La probabilité conditionnelle est l’un des outils les plus importants du programme de probabilités. Elle répond à une question simple : quelle est la probabilité de \(A\) quand on sait déjà que \(B\) s’est réalisé ?

C’est une notion qui intervient dans presque tous les exercices de Première, Terminale et prépa dès qu’on lit « sachant que », « parmi ceux qui » ou « on sait que ». Sur cette page, tu trouveras le cours complet : définition, formule, exemples progressifs, méthodes (arbre, tableau), pièges classiques et exercices corrigés.

Navigation — Chapitre Probabilités

Formule essentielle (référence rapide)

Si \(P(B) \neq 0\), la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est :

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Exemple immédiat : on lance un dé équilibré. Sachant que le résultat est pair (\(B = \{2,4,6\}\)), quelle est la probabilité d’obtenir 6 ?

\(P(\{6\}\mid B) = \displaystyle\frac{P(\{6\} \cap B)}{P(B)} = \displaystyle\frac{1/6}{3/6} = \displaystyle\frac{1}{3}\)

Pour le récapitulatif de toutes les formules : Formules de probabilités.

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ? (définition intuitive)

Quand on calcule une probabilité « classique », on considère tous les cas possibles de l’univers \(\Omega\). Mais parfois, on dispose d’une information supplémentaire : on sait qu’un certain événement \(B\) s’est réalisé.

Dans cette situation, l’univers de référence change : on ne regarde plus tous les cas possibles, mais uniquement ceux où \(B\) est vrai. C’est ce qu’on appelle un univers restreint.

L’idée clé : réduire l’univers

Dire « on calcule la probabilité de \(A\) sachant \(B\) » signifie concrètement :

  • on suppose que \(B\) est vrai (c’est une donnée, pas un choix) ;
  • on ne regarde plus l’univers complet \(\Omega\), mais uniquement les cas où \(B\) arrive ;
  • à l’intérieur de cet univers restreint, on mesure la proportion de cas où \(A\) est aussi vrai.

Exemple 1 — Carte (situation simple). On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.

  • \(A\) : « la carte est un as ».
  • \(B\) : « la carte est un cœur ».

Sans information : \(P(A) = \displaystyle\frac{4}{52} = \displaystyle\frac{1}{13}\) (4 as sur 52 cartes).

Sachant \(B\) : l’univers n’est plus « 52 cartes » mais « les 13 cœurs ». Parmi ces 13 cartes, il y a exactement 1 as (l’as de cœur). Donc :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{1}{13}\).

Ici, savoir que la carte est un cœur ne change pas la probabilité d’avoir un as. C’est un cas d’indépendance (voir plus bas).

Exemple 2 — Dé (l’information change la probabilité). On lance un dé équilibré.

  • \(A\) : « obtenir 6 ».
  • \(B\) : « obtenir un nombre pair » = \(\{2, 4, 6\}\).

Sans information : \(P(A) = \displaystyle\frac{1}{6}\).

Sachant \(B\) : l’univers se réduit à \(\{2, 4, 6\}\) (3 cas équiprobables). Un seul correspond à \(A\). Donc :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Ici, savoir que le résultat est pair double la probabilité d’avoir 6 (de \(\displaystyle\frac{1}{6}\) à \(\displaystyle\frac{1}{3}\)). L’information « pair » a changé notre estimation.

Notation et vocabulaire

Définition. La probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est notée \(P(A\mid B)\) (lire « P de A sachant B »). On écrit parfois \(P_B(A)\).

Elle n’a de sens que si \(P(B) \neq 0\) (on ne peut pas conditionner sur un événement impossible).

En résumé : \(P(A\mid B)\) mesure la probabilité de \(A\) dans le monde où \(B\) est déjà réalisé.

Formule de la probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

La formule et son sens

Formule. Si \(P(B) \neq 0\), alors :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Lecture :

  • Numérateur \(P(A \cap B)\) : la probabilité que \(A\) et \(B\) arrivent ensemble.
  • Dénominateur \(P(B)\) : la probabilité de l’univers restreint (« on sait que \(B\) »).

Le quotient représente donc la part de \(A\) à l’intérieur de \(B\).

Formule produit (déduction immédiate)

En multipliant les deux côtés par \(P(B)\), on obtient la formule produit, très utilisée dans les arbres pondérés :

\(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\)

Ou symétriquement : \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B\mid A)\).

C’est cette formule qu’on lit directement sur un arbre de probabilité : on multiplie les probabilités le long d’un chemin.

