En maths (et encore plus en DS / bac / concours), reconnaître une usuelle en 2 secondes fait gagner un temps énorme : tu sais où elle est définie, comment elle varie, à quoi ressemble sa courbe, et (au lycée/prépa) comment la dériver et quelles sont ses limites.
Cette page est une synthèse : elle centralise les courbes de référence et les réflexes (domaine, tracé, transformations). Pour le cadre général (vocabulaire, notations, lecture de courbe), commence par : Fonctions en maths (cours).
Qu’est-ce qu’une fonction usuelle ?
Définition. On appelle fonction usuelle (ou de référence) une expression « standard » dont on connaît à l’avance :
- son ensemble de définition (domaine),
- son sens de variation (croissante/décroissante),
- son allure de courbe (points repères, symétries, asymptotes),
- et souvent (lycée/prépa) ses formules de dérivation, limites et parfois primitives.
Pourquoi c’est central ? Parce qu’une énorme partie des exercices consiste à étudier des expressions qui sont : des combinaisons d’usuelles (sommes, produits, quotients) et/ou des transformations d’une courbe de référence (translation, symétrie, étirement, composition).
Trois grandes familles :
Les algébriques : affine, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue, polynômes, puissances.
Les transcendantes : exponentielle, logarithme népérien, trigonométriques (sin, cos, tan) et leurs réciproques.
Les hyperboliques (supérieur) : ch, sh, th et leurs réciproques.
Piège de vocabulaire (très fréquent). « Usuelle » ≠ « forme usuelle ».
La forme usuelle est une manière « standard » d’écrire une expression (ex : un trinôme en forme usuelle \(ax^2+bx+c\)).
Une fonction usuelle est une famille de courbes « repères » (affine, carré, inverse, exponentielle, logarithme, sinus…).
Tableau récapitulatif complet
Ce tableau rassemble les propriétés essentielles de chaque usuelle : notation, ensemble de définition, dérivée, sens de variation, parité et limites aux bornes. C’est l’outil de référence à connaître pour toute étude.
Algébriques
| Nom | Notation | Domaine | Dérivée | Variation | Parité |
|---|---|---|---|---|---|
| Affine | \(f(x) = ax + b\) | \(\mathbb{R}\) | \(a\) | Croissante si \(a\) > 0, décroissante si \(a\) < 0 | Ni paire ni impaire (sauf cas particuliers) |
| Carré | \(f(x) = x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(2x\) | Décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\) | Paire |
| Cube | \(f(x) = x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(3x^2\) | Croissante sur \(\mathbb{R}\) | Impaire |
| Racine carrée | \(f(x) = \sqrt{x}\) | \([0 ; +\infty[\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | Croissante sur \(]0 ; +\infty[\) | — |
| Inverse | \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | Décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\) | Impaire |
| Valeur absolue | \(f(x) = |x|\) | \(\mathbb{R}\) | \(-1\) si \(x\) < 0, \(+1\) si \(x\) > 0 | Décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\) | Paire |
| Puissance (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(f(x) = x^\alpha\) | \(]0 ; +\infty[\) | \(\alpha x^{\alpha – 1}\) | Croissante si \(\alpha\) > 0, décroissante si \(\alpha\) < 0 | — |
Transcendantes
| Nom | Notation | Domaine | Dérivée | Variation | Parité |
|---|---|---|---|---|---|
| Exponentielle | \(f(x) = e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(e^x\) | Croissante sur \(\mathbb{R}\) | Ni paire ni impaire |
| Logarithme népérien | \(f(x) = \ln x\) | \(]0 ; +\infty[\) | \(\frac{1}{x}\) | Croissante sur \(]0 ; +\infty[\) | — |
| Sinus | \(f(x) = \sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\cos x\) | Croissante sur \([-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\) | Impaire |
| Cosinus | \(f(x) = \cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\sin x\) | Décroissante sur \([0 ; \pi]\) | Paire |
| Tangente | \(f(x) = \tan x\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\) | \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) | Croissante sur chaque intervalle de définition | Impaire |
Les courbes de référence du lycée (seconde)
En classe de seconde, le programme introduit les premières expressions de référence. Ce sont les usuelles algébriques les plus fondamentales, que tout élève doit savoir reconnaître, tracer et utiliser pour résoudre des équations et des inéquations.
