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Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération qui, à partir de deux vecteurs, renvoie un nombre (un scalaire) mesurant à quel point ils « pointent dans la même direction ». Introduit en Première spé maths et prolongé dans l’espace en Terminale, c’est l’un des outils les plus puissants du programme : il permet de calculer des angles, de tester l’orthogonalité et de mesurer des distances. Tu trouveras ici la définition, les quatre formules à connaître, les propriétés démontrées, des exercices corrigés, les pièges classiques et une FAQ.
I. Définition du produit scalaire
Avant toute formule, comprenons l’idée. Deux vecteurs peuvent pointer dans la même direction, dans des directions opposées, ou être perpendiculaires. Le produit scalaire encode cette information en un seul nombre. Quand les vecteurs « vont dans le même sens », il est positif ; quand ils sont perpendiculaires, il est nul ; quand ils sont « opposés », il est négatif.
Définition — Produit scalaire
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est le nombre réel défini par :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)\)
où \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\) sont les normes (longueurs) des vecteurs et \(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\) l’angle qu’ils forment.
On rencontre aussi la notation \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\), surtout en physique et en classes préparatoires. Au lycée, on utilise \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
Le résultat est un nombre, pas un vecteur. C’est l’erreur la plus fréquente. Écrire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w}\) n’a aucun sens. Un produit scalaire vaut \(5\), \(-3\) ou \(0\) : jamais une flèche.
Produit scalaire vs produit vectoriel. Le produit scalaire (au lycée) donne un nombre. Le produit vectoriel (vu en prépa) donne un vecteur. Ne les confonds pas : au lycée et dans ce cours, il n’est question que du produit scalaire.
Cette définition géométrique est universelle, mais elle n’est pas toujours la plus pratique. Voyons d’abord pourquoi cet outil est si utile, puis nous découvrirons les quatre formules qui permettent de le calculer dans toutes les situations.
II. À quoi sert le produit scalaire ?
Beaucoup d’élèves apprennent les formules sans savoir à quoi elles servent. Pourtant, le produit scalaire répond à trois questions concrètes que l’on retrouve partout, au bac comme dans les sciences.
A. Calculer un angle entre deux directions
En isolant le cosinus dans la définition, on obtient l’angle entre deux vecteurs. C’est l’outil de base en géométrie analytique, en physique (angle entre une force et un déplacement) et en infographie.
B. Tester l’orthogonalité
Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire est nul. Ce critère est central pour démontrer qu’un triangle est rectangle, qu’une droite est perpendiculaire à une autre, ou qu’un vecteur est normal à un plan. C’est le cœur de la méthode développée dans la fiche vecteurs orthogonaux.
C. Mesurer une distance ou une projection
Le produit scalaire permet de calculer la longueur de la « projection » d’un vecteur sur une direction, et donc la distance d’un point à une droite ou à un plan. C’est l’idée derrière le projeté orthogonal et le calcul de distances.
Maintenant que tu sais pourquoi on s’en sert, attaquons le comment : les quatre formules de calcul.
Toutes les formules du produit scalaire sur une fiche
Les 4 formules, le critère d’orthogonalité et la méthode de calcul d’angle, réunis sur une seule page claire à imprimer.
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III. Les quatre formules du produit scalaire
Le même nombre \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) peut se calculer de quatre façons. Selon les données de l’énoncé (angle, coordonnées, projection, normes), l’une sera bien plus rapide que les autres.
| Formule | Expression | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Normes et angle | \(\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)\) | On connaît les longueurs et l’angle |
| Coordonnées | \(xx’ + yy’\) | On a les coordonnées (repère orthonormé) |
| Projection | \(\overline{OA} \times \overline{OH}\) | Figure avec un projeté visible |
| Polarisation | \(\displaystyle\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2\right)\) | On connaît les trois normes |
A. Formule avec les normes et l’angle
C’est la définition elle-même. Elle est idéale quand l’énoncé donne directement les longueurs et l’angle.
Exemple : \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et l’angle vaut \(60^\circ\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times \cos(60^\circ) = 12 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 6\).
B. Formule analytique (avec les coordonnées)
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}\,(x’\,;\,y’)\), alors :
Expression analytique
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’\)
Exemple : \(\vec{u}\,(2\,;\,5)\) et \(\vec{v}\,(-3\,;\,4)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\times(-3) + 5\times 4 = -6 + 20 = 14\).
Mini-exercice (correction ci-dessous) : calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour \(\vec{u}\,(1\,;\,-2)\) et \(\vec{v}\,(4\,;\,3)\).
Correction du mini-exercice (coordonnées)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\times 4 + (-2)\times 3 = 4 – 6 = -2\). Le résultat est négatif : l’angle entre les deux vecteurs est obtus.
