📚 Tout le cours « Produit scalaire »

Tu cherches des exercices sur le produit scalaire pour t’entraîner en Première spé maths ? Voici 20 exercices classés par difficulté croissante (★ à ★★★), tous corrigés pas à pas. Tu y retrouveras les calculs fondamentaux (formule analytique, normes et angle, formule de polarisation), les applications géométriques (orthogonalité, angles, projeté orthogonal, lieux géométriques) et des problèmes de synthèse type bac. Avant de commencer, assure-toi de maîtriser les quatre formules du produit scalaire et ses propriétés. Tous les exercices et leurs corrections sont téléchargeables en PDF. Conforme au programme 2025-2026.

I. Rappel des formules essentielles

Les quatre formules du produit scalaire

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.

  • Formule avec normes et angle : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \Vert \vec{u} \Vert \times \Vert \vec{v} \Vert \times \cos\bigl(\vec{u},\, \vec{v}\bigr)\)
  • Formule analytique (dans un repère orthonormé) : si \(\vec{u}(x\,;\, y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\, y^\prime)\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx^\prime + yy^\prime\)
  • Formule de polarisation : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \displaystyle\frac{1}{2}\Bigl(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2 – \Vert \vec{u} \Vert^2 – \Vert \vec{v} \Vert^2\Bigr)\)
  • Avec le projeté orthogonal : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \pm\, \Vert \vec{u} \Vert \times \Vert \vec{v}^\prime \Vert\) où \(\vec{v}^\prime\) est le projeté orthogonal de \(\vec{v}\) sur la direction de \(\vec{u}\).

Quelle formule utiliser ?

  • Tu connais les coordonnées dans un repère orthonormé → formule analytique.
  • Tu connais les normes et l’angle → formule avec le cosinus.
  • Tu connais les normes de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{u}+\vec{v}\) → formule de polarisation.
  • Tu vois une projection sur une figure → formule avec le projeté orthogonal.

Propriétés à retenir : le produit scalaire est symétrique (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)) et bilinéaire (on peut développer et factoriser comme un produit classique). De plus, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont vecteurs orthogonaux (ou l’un des deux est nul).

II. Exercices d’application directe (★)

Exercice 1 — Produit scalaire par les coordonnées ★

Dans un repère orthonormé \((O\,;\, \vec{i},\, \vec{j})\), on donne \(\vec{u}(3\,;\, {-2})\) et \(\vec{v}(1\,;\, 4)\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

Voir la correction

On applique la formule analytique dans un repère orthonormé :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + ({-2}) \times 4 = 3 – 8 = -5\)

Résultat : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -5\).

Le résultat est négatif : l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donc obtus (supérieur à 90°).

Exercice 2 — Calcul avec les normes et l’angle ★

On donne \(\Vert \vec{u} \Vert = 5\), \(\Vert \vec{v} \Vert = 3\) et \(\bigl(\vec{u},\, \vec{v}\bigr) = \displaystyle\frac{\pi}{3}\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

Voir la correction

On applique la formule avec normes et angle :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \Vert \vec{u} \Vert \times \Vert \vec{v} \Vert \times \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times 3 \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{15}{2}\)

Résultat : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \displaystyle\frac{15}{2} = 7{,}5\).

Exercice 3 — Tester l’orthogonalité ★

Dans un repère orthonormé, les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ?

  1. \(\vec{u}(2\,;\, 6)\) et \(\vec{v}(3\,;\, {-1})\)
  2. \(\vec{u}(4\,;\, 1)\) et \(\vec{v}(2\,;\, {-3})\)
Voir la correction

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + 6 \times ({-1}) = 6 – 6 = 0\). Oui, \(\vec{u} \perp \vec{v}\).

b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 2 + 1 \times ({-3}) = 8 – 3 = 5 \neq 0\). Non, \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas orthogonaux.

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Exercice 4 — Norme d’un vecteur via le produit scalaire ★

Soit \(\vec{u}({-3}\,;\, 4)\). Calculer \(\Vert \vec{u} \Vert\) en utilisant le produit scalaire.

