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Le sujet Maths 2 Centrale-Supélec PSI 2026 porte intégralement sur les polynômes de Jacobi, un thème ambitieux mêlant analyse réelle, algèbre bilinéaire et théorie des polynômes orthogonaux. L’épreuve, d’une durée de 4 heures avec calculatrice autorisée, propose 42 questions réparties en cinq parties aux objectifs bien distincts. La progression de difficulté est nette : les premières questions sont accessibles à tout candidat bien préparé, tandis que la fin du sujet (fonction génératrice des polynômes de Legendre) exige une grande maîtrise technique et une gestion du temps irréprochable.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie A (Q1-Q8) | Produit scalaire à poids | Accessible | Intégrales généralisées, continuité sur compact, bilinéarité symétrique |
| Partie B (Q9-Q10) | Coefficients binomiaux généralisés | Accessible | Formule de Vandermonde, dénombrement, coefficient binomial généralisé |
| Partie C – I & II (Q11-Q15) | Polynômes orthonormaux, récurrence | Élevé | Gram-Schmidt, espaces euclidiens, relation à trois termes |
| Partie C – III (Q16-Q19) | Racines des polynômes orthogonaux | Élevé | Orthogonalité, localisation de racines dans ]-1,1[ |
| Partie D (Q20-Q28) | Polynômes de Jacobi | Très élevé | Formule de Rodrigues, intégration par parties itérée, base orthogonale |
| Partie E – I à III (Q29-Q37) | Polynômes de Legendre : propriétés | Élevé | Parité, équation de Legendre, formule de Leibniz, majoration |
| Partie E – IV & V (Q38-Q42) | Récurrence et fonction génératrice | Très élevé | Récurrence à trois termes, séries entières, EDO du premier ordre |
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Structure et thèmes du sujet
Le sujet est construit comme un long problème cohérent dont le fil conducteur est la construction et l’étude des polynômes de Jacobi, puis de leur cas particulier, les polynômes de Legendre. Voici le détail partie par partie.
Partie A — Un produit scalaire (Q1-Q8)
Cette partie introductive pose les fondations de tout le sujet. On commence par rappeler la condition de convergence de l’intégrale généralisée \(\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1}{t^\delta}\,dt\), puis on en déduit une condition sur \(\delta\) pour la convergence d’une intégrale à poids. Le cœur de la partie est la démonstration que l’application \((P,Q) = \displaystyle\int_{-1}^{1}(1-t)^\alpha(1+t)^\beta P(t)Q(t)\,dt\) définit un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\), avec \(\alpha, \beta \gt -1\). Deux exemples viennent illustrer ce produit scalaire : le poids de Tchebychev (\(\alpha = \beta = -\displaystyle\frac{1}{2}\)) et le poids de Legendre (\(\alpha = \beta = 0\)).
Partie B — Autour des coefficients binomiaux (Q9-Q10)
Partie courte mais essentielle pour la suite. On démontre la formule de Vandermonde classique \(C_{m+p}^{k} = \displaystyle\sum_{j=0}^{k} C_{m}^{k-j}\,C_{p}^{j}\) par un argument combinatoire, puis on introduit le coefficient binomial généralisé \(B_\ell^\lambda\) qui étend la notion aux paramètres réels. L’énoncé admet ensuite la généralisation de la formule de Vandermonde à ces nouveaux coefficients.
Partie C — Une famille de polynômes (Q11-Q19)
On se place dans \(E = \mathbb{R}_n[X]\) et on construit, par l’algorithme de Gram-Schmidt, une base orthonormale \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\). La section I établit les propriétés fondamentales : chaque \(P_k\) est de degré \(k\) et appartient à l’orthogonal de \(\mathrm{Vect}(1, X, \ldots, X^{k-1})\). La section II met en évidence la relation de récurrence à trois termes \(P_{k+1} = (a_k X + b_k)P_k + c_k P_{k-1}\), propriété structurelle majeure des familles orthogonales. La section III démontre que les \(k\) racines de \(P_k\) sont réelles, simples et situées dans \(]-1,1[\).