C. Formule avec la projection orthogonale
Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\), alors \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overline{OA} \times \overline{OH}\) (mesures algébriques). Cette formule est très visuelle ; elle est détaillée dans la fiche projeté orthogonal.
D. Formule de polarisation
Elle relie le produit scalaire aux normes :
Identité de polarisation
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 – \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2\right)\)
Elle sert quand on connaît les trois longueurs \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\) et \(\|\vec{u}+\vec{v}\|\), notamment pour démontrer le théorème de la médiane.
Quatre formules, c’est pratique… mais comment savoir laquelle choisir ? C’est tout l’objet de la section suivante.
IV. Quelle formule choisir ? L’arbre de décision
Voici un guide que personne ne te donne explicitement et qui fait gagner un temps précieux en contrôle : tu regardes ce que l’énoncé te donne, et tu choisis la formule en conséquence.
| Ce que l’énoncé te donne | Formule à utiliser |
|---|---|
| Les coordonnées des vecteurs (repère orthonormé) | Formule analytique \(xx’ + yy’\) |
| Les normes et l’angle | Formule \(\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\) |
| Une figure avec un projeté visible | Formule de la projection |
| Les trois normes \(\|\vec{u}\|,\ \|\vec{v}\|,\ \|\vec{u}+\vec{v}\|\) | Formule de polarisation |
Réflexe gagnant : dès qu’on te donne des coordonnées dans un repère orthonormé, la formule \(xx’ + yy’\) est presque toujours la plus rapide et la moins risquée. Utilise-la en priorité.
Tu maîtrises le calcul. Voyons maintenant les propriétés qui rendent le produit scalaire si commode à manipuler dans les démonstrations.
V. Propriétés du produit scalaire
Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication classique, à quelques différences près. Trois propriétés sont à connaître.
Propriétés (pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) et tout réel \(k\))
- Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Bilinéarité : \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\) et \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- Carré scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
La bilinéarité combinée à la relation de Chasles permet de développer des expressions vectorielles comme des identités remarquables. Par exemple :
\((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\)Pas de « simplification » abusive. De \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{w}\) on ne peut PAS conclure \(\vec{v} = \vec{w}\). Le produit scalaire n’est pas simplifiable comme un nombre. Par exemple, deux vecteurs différents peuvent avoir le même produit scalaire avec un troisième.
Une propriété mérite une section à part tant elle est exploitée au bac : le cas où le produit scalaire est nul.
VI. Orthogonalité : le produit scalaire nul
C’est sans doute l’application la plus utilisée. Elle transforme un problème géométrique (« ces vecteurs sont-ils perpendiculaires ? ») en un simple calcul.
Critère d’orthogonalité
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
L’explication est lumineuse avec la première formule : si les vecteurs sont perpendiculaires, l’angle vaut \(90^\circ\) et \(\cos(90^\circ) = 0\), donc le produit scalaire s’annule. Le théorème de Pythagore en est d’ailleurs une conséquence directe : c’est exactement le cas particulier d’orthogonalité, comme le montre la fiche Pythagore.
Exemple : les vecteurs \(\vec{u}\,(3\,;\,2)\) et \(\vec{v}\,(-4\,;\,6)\) sont-ils orthogonaux ?
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\times(-4) + 2\times 6 = -12 + 12 = 0\).
Le produit scalaire est nul : oui, les deux vecteurs sont orthogonaux.
Orthogonalité ≠ perpendicularité. On parle de vecteurs orthogonaux et de droites perpendiculaires. Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Mélanger le vocabulaire coûte des points en rédaction.
Pour aller plus loin sur les méthodes de démonstration (4 techniques détaillées), consulte la fiche dédiée vecteurs orthogonaux. Passons maintenant au calcul d’un angle quelconque.
VII. Calculer un angle entre deux vecteurs
Quand l’angle n’est pas droit, le produit scalaire reste le meilleur outil pour le déterminer. La méthode tient en trois étapes.
- Calculer le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) (souvent via les coordonnées).
- Calculer les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
- En déduire \(\cos\theta = \displaystyle\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}\), puis \(\theta\) avec la touche \(\cos^{-1}\).
Exemple : \(\vec{u}\,(2\,;\,1)\) et \(\vec{v}\,(1\,;\,3)\). Quel est l’angle \(\theta\) ?
Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 1 + 1\times 3 = 5\).
Normes : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}\) et \(\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}\).
Cosinus : \(\cos\theta = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{50}} = \displaystyle\frac{5}{5\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Donc \(\theta = 45^\circ\).
Dans un triangle, on combine souvent ce calcul avec le théorème d’Al-Kashi : voir la page loi des sinus et théorème d’Al-Kashi, dont la démonstration repose justement sur le produit scalaire.
Exercice de raisonnement. Soit \(ABC\) un triangle avec \(\overrightarrow{AB}\,(4\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,3)\). Montre que l’angle \(\widehat{BAC}\) est aigu, sans calculer sa valeur exacte.
