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Comment connaître la longueur d’une échelle appuyée contre un mur sans la mesurer ? Comment vérifier qu’un terrain forme bien un angle droit ? Depuis plus de 2 500 ans, une seule relation répond à ces questions : le théorème de Pythagore. C’est l’outil n°1 du collège pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. Dans ce cours, tu vas le comprendre, apprendre à l’utiliser pas à pas, et éviter les erreurs classiques.
I. Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
Avant la formule, il faut connaître deux mots de vocabulaire. Tout le théorème tourne autour d’un type de triangle bien précis : le triangle rectangle.
Définition — Triangle rectangle et hypoténuse
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°).
Le côté situé en face de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le côté le plus long du triangle. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l’angle droit.
Maintenant que le vocabulaire est posé, voici l’énoncé du théorème. Retiens-le, car c’est lui qui relie les trois côtés entre eux.
Théorème de Pythagore
Si un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Autrement dit : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le théorème de Pythagore est introduit en 4ème, puis utilisé toute la fin du collège, notamment au brevet. Attention à ne pas le confondre avec un autre grand théorème de géométrie : si tu hésites entre les deux, lis notre comparaison Thalès ou Pythagore.
À quoi ça sert dans la vraie vie ? Le théorème de Pythagore est partout : les maçons s’en servent pour vérifier qu’un mur est bien d’équerre (à angle droit), les GPS l’utilisent pour calculer des distances, et c’est aussi lui qui se cache derrière la taille en pouces d’un écran de télévision (mesurée sur la diagonale).
II. La formule du théorème de Pythagore : a² + b² = c²
On note souvent les deux côtés de l’angle droit \(a\) et \(b\), et l’hypoténuse \(c\). La formule devient alors très simple à mémoriser :
De cette égalité, on tire deux formules très utiles selon ce que tu cherches :
- Pour trouver l’hypoténuse \(c\) : \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- Pour trouver un côté de l’angle droit \(a\) : \(a = \sqrt{c^2 – b^2}\)
Attention au signe ! Pour calculer l’hypoténuse, on additionne les carrés. Pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait. Si tu trouves un nombre négatif sous la racine, c’est que tu as mélangé les deux : recommence en vérifiant quel côté est l’hypoténuse (le plus long).
A. Les triplets pythagoriciens à connaître
Certains triangles rectangles ont des longueurs « rondes », sans racine compliquée. Les reconnaître te fait gagner un temps précieux en contrôle. On les appelle des triplets pythagoriciens.
| Côté a | Côté b | Hypoténuse c | Vérification |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | \(9 + 16 = 25\) |
| 6 | 8 | 10 | \(36 + 64 = 100\) |
| 5 | 12 | 13 | \(25 + 144 = 169\) |
| 8 | 15 | 17 | \(64 + 225 = 289\) |
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La formule, la méthode en 4 étapes, les triplets et les pièges à éviter, le tout sur une seule page claire.
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Astuce : tous les multiples d’un triplet en sont aussi un. Comme \(3{-}4{-}5\) fonctionne, \(30{-}40{-}50\) fonctionne aussi (on a tout multiplié par 10). Pratique pour reconnaître un triangle rectangle d’un coup d’œil.
III. Comment calculer une longueur avec Pythagore
Le théorème sert surtout à calculer la longueur d’un côté quand on connaît les deux autres. Voici la méthode à suivre, à chaque fois, dans le même ordre.
Méthode en 4 étapes
- Vérifie que le triangle est bien rectangle, et repère où se trouve l’angle droit.
- Écris l’égalité de Pythagore en plaçant l’hypoténuse (le côté en face de l’angle droit) toute seule d’un côté du « = ».
- Remplace par les valeurs connues et calcule les carrés.
- Termine par une racine carrée pour trouver la longueur cherchée.
A. Exemple : calculer l’hypoténuse
Exemple : Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On sait que \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm. Calcule \(BC\).
D’après le théorème de Pythagore, le triangle étant rectangle en \(A\) :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
Donc \(BC = \sqrt{100} = 10\) cm.