Voir la correction

On utilise la relation \(\Vert \vec{u} \Vert^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}\) :

\(\Vert \vec{u} \Vert^2 = ({-3})^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)

Donc \(\Vert \vec{u} \Vert = \sqrt{25} = 5\).

Résultat : \(\Vert \vec{u} \Vert = 5\).

Exercice 5 — Formule de polarisation ★

On donne \(\Vert \vec{u} \Vert = 4\), \(\Vert \vec{v} \Vert = 3\) et \(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert = 6\). Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

Voir la correction

On développe \(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2\) :

\(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2 = \Vert \vec{u} \Vert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \Vert \vec{v} \Vert^2\) \(36 = 16 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + 9\) \(2\,\vec{u} \cdot \vec{v} = 36 – 25 = 11\)

Résultat : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \displaystyle\frac{11}{2}\).

Exercice 6 — Paramètre d’orthogonalité ★

Déterminer le réel \(m\) tel que \(\vec{u}(m\,;\, 3)\) et \(\vec{v}(2\,;\, {-4})\) soient orthogonaux.

Voir la correction \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) \(2m + 3 \times ({-4}) = 0 \iff 2m – 12 = 0 \iff m = 6\)

Vérification : \(\vec{u}(6\,;\, 3) \cdot \vec{v}(2\,;\, {-4}) = 12 – 12 = 0\) ✓

Exercice 7 — Produit scalaire et combinaisons linéaires ★

On donne \(\vec{u}(1\,;\, 2)\) et \(\vec{v}({-3}\,;\, 1)\). Calculer \((2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – 3\vec{v})\).

Voir la correction

Méthode 1 — Par les coordonnées :

\(2\vec{u} + \vec{v} = (2-3\,;\, 4+1) = ({-1}\,;\, 5)\) \(\vec{u} – 3\vec{v} = (1+9\,;\, 2-3) = (10\,;\, {-1})\) \((2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – 3\vec{v}) = ({-1}) \times 10 + 5 \times ({-1}) = -10 – 5 = -15\)

Méthode 2 — Par la bilinéarité :

\((2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – 3\vec{v}) = 2\Vert \vec{u} \Vert^2 – 6\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} – 3\Vert \vec{v} \Vert^2 = 2\Vert \vec{u} \Vert^2 – 5\,\vec{u} \cdot \vec{v} – 3\Vert \vec{v} \Vert^2\)

Avec \(\Vert \vec{u} \Vert^2 = 5\), \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -3 + 2 = -1\), \(\Vert \vec{v} \Vert^2 = 10\) :

\(2 \times 5 – 5 \times ({-1}) – 3 \times 10 = 10 + 5 – 30 = -15\) ✓

Résultat : \((2\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – 3\vec{v}) = -15\).

III. Exercices d’approfondissement (★★)

Exercice 8 — Angle entre deux vecteurs ★★

Soit \(A(1\,;\, 3)\), \(B(4\,;\, 1)\) et \(C(2\,;\, {-1})\). Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au degré.

Voir la correction

On calcule les vecteurs et le produit scalaire :

\(\overrightarrow{AB}(3\,;\, {-2})\) et \(\overrightarrow{AC}(1\,;\, {-4})\)

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 1 + ({-2}) \times ({-4}) = 3 + 8 = 11\)

\(\Vert \overrightarrow{AB} \Vert = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\) et \(\Vert \overrightarrow{AC} \Vert = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)

\(\cos\!\left(\widehat{BAC}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\Vert \overrightarrow{AB} \Vert \times \Vert \overrightarrow{AC} \Vert} = \displaystyle\frac{11}{\sqrt{13} \times \sqrt{17}} = \displaystyle\frac{11}{\sqrt{221}}\) \(\widehat{BAC} = \arccos\!\left(\displaystyle\frac{11}{\sqrt{221}}\right) \approx 42°\)

Résultat : \(\widehat{BAC} \approx 42°\).

