Exercices de probabilités 3e corrigés (niveau Brevet)

Énoncé. On lance une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir “pile” ?

Correction. Les issues possibles sont : pile ou face, soit \(2\) issues équiprobables. Les cas favorables (“pile”) : \(1\). Donc

\(P(\text{pile})=\frac{1}{2}\).

Énoncé. On lance un dé équilibré. Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair.

Correction. Issues possibles : \(6\). Les nombres pairs sont \(\{2,4,6\}\), soit \(3\) cas favorables. Donc

\(P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

Énoncé. Une roue est divisée en \(8\) secteurs égaux numérotés de \(1\) à \(8\). Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de \(3\) ?

Correction. Multiples de \(3\) entre \(1\) et \(8\) : \(3\) et \(6\), donc \(2\) cas favorables sur \(8\).

\(P(\text{multiple de }3)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\).

Énoncé. Un sac contient \(5\) boules rouges et \(3\) boules bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Correction. Cas possibles : \(5+3=8\). Cas favorables (rouge) : \(5\).

\(P(\text{rouge})=\frac{5}{8}\).

Énoncé. On lance un dé équilibré. Calcule la probabilité de ne pas obtenir \(6\).

Correction. L’événement contraire de “obtenir \(6\)” est “ne pas obtenir \(6\)”.

\(P(\text{obtenir }6)=\frac{1}{6}\), donc \(P(\text{ne pas obtenir }6)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).

Énoncé. On choisit au hasard une lettre dans le mot “MATHS”. Quelle est la probabilité de ne pas tomber sur la lettre “A” ?

Correction. Il y a \(5\) lettres : M, A, T, H, S (toutes équiprobables si on tire une position au hasard). La probabilité de tirer “A” est \(\frac{1}{5}\). Donc

\(P(\text{pas A})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\).

Énoncé. On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir \(1\) ou \(6\) ?

Correction. Les événements “obtenir \(1\)” et “obtenir \(6\)” sont incompatibles (on ne peut pas faire \(1\) et \(6\) en même temps).

\(P(1 \text{ ou } 6)=P(1)+P(6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Énoncé. Un sac contient \(7\) boules rouges, \(2\) boules bleues et \(1\) boule verte. On tire une boule. Quelle est la probabilité d’obtenir rouge ou bleu ?

Correction. Rouge et bleu sont incompatibles sur un seul tirage.

\(P(\text{rouge ou bleu})=\frac{7}{10}+\frac{2}{10}=\frac{9}{10}\).

Énoncé. On lance une pièce équilibrée deux fois. Calcule la probabilité d’obtenir au moins une fois pile.

Correction. Le plus simple est d’utiliser le contraire : “aucun pile”, c’est-à-dire “face et face”.

\(P(\text{face})=\frac{1}{2}\), donc \(P(\text{face puis face})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

Donc \(P(\text{au moins un pile})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

Énoncé. On lance un dé équilibré deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un \(6\) ?

Correction. Utilisons le contraire : “aucun \(6\)”.

\(P(\text{pas }6)=\frac{5}{6}\).

Donc \(P(\text{aucun }6)=\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\).

Donc \(P(\text{au moins un }6)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\).

Énoncé. On choisit au hasard un nombre entier entre \(1\) et \(20\). Quelle est la probabilité qu’il soit multiple de \(2\) ou multiple de \(5\) ?

Correction. Il y a \(20\) cas possibles.

Multiples de \(2\) : \(10\) nombres (2,4,…,20).

Multiples de \(5\) : \(4\) nombres (5,10,15,20).

Mais les multiples de \(10\) (10 et 20) sont comptés deux fois : il y en a \(2\).

Nombre de cas favorables = \(10+4-2=12\). Donc

\(P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).

Énoncé. On tire une carte au hasard dans un jeu de \(32\) cartes. Calcule la probabilité d’obtenir un roi ou un carreau.

Correction. Cas possibles : \(32\).