Affine et linéaire
L’affine est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = ax + b\), où \(a\) est le coefficient directeur et \(b\) l’ordonnée à l’origine. Sa courbe est une droite. Lorsque \(b = 0\), elle est dite linéaire : \(f(x) = ax\), et la droite passe par l’origine.
Le sens de variation dépend du signe de \(a\) : strictement croissante si \(a\) > 0, strictement décroissante si \(a\) < 0. Pour un cours complet sur les fonctions affine et linéaire, consulte la page dédiée.
Carré, cube et racine carrée
Le carré \(f(x) = x^2\) est une expression paire dont la courbe est une parabole de sommet \(O\). Elle est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\).
Le cube \(f(x) = x^3\) est impair et strictement croissant sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe présente un point d’inflexion à l’origine.
La racine carrée \(f(x) = \sqrt{x}\) est définie sur \([0 ; +\infty[\) et strictement croissante. Attention : son ensemble de définition n’est pas \(\mathbb{R}\) — c’est un piège fréquent. Pour approfondir : cours sur les fonctions carré, cube et racine carrée.
Inverse
L’inverse est définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\). C’est une expression impaire dont la courbe est une hyperbole. Elle est strictement décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\), mais attention : elle n’est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier. Pour en savoir plus : cours sur la fonction inverse.
Valeur absolue
La valeur absolue \(f(x) = |x|\) est définie sur \(\mathbb{R}\). C’est une expression paire dont la courbe forme un V symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\). Elle n’est pas dérivable en \(x = 0\). Retrouve le détail dans le cours sur la fonction valeur absolue.
Les fonctions usuelles d’analyse (terminale)
En première et terminale, le programme introduit les grandes transcendantes : exponentielle, logarithme et trigonométriques. Elles jouent un rôle central dans la modélisation des phénomènes naturels (croissance, décroissance, oscillations) et constituent le socle de l’analyse mathématique.
Exponentielle
L’exponentielle est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^x\). C’est la seule expression égale à sa propre dérivée et vérifiant \(f(0) = 1\). Elle est strictement croissante, strictement positive, et sa croissance domine celle de tout polynôme en \(+\infty\).
Limites fondamentales : \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\). Consulte le cours complet sur l’exponentielle.
Logarithme népérien (ln)
Le logarithme népérien est défini sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \ln x\). C’est la réciproque de l’exponentielle : \(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(e^{\ln x} = x\) pour tout \(x\) > 0.
Ses propriétés algébriques fondamentales sont : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b\) et \(\ln(a^n) = n \ln a\). Détails dans le cours sur le logarithme.
Trigonométriques (sin, cos, tan)
Les trigonométriques sont \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\). Sinus et cosinus sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1 ; 1]\), et de période \(2\pi\). La tangente est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \mathbb{Z}\}\) et de période \(\pi\).
Propriétés de parité : \(\sin\) et \(\tan\) sont impaires, \(\cos\) est paire. L’identité fondamentale est \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Cours détaillé : les fonctions trigonométriques.
Polynôme du second degré
Un polynôme du second degré est une expression de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Sa courbe est une parabole dont le sommet a pour abscisse \(x_S = -\frac{b}{2a}\). Elle est croissante puis décroissante (si \(a\) < 0) ou décroissante puis croissante (si \(a\) > 0). Pour aller plus loin : cours sur le polynôme du second degré.