Exercice 9 — Droites perpendiculaires ★★

La droite \(\mathcal{D}_1\) passe par \(A(1\,;\, 2)\) et \(B(3\,;\, 5)\). La droite \(\mathcal{D}_2\) passe par \(C(0\,;\, 1)\) et \(D(2\,;\, k)\). Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(\mathcal{D}_1 \perp \mathcal{D}_2\).

Voir la correction

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

\(\overrightarrow{AB}(2\,;\, 3)\) est un vecteur directeur de \(\mathcal{D}_1\).

\(\overrightarrow{CD}(2\,;\, k-1)\) est un vecteur directeur de \(\mathcal{D}_2\).

\(\mathcal{D}_1 \perp \mathcal{D}_2 \iff \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\) \(2 \times 2 + 3(k – 1) = 0 \iff 4 + 3k – 3 = 0 \iff 3k = -1 \iff k = -\displaystyle\frac{1}{3}\)

Résultat : \(k = -\displaystyle\frac{1}{3}\).

Exercice 10 — Projeté orthogonal sur une droite ★★

La droite \((d)\) passe par \(A(1\,;\, 0)\) et admet \(\vec{u}(2\,;\, 1)\) pour vecteur directeur. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(B(1\,;\, 4)\) sur \((d)\).

Voir la correction

\(H \in (d)\) donc il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u}\).

De plus, \(\overrightarrow{BH} \perp \vec{u}\), soit \(\overrightarrow{BH} \cdot \vec{u} = 0\).

On écrit \(\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AH} = -\overrightarrow{AB} + t\,\vec{u}\), avec \(\overrightarrow{AB}(0\,;\, 4)\).

\(\overrightarrow{BH} \cdot \vec{u} = 0 \iff \left(t\,\vec{u} – \overrightarrow{AB}\right) \cdot \vec{u} = 0 \iff t\,\Vert \vec{u} \Vert^2 – \overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = 0\)

\(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = 0 \times 2 + 4 \times 1 = 4\) et \(\Vert \vec{u} \Vert^2 = 4 + 1 = 5\)

\(t = \displaystyle\frac{4}{5}\) \(H = A + t\,\vec{u} = \left(1 + \displaystyle\frac{8}{5}\,;\, 0 + \displaystyle\frac{4}{5}\right) = \left(\displaystyle\frac{13}{5}\,;\, \displaystyle\frac{4}{5}\right)\)

Vérification : \(\overrightarrow{BH}\!\left(\displaystyle\frac{8}{5}\,;\, -\displaystyle\frac{16}{5}\right)\). \(\overrightarrow{BH} \cdot \vec{u} = \displaystyle\frac{16}{5} – \displaystyle\frac{16}{5} = 0\) ✓

Exercice 11 — Théorème d’Al-Kashi ★★

Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(\widehat{BAC} = 60°\). Calculer la longueur \(BC\). (On pourra utiliser le théorème d’Al-Kashi.)

Voir la correction

On écrit \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\), puis on développe :

\(BC^2 = \Vert \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB} \Vert^2 = AC^2 – 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + AB^2\)

Calcul du produit scalaire : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(60°) = 5 \times 7 \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{35}{2}\)

\(BC^2 = 49 – 35 + 25 = 39\)

Résultat : \(BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24\).

Exercice 12 — Identité du parallélogramme ★★

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), développer \(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2 + \Vert \vec{u} – \vec{v} \Vert^2\) et interpréter géométriquement le résultat.

Voir la correction

Développement :

\(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2 = \Vert \vec{u} \Vert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \Vert \vec{v} \Vert^2\) \(\Vert \vec{u} – \vec{v} \Vert^2 = \Vert \vec{u} \Vert^2 – 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \Vert \vec{v} \Vert^2\)

En additionnant, les termes en \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) s’annulent :

\(\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^2 + \Vert \vec{u} – \vec{v} \Vert^2 = 2\,\Vert \vec{u} \Vert^2 + 2\,\Vert \vec{v} \Vert^2\)

Interprétation géométrique : si \(ABCD\) est un parallélogramme avec \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AD} = \vec{v}\), alors \(AC = \Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert\) et \(BD = \Vert \vec{u} – \vec{v} \Vert\) sont les diagonales. On obtient :

\(AC^2 + BD^2 = 2\,AB^2 + 2\,AD^2\)

La somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés des quatre côtés.