• Rois : \(4\) cartes.
• Carreaux : \(8\) cartes.
• Le roi de carreau est compté dans les deux : c’est \(1\) carte.

Cas favorables = \(4+8-1=11\). Donc

\(P=\frac{11}{32}\).

Énoncé. Un sac contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.

Correction. Premier tirage : \(P(R)=\frac{3}{5}\).

Sans remise, il reste \(2\) rouges sur \(4\) boules : \(P(R\ \text{au 2e})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

Donc \(P(RR)=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{10}\).

Énoncé. Même sac : \(3\) rouges et \(2\) bleues. On tire deux boules avec remise. Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.

Correction. Avec remise, la situation est la même à chaque tirage : \(P(R)=\frac{3}{5}\).

Donc \(P(RR)=\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\).

Énoncé. On choisit au hasard une boîte (boîte \(A\) ou boîte \(B\)) : \(P(A)=\frac{1}{2}\) et \(P(B)=\frac{1}{2}\).

La boîte \(A\) contient \(3\) boules rouges et \(1\) bleue. La boîte \(B\) contient \(1\) rouge et \(3\) bleues. On tire ensuite une boule. Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.

Correction (avec arbre).

• Si on est dans \(A\) : \(P(R\mid A)=\frac{3}{4}\).
• Si on est dans \(B\) : \(P(R\mid B)=\frac{1}{4}\).

Deux chemins donnent “rouge” :

• \(A\) puis rouge : \(\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\)
• \(B\) puis rouge : \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)

Donc \(P(\text{rouge})=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\).

Pour la méthode détaillée des arbres : arbre de probabilité.

Énoncé. Dans une armoire, il y a \(2\) t-shirts (un blanc, un noir) et \(3\) pantalons (bleu, gris, noir). On choisit un t-shirt puis un pantalon au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir une tenue entièrement noire ?

Correction. Les choix sont indépendants : t-shirt noir avec probabilité \(\frac{1}{2}\) et pantalon noir avec probabilité \(\frac{1}{3}\).

Donc \(P(\text{tout noir})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

Énoncé. On lance un dé.

• Si on obtient un nombre pair, on lance une pièce : on gagne si on obtient pile.
• Si on obtient un nombre impair, on tire une boule dans un sac qui contient \(1\) rouge et \(2\) bleues : on gagne si on tire rouge.

Quelle est la probabilité de gagner ?

Correction.

• \(P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), puis \(P(\text{pile})=\frac{1}{2}\) donc chemin “pair puis pile” : \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
• \(P(\text{impair})=\frac{1}{2}\), puis \(P(\text{rouge})=\frac{1}{3}\) donc chemin “impair puis rouge” : \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

Ces deux chemins correspondent à “gagner”, donc on additionne :

\(P(\text{gagner})=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\).

Énoncé. Un sac contient \(2\) boules rouges et \(1\) boule bleue. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité d’obtenir exactement une boule rouge.

Correction. “Exactement une rouge” signifie : rouge puis bleu ou bleu puis rouge.

• Rouge puis bleu : \(\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
• Bleu puis rouge : \(\frac{1}{3}\times\frac{2}{2}=\frac{1}{3}\).

On additionne : \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\).

Énoncé. Dans un collège, on a demandé à des élèves de 3e leur activité préférée pour un projet. Résultats :

On choisit un élève au hasard.

1. Calcule la probabilité qu’il préfère la musique. (2 pts)
2. Calcule la probabilité qu’il préfère le sport ou les arts plastiques. (3 pts)

Correction.

1. \(P(\text{musique})=\frac{36}{108}=\frac{1}{3}\).
2. Sport et arts plastiques sont incompatibles : \(P=\frac{48}{108}+\frac{24}{108}=\frac{72}{108}=\frac{2}{3}\).

Énoncé. Une élève choisit au hasard une boîte :

• Boîte \(A\) (probabilité \(\frac{1}{2}\)) : \(6\) bonbons, dont \(4\) à la fraise et \(2\) au citron.
• Boîte \(B\) (probabilité \(\frac{1}{2}\)) : \(6\) bonbons, dont \(1\) à la fraise et \(5\) au citron.