Les fonctions usuelles du supérieur (prépa / L1)
En classes préparatoires et en licence, le catalogue s’enrichit considérablement. On y ajoute les puissances générales, les trigonométriques réciproques, les hyperboliques et la partie entière. La maîtrise de ces outils est indispensable pour les épreuves de concours.
Fonctions puissances
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la puissance d’exposant \(\alpha\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\). Sa dérivée est \(f'(x) = \alpha x^{\alpha – 1}\). Elle est croissante si \(\alpha\) > 0 et décroissante si \(\alpha\) < 0.
Les propriétés algébriques essentielles sont : \((xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha\), \(x^{\alpha + \beta} = x^\alpha \cdot x^\beta\) et \((x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}\).
Croissances comparées : en \(+\infty\), l’exponentielle l’emporte sur toute puissance, et toute puissance l’emporte sur le logarithme. Formellement : pour tout \(\alpha\) > 0,
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{(\ln x)^\beta} = +\infty\) (pour \(\beta\) > 0).
Trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan)
| Nom | Domaine | Ensemble d’arrivée | Dérivée | Variation | Parité |
|---|---|---|---|---|---|
| Arcsinus | \([-1 ; 1]\) | \([-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\) | \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) | Croissante | Impaire |
| Arccosinus | \([-1 ; 1]\) | \([0 ; \pi]\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) | Décroissante | Ni paire ni impaire |
| Arctangente | \(\mathbb{R}\) | \(]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\) | \(\frac{1}{1 + x^2}\) | Croissante | Impaire |
Relation fondamentale : pour tout \(x \in [-1 ; 1]\), on a \(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\).
Piège classique : \(\arcsin(\sin x) = x\) n’est vrai que si \(x \in [-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\). En dehors de cet intervalle, il faut utiliser les symétries du sinus pour ramener l’argument dans le bon intervalle.
Hyperboliques (ch, sh, th)
Les hyperboliques sont définies à partir de l’exponentielle :
- Cosinus hyperbolique : \(\mathrm{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\), défini sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([1 ; +\infty[\), paire.
- Sinus hyperbolique : \(\mathrm{sh}(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2}\), défini sur \(\mathbb{R}\), impaire, strictement croissante.
- Tangente hyperbolique : \(\mathrm{th}(x) = \frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}\), définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]-1 ; 1[\), impaire, strictement croissante.
L’identité fondamentale est \(\mathrm{ch}^2(x) – \mathrm{sh}^2(x) = 1\), analogue de \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Les formules de dérivation sont : \(\mathrm{ch}'(x) = \mathrm{sh}(x)\), \(\mathrm{sh}'(x) = \mathrm{ch}(x)\) et \(\mathrm{th}'(x) = 1 – \mathrm{th}^2(x) = \frac{1}{\mathrm{ch}^2(x)}\).
Application concrète : la courbe d’un câble suspendu entre deux pylônes (ligne électrique, pont suspendu) est décrite par \(y = a \cdot \mathrm{ch}\!\left(\frac{x}{a}\right)\), appelée chaînette.
Partie entière
La partie entière \(E(x)\) (ou \(\lfloor x \rfloor\)) associe à tout réel \(x\) le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\). Elle vérifie \(E(x) \leq x\) < \(E(x) + 1\). Sa courbe est un escalier : elle est constante sur chaque intervalle \([n ; n+1[\) (pour \(n \in \mathbb{Z}\)) et présente une discontinuité en chaque entier.
Dérivées des fonctions usuelles
Connaître les formules de dérivation par cœur est un prérequis absolu en analyse. Le tableau ci-dessous récapitule l’essentiel. Pour un tableau complet avec les règles d’opération détaillées, consulte la page dédiée.
| Expression \(f(x)\) | \(f'(x)\) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha x^{\alpha – 1}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan x\) | \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\) |
| \(\arcsin x\) | \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) | \(]-1 ; 1[\) |
| \(\arccos x\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) | \(]-1 ; 1[\) |
| \(\arctan x\) | \(\frac{1}{1 + x^2}\) | \(\mathbb{R}\) |
Rappel des règles d’opération : pour deux expressions \(u\) et \(v\) dérivables, \((u + v)’ = u’ + v’\), \((uv)’ = u’v + uv’\), \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\). Pour la composition : \((g \circ u)'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x))\). Voir le cours sur le calcul de dérivées pour la méthode détaillée.
