Formule des probabilités totales : cours, méthode et exercices
Zakaria L.
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01/05/2025
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15 min
La formule des probabilités totales (aussi appelée loi ou théorème des probabilités totales)
est l’outil à connaître dès que l’on doit calculer une probabilité “en plusieurs cas”.
Typiquement : plusieurs fournisseurs, plusieurs machines, plusieurs populations, plusieurs scénarios possibles…
Cette page te donne une méthode robuste (niveau Première/Terminale, avec un peu de rigueur “prépa”),
des exemples contextualisés, puis un entraînement corrigé.
Pour les bases générales sur les probabilités (événements, univers, etc.), tu peux aussi consulter la page pilier :
Probabilités : cours, formules et exercices.
Probabilité totale : le réflexe quand il y a “plusieurs cas”
L’idée est simple : si un phénomène peut se produire selon plusieurs cas possibles,
on calcule la probabilité finale en additionnant les contributions de chaque cas.
Problème-type. On cherche une probabilité globale \(P(A)\),
alors que l’expérience se décompose en cas \(B_1,\dots,B_n\) (ex. “machine 1”, “machine 2”, “machine 3”).
Dans ce contexte, la formule des probabilités totales donne un calcul propre et systématique.
Côté vocabulaire, tu rencontreras (selon les manuels et selon ce que tu tapes sur Google) :
formule, loi ou théorème des probabilités totales.
On parle aussi de système exhaustif ou de système complet d’événements :
ce sont des synonymes pratiques pour dire “on a bien listé tous les cas possibles”.
Attention : cette formule sert à calculer \(P(A)\). Si l’on cherche une probabilité “à l’envers” du type
\(P(B_i\mid A)\), on bascule généralement vers Bayes (voir la section dédiée plus bas).
Étape 1 : définir une partition (système complet d’événements)
Le point clé (et la source n°1 d’erreurs) est la partition.
Une partition est une liste d’événements \(B_1,\dots,B_n\) qui “découpe” l’univers en cas distincts.
Définition (partition / système exhaustif).
Les événements \(B_1,\dots,B_n\) forment une partition de l’univers \(\Omega\) si :
Ils sont deux à deux disjoints : pour \(i \neq j\), \(B_i \cap B_j = \varnothing\).
Ils sont exhaustifs : \(\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega\).
En pratique, la partition vient très souvent du premier choix ou de la première cause décrite dans l’énoncé :
“Le produit vient de l’usine 1, 2 ou 3” → \((B_1,B_2,B_3)\).
“On choisit une urne A ou B” → \((U_A,U_B)\).
“La personne est malade ou non” → \((M,\overline{M})\).
Vérifier une partition : ce qu’il faut contrôler
Condition
Question à se poser
Test rapide
Disjoints
Deux cas peuvent-ils arriver en même temps ?
Si oui → pas une partition
Exhaustifs
Ai-je oublié un cas possible ?
“Et sinon, il se passe quoi ?”
Probabilités des cas
Ai-je \(P(B_i)\) pour chaque cas ?
La somme \(\sum P(B_i)\) doit valoir \(1\)
Conditionnelles
Ai-je \(P(A\mid B_i)\) (ou \(P(A\cap B_i)\)) ?
Sans ça, impossible d’appliquer la formule
Remarque de rigueur : si pour un certain \(i\), on a \(P(B_i)=0\),
l’écriture avec \(P(A\mid B_i)\) n’a pas de sens (conditionnelle non définie).
En revanche, l’écriture avec les intersections \(P(A\cap B_i)\) reste toujours valable (voir la preuve).
Étape 2 : écrire la formule (les 2 écritures indispensables)
La loi des probabilités totales se retient très bien si tu connais ses deux écritures.
Elles sont équivalentes, mais selon l’énoncé, l’une est parfois plus naturelle que l’autre.
Formule des probabilités totales (2 écritures).
Si \(B_1,\dots,B_n\) est une partition de \(\Omega\), alors pour tout événement \(A\) :
(1) Somme des intersections :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)\)
(2) Somme des conditionnelles × a priori (si \(P(B_i)\neq 0\)) :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)\)
Pour les autres formules classiques (union, intersection, complément), consulte plutôt :
Formules de probabilités.
Ici, on se concentre uniquement sur la probabilité totale pour éviter les doublons.