L’hypoténuse mesure 10 cm. (On reconnaît le triplet \(6{-}8{-}10\) !)
B. Exemple : calculer un côté de l’angle droit
Quand c’est l’hypoténuse qui est connue et un côté de l’angle droit qui manque, on soustrait au lieu d’additionner.
Exemple : Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(D\). On sait que \(EF = 13\) cm (l’hypoténuse) et \(DE = 5\) cm. Calcule \(DF\).
\(EF^2 = DE^2 + DF^2\)
\(13^2 = 5^2 + DF^2\)
\(169 = 25 + DF^2\)
On isole \(DF^2\) : \(DF^2 = 169 – 25 = 144\)
Donc \(DF = \sqrt{144} = 12\) cm.
Pour t’entraîner uniquement sur ce type de calcul, étape par étape, consulte la fiche méthode pour calculer l’hypoténuse et un côté d’un triangle rectangle.
IV. Pourquoi le théorème de Pythagore est-il vrai ?
Une formule, c’est bien ; comprendre pourquoi elle marche, c’est mieux. Il existe une explication très visuelle, avec des aires de carrés.
Imagine qu’on dessine un carré sur chacun des trois côtés du triangle rectangle. Le théorème dit alors que l’aire du grand carré (sur l’hypoténuse) est exactement égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Sur un triangle \(3{-}4{-}5\), les petits carrés ont pour aires \(3^2 = 9\) et \(4^2 = 16\). Leur somme vaut \(9 + 16 = 25\), soit exactement l’aire du grand carré \(5^2 = 25\). C’est cette égalité des aires que résume la formule \(a^2 + b^2 = c^2\).
Il existe en réalité des dizaines de façons de démontrer ce résultat (par les aires comme Euclide, par les triangles semblables, ou même la preuve d’un président américain !). Si tu veux comprendre en profondeur, découvre notre panorama des démonstrations du théorème de Pythagore.
V. La réciproque : démontrer qu’un triangle est rectangle
Jusqu’ici, on partait d’un triangle rectangle pour trouver une longueur. La réciproque fait l’inverse : elle part des trois longueurs pour prouver qu’un triangle est rectangle (ou non).
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et son angle droit est en face du plus grand côté.
En clair : tu calcules d’un côté \(c^2\) (le plus grand côté au carré), et de l’autre \(a^2 + b^2\). Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle. S’ils sont différents, il ne l’est pas. C’est une compétence très attendue au brevet. Pour la méthode complète et la rédaction notée, va voir la page dédiée à la réciproque du théorème de Pythagore.
VI. Exercices corrigés
Passons à la pratique. Essaie de résoudre chaque exercice seul avant de lire la correction. Tu trouveras bien plus d’entraînement sur la page d’exercices corrigés sur le théorème de Pythagore.
Exercice 1 ★ — Calculer l’hypoténuse
Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). On donne \(RS = 9\) cm et \(ST = 12\) cm. Calcule la longueur \(RT\).
Correction : Le triangle est rectangle en \(S\), donc l’hypoténuse est \(RT\) (en face de \(S\)).
\(RT^2 = RS^2 + ST^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
\(RT = \sqrt{225} = 15\) cm.
L’hypoténuse \(RT\) mesure 15 cm.
Exercice 2 ★★ — Calculer un côté de l’angle droit
Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\). On donne \(KM = 17\) cm et \(LM = 8\) cm. Calcule \(KL\) (valeur exacte).
Correction : Ici l’hypoténuse est \(KM = 17\) cm. On cherche un côté de l’angle droit, donc on soustrait.
\(KM^2 = KL^2 + LM^2\)
\(17^2 = KL^2 + 8^2\)
\(289 = KL^2 + 64\)
\(KL^2 = 289 – 64 = 225\)
\(KL = \sqrt{225} = 15\) cm.
Exercice 3 ★★ — Un problème concret
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l’échelle est posé à 3 m du mur. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? Cet exercice demande d’abord de repérer le triangle rectangle caché dans la situation.
