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Le sujet de Maths du concours Geipi-Polytech 2026, proposé le 28 avril, se compose de deux volets : un QCM obligatoire de 40 points (durée conseillée 1 heure) regroupant neuf exercices indépendants, et un sujet de spécialité Maths de 40 points (1 heure) articulé autour de trois exercices rédigés. L’usage de la calculatrice est interdit. Le QCM balaie l’intégralité du programme de Terminale avec des pièges de lecture redoutables, tandis que la spécialité propose un exercice-fleuve de géométrie dans l’espace pesant 24 points, un classique de probabilités conditionnelles et un problème d’équation fonctionnelle plus original. La difficulté globale est modérée mais exige une rigueur sans faille, surtout face aux points négatifs du QCM.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| QCM – Exercices I à III (I-A à III-C) | Calculs algébriques et équations | Accessible | Racines carrées, puissances, exponentielle, résolution de \(x^2 = a^2\) |
| QCM – Exercices IV et V (IV-A à V-C) | Fonctions et asymptotes | Accessible | Asymptotes, dérivation, primitives, limites |
| QCM – Exercice VI (VI-A à VI-D) | Suites numériques | Accessible | Suite alternée, bornitude, convergence, quotient de termes |
| QCM – Exercices VII et VIII (VII-A à VIII-A) | Probabilités discrètes | Accessible | Loi binomiale, tirage sans remise, dénombrement |
| QCM – Exercice IX (IX-A à IX-C) | Géométrie analytique plane | Accessible | Équation de droite, perpendiculaire, intersection |
| Spé – Exercice I (I-1 à I-12) | Distance point-droite dans l’espace | Élevé | Droite paramétrique, plan, produit scalaire, optimisation |
| Spé – Exercice II (II-1 à II-3) | Probabilités conditionnelles | Accessible | Probabilités totales, formule de Bayes |
| Spé – Exercice III (III-1 à III-2) | Équation différentielle et unicité | Élevé | Dérivation composée, exponentielle, théorème de la fonction constante |
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Structure et thèmes du sujet
Le QCM (40 points – 9 exercices)
Le QCM se découpe en cinq parties thématiques, chacune testant un pan distinct du programme :
Première partie – Calculs (Exercices I à III) : l’exercice I porte sur des identités mêlant racines carrées, puissances de 2 et fractions remarquables. L’exercice II enchaîne avec des propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme népérien (développements, inéquations, quotients). L’exercice III teste la résolution de l’équation \(x^2 = a^2\) selon les valeurs de \(a\).
Deuxième partie – Fonctions (Exercices IV et V) : l’exercice IV interroge sur le lien entre asymptote horizontale en \(-\infty\) et comportement de la fonction. L’exercice V étudie les propriétés de \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\) : asymptote, sens de variation, primitive.
Troisième partie – Suites (Exercice VI) : la suite \(u_n = (-1)^n\) est passée au crible : bornitude, convergence, monotonie de suites dérivées \(\displaystyle\frac{u_n}{n}\) et \(\displaystyle\frac{u_n}{u_{n+1}}\).
Quatrième partie – Probabilités (Exercices VII et VIII) : un calcul de probabilité avec quatre lancers de pièce, puis un tirage sans remise de deux cartes dans un jeu de 32, où il faut identifier la loi suivie par la variable aléatoire.
Cinquième partie – Géométrie plane (Exercice IX) : détermination de l’équation de la droite \((AB)\), de la perpendiculaire passant par \(C\), et du point d’intersection.
La spécialité Maths (40 points – 3 exercices)
Exercice I (24 points) : le cœur du sujet. On cherche la distance du point \(A(2;-1;-1)\) à la droite \(\mathcal{D}\) d’équations paramétriques \(x = 1+t,\; y = 2t,\; z = -1+t\), par trois méthodes : intersection plan-droite (partie A), minimisation d’une fonction du second degré (partie B), et projection orthogonale via le produit scalaire (partie C). Les trois approches aboutissent au même résultat \(AB^2 = \displaystyle\frac{11}{6}\).
Exercice II (6 points) : un problème classique de test de dépistage dans un élevage bovin. On utilise les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.
