méthode avec arbre de décision — le guide pratique pour choisir le bon critère en DS et concours
- Séries de Riemann et de Bertrand — triple démonstration, extensions et applications
- Exercices corrigés : séries numériques — 15+ exercices type concours (CCP, Centrale, Mines, X-ENS)
- Séries entières : cours complet — le prolongement naturel des séries numériques au cadre fonctionnel
- Séries de Fourier : cours complet — décomposition de fonctions périodiques
- Séries de fonctions : cours complet — convergence simple, uniforme et normale
- Séries en mathématiques : vue d’ensemble — le pilier du cocon, avec la carte de toutes les notions
Références bibliographiques :
- X. Gourdon, Les maths en tête — Analyse, Ellipses
- F. Liret, D. Martinais, Analyse MPSI, Dunod
- C. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Oraux X-ENS — Analyse 1, Cassini