Partie D — Polynômes de Jacobi (Q20-Q28)
C’est le cœur du sujet. On définit les polynômes de Jacobi \(J_k\) via une formule de type Rodrigues faisant intervenir les dérivées \(k\)-ièmes de \(g_k(x) = (1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k}\). L’expression de \(J_k\) est développée grâce aux coefficients binomiaux généralisés de la partie B. La propriété d’orthogonalité est démontrée par intégration par parties itérée, et on en déduit que la famille \((J_0, J_1, \ldots, J_n)\) forme une base orthogonale de \(E\).
Partie E — Polynômes de Legendre (Q29-Q42)
On spécialise au cas \(\alpha = \beta = 0\) pour retrouver les polynômes de Legendre \(L_k = \displaystyle\frac{1}{2^k k!}\left[(X^2-1)^k\right]^{(k)}\). Les sections couvrent successivement : le calcul explicite des premiers \(L_k\), la parité, les valeurs en \(\pm 1\), l’équation différentielle de Legendre, une majoration sur \([-1,1]\), la relation de récurrence explicite, et enfin le développement en série entière de la fonction génératrice \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\).
Notions et chapitres testés
Ce sujet mobilise de nombreux chapitres du programme de PSI. Voici la liste structurée des notions requises :
- Intégrales généralisées : critère de convergence en \(1/t^\delta\) (intégrales de Riemann), convergence par domination, comparaison.
- Espaces préhilbertiens réels : définition d’un produit scalaire (bilinéarité, symétrie, caractère défini positif), norme associée, algorithme de Gram-Schmidt, orthogonalité.
- Polynômes : degré, coefficient dominant, division euclidienne, racines et multiplicité, théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux polynômes.
- Dénombrement : coefficients binomiaux, formule de Vandermonde, preuve combinatoire par partition d’ensemble.
- Dérivation : formule de Leibniz pour la dérivée \(k\)-ième d’un produit, dérivées successives de fonctions puissances.
- Séries entières : rayon de convergence, développement en série entière, résolution d’équations différentielles par séries.
- Équations différentielles linéaires : EDL d’ordre 1 à coefficients variables, équation de Legendre d’ordre 2.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet est long mais très bien guidé. Avec 42 questions en 4 heures, le rythme moyen est d’environ 5 minutes 40 par question, ce qui est serré. Cependant, de nombreuses questions (Q1, Q2, Q5, Q6, Q7, Q8, Q10, Q11, Q16, Q20, Q29) sont rapides et permettent de grappiller des points rapidement.
Comparé aux sujets Centrale-Supélec Maths 2 PSI des années précédentes, ce sujet se situe dans la moyenne haute. Il est plus classique dans son thème (les polynômes orthogonaux sont un grand classique de l’oral et de l’écrit) mais plus exigeant par sa longueur et la technicité de la partie D. La présence de la formule de Vandermonde généralisée et des coefficients binomiaux réels ajoute une couche de difficulté inhabituelle.
L’ensemble est cohérent et formateur : un candidat qui a traité les parties A, B et le début de C a déjà un travail solide. La partie E, bien que longue, offre de nombreuses questions indépendantes ou semi-indépendantes permettant de glaner des points même sans avoir résolu les questions intermédiaires.
Pièges et points techniques délicats
Q3 — Double singularité de l’intégrale. L’intégrale \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-t)^\alpha(1+t)^\beta f(t)\,dt\) présente potentiellement deux singularités : en \(t=1\) (via \((1-t)^\alpha\)) et en \(t=-1\) (via \((1+t)^\beta\)). Il faut impérativement scinder l’intégrale en deux (par exemple en \(t=0\)) et traiter chaque singularité séparément par un changement de variable. Beaucoup de candidats oublient l’une des deux bornes.
Q4 — Caractère défini positif. Pour montrer que \((P,P) = 0 \Rightarrow P = 0\), il ne suffit pas de dire que l’intégrande est positive. Tu dois utiliser la continuité de \(t \mapsto (1-t)^\alpha(1+t)^\beta P(t)^2\) sur \(]-1,1[\) et le fait qu’une fonction continue, positive, d’intégrale nulle est identiquement nulle. Attention : le poids s’annule aux bornes, mais \(P(t)^2\) est un polynôme, donc le raisonnement porte sur l’intérieur de l’intervalle.