Elle tire ensuite un bonbon au hasard.

1. Calcule la probabilité de tirer un bonbon à la fraise si la boîte choisie est \(A\). (2 pts)
2. Calcule la probabilité de tirer un bonbon à la fraise si la boîte choisie est \(B\). (2 pts)
3. Calcule la probabilité de tirer un bonbon à la fraise. (2 pts)

Correction.

1. \(P(F\mid A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
2. \(P(F\mid B)=\frac{1}{6}\)
3. Deux chemins “fraise” : \(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\). Donc

\(P(F)=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\).

Énoncé. Un élève a simulé \(200\) lancers d’un dé. Il a obtenu \(38\) fois un \(6\).

1. Calcule la fréquence d’obtenir \(6\) sur cette simulation. (2 pts)
2. Explique pourquoi cette fréquence peut être différente de \(\frac{1}{6}\). (2 pts)

Correction.

1. Fréquence = \(\frac{38}{200}=\frac{19}{100}\) (soit \(0{,}19\)).
2. Sur un nombre d’essais limité, le hasard fait varier les résultats. Plus on augmente le nombre d’essais, plus la fréquence tend à se rapprocher de la probabilité théorique (ici \(\frac{1}{6}\)).

1. On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de \(3\) ?
2. Dans un sac : \(4\) rouges, \(1\) bleue. Probabilité de ne pas tirer bleu ?
3. On tire une carte dans un jeu de \(32\). Probabilité d’obtenir un as ou un roi (un seul tirage) ?
4. On lance une pièce deux fois. Probabilité d’obtenir au moins une fois face ?
5. Sac : \(2\) rouges, \(2\) bleues. Deux tirages sans remise. Probabilité de tirer deux rouges ?
6. Boîte \(A\) choisie avec probabilité \(\frac{1}{2}\) : \(3\) rouges, \(1\) bleue. Boîte \(B\) choisie avec probabilité \(\frac{1}{2}\) : \(1\) rouge, \(3\) bleues. Probabilité de tirer rouge ?
7. Dans une classe, \(12\) élèves font espagnol, \(8\) font italien, sur \(25\) élèves. Probabilité de choisir un élève qui fait espagnol ou italien (suppose qu’on ne peut pas faire les deux) ?
8. Sur \(100\) lancers de dé, on a obtenu \(20\) fois le \(6\). Donne la fréquence et explique en une phrase.

1. Multiples de \(3\) : \(3\) et \(6\) donc \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
2. \(P(\text{pas bleu})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\).
3. As ou roi : incompatibles sur un tirage. \(\frac{4}{32}+\frac{4}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\).
4. Au moins une fois face = \(1-P(\text{pile et pile})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).
5. \(\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\).
6. \(\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\).
7. \(\frac{12}{25}+\frac{8}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}\).
8. Fréquence = \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\). Elle peut différer de \(\frac{1}{6}\) car le nombre d’essais est limité et le hasard fait varier les résultats.

En 3e : si c’est un tirage simple et équiprobable, tu comptes (favorables/possibles). Si l’énoncé contient “au moins”, “pas de”, “jamais”, pense au contraire. S’il y a deux étapes (boîte puis boule, deux tirages…), l’arbre est souvent le plus clair.

Liens utiles : calculer une probabilité et arbre de probabilité.

Quand \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ils ne peuvent pas arriver en même temps). Sur un seul lancer de dé : “faire \(1\)” ou “faire \(6\)” est incompatible, donc on additionne.

Sans remise, le contenu du sac change : le nombre total diminue, et le nombre de boules d’une couleur peut aussi diminuer. Donc la deuxième probabilité n’est pas la même que la première.

Vise la maîtrise des bases (équiprobabilité, complément, arbres simples) et une rédaction propre. Si tu réussis la plupart des exercices ★★ et au moins la moitié des ★★★, tu es très bien pour le DNB.