Étape 3 : lien direct arbre pondéré → formule (lecture des “chemins”)
On associe très souvent la probabilité totale à l’arbre pondéré, car en pratique l’arbre est
une représentation visuelle parfaite d’une partition.
Sur un arbre, la règle est :
sur un chemin : on multiplie les probabilités,
pour obtenir un événement : on additionne les chemins compatibles.
Si le premier niveau de l’arbre correspond aux cas \((B_1,\dots,B_n)\), alors les chemins “qui mènent à \(A\)” donnent exactement :
On travaille sur des contextes très proches de ce que tu vois dans les sujets et sur Google :
industrie (défauts), tests, urnes. L’objectif : savoir modéliser vite et sans se tromper.
Exemple 1 — Contrôle qualité (défauts).
Une usine produit des pièces avec deux machines. La machine \(M_1\) fabrique \(60\%\) des pièces
et la machine \(M_2\) fabrique \(40\%\).
On sait que \(P(D\mid M_1)=0{,}01\) et \(P(D\mid M_2)=0{,}03\), où \(D\) = “pièce défectueuse”.
Calculer \(P(D)\).
Solution. Les cas \(M_1\) et \(M_2\) forment une partition.
Donc :
\(P(D)=P(D\mid M_1)P(M_1)+P(D\mid M_2)P(M_2)\).
Calcul :
\(P(D)=0{,}01\times 0{,}6 + 0{,}03\times 0{,}4 = 0{,}006 + 0{,}012 = 0{,}018\).
Donc \(P(D)=0{,}018\), soit 1,8%.
Exemple 2 — Test de dépistage (probabilité d’un résultat positif).
Dans une population, \(2\%\) des personnes ont la maladie \(S\).
Le test est positif avec probabilité \(P(+\mid S)=0{,}95\) (sensibilité),
et il est positif avec probabilité \(P(+\mid \overline{S})=0{,}03\) (faux positif).
Calculer \(P(+)\).
Solution. La partition naturelle est \((S,\overline{S})\).
On a \(P(S)=0{,}02\) et \(P(\overline{S})=0{,}98\).
Donc \(P(+)=0{,}0484\), soit 4,84%.
(Pour \(P(S\mid +)\), on utilisera Bayes : voir la section “probabilité totale vs Bayes”.)
Exemple 3 — Urnes (choix d’une urne puis tirage).
On choisit une urne : \(U_1\) avec probabilité \(\frac{1}{3}\) et \(U_2\) avec probabilité \(\frac{2}{3}\).
Dans \(U_1\), il y a 2 boules rouges et 1 bleue, donc \(P(R\mid U_1)=\frac{2}{3}\).
Dans \(U_2\), il y a 1 rouge et 3 bleues, donc \(P(R\mid U_2)=\frac{1}{4}\).
Calculer \(P(R)\).
Solution. La partition est \((U_1,U_2)\). Donc :
\(P(R)=P(R\mid U_1)P(U_1)+P(R\mid U_2)P(U_2)\)
\(=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\times \frac{2}{3}\).
\(P(R)=\frac{2}{9}+\frac{2}{12}=\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{4}{18}+\frac{3}{18}=\frac{7}{18}\).
Donc \(P(R)=\frac{7}{18}\).
Preuve de la formule des probabilités totales
La preuve est très accessible si tu gardes une idée en tête :
une partition permet de “découper” \(A\) en morceaux disjoints.
Preuve (écriture par intersections).
Si \((B_1,\dots,B_n)\) est une partition, alors les événements
\(A\cap B_1,\dots,A\cap B_n\) sont deux à deux disjoints et :
\(A=\bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)\).
Comme il s’agit d’une union disjointe, on obtient :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)\).
Ensuite, si \(P(B_i)\neq 0\), on peut écrire :
\(P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)\,P(B_i)\),
ce qui donne l’écriture conditionnelle :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)P(B_i)\).
Remarque “rigueur” (cas \(P(B_i)=0\)).
Si \(P(B_i)=0\), alors forcément \(P(A\cap B_i)=0\) (car \(A\cap B_i \subset B_i\)).
Donc l’écriture par intersections fonctionne toujours.
L’écriture avec \(P(A\mid B_i)\) se comprend alors comme une somme sur les indices où \(P(B_i)\neq 0\).
Erreurs fréquentes (et comment les éviter)
Pièges classiques sur la formule des probabilités totales.
Inversion conditionnelle : confondre \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\).
La probabilité totale calcule \(P(A)\), pas \(P(B\mid A)\).
