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Le sujet Maths 1 Mines-Ponts PSI 2026, d’une durée de 3 heures sans calculatrice, propose un problème unique et cohérent autour de la décomposition d’endomorphismes en sommes d’endomorphismes de carré nul. Structuré en cinq parties largement indépendantes (A à E), le sujet part de résultats classiques de réduction pour aboutir à un théorème profond : tout endomorphisme de trace nulle est somme de quatre endomorphismes de carré nul. La difficulté est progressive, avec des premières questions très abordables et une fin nettement plus exigeante, notamment la partie E qui synthétise l’ensemble des outils développés dans la partie D.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A (Q1-5) | Réduction des endomorphismes de carré nul | Accessible | Valeurs propres, noyau/image, forme canonique par blocs |
| Partie B (Q6-8) | Caractérisation de \(\Sigma_\infty\mathcal{C}(E)\) | Accessible | Trace, matrices élémentaires, combinaisons linéaires |
| Partie C (Q9-13) | Obstruction à la décomposition en 3 termes | Élevé | Théorème de Wang-Wu, multiplicité des valeurs propres, rang |
| Partie D (Q14-18) | Matrices de Hessenberg | Élevé | Polynôme caractéristique, similitude, récurrence sur les mineurs |
| Partie E (Q19-25) | Décomposition en somme de 4 termes de carré nul | Très élevé | Matrices presque triangulaires, décomposition, trigonalisation |
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Structure et thèmes du sujet
Le problème s’articule autour d’une question d’algèbre linéaire avancée : quels endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie sur \(\mathbb{C}\) peuvent s’écrire comme somme de \(p\) endomorphismes de carré nul ? Le sujet progresse méthodiquement en cinq étapes.
Partie A — Réduction des endomorphismes de carré nul (Q1-5)
Cette partie est un échauffement classique de réduction. On montre que 0 est la seule valeur propre possible d’un endomorphisme \(u\) vérifiant \(u^2 = 0\), que son rang \(r\) vérifie \(r \leq \displaystyle\frac{n}{2}\) (car \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Ker}(u)\)), puis on construit explicitement une base donnant une forme canonique par blocs. La question 5 raffine en montrant l’unicité de l’entier \(m\) dans cette représentation.
Partie B — Somme arbitraire d’endomorphismes de carré nul (Q6-8)
On établit ici que \(\Sigma_\infty\mathcal{C}(E) = \mathcal{H}(E)\), c’est-à-dire que l’ensemble des sommes (d’un nombre quelconque) d’endomorphismes de carré nul coïncide exactement avec l’ensemble des endomorphismes de trace nulle. La stratégie consiste à décomposer toute matrice de trace nulle en combinaison linéaire de matrices élémentaires \(E_{i,j}\) et \(F_{i,n}\), chacune étant de carré nul.
Partie C — Obstruction pour trois termes (Q9-13)
C’est la partie la plus conceptuelle. En s’appuyant sur le théorème de Wang et Wu (admis), on exhibe un endomorphisme de trace nulle qui appartient à \(\Sigma_\infty\mathcal{C}(E)\) mais pas à \(\Sigma_3\mathcal{C}(E)\). L’argument repose sur une étude fine des multiplicités des valeurs propres 1 et \(-1\) de \(u – v\) pour \(v \in \mathcal{C}(E)\), et sur l’impossibilité d’appliquer Wang-Wu à \(u – v\) quand la dimension du sous-espace propre de \(u\) associé à la valeur propre 1 est trop grande.
Partie D — Matrices de Hessenberg (Q14-18)
Cette partie technique construit les outils nécessaires à la partie E. On étudie les matrices de Hessenberg régulières : calcul du polynôme caractéristique via les mineurs, existence et unicité d’un vecteur de correction \(C\) pour prescrire un polynôme caractéristique donné, et critère de similitude à la matrice \(J_n\) (la matrice dont les seuls coefficients non nuls, tous égaux à 1, sont juste sous la diagonale).
Partie E — Le résultat principal : décomposition en 4 termes (Q19-25)
C’est le point culminant du sujet. On introduit la notion de matrice presque triangulaire supérieure, on montre que toute matrice hors de \(\mathrm{Vect}(I_n)\) est semblable à une telle matrice, puis on décompose cette dernière en somme de quatre matrices de carré nul. Le résultat final est : tout endomorphisme de trace nulle appartient à \(\Sigma_4\mathcal{C}(E)\).
Notions et chapitres testés
- Réduction des endomorphismes : valeurs propres, noyau et image, théorème du rang, formes canoniques par blocs, similitude, trigonalisation.
- Algèbre bilinéaire et trace : propriétés de la trace (linéarité, invariance par similitude, trace d’un nilpotent).
- Matrices élémentaires : matrices \(E_{i,j}\), calcul de carrés, décomposition d’une matrice de trace nulle comme combinaison linéaire.
- Rang et inégalités de rang : rang d’une somme, rang d’un produit, lien rang/dimension du noyau.
