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Le sujet de Mathématiques Approfondies EDHEC 2026 (filière ECG) se compose de deux exercices et d’un problème, à traiter en 4 heures sans calculatrice. L’épreuve balaie un spectre large du programme : probabilités continues et densités (Exercice 1), suites et accélération de convergence (Exercice 2), probabilités discrètes avec convergence en loi (Exercice 3), et algèbre bilinéaire autour des matrices symétriques positives (Problème). Le niveau global est soutenu, avec une difficulté croissante à l’intérieur de chaque bloc ; les dernières questions du problème (parties 3 et 4) sont clairement discriminantes et exigent une maîtrise fine de la réduction et des formes quadratiques.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 (Q1-5) | Densité du produit de deux uniformes | Accessible à Élevé | Loi uniforme, fonction de répartition, intégrales généralisées |
| Exercice 2 (Q1-4) | Suites et approximation de π | Accessible à Élevé | Récurrence, DL ordre 5, développement asymptotique |
| Exercice 2 (Q5-6) | Accélération de Richardson | Élevé | Combinaisons linéaires de suites, vitesse de convergence |
| Exercice 3 – Partie 1 (Q1-2) | Marche aléatoire et premier retour | Élevé | Loi discrète, séries télescopiques, espérance |
| Exercice 3 – Partie 2 (Q3-6) | Convergence en loi et équivalent | Élevé | Loi géométrique, probabilités totales, sommes de Riemann |
| Problème – Parties 1-2 (Q1-6) | Matrices symétriques positives et racine carrée | Élevé | Diagonalisation, formes quadratiques, polynômes de Lagrange |
| Problème – Parties 3-4 (Q7-11) | Unicité de la racine carrée, inversibilité | Très élevé | Endomorphismes symétriques, espaces propres, stabilité |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 – Densité du produit de deux uniformes
Cet exercice part de deux variables indépendantes \(X_1, X_2\) suivant la loi uniforme sur \([0,1]\), et construit progressivement la loi de \(Z = X_1 X_2\). Le chemin passe par la transformation logarithmique \(Y_i = \ln(X_i)\), la détermination de la densité de \(Y_1 + Y_2\) (convolution), puis le retour à \(Z\) via l’exponentielle. La question 5 demande le calcul de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 x^n \ln(x)\,dx\) par intégration par parties, ce qui permet de retrouver l’espérance et la variance de \(Z\).
Exercice 2 – Approximation de π et méthode de Richardson
L’exercice définit deux suites récurrentes \((u_n)\) et \((v_n)\) liées par des itérations de cosinus et de rapports. En posant \(u_n = \cos(\alpha_n)\), on montre que \(v_n = 2^n \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2^n}\right)\), suite classique convergeant vers \(\pi\). La question 4 demande un développement asymptotique à deux termes correcteurs (en \(4^{-n}\) et \(4^{-2n}\)), et les questions 5-6 introduisent la méthode de Richardson pour accélérer la convergence : éliminer le terme dominant de l’erreur par combinaison linéaire de termes successifs.
Exercice 3 – Marche aléatoire et convergence en loi
La Partie 1 étudie un mobile se plaçant uniformément en \(\{0, 1, \ldots, k\}\) à l’instant \(k\). Il faut déterminer la loi du premier retour à l’origine \(Y\), montrer que \(P(Y = n) = \displaystyle\frac{1}{n} – \displaystyle\frac{1}{n+1}\) (série télescopique), et discuter l’existence de l’espérance de \(Y\). La Partie 2 introduit une variable aléatoire \(Z_n\) dont la loi conditionnelle est géométrique, et demande de montrer sa convergence en loi puis de donner un équivalent de \(E(Z_n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k}\) via encadrement par des intégrales.
Problème – Matrices symétriques positives
Le problème est le morceau d’algèbre linéaire du sujet. La Partie 1 établit la caractérisation classique : une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives (via diagonalisation et matrices orthogonales). La Partie 2 construit la racine carrée \(B = P\Delta\,{}^tP\) et montre que \(B = S(A)\) où \(S\) est un polynôme d’interpolation de Lagrange sur les valeurs propres. La Partie 3 prouve l’unicité de cette racine carrée par l’absurde, en utilisant la commutation et la stabilité des espaces propres. La Partie 4 exploite ces résultats pour montrer que si \(S_2 – S_1\) est positive (avec \(S_1\) définie positive), alors \(S_1^{-1} – S_2^{-1}\) est positive — un résultat d’analyse matricielle élégant.
Notions et chapitres testés
- Probabilités continues : fonction de répartition, densité, loi uniforme, transformation de variables aléatoires, convolution via la somme de v.a., espérance et variance par indépendance.
- Intégration : intégrales généralisées (convergence sur \(]0,1]\)), intégration par parties, lien intégrales-sommes de Riemann.
- Suites et séries : suites récurrentes, séries télescopiques, développements limités (ordre 5 du sinus), développements asymptotiques, accélération de convergence.
- Probabilités discrètes : loi géométrique, formule des probabilités totales, convergence en loi, discussion de l’existence de l’espérance (série harmonique divergente).
