Probabilité conditionnelle : comprendre P(A∣B) et savoir calculer

La probabilité conditionnelle répond à une idée simple : quelle est la probabilité de \(A\) quand on sait que \(B\) est réalisé ?

Sur cette page, tu vas apprendre à :

• comprendre l’expression “sachant que” (univers restreint) ;
• utiliser la formule de probabilité conditionnelle sans te tromper ;
• choisir la bonne méthode (arbre, tableau, formule) ;
• éviter les pièges classiques (\(P(A\mid B)\) vs \(P(B\mid A)\), mauvais dénominateur, etc.) ;
• t’entraîner avec des exercices corrigés (niveau lycée → début prépa).

1) Probabilité conditionnelle : définition (univers restreint)

Dire “on calcule la probabilité de \(A\) sachant \(B\)” signifie :

• on suppose que \(B\) est vrai ;
• on ne regarde plus l’univers complet, mais uniquement les cas où \(B\) arrive ;
• à l’intérieur de cet univers restreint, on mesure la proportion de cas où \(A\) est vrai.

Exemple (carte). On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.

• \(A\) : “la carte est un as”.
• \(B\) : “la carte est un cœur”.

Sachant \(B\), l’univers n’est plus “52 cartes”, mais “les 13 cœurs”. Parmi ces 13 cartes, il y a exactement 1 as de cœur, donc :

\(P(A\mid B)=\frac{1}{13}\).

2) Formule de la probabilité conditionnelle (et son sens)

La formule clé est la suivante :

Lecture :

• \(P(A\cap B)\) = probabilité que \(A\) et \(B\) arrivent ensemble.
• \(P(B)\) = probabilité de l’univers restreint (“on sait que \(B\)”).

On en déduit immédiatement la “formule produit” (souvent très utile) :

\(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\)

Mini-preuve (niveau lycée, courte et rigoureuse)

Dans une situation équiprobable (ou sur un grand nombre de répétitions), “sachant \(B\)” revient à ne garder que les cas où \(B\) est vrai. La proportion des cas où \(A\) est aussi vrai, parmi ces cas-là, vaut :

En passant aux probabilités (par équiprobabilité ou par fréquences), on obtient exactement :

\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).

3) Calculer une probabilité conditionnelle : choisir la bonne méthode

Dans les exercices, la difficulté n’est pas la formule : c’est de bien identifier l’univers restreint et de trouver le bon dénominateur.

Pour une méthode générale (complément, union, dénombrement…), tu peux aussi consulter : Calculer une probabilité.

4) Méthode sur arbre : lire \(P(A\mid B)\) correctement

Quand l’exercice se déroule en plusieurs étapes, l’arbre est souvent le support le plus fiable.

Sur un arbre, une stratégie sûre consiste à appliquer toujours :

\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Donc :

• tu repères les chemins correspondant à \(A\cap B\) pour calculer \(P(A\cap B)\) ;
• tu repères les chemins correspondant à \(B\) pour calculer \(P(B)\) ;
• tu fais le quotient.

5) Méthode sur tableau : effectifs, fréquences et conditionnelle

Quand un exercice te donne un tableau d’effectifs (ou des fréquences), la probabilité conditionnelle se lit comme une proportion dans une ligne/colonne.

6) Pièges classiques : 7 erreurs qui font perdre des points

Voici les erreurs qui reviennent le plus souvent en Première / Terminale (et qui continuent de coûter cher en début prépa).

• Piège n°2 : mauvais dénominateur. Dans \(\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\), le dénominateur est toujours \(P(B)\).
• Piège n°3 : confondre intersection et conditionnelle. \(P(A\cap B)\) n’est pas \(P(A\mid B)\).
• Piège n°4 : oublier la condition \(P(B)\neq 0\). Conditionner sur un événement impossible n’a pas de sens.
• Piège n°5 : “sachant” mal interprété sur arbre/tableau. “Sachant \(B\)” = on travaille dans l’univers \(B\).
• Piège n°6 : indépendance mal utilisée. Si \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants, tu ne peux pas remplacer \(P(A\mid B)\) par \(P(A)\).
• Piège n°7 : calculer \(P(B)\) trop vite. Parfois \(B\) peut arriver par plusieurs chemins : il faut additionner les cas possibles (voir probabilité totale).

