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L’épreuve de Maths « Méthodes de calcul et raisonnement » du concours Agro-Véto BCPST 2026 dure 2 heures, sans calculatrice. Le sujet est articulé autour de l’expérience de Luria-Delbrück et se décompose en cinq parties largement indépendantes, mêlant probabilités (loi de Poisson, inégalités de concentration, loi de Yule-Simon) et algèbre linéaire (endomorphisme sur un espace de polynômes, commutant d’une matrice). Le niveau global est équilibré : des questions d’entrée accessibles dans chaque partie, puis une montée en difficulté progressive qui teste la solidité des fondamentaux et la capacité à articuler plusieurs outils.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie I (Q1-4) | Approximation de la loi de Poisson | Accessible | Loi binomiale, convergence, espérance et variance |
| Partie II (Q5-7) | Inégalités de concentration | Élevé | Inégalité de Markov, fonction génératrice, optimisation |
| Partie III (Q8-17) | Endomorphisme et commutant | Élevé | Intégrales généralisées, diagonalisation, sous-espaces vectoriels |
| Partie IV (Q18-20) | Loi de Yule-Simon | Élevé | Changement de variable, séries géométriques, intégrales |
| Partie V (Q21-24) | Calculs de moments | Élevé | IPP, récurrence, espérance, variance |
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Structure et thèmes du sujet
Le sujet se structure en cinq parties, dont les quatre premières sont indépendantes (seule la question 24 relie les parties I et V). Le fil conducteur biologique — l’apparition de résistances bactériennes — sert de motivation aux modèles probabilistes étudiés.
Partie I — Approximation de la loi de Poisson (Q1-4)
On modélise le nombre de bactéries survivantes par une loi binomiale \(X_N \sim \mathcal{B}(N, \displaystyle\frac{\lambda}{N})\), puis on fait tendre \(N\) vers l’infini pour retrouver la convergence classique vers la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\). La question 4 demande le rapport \(\displaystyle\frac{V(X)}{E(X)}\) pour une loi de Poisson : résultat immédiat mais fondamental pour la suite du sujet.
Partie II — Inégalités de concentration (Q5-7)
On démarre par la démonstration de l’inégalité de Markov, puis on la raffine via la technique de Chernoff : en posant \(Z_t = e^{tX}\) et \(\psi(t) = \ln(E(Z_t))\), on obtient un majorant exponentiel de \(P(X > a)\). L’application au cas poissonien (Q7) demande de calculer explicitement \(\psi\) et d’optimiser la borne obtenue, avant de comparer avec l’inégalité de Markov brute.
Partie III — Étude d’un endomorphisme (Q8-17)
C’est la partie la plus longue. On étudie d’abord la transformée \(L_P(v) = \displaystyle\frac{1}{v}\int_0^{+\infty} P(s)\,e^{-s/v}\,\mathrm{d}s\), qui envoie un polynôme \(P = \sum a_k X^k\) sur le polynôme \(\sum k!\,a_k\,X^k\). On définit ensuite l’application linéaire \(L\) sur \(\mathbb{R}_d[X]\) et on en détermine le noyau, les valeurs propres, les espaces propres et la diagonalisabilité. Enfin, les questions 17.a-d portent sur le commutant d’une matrice \(A\) dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) : un exercice d’algèbre linéaire plus classique mais qui exige rigueur et méthode.
Partie IV — Loi de Yule-Simon (Q18-20)
On définit la loi de Yule-Simon via \(p_k = \nu \int_0^{+\infty} (1 – e^{-s})^k\,e^{-(\nu+1)s}\,\mathrm{d}s\). Un changement de variable ramène cette expression à une intégrale sur \([0,1]\). On montre ensuite que les \(p_k\) forment bien une loi de probabilité en passant par une somme géométrique et un encadrement d’intégrales.
Partie V — Calculs de moments (Q21-24)
On calcule les intégrales bêta \(I_{n,p} = \int_0^1 t^n(1-t)^p\,\mathrm{d}t\) par récurrence, puis on en déduit l’espérance \(E(X) = \displaystyle\frac{1}{\nu – 1}\) et la variance de la loi de Yule-Simon. La question finale (Q24) demande comment distinguer expérimentalement un modèle poissonnien d’un modèle Yule-Simon, en exploitant le rapport \(\displaystyle\frac{V(X)}{E(X)}\).
Notions et chapitres testés
- Probabilités discrètes : variable aléatoire discrète, loi binomiale, loi de Poisson, espérance, variance, inégalité de Markov.