Q9 — Preuve combinatoire de Vandermonde. L’énoncé suggère de partitionner un ensemble \(\mathcal{F}\) de \(m+p\) éléments. L’idée est de séparer \(\mathcal{F}\) en deux sous-ensembles de tailles \(m\) et \(p\), puis de compter les parties de taille \(k\) en distinguant combien d’éléments proviennent de chaque sous-ensemble. Ne pas tenter une preuve par récurrence, ce n’est pas ce qui est attendu.
Q14-Q15 — Récurrence à trois termes. Pour démontrer l’existence de \(a_k\) tel que \(P_{k+1} – a_k X P_k\) soit de degré \(\leq k\), tu dois comparer les coefficients dominants. Ensuite, pour la Q15, l’astuce est de décomposer \(P_{k+1} – a_k X P_k\) sur la base \((P_0, \ldots, P_k)\) et d’utiliser l’orthonormalité pour montrer que seuls les coefficients sur \(P_k\) et \(P_{k-1}\) survivent. Le piège est d’oublier que \(X P_k\) est de degré \(k+1\), donc orthogonal à \(P_j\) pour \(j \leq k-2\).
Q19 — Conclusion sur le nombre de racines. C’est un raisonnement par l’absurde subtil. Si \(P_k\) avait strictement moins de \(k\) racines de multiplicité impaire dans \(]-1,1[\), le polynôme \(S\) construit en Q17 serait de degré \(m \leq k-1\), et le produit \(P_k \cdot S\) serait de signe constant sur \(]-1,1[\). Cela contredirait \(\langle P_k, S\rangle \neq 0\) issu de Q18 (car \(S \in \mathbb{R}_{k-1}[X]\) et \(P_k \perp \mathbb{R}_{k-1}[X]\)). Conclusion : \(m = k\), toutes les racines sont dans \(]-1,1[\).
Q22-Q24 — Calcul de \(g_k^{(k)}(x)\) et degré de \(J_k\). La dérivée \(k\)-ième du produit \((1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k}\) s’obtient par la formule de Leibniz. Les coefficients binomiaux généralisés \(B_i^{k+\alpha}\) et \(B_{k-i}^{k+\beta}\) apparaissent naturellement. Pour le coefficient dominant de \(J_k\), il faut appliquer la formule de Vandermonde généralisée admise en partie B. C’est un calcul technique où une erreur de signe ou d’indice est fatale.
Q41-Q42 — EDO et fonction génératrice. Pour établir l’EDO vérifiée par \(S(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} L_k(x) t^k\), tu dois utiliser la récurrence de la Q39 pour relier les coefficients. La résolution de l’EDO linéaire d’ordre 1 donne \(S(t) = \displaystyle\frac{C}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\), et la condition initiale \(S(0) = L_0(x) = 1\) fixe \(C = 1\). Attention à bien justifier la convergence de la série et la légitimité de la dérivation terme à terme.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie A — Approche systématique des intégrales à poids
Q1-Q2 : C’est l’intégrale de Riemann classique \(\displaystyle\int_0^1 t^{-\delta}\,dt\), convergente si et seulement si \(\delta \lt 1\). Pour Q2, le changement de variable \(u = a – t\) ramène au cas précédent.
Q3 : Scinder en \(\displaystyle\int_{-1}^{0} + \displaystyle\int_{0}^{1}\). Sur chaque morceau, borner \(f\) par sa borne sup (compacité de \([-1,1]\)) et utiliser la convergence démontrée en Q2.
Q4 : La bilinéarité et la symétrie sont immédiates. La positivité découle de la positivité de l’intégrande. Le caractère défini repose sur la continuité et un argument classique (fonction continue positive d’intégrale nulle).
Q5-Q8 : Calculs directs. Pour \(\alpha = \beta = -\displaystyle\frac{1}{2}\), le changement de variable \(t = \cos\theta\) transforme l’intégrale en intégrales trigonométriques élémentaires. Pour \(\alpha = \beta = 0\), ce sont des calculs de puissances de \(X\).