Partition non disjointe : deux cas se recouvrent (ex. “machine 1” et “pièce rouge” ne sont pas des cas du même type).
Partition non exhaustive : un cas oublié (la somme des \(P(B_i)\) ne fait pas \(1\)).
Probabilités manquantes sur un arbre : les probabilités sortantes d’un nœud doivent sommer à \(1\).
Confusion conditionnelle / produit :
\(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)\), mais seulement si \(P(B)\neq 0\).
Conseil de méthode : dès que tu hésites, reviens à l’écriture la plus “sûre” :
\(P(A)=\sum P(A\cap B_i)\).
Elle force à clarifier la partition, et elle évite beaucoup de confusions.
Pour travailler séparément les calculs de base (dénombrer, complément, etc.), tu peux t’appuyer sur :
Calculer une probabilité.
Objectif : automatiser la méthode “partition → formule → calcul”.
Les exercices sont volontairement progressifs.
Niveau 1 — Exercice 1 : application directe (partition donnée)
Énoncé. Un site web reçoit du trafic depuis trois sources :
\(S_1\) (50%), \(S_2\) (30%), \(S_3\) (20%).
La probabilité qu’un visiteur s’inscrive est :
\(P(I\mid S_1)=0{,}04\), \(P(I\mid S_2)=0{,}02\), \(P(I\mid S_3)=0{,}01\).
Calculer \(P(I)\).
Correction
La partition est \((S_1,S_2,S_3)\). Donc :
\(P(I)=\sum_{k=1}^3 P(I\mid S_k)P(S_k)\)
\(=0{,}04\times 0{,}5 + 0{,}02\times 0{,}3 + 0{,}01\times 0{,}2\)
\(=0{,}02+0{,}006+0{,}002=0{,}028\).
Donc \(P(I)=0{,}028\), soit 2,8%.
Niveau 1 — Exercice 2 : application directe (deux cas)
Énoncé. Une élève prend le bus \(B\) avec probabilité \(0{,}7\) et le tram \(T\) avec probabilité \(0{,}3\).
Si elle prend le bus, elle est en retard avec probabilité \(0{,}10\). Si elle prend le tram, elle est en retard avec probabilité \(0{,}04\).
Calculer la probabilité qu’elle soit en retard.
Correction
Partition : \((B,T)\). Donc :
\(P(R)=P(R\mid B)P(B)+P(R\mid T)P(T)\)
\(=0{,}10\times 0{,}7+0{,}04\times 0{,}3\)
\(=0{,}07+0{,}012=0{,}082\).
Donc \(P(R)=0{,}082\), soit 8,2%.
Niveau 2 — Exercice 3 : trouver la partition (modéliser avant de calculer)
Énoncé. Dans une boîte, 40% des ampoules viennent du fournisseur \(F_1\) et 60% du fournisseur \(F_2\).
Une ampoule est “longue durée” \(L\) avec probabilité \(0{,}8\) si elle vient de \(F_1\) et avec probabilité \(0{,}6\) si elle vient de \(F_2\).
Calculer \(P(L)\).
Correction
Le bon découpage est par fournisseur : partition \((F_1,F_2)\).
\(P(L)=P(L\mid F_1)P(F_1)+P(L\mid F_2)P(F_2)\)
\(=0{,}8\times 0{,}4 + 0{,}6\times 0{,}6\)
\(=0{,}32+0{,}36=0{,}68\).
Donc \(P(L)=0{,}68\).
Niveau 3 — Exercice 4 : arbre → formule (lecture des chemins)
Énoncé. Une entreprise a deux services : \(A\) (55%) et \(B\) (45%).
Dans le service \(A\), 3% des dossiers contiennent une erreur ; dans \(B\), 6% contiennent une erreur.
On note \(E\) : “dossier avec erreur”. Calculer \(P(E)\).
Correction
On peut voir un arbre avec premier niveau \((A,B)\).
La probabilité de chaque chemin vers \(E\) est :
\(P(A)P(E\mid A)\) et \(P(B)P(E\mid B)\).
Donc :
\(P(E)=P(E\mid A)P(A)+P(E\mid B)P(B)\)
\(=0{,}03\times 0{,}55 + 0{,}06\times 0{,}45\)
\(=0{,}0165+0{,}027=0{,}0435\).
Donc \(P(E)=0{,}0435\), soit 4,35%.