- Analyse — intégrales généralisées : convergence d’intégrales sur \([0,+\infty[\), domination par une exponentielle, calcul de \(\int_0^{+\infty} s^k e^{-s/v}\,\mathrm{d}s\).
- Analyse — intégration par parties et récurrence : calcul des intégrales \(I_{n,p}\) (intégrales de type bêta), relation de récurrence double indice.
- Algèbre linéaire : endomorphisme de \(\mathbb{R}_d[X]\), noyau, valeurs propres, espaces propres, diagonalisabilité, matrice dans la base canonique.
- Algèbre matricielle : commutant d’une matrice, sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), base et dimension.
- Séries et suites : somme géométrique partielle, convergence de séries à termes positifs, passage à la limite sous le signe somme.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet 2026 se situe dans la lignée directe des sujets Agro-Véto « Méthodes de calcul et raisonnement » des années récentes : un dosage équilibré entre probabilités et algèbre, avec une composante calculatoire marquée. Par rapport aux sessions 2023-2025, on note :
- L’entrée en matière est classique : la convergence binomiale vers Poisson (Partie I) est un exercice de cours, ce qui permet à tout candidat bien préparé de démarrer sereinement.
- La Partie III est longue (10 questions) et couvre un spectre large d’algèbre linéaire. C’est comparable en ambition aux parties algébriques des sujets 2023 et 2024, avec en plus l’étude du commutant qui est un classique rarement tombé en BCPST.
- L’originalité vient de la loi de Yule-Simon (Parties IV-V) : cette loi à queue lourde est peu vue en exercice et oblige à manipuler des intégrales à paramètre avec soin. Le calcul de moments via les intégrales bêta est plus exigeant que les calculs de moments poissonniens habituels.
- Difficulté globale : légèrement au-dessus de la moyenne des cinq dernières sessions, principalement en raison de la longueur de la Partie III et de la technicité des Parties IV-V.
Pièges et points techniques délicats
Q2 — Limite de \(\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{N-k}\) : attention à ne pas confondre avec \(\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{N}\). Il faut factoriser l’exposant en \(N – k\) et montrer que le facteur résiduel tend vers 1. Beaucoup de candidats oublient de justifier rigoureusement le passage à la limite.
Q5 — Inégalité de Markov : la démonstration est classique mais exige de bien poser la minoration \(X \geq a \cdot \mathbf{1}_{X \geq a}\) (cas discret) ou d’utiliser la croissance de l’espérance. Ne pas oublier de préciser que \(a > 0\) est essentiel pour diviser.
Q7.b — Optimisation de la borne de Chernoff : après avoir obtenu \(P(X > a) \leq \exp(\psi(t) – ta)\) pour tout \(t > 0\), il faut choisir \(t = \ln(a/\lambda)\) (qui n’est positif que si \(a > \lambda\), d’où la condition \(\lambda \leq a\)). Ne pas oublier de vérifier cette condition de positivité.
Q8-9 — Convergence de l’intégrale : la justification de l’existence de \(L_P(v)\) nécessite une domination soignée. Il faut montrer que \(|P(s)|e^{-s/v} \leq e^{-s/(2v)}\) pour \(s\) assez grand, en utilisant la croissance comparée polynôme/exponentielle. Le calcul de \(\displaystyle\frac{1}{v}\int_0^{+\infty} s^k e^{-s/v}\,\mathrm{d}s = k!\,v^k\) se fait par récurrence via IPP ou par changement de variable \(u = s/v\).
Q12-13 — Noyau et surjectivité de \(L\) : puisque \(L(\sum a_k X^k) = \sum k!\,a_k X^k\), le noyau est réduit à \(\{0\}\) (car \(k! \neq 0\)). L’endomorphisme est donc injectif, et comme on est en dimension finie, il est aussi surjectif. Ne pas oublier ce théorème rang-noyau !
Q17.b — Commutant de \(A\) : il faut écrire \(AM = MA\) et résoudre le système qui en résulte. Avec \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), la condition se traduit par des contraintes sur les coefficients de \(M\). Gare aux erreurs de calcul matriciel.
Q20.b-c — Somme des \(p_k\) : l’encadrement d’intégrales est crucial pour conclure que \(\sum p_k = 1\). Il faut utiliser le fait que \(t^{\nu-1} \leq 1\) sur \([0,1]\) pour un côté et que \(t^{\nu-1} \geq t^{\nu}\) (si \(\nu > 1\)) pour l’autre.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie I — Convergence vers Poisson
Q1 : identifier directement \(X_N \sim \mathcal{B}(N, \lambda/N)\) à partir du modèle d’épreuves de Bernoulli indépendantes.