Exercice III (10 points) : on recherche toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\), ne s’annulant pas, vérifiant \(f(0) = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(f^\prime(x) = (f(x))^2 – f(x)\). L’exercice guide vers l’introduction de la fonction auxiliaire \(h(x) = \left(\displaystyle\frac{1}{f(x)} – 1\right)e^{-x}\), dont on montre que la dérivée est nulle, pour conclure que l’unique solution est \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{e^x + 1}\).
Notions et chapitres testés
Le sujet couvre les chapitres suivants du programme de Terminale :
- Analyse : fonction exponentielle, logarithme népérien, dérivation et étude de fonctions, primitives, limites et asymptotes, continuité, suites numériques.
- Algèbre : calcul littéral (identités remarquables, racines carrées), résolution d’équations et d’inéquations.
- Géométrie : géométrie repérée dans le plan (équation de droite, perpendiculaire), géométrie dans l’espace (droites paramétriques, plans, vecteurs directeurs, produit scalaire).
- Probabilités : loi binomiale et schéma de Bernoulli, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
Le sujet insiste particulièrement sur l’exponentielle et la dérivation, présentes dans le QCM et dans deux exercices de spécialité sur trois. La géométrie dans l’espace, souvent redoutée, pèse très lourd avec 24 points.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Le QCM 2026 est dans la continuité des éditions précédentes : les questions testent la rigueur de lecture et la maîtrise des résultats de cours. Les pièges classiques sont omniprésents (valeur absolue oubliée, confusion entre propriétés du logarithme, loi binomiale appliquée à tort). Le barème avec points négatifs rend la moindre erreur d’inattention coûteuse.
La spécialité est légèrement plus exigeante qu’en 2024-2025, principalement en raison de l’exercice I de géométrie dans l’espace. Sur 24 points, il requiert la maîtrise de trois méthodes différentes pour un même calcul de distance, ce qui suppose une vraie compréhension géométrique et pas seulement une application mécanique. L’exercice III, portant sur une équation différentielle non linéaire \(f^\prime(x) = (f(x))^2 – f(x)\), dépasse le cadre standard des équations différentielles linéaires du programme et constitue le passage le plus sélectif du sujet.
L’exercice II de probabilités reste en revanche très classique et représente un réservoir de points à ne pas négliger.
Pièges et points techniques délicats
Pièges du QCM
I-B : L’affirmation \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt{3}-2\) est fausse. Comme \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), on a \(\sqrt{3}-2 < 0\), donc \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3}\). Ne jamais oublier que \(\sqrt{X^2} = |X|\), pas \(X\).
I-C : L’égalité \(\displaystyle\frac{1}{2 \times 2^n} – \displaystyle\frac{1}{4^n} = 0\) revient à \(\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}} = \displaystyle\frac{1}{2^{2n}}\), soit \(n+1 = 2n\), c’est-à-dire \(n = 1\). L’égalité est donc vraie pour \(n = 1\) uniquement, pas « pour tout \(n\) non nul ». Teste toujours avec une valeur concrète (\(n = 2\) suffit).
I-D : En posant \(a = 2026\), le dénominateur vaut \((a-1)^2 + (a+1)^2 – 2 = 2a^2\). Le quotient se simplifie immédiatement en \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Vrai.
II-B : L’inéquation \(-2e^{2x+1} \leq -2e^5\) impose de diviser par \(-2\) en retournant l’inégalité : \(e^{2x+1} \geq e^5\), soit \(x \geq 2\). L’ensemble solution est \([2;+\infty[\), et non \(]-\infty;2]\).
II-C / II-D : \(\ln(x^3 + x^2) = \ln(x^2) \times \ln(x^3)\) est absurde (le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en produit). En revanche, \(\ln(x^3 + x^2) = \ln(x^2(x+1)) = 2\ln(x) + \ln(x+1)\) est correct.
V-B : Pour \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\), la dérivée vaut \(f^\prime(x) = \displaystyle\frac{2}{(1-x)^3}\). Sur \(]1;+\infty[\), \((1-x)^3 < 0\), donc \(f^\prime(x) < 0\) : la fonction est décroissante, pas croissante.
VIII-A : Le tirage est sans remise. Les deux tirages ne sont donc pas indépendants, ce qui exclut la loi binomiale. La variable \(X\) suit en réalité une loi hypergéométrique.
Pièges de la spécialité
Exercice I – Question I-1 : pour montrer que \(A \notin \mathcal{D}\), il faut résoudre le système \(2 = 1+t,\; -1 = 2t,\; -1 = -1+t\). Les deux premières équations donnent \(t = 1\) et \(t = -\displaystyle\frac{1}{2}\) : contradiction immédiate.