- Sous-espaces vectoriels stables : stabilité du noyau d’un polynôme en un endomorphisme.
- Polynôme caractéristique : calcul par développement selon une ligne/colonne, manipulation de mineurs, lien avec la trace et le déterminant.
- Similitude et changement de base : changements de base, conjugaison \(\varphi \circ u \circ \varphi^{-1}\), réduction à des formes normales.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se distingue par son unité thématique : un seul problème long à fil conducteur, ce qui est typique des épreuves Mines-Ponts en PSI. Le niveau global est intermédiaire à élevé, avec une distribution de difficulté bien pensée.
Les questions 1 à 8 (parties A et B) sont franchement accessibles pour un candidat ayant correctement révisé son cours de réduction et ses manipulations de matrices. Elles permettent de sécuriser un socle de points significatif. Les parties C et D sont d’un cran supérieur, demandant davantage d’initiative et de rigueur dans les raisonnements. La partie E, en revanche, est clairement sélective : elle requiert de combiner habilement les résultats des parties précédentes et de maîtriser la notion de similitude dans des contextes non standard.
Comparé aux sujets Mines-Ponts Maths 1 PSI des années 2022 à 2025, ce sujet est dans la moyenne haute en termes de difficulté. L’absence totale d’analyse (pas d’intégrales, pas de séries, pas d’équations différentielles) le rend atypique : c’est un sujet purement algébrique, ce qui peut dérouter les candidats plus à l’aise en analyse. La longueur est raisonnable — un bon candidat peut traiter les parties A, B, D et le début de E en 3 heures.
Pièges et points techniques délicats
Question 2 : L’inclusion \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Ker}(u)\) découle directement de \(u^2 = 0\), mais attention à bien utiliser le théorème du rang pour conclure \(r \leq \displaystyle\frac{n}{2}\). Beaucoup de candidats oublient de justifier proprement l’inclusion.
Question 5 : L’unicité de \(m\) est un piège classique. Il faut identifier \(m\) comme le rang de \(u\), qui est un invariant intrinsèque. L’erreur fréquente est de ne pas justifier que deux formes canoniques avec des \(m\) différents donnent des rangs différents.
Question 10 : Le développement de \((w – v)^2\) avec \(w = u – \mathrm{id}_E\) et \(v^2 = 0\) donne \(w^2 – wv – vw + v^2 = w^2 – wv – vw\). L’astuce est de majorer le rang de cette expression en utilisant la sous-additivité du rang et le fait que \(\mathrm{rg}(w) \leq n – d\) avec \(d > \displaystyle\frac{3n}{4}\). Le piège est d’oublier que \(\mathrm{rg}(v) \leq \displaystyle\frac{n}{2}\) (résultat de la partie A).
Question 14 : La représentation par blocs de \((xI_n – A)^{(k,n)}\) est la clé. Il faut bien identifier la structure : les \(k-1\) premières lignes et les \(n-1\) premières colonnes forment un bloc triangulaire inférieur (grâce à la structure de Hessenberg), ce qui permet une récurrence. Le coefficient dominant de \(P_k\) se déduit du produit des éléments sous-diagonaux \(a_{k+1,k} \cdots a_{n,n-1}\).
Question 17 : Pour montrer que \((u^k(e_1))_{0 \leq k \leq n-1}\) est une base, il faut écrire la matrice de passage de \((e_1, \ldots, e_n)\) vers cette famille. Comme \(A\) est de Hessenberg régulière, la matrice obtenue est triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux non nuls (produits des \(a_{i+1,i}\)), donc inversible.
Question 22 : C’est un point délicat. Si \(v\) n’est pas une homothétie, il faut trouver un plan stable contenant un vecteur non propre. En se plaçant dans une base de trigonalisation, si \(v\) a un bloc de Jordan de taille \(\geq 2\) ou deux valeurs propres distinctes, on peut toujours construire un tel plan. Le cas où \(v\) est diagonalisable avec une seule valeur propre est exclu puisque \(v\) serait alors une homothétie.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie A
Q1 : Si \(\lambda\) est valeur propre de \(u\), alors \(\lambda^2\) est valeur propre de \(u^2 = 0\), donc \(\lambda = 0\). La trace, somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité dans une triangulaire), est nulle.
Q2 : L’inclusion \(\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Ker}(u)\) et le théorème du rang donnent \(r \leq n – r\), soit \(r \leq \displaystyle\frac{n}{2}\).
Q3-4 : Compléter une base du noyau en une base de \(E\), puis réordonner pour obtenir la forme par blocs demandée. L’injectivité de \(u\) sur \(\mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_r)\) donne la liberté de \((u(e_1), \ldots, u(e_r))\).
Q5 : L’entier \(m\) est nécessairement le rang de \(u\), qui est un invariant de similitude. L’unicité est donc immédiate.