Événements mutuellement exclusifs : impact sur une probabilité conditionnelle

Deux événements \(A\) et \(B\) sont mutuellement exclusifs (ou incompatibles) si leur intersection d’événements est impossible :

\(A\cap B=\emptyset\)

Dans ce cas, on a \(P(A\cap B)=0\). Donc, dès que la condition est de probabilité non nulle (c’est-à-dire \(P(B)\neq 0\)), la probabilité conditionnelle vaut :

\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0}{P(B)}=0\)

7) Lien avec indépendance, probabilité totale et Bayes (sans mélanger)

La probabilité conditionnelle est une brique qui connecte plusieurs notions. L’idée ici est de te donner le bon repère, sans transformer cette page en “fourre-tout”.

Indépendance : quand \(P(A\mid B)=P(A)\)

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors savoir que \(B\) est réalisé ne change rien :

\(P(A\mid B)=P(A)\)

Pour revoir les critères et les formules associées, va sur : Formules de probabilités.

Probabilité totale : utile pour calculer \(P(B)\) quand il y a plusieurs scénarios

Parfois, l’événement \(B\) peut se produire de plusieurs manières (plusieurs branches/causes). Dans ce cas, \(P(B)\) se calcule en additionnant ces scénarios (formule des probabilités totales). Pour la méthode complète et des exercices :

Probabilité totale : formule, preuve et exercices.

Bayes : “inverser” proprement

Quand tu connais plutôt \(P(B\mid A)\) et que tu veux \(P(A\mid B)\), tu entres dans le cadre de Bayes. On le traite dans une page dédiée (utile dès la Terminale et très fréquent en prépa).

Formule de Bayes : méthode et exercices.

8) Exercices corrigés : probabilité conditionnelle (lycée → début prépa)

Objectif : savoir calculer sans se tromper. Les corrigés sont volontairement détaillés, avec les étapes de méthode.

Niveau 1 — Application directe de la formule

1. Exercice 1. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On note \(A\) : “la carte est un roi” et \(B\) : “la carte est un trèfle”. Calcule \(P(A\mid B)\).

   Voir la correction

   Dans l’univers restreint \(B\), on ne garde que les 13 trèfles. Parmi eux, il y a un seul roi (roi de trèfle). Donc :

   \(P(A\mid B)=\frac{1}{13}\).

2. Exercice 2. Dans une classe, 60% des élèves font une activité sportive \(S\). Parmi ceux qui font du sport, 30% ont une moyenne supérieure ou égale à 14 \(M\). Calcule \(P(M\mid S)\).

   Voir la correction

   La donnée “parmi ceux qui font du sport, 30% ont \(M\)” signifie directement :

   \(P(M\mid S)=0{,}30\).

   C’est typiquement une information “conditionnelle” déjà fournie.

3. Exercice 3. On lance un dé équilibré. \(A\) : “obtenir un nombre pair”, \(B\) : “obtenir un multiple de 3”. Calcule \(P(A\mid B)\).

   Voir la correction

   Ici \(B\) = {3, 6}. Dans l’univers restreint \(B\), il y a 2 issues équiprobables.

   \(A\cap B\) = {6}, donc une seule issue favorable sur 2 :

   \(P(A\mid B)=\frac{1}{2}\).

Niveau 2 — Arbres et tableaux

1. Exercice 4 (arbre). Une usine a deux lignes \(L_1\) et \(L_2\). On a \(P(L_1)=0{,}8\), \(P(L_2)=0{,}2\). On sait que \(P(D\mid L_1)=0{,}01\) et \(P(D\mid L_2)=0{,}04\) où \(D\) = “défectueux”. Calcule \(P(D\cap L_2)\), puis \(P(D\mid L_2)\) (et interprète).

   Voir la correction

   Par la formule produit :

   \(P(D\cap L_2)=P(L_2)\,P(D\mid L_2)=0{,}2\times 0{,}04=0{,}008\).

   Ensuite \(P(D\mid L_2)\) est déjà donné : \(0{,}04\). Interprétation : parmi les pièces issues de \(L_2\), 4% sont défectueuses.