Q2 : écrire \(\left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{N-k} = \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{N} \cdot \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{-k}\) et utiliser les limites classiques.
Q3 : développer \(P(X_N = k) = C_N^k \left(\displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^k \left(1 – \displaystyle\frac{\lambda}{N}\right)^{N-k}\) et regrouper les facteurs convergents.
Q4 : pour \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), \(E(X) = V(X) = \lambda\), donc le rapport vaut 1.
Partie II — Bornes de concentration
Q5 : inégalité de Markov par la minoration indicatrice standard.
Q6 : appliquer Markov à \(Z_t = e^{tX}\) qui est positive, et utiliser la croissance de l’exponentielle.
Q7 : pour la Poisson, \(\psi(t) = \lambda(e^t – 1)\). Minimiser \(\psi(t) – ta\) en \(t\) donne le résultat de 7.b. La comparaison asymptotique (7.c) montre que la borne de Chernoff décroît exponentiellement alors que Markov ne décroît qu’en \(1/a\).
Partie III — Endomorphisme et commutant
Q9 : changement de variable \(u = s/v\) puis reconnaissance de \(\Gamma(k+1) = k!\).
Q10-11 : \(L\) est linéaire comme combinaison linéaire de projections sur les monômes. La dimension de \(\mathbb{R}_d[X]\) est \(d+1\).
Q14-16 : la matrice de \(L\) est diagonale : \(\mathrm{diag}(0!, 1!, 2!, \ldots, d!)\). Les valeurs propres sont les \(k!\) pour \(k \in \{0, \ldots, d\}\), toutes distinctes, donc \(L\) est diagonalisable pour tout \(d\).
Q17 : résoudre \(AM = MA\) par identification des coefficients. Le commutant a pour dimension 5 (matrices diagonales par blocs compatibles avec la structure de \(A\)).
Parties IV-V — Yule-Simon et moments
Q19 : poser \(t = e^{-s}\) pour transformer l’intégrale sur \([0,+\infty[\) en intégrale sur \([0,1]\).
Q21.a : une intégration par parties donne la relation \(I_{n,p+1} = \displaystyle\frac{p+1}{n+1}\,I_{n+1,p}\) (ou forme équivalente).
Q22 : dériver la somme géométrique par rapport à \(t\) pour obtenir la formule de la Q22.a, puis intégrer terme à terme.
Q23 : utiliser l’expression intégrale admise de \(E((X-1)X)\) et la formule \(V(X) = E(X(X-1)) + E(X) – (E(X))^2\) pour en déduire la variance.
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise absolue du cours de probabilités discrètes : la convergence binomiale vers Poisson et l’inégalité de Markov sont des classiques incontournables. Entraîne-toi à les redémontrer de mémoire. Consulte nos fiches sur la loi de Poisson et la variable aléatoire discrète.
Intégrales à paramètre et changements de variable : ce sujet montre que les intégrales généralisées et les changements de variable bien choisis sont au cœur des épreuves Agro-Véto. Travaille en particulier les intégrales de type bêta et gamma, les dominations pour prouver la convergence, et les dérivations sous le signe intégral.
- Algèbre linéaire sur les polynômes : les endomorphismes de \(\mathbb{R}_d[X]\) reviennent régulièrement. Sache écrire la matrice dans la base canonique, déterminer noyau, image, valeurs propres. Entraîne-toi avec des exercices de diagonalisation.
- Commutant d’une matrice : c’est un thème qui apparaît de plus en plus. La méthode est systématique : écrire \(AM = MA\), développer et identifier. Mais cela demande rigueur et rapidité de calcul matriciel.
- Gestion du temps : en 2 heures, il est essentiel de ne pas s’enliser. Les parties étant indépendantes, commence par celle où tu es le plus à l’aise. Les questions d’ouverture (Q1, Q5, Q10-11, Q18) sont autant de points à ne pas laisser passer.
- Question de synthèse (Q24) : la réponse repose sur le rapport \(\displaystyle\frac{V(X)}{E(X)}\) qui vaut 1 pour la Poisson et est strictement supérieur à 1 pour la Yule-Simon. On peut donc estimer empiriquement ce rapport sur un échantillon et trancher entre les deux modèles. Ce type de question ouverte est de plus en plus fréquent : prépare-toi à rédiger une argumentation concise et précise.