Partie B
Q6 : Parmi les \(E_{i,j}\), celles de carré nul sont exactement les \(E_{i,j}\) avec \(i \neq j\) (car \(E_{i,j}^2 = \delta_{j,i} E_{i,j}\)). Pour \(F_{i,j}^2\), développer en utilisant les produits des matrices élémentaires pour trouver \(F_{i,j}^2 = 0\).
Q7-8 : Toute matrice de trace nulle se décompose sur les \(E_{i,j}\) (hors diagonale) et les \(F_{i,n}\) (qui encodent les termes diagonaux sous la contrainte de trace nulle). Comme chacune de ces matrices est de carré nul, on conclut l’égalité \(\Sigma_\infty\mathcal{C}(E) = \mathcal{H}(E)\).
Partie C
Q9 : Construire une matrice diagonale avec la valeur propre 1 de multiplicité \(d > \displaystyle\frac{3n}{4}\) et ajuster les autres valeurs propres pour que la trace soit nulle. Cela est possible dès que \(n \geq 5\).
Q10-12 : L’argument central utilise les inégalités de rang pour borner \(\mathrm{rg}((w-v)^2)\), puis la stabilité de \(\mathrm{Ker}((w-v)^2)\) par \(w-v\) pour en déduire la multiplicité de la valeur propre 1. La conclusion de la Q12 utilise Wang-Wu : si \(u – v \in \Sigma_2\mathcal{C}(E)\), les multiplicités de 1 et \(-1\) dépasseraient \(\displaystyle\frac{n}{2}\), ce qui est contradictoire.
Q13 : Par l’absurde, si \(u = v_1 + v_2 + v_3\) avec \(v_i^2 = 0\), alors \(u – v_1 = v_2 + v_3 \in \Sigma_2\mathcal{C}(E)\), ce qui contredit Q12.
Partie D
Q14-15 : Récurrence sur \(k\) en développant le déterminant selon la dernière colonne. Le résultat de la Q15 exprime que la matrice \(E_C\) ajuste exactement les coefficients du polynôme caractéristique, la trace étant déjà fixée.
Q16 : Pour \(J_n + E_C\) de polynôme caractéristique \(X^n\), le calcul explicite donne \(C = 0\) (le vecteur nul de \(\mathbb{C}^{n-1}\)).
Q17-18 : La clé est que la matrice de Hessenberg régulière de polynôme caractéristique \(X^n\) est nécessairement nilpotente, et la famille \((u^k(e_1))\) forme une base car la matrice de passage est triangulaire inférieure inversible. La similitude à \(J_n\) s’ensuit.
Partie E
Q19-21 : On utilise les résultats de D pour réduire une matrice presque triangulaire supérieure de trace nulle en \(J_n\) (via un ajustement \(E_{C_0}\)), puis on décompose \(V + E_C\) en deux matrices de carré nul par une construction directe inspirée de la Q20.
Q22-24 : La trigonalisation fournit un plan stable adéquat, ce qui permet de mettre toute matrice non scalaire sous forme presque triangulaire supérieure par similitude.
Q25 : Synthèse : \(u\) de trace nulle est soit une homothétie (donc \(u = 0\), trivial), soit semblable à une matrice presque triangulaire supérieure. On la décompose en \(J_n\) (somme de 2 matrices de carré nul, Q20) plus \(E_{C_0}\) absorbée dans la décomposition (Q21), ce qui donne 4 termes au total.
Conseils pour les futurs candidats
Priorité n°1 : maîtrise parfaite de la réduction. Ce sujet confirme que la réduction des endomorphismes reste le chapitre roi en algèbre linéaire pour les concours Mines-Ponts PSI. Valeurs propres, sous-espaces propres, similitude, trigonalisation — chaque notion doit être parfaitement maîtrisée, avec des preuves que tu es capable de reconstruire.
Travaille les inégalités de rang. Les questions 10-12 de la partie C reposent entièrement sur la sous-additivité du rang et le lien rang/noyau. Ces inégalités sont souvent négligées en révision, mais elles apparaissent régulièrement dans les sujets d’algèbre.
- Entraîne-toi aux raisonnements par blocs : la manipulation de matrices par blocs est omniprésente dans ce sujet (parties A, D, E). Il faut savoir multiplier, calculer des déterminants et identifier des structures par blocs sans hésitation.
- Ne néglige pas les matrices de Hessenberg : bien que hors programme strict, elles apparaissent régulièrement dans les concours comme outil intermédiaire. Familiarise-toi avec le calcul de leurs déterminants par récurrence.
- Apprends à utiliser un théorème admis : la partie C utilise le théorème de Wang-Wu, admis pour l’occasion. Savoir exploiter un résultat admis sans le démontrer est une compétence à part entière en concours.
- Gestion du temps : les parties A et B valent un nombre de points important pour un temps d’investissement modeste. Les parties D et le début de E sont également rentables. La fin de la partie E (Q22-25) est réservée aux meilleurs candidats — n’y va que si le reste est solide.