Exercice 13 — Ensemble de points et cercle ★★

Soit \(A(1\,;\, 0)\) et \(B(3\,;\, 2)\). Déterminer et caractériser l’ensemble des points \(M(x\,;\, y)\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).

Voir la correction

Calculons \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}\) :

\(\overrightarrow{MA}(1-x\,;\, {-y})\) et \(\overrightarrow{MB}(3-x\,;\, 2-y)\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1-x)(3-x) + ({-y})(2-y)\) \(= x^2 – 4x + 3 + y^2 – 2y\) \(= (x-2)^2 – 4 + (y-1)^2 – 1 + 3\) \(= (x-2)^2 + (y-1)^2 – 2\) \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff (x-2)^2 + (y-1)^2 = 2\)

C’est l’équation d’un cercle de centre \(\Omega(2\,;\, 1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).

Vérification : \(\Omega\) est le milieu de \([AB]\) et \(AB = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}\), donc le rayon vaut \(\displaystyle\frac{AB}{2} = \sqrt{2}\). C’est le cercle de diamètre \([AB]\).

Exercice 14 — Théorème de la médiane (démonstration) ★★

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Montrer le théorème de la médiane :

\(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\)
Voir la correction

Puisque \(I\) est le milieu de \([BC]\), on a \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}\), donc \(\overrightarrow{IC} = -\overrightarrow{IB}\).

On décompose les vecteurs avec le point \(I\) :

\(AB^2 = \Vert \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} \Vert^2 = AI^2 + 2\,\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB} + IB^2\) \(AC^2 = \Vert \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} \Vert^2 = \Vert \overrightarrow{AI} – \overrightarrow{IB} \Vert^2 = AI^2 – 2\,\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB} + IB^2\)

En additionnant, les termes en \(\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IB}\) s’annulent :

\(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + 2\,IB^2\)

Or \(IB = \displaystyle\frac{BC}{2}\), donc \(2\,IB^2 = 2 \times \displaystyle\frac{BC^2}{4} = \displaystyle\frac{BC^2}{2}\).

Conclusion : \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\) ∎

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IV. Exercices de synthèse — type bac (★★★)

Exercice 15 — Triangle, longueur et hauteur ★★★

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(\widehat{BAC} = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
  2. En déduire la longueur \(BC\).
  3. \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). Calculer la distance \(AH\).
Voir la correction

a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times 6 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 12\)

b) On développe \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}\) :

\(BC^2 = AC^2 – 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + AB^2 = 36 – 24 + 16 = 28\) \(BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)

c) On utilise deux expressions de l’aire du triangle :

\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)

Et aussi \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times BC \times AH\), donc :

\(AH = \displaystyle\frac{2\mathcal{A}}{BC} = \displaystyle\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \displaystyle\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \displaystyle\frac{6\sqrt{21}}{7}\)

Exercice 16 — Caractérisation d’un cercle ★★★

Soit \(A(1\,;\, {-1})\) et \(B(3\,;\, 3)\).

  1. Montrer que pour tout point \(M(x\,;\, y)\) : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x – 2)^2 + (y – 1)^2 – 5\).
  2. En déduire l’ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
  3. Le point \(C(4\,;\, 0)\) appartient-il à \(\mathcal{E}\) ? Justifier.
Voir la correction

a) \(\overrightarrow{MA}(1 – x\,;\, {-1} – y)\) et \(\overrightarrow{MB}(3 – x\,;\, 3 – y)\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1 – x)(3 – x) + ({-1} – y)(3 – y)\) \(= x^2 – 4x + 3 + y^2 – 2y – 3 = x^2 – 4x + y^2 – 2y\)

\(= (x – 2)^2 – 4 + (y – 1)^2 – 1 = (x – 2)^2 + (y – 1)^2 – 5\) ∎

b) \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 5\)

\(\mathcal{E}\) est le cercle de centre \(\Omega(2\,;\, 1)\) et de rayon \(\sqrt{5}\).