- Algèbre bilinéaire et réduction : matrices symétriques réelles, diagonalisation en base orthonormée (théorème spectral), matrices orthogonales, formes quadratiques, polynômes de Lagrange appliqués aux matrices, commutation, stabilité des sous-espaces propres.
- Python : simulation de variables aléatoires, boucles itératives, appels de fonctions.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Le sujet EDHEC Maths Approfondies 2026 s’inscrit dans la continuité des crus 2023-2025, avec une structure familière (deux exercices + un problème) et un dosage équilibré probabilités/algèbre. Toutefois, plusieurs éléments rehaussent le niveau par rapport aux éditions récentes :
- L’Exercice 1, bien que classique dans sa thématique (produit de deux uniformes), exige une rigueur inhabituelle sur les changements de variables et la vérification explicite des densités.
- L’Exercice 2, avec la méthode de Richardson généralisée en Q6, dépasse le cadre habituel des suites de l’EDHEC et se rapproche des sujets d’ESSEC/HEC par la technicité du développement asymptotique.
- Le Problème est long (11 questions) et sa fin (parties 3 et 4) nécessite une vision globale de l’algèbre bilinéaire rarement testée à ce point. La question 11e) enchaîne cinq sous-questions pour aboutir à un résultat d’inversion de positivité, ce qui est clairement taillé pour départager les très bons candidats.
Globalement, un candidat bien préparé peut espérer traiter correctement l’Exercice 1 complet, les quatre premières questions de l’Exercice 2, la Partie 1 de l’Exercice 3 et les six premières questions du Problème. Cela constitue déjà une copie solide.
Pièges et points techniques délicats
Exercice 1, Q3a – Domaine de la fonction de répartition de \(Y_i = \ln(X_i)\). Attention : \(X_i \in\, ]0,1]\) donc \(Y_i \in\, ]-\infty, 0]\). La fonction de répartition \(F\) vaut 0 pour \(x > 0\)… non, elle vaut 1 pour \(x \geq 0\) (car \(P(Y_i \leq 0) = 1\)) et 0 pour \(x \to -\infty\). Ne confonds pas les bornes.
Exercice 1, Q4a – Vérification que \(h\) est une densité. Il ne suffit pas de vérifier que l’intégrale vaut 1 : tu dois aussi montrer que \(h\) est positive et continue par morceaux. Sur \(]-\infty, 0]\), \(h(x) = -x e^x\) avec \(x \leq 0\) donc \(-x \geq 0\) et \(e^x > 0\) : c’est bien positif.
Exercice 2, Q4 – DL à l’ordre correct. Pour obtenir le développement \(v_n = \pi + \displaystyle\frac{b}{4^n} + \displaystyle\frac{c}{4^{2n}} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{4^{2n}}\right)\), il faut utiliser le DL du sinus à l’ordre 5 avec \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2^n}\). Une erreur fréquente est de s’arrêter à l’ordre 3, ce qui ne donne pas le coefficient \(c\).
Exercice 3, Q2d – Existence de l’espérance de \(Y\). On a \(P(Y = n) = \displaystyle\frac{1}{n(n+1)}\), donc \(nP(Y=n) = \displaystyle\frac{1}{n+1}\) dont la série diverge. Conclusion : \(Y\) n’admet pas d’espérance. Beaucoup de candidats confondent la convergence de \(\sum P(Y=n)\) (qui converge) avec celle de \(\sum nP(Y=n)\) (qui diverge).
Problème, Q7b – Commutation de \(B\) et \(C\). On sait que \(A^k C = C A^k\) pour tout \(k\) (par récurrence immédiate depuis \(AC = CA\)). Puis \(B = S(A)\) est un polynôme en \(A\), donc commute avec tout ce qui commute avec \(A\). C’est le point clé : ne pas oublier d’invoquer la question 6c).
Problème, Q8b – Stabilité de \(E_i\) par \(c\). Si \(x \in E_i = \ker(b – \sqrt{\mu_i}\,\mathrm{Id})\), on utilise \(b \circ c = c \circ b\) pour montrer \(b(c(x)) = c(b(x)) = \sqrt{\mu_i}\,c(x)\), donc \(c(x) \in E_i\). Ce raisonnement est classique mais souvent mal rédigé sous la pression.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1 :
rd.random()simule une uniforme sur \([0,1]\) ; multiplier deux appels indépendants. - Q2 : Utiliser l’indépendance de \(X_1\) et \(X_2\) pour écrire \(E(Z) = E(X_1)E(X_2) = \displaystyle\frac{1}{4}\) et \(V(Z) = E(Z^2) – E(Z)^2\) avec \(E(Z^2) = E(X_1^2)E(X_2^2)\).
- Q3 : Écrire \(F(x) = P(\ln(X_1) \leq x) = P(X_1 \leq e^x)\) et distinguer les cas \(x \leq 0\) (où \(F(x) = e^x\)) et \(x > 0\) (où \(F(x) = 1\)). La dérivation donne la densité \(f(x) = e^x \mathbf{1}_{x \leq 0}\).