2. Exercice 5 (tableau). On reprend le tableau de l’exemple (fournisseurs). Calcule \(P(F_1\mid R)\) (probabilité qu’un composant conforme vienne de \(F_1\)).

   Voir la correction

   Attention : ici on conditionne par \(R\) (“conforme”). Dans l’univers restreint \(R\), l’effectif total est 275.

   \(F_1\cap R\) correspond à 180 composants. Donc :

   \(P(F_1\mid R)=\frac{180}{275}\).

   On peut laisser sous forme fractionnaire ou donner une valeur approchée : \(\frac{180}{275}\approx 0{,}655\).

3. Exercice 6. On a \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calcule \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\). Que remarques-tu ?

   Voir la correction

   \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).

   \(P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\).

   Remarque : ici \(P(A\mid B)=P(A)\) et \(P(B\mid A)=P(B)\). Cela suggère l’indépendance (à vérifier avec les critères).

4. Exercice 7. On sait que \(P(B)=0{,}3\) et \(P(A\mid B)=0{,}7\). Calcule \(P(A\cap B)\).

   Voir la correction

   Formule produit : \(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)=0{,}3\times 0{,}7=0{,}21\).

Niveau 3 — DS / début prépa (raisonnement + pièges)

1. Exercice 8. On tire une boule d’une urne contenant 3 rouges et 2 bleues. On note \(R\) : “rouge”. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité d’obtenir une rouge au second tirage sachant que la première est rouge.

   Voir la correction

   On cherche \(P(R_2\mid R_1)\). Sachant \(R_1\), il reste 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules.

   Donc :

   \(P(R_2\mid R_1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

2. Exercice 9. Une entreprise reçoit des candidatures par deux canaux \(C_1\) et \(C_2\). On a \(P(C_1)=0{,}6\), \(P(C_2)=0{,}4\). On sait que \(P(A\mid C_1)=0{,}25\) et \(P(A\mid C_2)=0{,}40\) où \(A\) = “candidature retenue”. Calcule \(P(A)\), puis \(P(C_2\mid A)\).

   Voir la correction

   On calcule d’abord \(P(A)\) par la formule des probabilités totales :

   \(P(A)=P(C_1)P(A\mid C_1)+P(C_2)P(A\mid C_2)=0{,}6\times 0{,}25+0{,}4\times 0{,}40\)

   \(P(A)=0{,}15+0{,}16=0{,}31\).

   Ensuite :

   \(P(C_2\mid A)=\frac{P(C_2\cap A)}{P(A)}=\frac{P(C_2)\,P(A\mid C_2)}{P(A)}=\frac{0{,}4\times 0{,}40}{0{,}31}\)

   \(P(C_2\mid A)=\frac{0{,}16}{0{,}31}\approx 0{,}516\).

   Pour une méthode détaillée sur la probabilité totale, voir : Probabilité totale.

3. Exercice 10 (piège d’inversion). Dans une population, 2% des personnes ont une caractéristique \(C\). Un test est positif \(T\) dans 95% des cas si \(C\) est présent, et dans 3% des cas si \(C\) est absent. Exprime \(P(C\mid T)\) à l’aide des données (sans forcément faire l’approximation numérique).

   Voir la correction

   On veut \(P(C\mid T)\). On utilise :

   \(P(C\mid T)=\frac{P(T\mid C)\,P(C)}{P(T)}\)

   et \(P(T)\) se calcule par probabilité totale :

   \(P(T)=P(C)P(T\mid C)+P(\overline{C})P(T\mid \overline{C})\)

   Donc :

   \(P(C\mid T)=\frac{P(T\mid C)\,P(C)}{P(C)P(T\mid C)+P(\overline{C})P(T\mid \overline{C})}\)

   Ici :

   \(P(C)=0{,}02\), \(P(\overline{C})=0{,}98\), \(P(T\mid C)=0{,}95\), \(P(T\mid \overline{C})=0{,}03\).

   Pour la méthode complète (et des exercices guidés), voir : Formule de Bayes.

9) FAQ — Probabilités conditionnelles

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