Vérification : \(\Omega\) est le milieu de \([AB]\) et \(\displaystyle\frac{AB}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{4 + 16}}{2} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\). C’est le cercle de diamètre \([AB]\).

c) Pour \(C(4\,;\, 0)\) : \((4 – 2)^2 + (0 – 1)^2 = 4 + 1 = 5\). Donc \(C \in \mathcal{E}\).

Cela signifie que \(\widehat{ACB} = 90°\) (angle inscrit dans un demi-cercle).

Exercice 17 — Lieux géométriques avec un paramètre ★★★

Soit \(A(0\,;\, 0)\) et \(B(6\,;\, 0)\).

  1. Montrer que pour tout point \(M(x\,;\, y)\) : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x – 3)^2 + y^2 – 9\).
  2. Déterminer l’ensemble \(\mathcal{E}_1\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
  3. Déterminer l’ensemble \(\mathcal{E}_2\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -5\).
  4. Existe-t-il des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -10\) ? Justifier.
Voir la correction

a) \(\overrightarrow{MA}({-x}\,;\, {-y})\) et \(\overrightarrow{MB}(6 – x\,;\, {-y})\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = ({-x})(6 – x) + ({-y})({-y}) = x^2 – 6x + y^2 = (x – 3)^2 + y^2 – 9\) ∎

b) \((x – 3)^2 + y^2 = 9\) : cercle de centre \(I(3\,;\, 0)\) et de rayon \(3\).

Puisque \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(\displaystyle\frac{AB}{2} = 3\), c’est le cercle de diamètre \([AB]\).

c) \((x – 3)^2 + y^2 = 4\) : cercle de centre \(I(3\,;\, 0)\) et de rayon \(2\).

C’est un cercle concentrique au précédent, de rayon plus petit : il est « à l’intérieur » du cercle de diamètre \([AB]\).

d) \((x – 3)^2 + y^2 = -1\). Le membre de gauche est une somme de carrés, donc toujours \(\geq 0\). Cette équation n’a aucune solution.

Interprétation : la valeur minimale de \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}\) est \(-9\), atteinte au point \(I(3\,;\, 0)\) (milieu de \([AB]\)).

Exercice 18 — Optimisation sur un segment ★★★

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que \(AB = AC = 5\) et \(BC = 6\). On note \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(M\) un point de \([BC]\) tel que \(BM = t\) avec \(t \in [0\,;\, 6]\).

  1. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) puis \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\).
  2. Exprimer \(AM^2\) en fonction de \(t\).
  3. Pour quelle position de \(M\) sur \([BC]\) la distance \(AM\) est-elle minimale ?
Voir la correction

a) D’après la formule d’Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)

\(36 = 25 + 25 – 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7\)

Puis : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} – AB^2 = 7 – 25 = -18\)

b) \(M \in [BC]\) avec \(BM = t\), donc \(\overrightarrow{BM} = \displaystyle\frac{t}{6}\,\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \displaystyle\frac{t}{6}\,\overrightarrow{BC}\) \(AM^2 = AB^2 + 2 \times \displaystyle\frac{t}{6} \times \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \displaystyle\frac{t^2}{36} \times BC^2\) \(= 25 + \displaystyle\frac{t}{3} \times ({-18}) + \displaystyle\frac{t^2}{36} \times 36 = 25 – 6t + t^2\) \(AM^2 = (t – 3)^2 + 16\)

c) Le minimum de \(AM^2\) est atteint quand \((t – 3)^2 = 0\), soit \(t = 3\).

Quand \(t = 3\), le point \(M\) est le milieu \(I\) de \([BC]\).

\(AM_{\min} = \sqrt{16} = 4\)

Vérification par le théorème de la médiane : \(AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \displaystyle\frac{BC^2}{2}\), soit \(50 = 2\,AI^2 + 18\), donc \(AI = 4\) ✓

Retiens cette technique : exprimer une distance en fonction d’un paramètre, puis mettre sous forme canonique pour trouver le minimum.