Limites des fonctions usuelles
Les limites aux bornes du domaine de définition sont des résultats fondamentaux, utilisés constamment en analyse pour le calcul de limites d’expressions composées.
| Expression | En \(-\infty\) | En \(0\) | En \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n\) pair) | \(+\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\) (\(n\) impair) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(0\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | — | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(e^x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| \(\ln x\) | — | \(-\infty\) (en \(0^+\)) | \(+\infty\) |
| \(\sin x\), \(\cos x\) | Pas de limite | \(0\) / \(1\) | Pas de limite |
| \(\arctan x\) | \(-\frac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
Croissances comparées (résultats à connaître par cœur en terminale et prépa) :
- Pour tout \(\alpha\) > 0 : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = +\infty\) — l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
- Pour tout \(\alpha\) > 0 et \(\beta\) > 0 : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{(\ln x)^\beta} = +\infty\) — toute puissance l’emporte sur le logarithme.
- En 0 : \(\lim_{x \to 0^+} x^\alpha |\ln x|^\beta = 0\) pour tout \(\alpha\) > 0, \(\beta\) > 0.
Attention aux formes indéterminées : les limites « \(+\infty – \infty\) », « \(\frac{0}{0}\) », « \(\frac{\infty}{\infty}\) », « \(0 \times \infty\) », « \(1^\infty\) », « \(0^0\) », « \(\infty^0\) » ne peuvent pas être conclues directement. Il faut les lever par factorisation, conjugaison, utilisation des croissances comparées ou de la règle de L’Hôpital.
Primitives des fonctions usuelles
Une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) est une expression \(F\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\). Les primitives sont définies à une constante additive près.
| \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) (si \(n \in \mathbb{N}\)) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln |x|\) | \(]0 ; +\infty[\) ou \(]-\infty ; 0[\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | \(]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\) |
| \(\frac{1}{1 + x^2}\) | \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) | \(\arcsin x\) | \(]-1 ; 1[\) |
Méthode : comment mener une étude complète de fonction usuelle
Quand on te demande d’étudier une expression, la démarche est toujours la même. Voici la méthode en sept étapes, applicable à toute combinaison d’usuelles.
Checklist pour une étude complète :
- Domaine de définition — identifier les valeurs interdites (dénominateur nul, logarithme d’un nombre négatif, racine d’un nombre négatif). Voir le cours sur l’ensemble de définition.
- Parité et périodicité — vérifier si \(f(-x) = f(x)\) (paire), \(f(-x) = -f(x)\) (impaire) ou \(f(x + T) = f(x)\) (périodique). Cela permet de réduire l’intervalle d’étude. Voir la page paire et impaire.
- Limites aux bornes — utiliser le tableau des limites et les croissances comparées.
- Calcul de \(f'(x)\) — appliquer les formules de dérivation et la règle de la chaîne.
- Signe de \(f'(x)\) — en déduire les intervalles de croissance et de décroissance.
- Tableau de variation — synthétiser : limites, extrema, sens de variation.
- Courbe — tracer en utilisant le tableau de variation, les asymptotes éventuelles et quelques points remarquables.
Exemple : étudier \(f(x) = x \, e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Domaine : \(\mathbb{R}\) (produit d’expressions définies sur \(\mathbb{R}\)).
Limites : en \(-\infty\), \(e^{-x} \to +\infty\) et \(x \to -\infty\), donc \(f(x) \to -\infty\). En \(+\infty\), par croissance comparée, \(f(x) = \frac{x}{e^x} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 – x)\). Comme \(e^{-x}\) > 0 pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((1 – x)\) : positif si \(x\) < 1, nul si \(x = 1\), négatif si \(x\) > 1.
Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; 1]\), décroissante sur \([1 ; +\infty[\), avec un maximum en \(x = 1\) : \(f(1) = e^{-1}\).
Exercices corrigés
Teste tes connaissances avec ces exercices progressifs couvrant l’identification, le calcul de dérivées et l’utilisation des usuelles dans une étude complète.
Exercice 1 — Reconnaître les fonctions usuelles (niveau seconde)
Énoncé : pour chaque expression, identifier la ou les usuelles qui la composent :
- \(f(x) = 3x^2 – 5x + 1\)
- \(g(x) = \frac{2}{x+1}\)
- \(h(x) = \sqrt{2x – 3}\)
Voir la correction
a) \(f\) est un polynôme du second degré (composée du carré, de l’affine et d’une constante).
b) \(g\) est une composée de l’inverse \(u \mapsto \frac{1}{u}\) avec l’affine \(x \mapsto x + 1\), le tout multiplié par 2. C’est une homographique.
c) \(h\) est une composée de la racine carrée avec l’affine \(x \mapsto 2x – 3\). Son domaine est l’ensemble des \(x\) tels que \(2x – 3 \geq 0\), soit \(x \geq \frac{3}{2}\).
Exercice 2 — Dérivées de composées (niveau première/terminale)
Énoncé : calculer \(f'(x)\) pour chaque expression sur son domaine de définition :
- \(f(x) = e^{2x+1}\)
- \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)
- \(h(x) = \sin(3x)\)
Voir la correction
a) On pose \(u(x) = 2x + 1\), d’où \(u'(x) = 2\). Comme \(f = e^u\), on obtient \(f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = 2e^{2x+1}\).
b) On pose \(u(x) = x^2 + 1\), d’où \(u'(x) = 2x\). Comme \(g = \ln(u)\), on obtient \(g'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Le domaine est \(\mathbb{R}\) car \(x^2 + 1\) > 0 pour tout \(x\).
c) \(h'(x) = 3\cos(3x)\) par la règle de la chaîne.
Exercice 3 — Comparer deux nombres (niveau seconde)
Énoncé : sans calculatrice, comparer \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{5} + 1\).
Voir la correction
On compare les carrés (le carré est croissant sur \([0 ; +\infty[\) et les deux nombres sont positifs) :
- \((\sqrt{7})^2 = 7\)
- \((\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\)
Or \(\sqrt{5}\) > 2 (car \(5\) > \(4 = 2^2\)), donc \(2\sqrt{5}\) > 4, et \(6 + 2\sqrt{5}\) > 10 > 7.
Conclusion : \((\sqrt{5} + 1)^2\) > \((\sqrt{7})^2\), donc \(\sqrt{5} + 1\) > \(\sqrt{7}\).
Exercice 4 — Étude rapide (niveau terminale)
Énoncé : soit \(f(x) = x^2 \ln x\) définie sur \(]0 ; +\infty[\). Calculer sa dérivée, déterminer ses variations et sa limite en \(0^+\).
Voir la correction
Dérivée (règle du produit) : \(f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)\).
Sur \(]0 ; +\infty[\), \(x\) > 0, donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2\ln x + 1\).
\(2\ln x + 1 = 0 \iff \ln x = -\frac{1}{2} \iff x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\).
Pour \(x\) < \(\frac{1}{\sqrt{e}}\) : \(f'(x)\) < 0 (décroissante). Pour \(x\) > \(\frac{1}{\sqrt{e}}\) : \(f'(x)\) > 0 (croissante).
Minimum en \(x = \frac{1}{\sqrt{e}}\) : \(f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}\).
Limite en \(0^+\) : \(f(x) = x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x)\). Or \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0\) (croissance comparée), donc \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0\).
FAQ – Questions fréquentes
Quelles sont les fonctions usuelles ?