Démonstration (niveau lycée)

Dans une situation équiprobable, « sachant \(B\) » revient à ne garder que les cas où \(B\) est vrai. La proportion des cas où \(A\) est aussi vrai, parmi ces cas-là, vaut :

\(\displaystyle\frac{\text{nombre de cas où } A \cap B}{\text{nombre de cas où } B}\)

En passant aux probabilités (par équiprobabilité ou par fréquences), on obtient exactement : \(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Exemple 3 — Vérification sur le dé. Reprenons \(A\) = « obtenir 6 » et \(B\) = « obtenir un nombre pair ».

\(P(A \cap B) = P(\{6\}) = \displaystyle\frac{1}{6}\) (car \(6\) est pair, donc \(A \cap B = A\)).

\(P(B) = P(\{2,4,6\}) = \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Donc : \(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{1/6}{1/2} = \displaystyle\frac{1}{3}\). ✓

Pour revoir les bases du calcul de probabilité (cas favorables / cas possibles, dénombrement), consulte la page dédiée.

Exemples progressifs : calculer P(A|B) dans différentes situations

La formule est simple, mais la vraie difficulté est de bien identifier l’univers restreint et de trouver le bon dénominateur. Voici quatre exemples couvrant les situations les plus fréquentes.

Exemple 4 — Avec des pourcentages (situation pondérée)

Énoncé. Dans un lycée, 55 % des élèves sont des filles. Parmi les filles, 40 % pratiquent un sport. Parmi les garçons, 60 % pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard.

On note \(F\) : « fille », \(S\) : « pratique un sport ».

a) Calculer \(P(S\mid F)\).

La donnée « parmi les filles, 40 % pratiquent un sport » donne directement : \(P(S\mid F) = 0{,}40\).

b) Calculer \(P(F \cap S)\).

Par la formule produit : \(P(F \cap S) = P(F)\,P(S\mid F) = 0{,}55 \times 0{,}40 = 0{,}22\).

c) Calculer \(P(S)\).

Par la formule des probabilités totales :

\(P(S) = P(F)\,P(S\mid F) + P(\overline{F})\,P(S\mid \overline{F}) = 0{,}55 \times 0{,}40 + 0{,}45 \times 0{,}60 = 0{,}22 + 0{,}27 = 0{,}49\).

d) Calculer \(P(F\mid S)\).

\(P(F\mid S) = \displaystyle\frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \displaystyle\frac{0{,}22}{0{,}49} \approx 0{,}449\).

Environ 44,9 % des sportifs sont des filles.

Exemple 5 — Avec un tableau d’effectifs

Énoncé. Une entreprise teste des composants provenant de deux fournisseurs. On note \(R\) : « le composant est conforme ».

Effectifs des composants par fournisseur
Conforme \(R\) Non conforme \(\overline{R}\) Total
\(F_1\) 180 20 200
\(F_2\) 95 5 100
Total 275 25 300

Calculer \(P(R\mid F_1)\). « Sachant \(F_1\) » signifie : on ne regarde que la ligne \(F_1\) (200 composants). Parmi eux, 180 sont conformes :

\(P(R\mid F_1) = \displaystyle\frac{180}{200} = 0{,}90\).

Calculer \(P(F_1\mid R)\). Cette fois, on se place dans la colonne « conforme » (275 composants). Parmi eux, 180 viennent de \(F_1\) :

\(P(F_1\mid R) = \displaystyle\frac{180}{275} \approx 0{,}655\).

Remarque : \(P(R\mid F_1) \neq P(F_1\mid R)\). C’est le piège d’inversion classique.

Règle (tableau). Si tu as des effectifs :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{\text{effectif}(A \cap B)}{\text{effectif}(B)}\)

On « se place dans \(B\) » (ligne ou colonne) puis on regarde la part de \(A\) à l’intérieur.

Exemple 6 — Avec un arbre pondéré (contrôle qualité)

Énoncé. Une entreprise utilise deux machines.

  • \(M_1\) produit 70 % des pièces, avec 2 % de pièces défectueuses.
  • \(M_2\) produit 30 % des pièces, avec 5 % de pièces défectueuses.

On note \(D\) : « pièce défectueuse ». On choisit une pièce au hasard.

a) \(P(D\mid M_1) = 0{,}02\). Sur l’arbre, c’est la probabilité sur la branche « \(M_1\) puis défectueuse ».

b) \(P(D \cap M_1) = P(M_1)\,P(D\mid M_1) = 0{,}70 \times 0{,}02 = 0{,}014\).

c) Pour calculer \(P(M_1\mid D)\), on a besoin de \(P(D)\) par probabilité totale :

\(P(D) = 0{,}70 \times 0{,}02 + 0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029\).