- Q4 : Convoluer deux densités exponentielles sur \(]-\infty, 0]\), puis passer de \(Y_1 + Y_2 = \ln(Z)\) à la fonction de répartition de \(Z\) par changement de variable.
- Q5 : Intégration par parties de \(\displaystyle\int_0^1 x^n \ln(x)\,dx\) ; le résultat est \(\displaystyle\frac{-1}{(n+1)^2}\).
Exercice 2
- Q1-3 : Montrer par récurrence que \(u_n \in [0,1]\), identifier \(\alpha_n = \displaystyle\frac{\pi}{2^n}\) par la formule de duplication du cosinus, et exprimer \(v_n\) en conséquence.
- Q4 : Injecter \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2^n}\) dans le DL du sinus à l’ordre 5, multiplier par \(2^n\), et identifier les coefficients \(a = \pi\), \(b = -\displaystyle\frac{\pi^3}{24}\), \(c = \displaystyle\frac{7\pi^5}{5760}\) (attention, vérifier le coefficient exact).
- Q5 : La combinaison \(w_n = \displaystyle\frac{4v_{n+1} – v_n}{3}\) annule le terme en \(4^{-n}\), ne laissant qu’une erreur en \(4^{-2n}\) : convergence beaucoup plus rapide.
- Q6 : Généraliser en éliminant le terme dominant \(bq^n\) par \(y_n = \displaystyle\frac{qx_{n+1} – x_n}{q – 1}\) (ou formule équivalente avec les bons coefficients).
Exercice 3
- Q1-2 : \(X_k \sim \mathcal{U}(\{0, \ldots, k\})\), donc \(P(X_k = 0) = \displaystyle\frac{1}{k+1}\). L’événement \((Y = n)\) est \((X_1 \neq 0) \cap \cdots \cap (X_{n-1} \neq 0) \cap (X_n = 0)\), et l’indépendance donne un produit télescopique.
- Q4 : Formule des probabilités totales avec \(P(Z_n = i) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} P(Z_n = i \mid U_n = k)\,P(U_n = k)\). Reconnaître des sommes de Riemann convergeant vers \(\displaystyle\int_0^1 t^{i-1}\,dt – \displaystyle\int_0^1 t^i\,dt\).
- Q5-6 : Formule de l’espérance totale, puis encadrement par comparaison série-intégrale pour montrer \(E(Z_n) \sim \ln(n)\).
Problème
- Q1-3 : Direction classique : vecteur propre → quotient de Rayleigh pour le sens direct ; théorème spectral + \({}^tXAX = \displaystyle\sum \lambda_i y_i^2\) pour la réciproque.
- Q4-6 : Construction de \(B = P\Delta\,{}^tP\), puis expression comme polynôme de Lagrange évalué en \(A\) (utiliser \(A^k = PD^k\,{}^tP\)).
- Q7-8 : Preuve d’unicité par co-diagonalisation simultanée de \(B\) et \(C\), en exploitant la commutation et le fait que deux matrices symétriques qui commutent sont simultanément diagonalisables.
- Q9-11 : Transposition des arguments positif/défini positif ; pour la question finale, le changement de variable \(L = S_1^{-1/2} S_2 S_1^{-1/2}\) ramène tout à la question 10.
Conseils pour les futurs candidats
Priorise les points accessibles. Dans ce type de sujet, les premières questions de chaque exercice sont relativement abordables. Ne reste pas bloqué(e) sur une question difficile : avance et reviens plus tard. Les questions de Python, les calculs d’espérance par indépendance et les premières questions du problème (diagonalisation, formes quadratiques) sont des points à ne pas lâcher.
- Maîtrise les transformations de variables aléatoires. Le passage de \(X\) à \(Y = g(X)\) via la fonction de répartition est un classique absolu. Entraîne-toi à enchaîner CDF → dérivation → densité sans hésiter, y compris pour des produits ou des quotients.
- Travaille les développements asymptotiques. Le DL à l’ordre 5 du sinus combiné à un changement de variable \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2^n}\) est typique des sujets EDHEC/ESSEC. Sache manipuler les \(o(\cdot)\) et identifier les termes correcteurs pour les méthodes d’accélération.
- Révise le théorème spectral et ses conséquences. La diagonalisation des matrices symétriques en base orthonormée, la relation \(A = PD\,{}^tP\), et le calcul de \(f(A)\) pour un polynôme \(f\) sont au cœur de nombreux problèmes d’algèbre bilinéaire en ECG. Assure-toi de bien comprendre pourquoi les matrices orthogonales vérifient \({}^tP = P^{-1}\) et comment cela simplifie les produits matriciels.
- Ne néglige pas Python. Les questions de simulation (Q1 de l’Ex. 1, Q2 de l’Ex. 2, Q3 de l’Ex. 3) sont courtes et rapportent des points facilement. Connais les commandes
rd.random(),rd.randint(),rd.geometric()et les bouclesfor/while. - Entraîne-toi sur les séries et comparaisons série-intégrale. La variance, les sommes harmoniques, les séries télescopiques et les encadrements par intégrales reviennent chaque année. Le passage de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{k}\) à \(\ln(n)\) doit être un réflexe.