Ce sont les expressions mathématiques dont les propriétés (domaine, dérivée, variation, limites, courbe) sont connues par cœur. Au lycée, on étudie principalement l’affine, le carré, le cube, la racine carrée, l’inverse, la valeur absolue, l’exponentielle, le logarithme népérien, sinus, cosinus et tangente. En prépa, on y ajoute les puissances, les trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan), les hyperboliques (ch, sh, th) et la partie entière.
Quels sont les 3 types de fonctions ?
On distingue trois grandes familles : les algébriques (affine, polynôme, racine, inverse, puissance), les transcendantes (exponentielle, logarithme, trigonométriques) et les hyperboliques (ch, sh, th). Les algébriques sont construites par opérations algébriques élémentaires ; les transcendantes ne peuvent pas s’exprimer par un nombre fini de telles opérations.
Quelle est la différence entre fonction usuelle et fonction de référence ?
En pratique, les deux termes désignent le même ensemble d’expressions fondamentales. « De référence » est le terme privilégié dans les programmes du lycée (seconde, première), tandis que « usuelle » est utilisé dans le supérieur (terminale, classes préparatoires, licence). Les « de référence » au sens strict du programme de seconde se limitent souvent au carré, à l’inverse, à la racine carrée et à la valeur absolue.
Quel est le domaine de définition des fonctions usuelles ?
Chaque usuelle a son propre domaine. Les polynômes, l’exponentielle, sinus et cosinus sont définis sur \(\mathbb{R}\) tout entier. L’inverse est définie sur \(\mathbb{R}^*\) (tout sauf 0). Le logarithme népérien est défini sur \(]0 ; +\infty[\). La racine carrée est définie sur \([0 ; +\infty[\). La tangente est définie sur \(\mathbb{R}\) privé des multiples impairs de \(\frac{\pi}{2}\). Le tableau récapitulatif en début de page donne tous les domaines.
Faut-il connaître les fonctions hyperboliques au lycée ?
Non, les hyperboliques (ch, sh, th) ne figurent pas au programme du lycée. Elles sont introduites en classes préparatoires scientifiques (MPSI, PCSI, etc.) et en première année de licence. Cependant, un élève de terminale ambitieux peut s’y intéresser pour préparer la transition vers le supérieur — ce sont simplement des combinaisons de l’exponentielle.
Comment reconnaître une usuelle sur un graphique ?
Chaque usuelle a une courbe caractéristique : la parabole pour le carré, l’hyperbole pour l’inverse, la courbe en « S » pour le cube, la demi-parabole couchée pour la racine carrée, la courbe montante pour \(e^x\), la courbe logarithmique pour \(\ln x\), et les oscillations régulières pour sinus et cosinus. Identifier la forme générale, les asymptotes éventuelles et les symétries (parité) permet de reconnaître rapidement l’expression sous-jacente.
Qu'est-ce qu'une forme usuelle en mathématiques ?
L’expression « forme usuelle » désigne une écriture standard qui permet de la rattacher directement à une usuelle connue. Par exemple, reconnaître que \(\frac{3}{2x+1}\) est de la forme \(\frac{k}{u(x)}\) permet de l’associer à l’inverse composée avec une affine, et donc d’en déduire immédiatement : \(\left(\frac{3}{2x+1}\right)’ = -\frac{6}{(2x+1)^2}\).
Quelles fonctions usuelles faut-il connaître en terminale ?
En terminale, le programme inclut : l’affine, le carré, le cube, la racine carrée, l’inverse, la valeur absolue (vues en seconde/première), auxquelles s’ajoutent l’exponentielle, le logarithme népérien, sinus et cosinus (et leurs propriétés analytiques : dérivée, limites, croissances comparées). La tangente et les polynômes du second degré complètent le catalogue. Les trigonométriques réciproques et hyperboliques sont hors programme du lycée.
Besoin d’aide sur les fonctions usuelles ?
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