Correction : Le mur et le sol forment un angle droit. Le triangle est donc rectangle, avec l’échelle pour hypoténuse (5 m), la distance au mur pour un côté (3 m) et la hauteur \(h\) pour l’autre côté.
\(5^2 = 3^2 + h^2\)
\(25 = 9 + h^2\)
\(h^2 = 25 – 9 = 16\)
\(h = \sqrt{16} = 4\) m.
L’échelle touche le mur à 4 m de hauteur. (encore le triplet \(3{-}4{-}5\) !)
VII. Erreurs fréquentes à éviter
La plupart des points perdus en contrôle viennent de trois erreurs très classiques. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — Se tromper d’hypoténuse.
❌ Copie fautive : un élève écrit \(AB^2 = BC^2 + AC^2\) alors que le triangle est rectangle en \(A\).
🔎 Diagnostic : il a mis le mauvais côté tout seul. L’hypoténuse est toujours en face de l’angle droit.
✅ Correction : le triangle est rectangle en \(A\), donc l’hypoténuse est \(BC\) et on écrit \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Erreur n°2 — Oublier la racine carrée. Après avoir trouvé \(BC^2 = 100\), beaucoup écrivent « \(BC = 100\) ». Non ! Il faut prendre la racine : \(BC = \sqrt{100} = 10\).
Erreur n°3 — Additionner les longueurs au lieu des carrés. Pythagore parle de carrés. Écrire \(BC = AB + AC\) est faux : \(6 + 8 = 14\) alors que la vraie hypoténuse vaut 10. On additionne \(6^2 + 8^2\), pas \(6 + 8\).
VIII. Pythagore au lycée et au-delà
Le théorème de Pythagore ne s’arrête pas au collège : il revient, transformé, tout au long des études. Voici les paliers qui t’attendent.
🟡 Seconde. Dans un repère, la distance entre deux points \(A\) et \(B\) se calcule avec une formule qui est exactement Pythagore appliqué aux coordonnées : \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\).
🟡 Première et Terminale. La longueur d’un vecteur, appelée norme d’un vecteur, repose sur la même idée. Le théorème se généralise aussi grâce au produit scalaire, qui permet d’écrire \(\|u+v\|^2\) de façon élégante.
🔴 Prépa (CPGE). Pythagore devient un cas particulier de la loi d’Al-Kashi (pour les triangles quelconques) et se généralise même aux espaces euclidiens en dimension quelconque. Le petit théorème de 4ème est, en réalité, l’une des pierres fondatrices de toute la géométrie.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la phrase du théorème de Pythagore ?
La phrase à retenir est : « Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » En formule, si le triangle est rectangle en A : BC² = AB² + AC², où BC est l’hypoténuse.
Comment faire le calcul de Pythagore ?
En 4 étapes : 1) repère l’angle droit ; 2) écris l’égalité avec l’hypoténuse seule d’un côté ; 3) remplace par les valeurs et calcule les carrés ; 4) prends la racine carrée. Pour l’hypoténuse on additionne les carrés, pour un côté de l’angle droit on soustrait.
En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore est introduit en 4ème, dans le cadre du cycle 4. Il est ensuite consolidé en 3ème, notamment avec sa réciproque, et il fait partie des chapitres incontournables du brevet des collèges.
Comment calculer le 3e côté d'un triangle rectangle ?
Si tu cherches l’hypoténuse, fais la racine de la somme des carrés des deux côtés : c = √(a² + b²). Si tu cherches un côté de l’angle droit, fais la racine de la différence : a = √(c² − b²), où c est l’hypoténuse (le plus grand côté).
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème part d’un triangle déjà rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part des trois longueurs pour démontrer que le triangle est (ou n’est pas) rectangle : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. S’ils sont égaux, le triangle est rectangle.
Faut-il confondre Pythagore et Thalès ?
Non. Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Thalès sert à calculer des longueurs avec des droites parallèles et des triangles proportionnels. Pour choisir le bon, regarde l’énoncé : présence d’un angle droit → Pythagore ; présence de droites parallèles → Thalès.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le théorème de Pythagore. Pour continuer à progresser :
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