Puis : \(P(M_1\mid D) = \displaystyle\frac{0{,}014}{0{,}029} \approx 0{,}483\).

Pour « inverser » une conditionnelle (passer de \(P(D\mid M_1)\) à \(P(M_1\mid D)\)), on utilise la formule de Bayes.

Quelle méthode utiliser pour calculer P(A|B) ?

Le choix de la méthode dépend de la façon dont les données sont présentées dans l’énoncé.

Choisir la bonne méthode pour calculer P(A|B)
Situation dans l’énoncé Méthode recommandée Ce que tu fais concrètement
Expérience en plusieurs étapes (tirage puis test, choix puis observation…) Arbre pondéré Calcule \(P(A \cap B)\) et \(P(B)\) en lisant l’arbre, puis fais le quotient
Données d’effectifs / tableau / fréquences Tableau à double entrée Tu « te places dans \(B\) » (ligne/colonne), puis tu fais la proportion dans cet univers
Univers petit (dé, cartes, 2-3 tirages) Comptage direct Tu listes les cas de \(B\) et tu comptes ceux qui sont aussi dans \(A\)
Pas de support graphique, données abstraites Formule directe Exprime \(P(A \cap B)\) et \(P(B)\) avec les formules de base

Réflexe « anti-erreur ». Avant de calculer, écris une phrase :

  • « Je cherche \(P(A\mid B)\), donc je travaille dans l’univers où \(B\) est réalisé. »
  • « Mon dénominateur doit représenter la probabilité de \(B\) (ou l’effectif de \(B\)). »

Erreurs fréquentes : 7 pièges qui font perdre des points

Voici les erreurs qui reviennent le plus souvent en Première, Terminale et début prépa. Les connaître, c’est les éviter.

Piège n°1 : inverser \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\). Ce sont deux questions différentes (et rarement égales). « La probabilité d’être malade sachant que le test est positif » n’est pas « la probabilité d’avoir un test positif sachant qu’on est malade ». Pour « inverser » proprement, il faut la formule de Bayes.

Piège n°2 : mauvais dénominateur. Dans \(\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), le dénominateur est toujours \(P(B)\) (l’univers restreint). Sur un tableau, c’est l’effectif de la ligne/colonne \(B\), pas le total général.

Piège n°3 : confondre intersection et conditionnelle. \(P(A \cap B)\) est la probabilité que \(A\) et \(B\) arrivent ensemble (dans l’univers complet). \(P(A\mid B)\) est la probabilité de \(A\) dans l’univers restreint à \(B\). Le lien : \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\).

  • Piège n°4 : oublier \(P(B) \neq 0\). Conditionner sur un événement impossible n’a pas de sens. En DS, une phrase « on a \(P(B) \neq 0\) donc la conditionnelle est définie » sécurise ta rédaction.
  • Piège n°5 : « sachant » mal interprété. « Sachant \(B\) » = on travaille dans l’univers \(B\), pas « on ajoute \(B\) ».
  • Piège n°6 : indépendance mal utilisée. Si \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants, tu ne peux pas remplacer \(P(A\mid B)\) par \(P(A)\).
  • Piège n°7 : calculer \(P(B)\) trop vite. Parfois \(B\) peut arriver par plusieurs chemins : il faut additionner les cas possibles (voir probabilité totale).

Checklist « anti-pièges » avant de rendre ta copie :

  1. J’ai écrit clairement quels sont \(A\) et \(B\).
  2. J’ai identifié l’univers restreint : « on sait que \(B\) ».
  3. Mon dénominateur est bien \(P(B)\) (ou l’effectif de \(B\)).
  4. Je n’ai pas inversé \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\).

Événements mutuellement exclusifs et probabilité conditionnelle

Deux événements \(A\) et \(B\) sont mutuellement exclusifs (ou incompatibles) si leur intersection est impossible : \(A \cap B = \emptyset\).

Dans ce cas, \(P(A \cap B) = 0\). Donc, dès que \(P(B) \neq 0\) :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{0}{P(B)} = 0\)

Exemples rapides.

  • Pile / face. Au lancer d’une pièce, « obtenir face » et « obtenir pile » sont mutuellement exclusifs. Sachant pile : \(P(\text{face}\mid \text{pile}) = 0\).
  • Conforme / défectueuse. Si \(R\) = « conforme » et \(D\) = « défectueuse » sont complémentaires, alors \(P(D\mid R) = 0\).