Niveau 4 — Exercice 5 : “frontière” vers Bayes (sans mélanger)
Énoncé. Dans une population, \(P(S)=0{,}01\). Un test est positif avec probabilité
\(P(+\mid S)=0{,}99\) et \(P(+\mid \overline{S})=0{,}05\).
1) Calculer \(P(+)\) (probabilité d’un test positif).
Bonus : quelle formule faut-il utiliser pour calculer \(P(S\mid +)\) ?
Correction
(1) Partition : \((S,\overline{S})\), avec \(P(\overline{S})=0{,}99\).
Donc :
\(P(+)=P(+\mid S)P(S)+P(+\mid \overline{S})P(\overline{S})\)
\(=0{,}99\times 0{,}01 + 0{,}05\times 0{,}99\)
\(=0{,}0099+0{,}0495=0{,}0594\).
Donc \(P(+)=0{,}0594\) (5,94%).
Bonus (méthode). Pour \(P(S\mid +)\), on utilise la formule de Bayes
(probabilité “à l’envers”). Voir la section “Probabilité totale vs Bayes” et, si disponible, la page dédiée Bayes.
Pour encore plus d’entraînement (séries d’exercices classées par niveau), une page “pack d’exercices corrigés” pourra compléter ce chapitre.
Si elle est déjà en ligne, tu peux la retrouver ici :
Exercices de probabilités corrigés.
Probabilité totale vs Bayes : quelle formule choisir ?
C’est une confusion très fréquente : on mélange probabilité totale et Bayes.
La bonne nouvelle : il existe un critère simple pour trancher.
Règle de décision (très utile en contrôle).
Si tu cherches une probabilité globale \(P(A)\) à partir de cas \(B_i\) :
probabilité totale.
Si tu cherches une probabilité à l’envers du type \(P(B_i\mid A)\) :
Bayes (à partir de \(P(A\mid B_i)\) et \(P(B_i)\)).
Choisir la bonne formule : en 10 secondes
Question posée
Formule la plus adaptée
Indicateur dans l’énoncé
“Quelle est la proba d’avoir un test positif ?”
Probabilité totale
On additionne des cas (malade / pas malade)
“Sachant que le test est positif, quelle est la proba d’être malade ?”
Bayes
On conditionne par un résultat observé
“Quelle est la proba d’avoir un défaut au global ?”
Probabilité totale
Plusieurs sources (machines / fournisseurs)
Si tu veux consolider la notion de conditionnelle (indispensable avant Bayes), passe par la page :
Probabilité conditionnelle
(si elle est déjà publiée).
Ensuite, Bayes :
Formule de Bayes.
FAQ : loi / formule / théorème des probabilités totales
“Loi”, “formule” et “théorème” des probabilités totales : c’est la même chose ?
Oui, dans l’usage courant c’est la même idée : une identité qui permet de calculer \(P(A)\)
en décomposant l’univers en cas \((B_i)\).
Les manuels varient entre “loi”, “formule” et “théorème”.
C’est quoi un “système exhaustif” (ou “système complet”) ?
C’est une manière de dire que les événements \(B_1,\dots,B_n\) couvrent tous les cas possibles :
\(\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega\). En pratique : on n’oublie aucun cas.
Peut-on appliquer la probabilité totale si les événements ne sont pas disjoints ?
Non, pas sous cette forme. La condition “disjoints” est essentielle, sinon on compte deux fois certains cas.
Si tes cas se recouvrent, il faut d’abord reconstruire une vraie partition
(ou changer de découpage).
Faut-il un arbre pondéré pour appliquer la formule ?
Non. L’arbre est un outil très pratique pour visualiser la partition et les conditionnelles,
mais la formule se suffit à elle-même :
\(P(A)=\sum P(A\mid B_i)P(B_i)\).
Si l’arbre t’aide à éviter les erreurs, utilise-le (voir :
arbre de probabilité).
Comment choisir la partition la plus simple ?
Choisis des cas qui correspondent à une première décision naturelle dans l’énoncé :
fournisseur, machine, population, urne choisie, protocole, etc.
Et vérifie la checklist : disjoints + exhaustifs + probabilités disponibles.
Pour aller plus loin (et gagner des points en contrôle).
Si tu veux devenir vraiment rapide, entraîne-toi à reconnaître la structure “plusieurs cas” en 5 secondes,
puis à écrire directement :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)P(B_i)\).
C’est un automatisme qui fait la différence entre une copie correcte et une copie excellente.
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