Exercice 19 — Carré, angles et perpendiculaires ★★★

\(ABCD\) est un carré de côté \(a\). On note \(E\) le milieu de \([BC]\) et \(F\) le milieu de \([AB]\).

  1. Dans le repère orthonormé \((A\,;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AD})\), donner les coordonnées de chaque point.
  2. Calculer \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DE}\) et en déduire la mesure de l’angle \(\widehat{ADE}\) (arrondie au degré).
  3. Montrer que les droites \((AE)\) et \((DF)\) sont perpendiculaires.
Voir la correction

a) \(A(0\,;\, 0)\), \(B(a\,;\, 0)\), \(C(a\,;\, a)\), \(D(0\,;\, a)\), \(E\!\left(a\,;\, \displaystyle\frac{a}{2}\right)\), \(F\!\left(\displaystyle\frac{a}{2}\,;\, 0\right)\).

b) \(\overrightarrow{DA}(0\,;\, {-a})\) et \(\overrightarrow{DE}\!\left(a\,;\, -\displaystyle\frac{a}{2}\right)\)

\(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 \times a + ({-a})\!\left(-\displaystyle\frac{a}{2}\right) = \displaystyle\frac{a^2}{2}\)

\(\Vert \overrightarrow{DA} \Vert = a\) et \(\Vert \overrightarrow{DE} \Vert = \sqrt{a^2 + \displaystyle\frac{a^2}{4}} = \displaystyle\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\cos\!\left(\widehat{ADE}\right) = \displaystyle\frac{a^2/2}{a \times a\sqrt{5}/2} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\) \(\widehat{ADE} = \arccos\!\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63°\)

c) \(\overrightarrow{AE}\!\left(a\,;\, \displaystyle\frac{a}{2}\right)\) et \(\overrightarrow{DF}\!\left(\displaystyle\frac{a}{2}\,;\, {-a}\right)\)

\(\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DF} = a \times \displaystyle\frac{a}{2} + \displaystyle\frac{a}{2} \times ({-a}) = \displaystyle\frac{a^2}{2} – \displaystyle\frac{a^2}{2} = 0\)

Le produit scalaire étant nul, les droites \((AE)\) et \((DF)\) sont perpendiculaires. ∎

Exercice 20 — Problème de synthèse complet ★★★

Dans un repère orthonormé \((O\,;\, \vec{i},\, \vec{j})\), on considère les points \(A(0\,;\, 0)\), \(B(6\,;\, 0)\) et \(C(2\,;\, 4)\).

Partie A — Nature du triangle

  1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
  2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Justifier à l’aide du produit scalaire.

Partie B — Hauteur issue de \(C\)

  1. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\).
  2. Calculer la distance \(CH\).

Partie C — Lieu géométrique

  1. Montrer que pour tout point \(M(x\,;\, y)\) : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x – 3)^2 + y^2 – 9\).
  2. En déduire l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 8\).
Voir la correction

1) \(AB = 6\), \(AC = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}\), \(BC = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}\).

2) On teste l’orthogonalité en chaque sommet :

  • En \(A\) : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (6)(2) + (0)(4) = 12 \neq 0\)
  • En \(B\) : \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = ({-6})({-4}) + (0)(4) = 24 \neq 0\)
  • En \(C\) : \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = ({-2})(4) + ({-4})({-4}) = -8 + 16 = 8 \neq 0\)

Aucun produit scalaire n’est nul : le triangle n’est pas rectangle.

3) La droite \((AB)\) est portée par l’axe des abscisses, de vecteur directeur \(\vec{u}(6\,;\, 0)\).