Partie B — Raisonnement combinatoire
Q9 : Partition d’un ensemble de \(m+p\) éléments en deux blocs de tailles \(m\) et \(p\). Compter les sous-ensembles de taille \(k\) des deux manières (directe et par sommation sur la répartition entre blocs).
Q10 : Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(k \leq n\), on a \(B_k^n = C_n^k\) car la formule \(\displaystyle\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) coïncide avec \(\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Partie C — Propriétés structurelles
Q11-Q12 : Utiliser les conditions (i) et (ii) de la base de Gram-Schmidt. La condition (i) donne \(\deg P_k = k\) et la condition d’orthonormalité donne \(P_k \perp \mathrm{Vect}(1, \ldots, X^{k-1})\).
Q14-Q15 : Argument de degré pour Q14, puis décomposition sur la base orthonormale et calcul des produits scalaires pour Q15.
Q16-Q19 : Raisonnement par signe constant. Construire \(S\) à partir des racines de multiplicité impaire, montrer que \(P_k \cdot S\) garde un signe constant, puis utiliser l’orthogonalité pour conclure à une contradiction si \(m \lt k\).
Parties D et E — Formule de Rodrigues et conséquences
Q20-Q24 : Appliquer la formule de Leibniz à \(g_k = (1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k}\) pour obtenir \(g_k^{(k)}\), puis identifier le degré et le coefficient dominant de \(J_k\) via Vandermonde généralisée.
Q25-Q26 : Intégrer par parties \(k\) fois pour transférer les dérivées de \(g_k^{(k)}\) vers \(x^i\). Les termes de bord s’annulent car \(g_k\) et ses dérivées s’annulent en \(\pm 1\) (facteurs \((1-x)^{\alpha+k}\) et \((1+x)^{\beta+k}\)).
Q34-Q35 : Pour l’équation de Legendre, exprimer \((1-x^2)g_k^\prime(x) = -2kx\,g_k(x)\) puis dériver \(k\) fois par Leibniz. Identifier les termes pour retrouver \((1-x^2)y^{\prime\prime} – 2xy^\prime + k(k+1)y = 0\).
Q41-Q42 : Multiplier la récurrence Q39 par \(t^k\) et sommer. On obtient une EDO d’ordre 1 en \(t\) pour \(S(t)\), qui se résout par séparation de variables.
Conseils pour les futurs candidats
Priorise les chapitres clés. Ce sujet confirme que les espaces préhilbertiens et les intégrales généralisées sont des incontournables de Centrale-Supélec PSI. Assure-toi de maîtriser parfaitement la construction de Gram-Schmidt, les propriétés d’orthogonalité, et les critères de convergence des intégrales impropres.
- Travaille la formule de Leibniz. Elle apparaît à de multiples reprises dans ce sujet (Q22, Q35). C’est un outil classique qui revient régulièrement dans les épreuves Centrale-Supélec. Entraîne-toi à l’appliquer proprement avec des indices bien gérés.
- Maîtrise les intégrales à paramètre et les intégrales généralisées. La partie A est un investissement de points quasi gratuit pour qui connaît bien le critère de Riemann et les techniques de majoration.
- Entraîne-toi sur les sujets longs. 42 questions en 4 heures demandent un rythme soutenu. Apprends à identifier rapidement les questions « cadeaux » (Q1, Q5, Q7, Q10, Q11, Q16, Q20, Q29) et à ne pas rester bloqué sur une question technique.
- Consolide les polynômes orthogonaux. Les polynômes de Legendre, Tchebychev et Hermite reviennent régulièrement aux concours. Connaître leurs propriétés (parité, récurrence, fonction génératrice) constitue un avantage décisif le jour J.
- Ne néglige pas la combinatoire. La partie B est courte mais nécessaire pour la suite. La formule de Vandermonde doit faire partie de ton répertoire de preuves classiques.
- Gère ton temps stratégiquement. Les parties A et B sont accessibles et rapportent beaucoup. La partie E offre des questions indépendantes (Q29, Q30, Q32, Q33) qui ne nécessitent pas d’avoir résolu la partie D. En cas de blocage, passe directement à ces questions.