Exercice I – Question I-6 : le développement de \(AM_t^2\) exige de ne pas se tromper de signe. Le vecteur \(\overrightarrow{AM_t}\) a pour composantes \((t-1,\; 2t+1,\; t)\). Le piège est d’écrire \(2t-1\) au lieu de \(2t+1\) pour la deuxième composante.
Exercice III – Question III-1-b : la dérivation de \(h(x) = \left(\displaystyle\frac{1}{f(x)} – 1\right)e^{-x}\) est technique. L’astuce consiste à poser \(g(x) = \displaystyle\frac{1}{f(x)} – 1\), à calculer \(g^\prime(x) = -\displaystyle\frac{f^\prime(x)}{(f(x))^2}\), puis à substituer \(f^\prime(x) = (f(x))^2 – f(x)\) pour obtenir \(g^\prime(x) = g(x)\). La dérivée de \(h = g \cdot e^{-x}\) se simplifie alors à zéro.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
QCM : stratégie générale
Pour chaque affirmation, commence par un test numérique rapide (remplacer \(x\) ou \(n\) par une valeur simple). Si le test échoue, l’affirmation est fausse sans calcul supplémentaire. En cas de doute, ne réponds pas : l’absence de réponse coûte 0 point, une erreur coûte des points négatifs.
Exercice I (Spécialité) – Distance point-droite
Méthode 1 (Plan orthogonal) : écrire l’équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{u}(1;2;1)\), puis résoudre le système formé par les équations de \(\mathcal{D}\) et de \(\mathcal{P}\) pour trouver le pied \(B\).
Méthode 2 (Optimisation) : développer \(f(t) = AM_t^2 = 6t^2 + 2t + 2\), compléter le tableau de variations et identifier le minimum. C’est une application directe de l’étude d’un polynôme du second degré.
Méthode 3 (Projection) : calculer \(k = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AM_0} \cdot \vec{u}}{\Vert\vec{u}\Vert^2}\), en déduire \(HM_0\), puis appliquer le théorème de Pythagore : \(AH^2 = AM_0^2 – HM_0^2\).
Exercice II (Spécialité) – Probabilités conditionnelles
Construire l’arbre de probabilités à deux niveaux (malade/sain, puis test positif/négatif). Appliquer la formule des probabilités totales pour obtenir \(P(T) = \displaystyle\frac{3}{8}\), puis la formule de Bayes pour \(P_T(M) = \displaystyle\frac{3}{5}\).
Exercice III (Spécialité) – Équation fonctionnelle
La démarche est guidée par l’énoncé : introduire \(h(x) = \left(\displaystyle\frac{1}{f(x)} – 1\right)e^{-x}\), montrer \(h^\prime(x) = 0\) par le calcul, conclure que \(h\) est constante (donc égale à \(h(0) = 1\)), en déduire \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{e^x + 1}\), puis vérifier que cette fonction satisfait bien toutes les conditions du problème.
Conseils pour les futurs candidats
Pour le QCM :
- Révise en profondeur les propriétés de la valeur absolue, du logarithme et de l’exponentielle : ce sont les gisements de pièges les plus fréquents.
- Entraîne-toi sur des QCM chronométrés (20 affirmations en 60 minutes = 3 minutes par affirmation). La gestion du temps est déterminante.
- Prends l’habitude de tester systématiquement avec une valeur numérique avant de conclure.
- Ne réponds jamais au hasard : un exercice laissé blanc vaut 0, mais un exercice avec des erreurs peut te coûter des points.
Pour la spécialité :
- La géométrie dans l’espace est un chapitre très rentable au Geipi-Polytech. Maîtrise les droites paramétriques, les équations de plan, le produit scalaire et la projection orthogonale.
- Les probabilités conditionnelles tombent quasiment chaque année : construire un arbre et appliquer Bayes doit être un automatisme.
- Pour les exercices de type « montrer qu’une fonction est constante », retiens la méthode : poser une fonction auxiliaire, montrer que sa dérivée est nulle, conclure par le théorème de la fonction constante. Cette technique revient régulièrement dans les sujets de concours.
- Travaille les trois méthodes de calcul de distance point-droite : elles sont complémentaires et la compréhension de leurs liens renforce ta vision géométrique globale.