Correction de l'exercice de raisonnement
On calcule le signe du produit scalaire : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times 1 + 0\times 3 = 4\). Comme \(4\) > \(0\), le cosinus de l’angle est positif, donc l’angle \(\widehat{BAC}\) est aigu. Le signe du produit scalaire suffit à conclure : positif = angle aigu, nul = angle droit, négatif = angle obtus.
Avant de récapituler, faisons le point sur les erreurs qui coûtent le plus de points.
VIII. Extension à l’espace (Terminale) 🟡
En Terminale spé maths, le produit scalaire se généralise à l’espace, et toutes les formules survivent presque à l’identique.
🟡 Formule analytique dans l’espace
Dans un repère orthonormé de l’espace, pour \(\vec{u}\,(x\,;\,y\,;\,z)\) et \(\vec{v}\,(x’\,;\,y’\,;\,z’)\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’\)
Le critère d’orthogonalité reste \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Il devient l’outil central pour trouver un vecteur normal à un plan et calculer une distance d’un point à un plan. Tout est détaillé dans la fiche produit scalaire dans l’espace, avec des exercices type bac.
Maintenant, le récapitulatif et les pièges à éviter absolument.
IX. Pièges classiques et erreurs fréquentes
Voici les quatre erreurs que je corrige le plus souvent dans les copies, présentées avec leur diagnostic.
❌ Copie fautive : « \(\vec{u}\,(2\,;\,3)\), \(\vec{v}\,(1\,;\,4)\), donc \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 3 + 1\times 4\) ».
Diagnostic : l’élève multiplie les coordonnées du même vecteur.
✅ Correction : on croise les abscisses ensemble et les ordonnées ensemble : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 1 + 3\times 4 = 14\).
Les trois autres pièges fréquents :
- Appliquer \(xx’+yy’\) dans un repère non orthonormé. La formule analytique n’est valable que si le repère est orthonormé. Sinon, elle est fausse.
- Oublier le signe avec un angle obtus. Si l’angle dépasse \(90^\circ\), le cosinus est négatif, donc le produit scalaire aussi.
- Confondre \(\|\vec{u}\|^2\) et \(\|\vec{u}^2\|\). Le carré scalaire s’écrit \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) ; il n’existe pas de « vecteur au carré ».
X. Questions fréquentes
C'est quoi le produit scalaire en maths ?
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui mesure à quel point ces vecteurs « pointent dans la même direction ». Il se calcule avec \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\) ou, plus simplement, avec les coordonnées : \(xx’ + yy’\). Le résultat est toujours un réel, jamais un vecteur.
Quelle est la différence entre produit scalaire et produit vectoriel ?
Le produit scalaire donne un nombre et se manipule dès la Première au lycée. Le produit vectoriel, étudié en classes préparatoires, donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Au lycée, seul le produit scalaire est au programme.
Un produit scalaire peut-il être négatif ?
Oui. Son signe dépend de l’angle : positif si l’angle est aigu (les vecteurs vont « dans le même sens »), nul si l’angle est droit, et négatif si l’angle est obtus (les vecteurs vont « en sens opposés »). Le signe seul renseigne donc sur la nature de l’angle.
Comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux ?
Il suffit de calculer leur produit scalaire : ils sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). En coordonnées, on vérifie que \(xx’ + yy’ = 0\). La méthode complète est détaillée dans la fiche vecteurs orthogonaux.
La formule xx' + yy' marche-t-elle toujours ?
Non : elle n’est valable que dans un repère orthonormé. Si le repère n’est pas orthonormé, cette formule donne un résultat faux ; il faut alors revenir à la définition avec les normes et l’angle.
En quelle classe étudie-t-on le produit scalaire ?
Le produit scalaire est introduit dans le plan en Première spé maths, puis étendu à l’espace en Terminale spé maths. Il se prolonge en classes préparatoires avec les espaces euclidiens et l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la définition, les formules et les propriétés du produit scalaire. Pour t’entraîner et approfondir :
- Exercices corrigés sur le produit scalaire (Première) — 15 à 20 exercices gradués avec corrections pas à pas.
- Vecteurs orthogonaux : comment le montrer en 4 méthodes
- Le projeté orthogonal : méthode et formule
- Distance d’un point à une droite et à un plan
- Produit scalaire dans l’espace (Terminale)
- Le théorème de la médiane
🔴 Pour les futurs prépas. Le produit scalaire du lycée est un cas particulier d’une notion plus générale : la forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel. En MPSI/PCSI, on étudie les espaces préhilbertiens, l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le procédé de Gram-Schmidt. Un article prépa dédié aux espaces euclidiens viendra prolonger ce cours.
Pour réviser avant un contrôle ou progresser en géométrie, découvre nos cours particuliers de maths en Terminale et l’accompagnement dédié à la spé maths.