À retenir. Ne confonds pas :

  • Mutuellement exclusifs : \(A \cap B = \emptyset\) (l’un empêche l’autre) → \(P(A\mid B) = 0\).
  • Indépendants : \(P(A\mid B) = P(A)\) (savoir \(B\) ne change rien).

Deux événements incompatibles (de probabilité non nulle) ne sont jamais indépendants.

Liens avec indépendance, probabilité totale et Bayes

La probabilité conditionnelle est la brique qui connecte plusieurs notions fondamentales.

Indépendance : quand P(A|B) = P(A)

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors savoir que \(B\) est réalisé ne change rien :

\(P(A\mid B) = P(A)\)

Conséquence utile : \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\).

Pour les critères et formules associées : Formules de probabilités.

Probabilité totale : calculer P(B) quand il y a plusieurs scénarios

Parfois, l’événement \(B\) peut se produire de plusieurs manières (plusieurs branches/causes). Dans ce cas, \(P(B)\) se calcule en additionnant ces scénarios :

\(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)\,P(B\mid H_i)\)

Pour la méthode complète : Probabilité totale : formule, démonstration et exemples.

Bayes : « inverser » une conditionnelle

Quand tu connais \(P(B\mid A)\) et que tu veux \(P(A\mid B)\), tu entres dans le cadre de la formule de Bayes. C’est utile dès la Terminale et très fréquent en prépa (tests, diagnostics, contrôle qualité).

Exercices corrigés : probabilité conditionnelle (lycée à début prépa)

Objectif : savoir calculer sans se tromper. Les corrigés sont volontairement détaillés, avec les étapes de méthode.

Niveau 1 — Application directe de la formule

Exercice 1. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On note \(A\) : « la carte est un roi » et \(B\) : « la carte est un trèfle ». Calcule \(P(A\mid B)\).

▶ Correction de l’exercice 1

Dans l’univers restreint \(B\), on ne garde que les 13 trèfles. Parmi eux, il y a un seul roi (roi de trèfle). Donc :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{1}{13}\).

Exercice 2. Dans une classe, 60 % des élèves font une activité sportive \(S\). Parmi ceux qui font du sport, 30 % ont une moyenne supérieure ou égale à 14 \(M\). Calcule \(P(M\mid S)\).

▶ Correction de l’exercice 2

La donnée « parmi ceux qui font du sport, 30 % ont \(M\) » donne directement :

\(P(M\mid S) = 0{,}30\).

C’est typiquement une information « conditionnelle » déjà fournie par l’énoncé.

Exercice 3. On lance un dé équilibré. \(A\) : « obtenir un nombre pair », \(B\) : « obtenir un multiple de 3 ». Calcule \(P(A\mid B)\).

▶ Correction de l’exercice 3

\(B = \{3, 6\}\). Dans l’univers restreint \(B\), il y a 2 issues équiprobables.

\(A \cap B = \{6\}\), donc une seule issue favorable sur 2 :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Niveau 2 — Arbres et tableaux

Exercice 4 (arbre). Une usine a deux lignes \(L_1\) et \(L_2\). On a \(P(L_1) = 0{,}8\), \(P(L_2) = 0{,}2\). On sait que \(P(D\mid L_1) = 0{,}01\) et \(P(D\mid L_2) = 0{,}04\) où \(D\) = « défectueux ». Calcule \(P(D \cap L_2)\), puis interprète \(P(D\mid L_2)\).

▶ Correction de l’exercice 4

Par la formule produit :

\(P(D \cap L_2) = P(L_2)\,P(D\mid L_2) = 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}008\).

\(P(D\mid L_2) = 0{,}04\) (donnée). Interprétation : parmi les pièces issues de \(L_2\), 4 % sont défectueuses.

Exercice 5 (tableau). On reprend le tableau de l’exemple 5 (fournisseurs). Calcule \(P(F_1\mid R)\) (probabilité qu’un composant conforme vienne de \(F_1\)).

▶ Correction de l’exercice 5

On conditionne par \(R\) (« conforme »). L’effectif total de \(R\) est 275.

\(F_1 \cap R\) correspond à 180 composants. Donc :

\(P(F_1\mid R) = \displaystyle\frac{180}{275} \approx 0{,}655\).

Exercice 6. On a \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Calcule \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\). Que remarques-tu ?

▶ Correction de l’exercice 6

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5\).

\(P(B\mid A) = \displaystyle\frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4\).