\(t = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AC} \cdot \vec{u}}{\Vert \vec{u} \Vert^2} = \displaystyle\frac{12}{36} = \displaystyle\frac{1}{3}\) \(H = A + t\,\vec{u} = \left(0 + 2\,;\, 0\right) = (2\,;\, 0)\)

Vérification : \(\overrightarrow{CH}(0\,;\, {-4})\) et \(\overrightarrow{CH} \cdot \vec{u} = 0\) ✓

4) \(CH = \sqrt{(2-2)^2 + (0-4)^2} = 4\).

5) \(\overrightarrow{MA}({-x}\,;\, {-y})\) et \(\overrightarrow{MB}(6-x\,;\, {-y})\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -x(6-x) + y^2 = x^2 – 6x + y^2 = (x-3)^2 + y^2 – 9\) ∎

6) \((x-3)^2 + y^2 – 9 = 8 \iff (x-3)^2 + y^2 = 17\)

C’est le cercle de centre \(I(3\,;\, 0)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(\sqrt{17}\).

V. Erreurs fréquentes et pièges

Piège n°1 — Appliquer la formule analytique sans repère orthonormé

❌ Copie fautive : « Dans le repère \((A\,;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC})\), on a \(\overrightarrow{AB}(1\,;\, 0)\) et \(\overrightarrow{AC}(0\,;\, 1)\), donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\). »

Diagnostic : le repère \((A\,;\, \overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC})\) n’est pas orthonormé en général ! La formule \(xx^\prime + yy^\prime\) n’est valable que dans un repère orthonormé.

✅ Correction : vérifier que le repère est orthonormé avant d’utiliser la formule analytique. Sinon, utiliser les normes et l’angle, ou la formule de polarisation.

Piège n°2 — Inverser le sens du vecteur

❌ Copie fautive : « \(\overrightarrow{AB} = (x_A – x_B\,;\, y_A – y_B)\) »

Diagnostic : \(\overrightarrow{AB}\) va de \(A\) vers \(B\) : c’est arrivée moins départ.

✅ \(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A\,;\, y_B – y_A)\)

Piège n°3 — Confondre « produit scalaire nul » et « vecteur nul »

❌ Copie fautive : « \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) donc \(\vec{u} = \vec{0}\) ou \(\vec{v} = \vec{0}\). »

Diagnostic : le produit scalaire n’est pas un « vrai » produit de nombres réels. On ne peut pas appliquer la règle du produit nul.

✅ \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}\) (ou l’un des deux est le vecteur nul).

Piège n°4 — Se tromper d’angle dans la formule

❌ Copie fautive : « \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BCA})\) »

Diagnostic : l’angle de la formule est celui formé entre les deux vecteurs, c’est-à-dire l’angle au sommet commun. Ici les vecteurs partent de \(A\), l’angle est \(\widehat{BAC}\).

✅ \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)

VI. Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire avec les coordonnées ?

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x\,;\, y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\, y^\prime)\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx^\prime + yy^\prime\). C’est la méthode la plus rapide quand tu disposes des coordonnées. Attention : cette formule ne fonctionne que dans un repère orthonormé !

Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?

Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre réel (un scalaire). Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Le produit vectoriel n’est pas au programme de Première : tu le découvriras en Terminale ou en prépa.

Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ?

Calcule leur produit scalaire. Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), les vecteurs sont orthogonaux. C’est le critère fondamental. Pour approfondir les méthodes, consulte la fiche vecteurs orthogonaux.

Comment choisir la bonne formule du produit scalaire ?

Tout dépend des informations dont tu disposes : coordonnées dans un repère orthonormé → formule analytique ; normes et angle → formule avec le cosinus ; normes de u, v et u+v → formule de polarisation ; projection visible sur une figure → formule avec le projeté orthogonal. En cas de doute, la formule analytique est la plus polyvalente.

Le produit scalaire peut-il être négatif ?

Oui ! Le signe du produit scalaire dépend de l’angle entre les vecteurs : positif si l’angle est aigu (inférieur à 90°), nul si les vecteurs sont orthogonaux (90°), négatif si l’angle est obtus (supérieur à 90°). C’est ce qu’on observe dans l’exercice 1 ci-dessus.

VII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises ces 20 exercices ? Voici les ressources pour approfondir le chapitre :

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