On remarque que \(P(A\mid B) = P(A)\) et \(P(B\mid A) = P(B)\). Cela montre que \(A\) et \(B\) sont indépendants. (Critères détaillés sur Formules de probabilités.)

Exercice 7. On sait que \(P(B) = 0{,}3\) et \(P(A\mid B) = 0{,}7\). Calcule \(P(A \cap B)\).

▶ Correction de l’exercice 7

Formule produit : \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21\).

Niveau 3 — DS / début prépa (raisonnement + pièges)

Exercice 8. Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité d’obtenir une rouge au second tirage sachant que la première est rouge.

▶ Correction de l’exercice 8

On cherche \(P(R_2\mid R_1)\). Sachant \(R_1\), il reste 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules.

\(P(R_2\mid R_1) = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Exercice 9. Une entreprise reçoit des candidatures par deux canaux \(C_1\) et \(C_2\). On a \(P(C_1) = 0{,}6\), \(P(C_2) = 0{,}4\). On sait que \(P(A\mid C_1) = 0{,}25\) et \(P(A\mid C_2) = 0{,}40\) où \(A\) = « candidature retenue ». Calcule \(P(A)\), puis \(P(C_2\mid A)\).

▶ Correction de l’exercice 9

Par la formule des probabilités totales :

\(P(A) = P(C_1)\,P(A\mid C_1) + P(C_2)\,P(A\mid C_2) = 0{,}6 \times 0{,}25 + 0{,}4 \times 0{,}40 = 0{,}15 + 0{,}16 = 0{,}31\).

Ensuite :

\(P(C_2\mid A) = \displaystyle\frac{P(C_2)\,P(A\mid C_2)}{P(A)} = \displaystyle\frac{0{,}4 \times 0{,}40}{0{,}31} = \displaystyle\frac{0{,}16}{0{,}31} \approx 0{,}516\).

Exercice 10 (piège d’inversion). Dans une population, 2 % des personnes ont une caractéristique \(C\). Un test est positif \(T\) dans 95 % des cas si \(C\) est présent, et dans 3 % des cas si \(C\) est absent. Exprime \(P(C\mid T)\) à l’aide des données.

▶ Correction de l’exercice 10

On veut \(P(C\mid T)\). Par la formule de Bayes :

\(P(C\mid T) = \displaystyle\frac{P(T\mid C)\,P(C)}{P(T)}\)

et \(P(T)\) se calcule par probabilité totale :

\(P(T) = P(C)\,P(T\mid C) + P(\overline{C})\,P(T\mid \overline{C})\)

Avec \(P(C) = 0{,}02\), \(P(\overline{C}) = 0{,}98\), \(P(T\mid C) = 0{,}95\), \(P(T\mid \overline{C}) = 0{,}03\).

Questions fréquentes sur la probabilité conditionnelle


Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

C’est la probabilité qu’un événement \(A\) se réalise quand on sait déjà qu’un autre événement \(B\) est vrai. On la note \(P(A\mid B)\) et on la calcule avec \(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Concrètement, on réduit l’univers aux seuls cas où \(B\) est réalisé.


Comment calculer P(A sachant B) ?

Trois situations : (1) avec un tableau d’effectifs, tu divises l’effectif de \(A \cap B\) par l’effectif de \(B\) ; (2) avec un arbre, tu lis les probabilités de chemin ; (3) avec la formule directe, tu calcules \(P(A \cap B)\) et \(P(B)\) puis tu fais le quotient.


Quelle différence entre P(A inter B) et P(A sachant B) ?

\(P(A \cap B)\) est la probabilité que \(A\) et \(B\) arrivent ensemble (dans l’univers complet). \(P(A\mid B)\) est la probabilité de \(A\) dans l’univers restreint à \(B\). Elles sont liées par \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\).


Pourquoi P(B) est au dénominateur ?

Parce que « sachant \(B\) » signifie que l’univers de référence devient \(B\). On mesure une proportion à l’intérieur de \(B\), ce qui impose de diviser par \(P(B)\).


Peut-on avoir P(A sachant B) = P(A) ?

Oui : c’est le cas lorsque \(A\) et \(B\) sont indépendants. Savoir \(B\) ne change pas la probabilité de \(A\). Les critères sont détaillés sur Formules de probabilités.


Quelle est la différence entre probabilité conditionnelle et formule de Bayes ?

La probabilité conditionnelle \(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) est une définition. La formule de Bayes est un théorème qui permet de passer de \(P(B\mid A)\) à \(P(A\mid B)\) quand on connaît aussi \(P(A)\) et \(P(B)\).


Pour aller plus loin

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