Calculer un Développement Limité : Méthode et Exemples

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur

Connaître les DL usuels ne suffit pas. En colle comme en concours, la difficulté n’est presque jamais « quel est le DL de l’exponentielle ? », mais « comment obtenir le DL de $e^{\sin x}$, de $\ln(\cos x)$ ou de $\sqrt{1+\sin x}$ ? ». Tout repose sur quelques opérations — somme, produit, quotient et surtout composition — qu’il faut savoir enchaîner sans perdre le contrôle de l’ordre ni du reste. Cette fiche te donne la méthode complète, les exemples type X/ENS, les erreurs qui coûtent des points, et la chaîne logique qui relie un DL à une limite ou une asymptote.

I. La règle d’or : tout se joue sur la troncature à l’ordre n

Avant la moindre technique, retiens le principe unique dont découlent toutes les opérations : un développement limité à l’ordre $n$ est une égalité approchée modulo $o(x^n)$. Dès qu’un calcul produit un terme de degré strictement supérieur à $n$, ce terme est absorbé par le reste et doit disparaître.

Théorème — Opérations sur les développements limités

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant un DL à l’ordre $n$ au voisinage de $0$ :

$f(x) = A(x) + o(x^n)$ et $g(x) = B(x) + o(x^n)$, où $A$ et $B$ sont des polynômes de degré $\leq n$ (les parties régulières).

Alors :

Somme : $f+g$ admet un DL d’ordre $n$ de partie régulière $A+B$.
Produit : $fg$ admet un DL d’ordre $n$ de partie régulière $A \times B$ tronquée à l’ordre $n$.
Quotient : si $g(0) \neq 0$, $\displaystyle\frac{f}{g}$ admet un DL d’ordre $n$ (division suivant les puissances croissantes).
Composition : si $g(0) = 0$, $f \circ g$ admet un DL d’ordre $n$ obtenu en substituant $B(x)$ dans $A$ et en tronquant à l’ordre $n$.

La composition étant la plus délicate de ces opérations (et la plus demandée aux concours), elle structure l’essentiel de cette fiche. Mais avant de calculer, encore faut-il choisir la bonne technique.

A. Quel outil pour quelle situation ?

Une erreur fréquente consiste à dégainer la composition là où un simple DL direct du tableau, ou même un équivalent, suffirait. Ce tableau positionne chaque technique.

Forme de l’expression	Technique à utiliser	Quand l’utiliser (et quand l’éviter)
$f$ fonction usuelle ($e^x$, $\sin x$, $\ln(1+x)$…)	DL direct du tableau	Toujours en premier réflexe. Voir le tableau des DL usuels.
Produit $f(x)\,g(x)$	Produit des parties régulières + troncature	Dès qu’on multiplie deux DL connus.
Quotient $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ avec $g(0)\neq 0$	Division suivant les puissances croissantes	Ex. $\tan x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$. Si $g(0)=0$, factoriser d’abord.
$f(g(x))$ avec $g(x)\to 0$	Composition	Ex. $e^{\sin x}$, $\ln(1+\sin x)$. Cœur de cette fiche.
DL en $a \neq 0$	Changement de variable $t = x-a$	Ex. DL de $\ln x$ en $1$.
Une seule limite à lever, pas besoin de précision	Équivalents usuels	Plus rapide qu’un DL complet — mais interdit dans une somme ou une composition.

Le réflexe à acquérir : identifier la structure de l’expression avant de calculer. Une fois la composition repérée, la méthode pas à pas qui suit te garantit de ne jamais te tromper d’ordre.

II. Composer deux DL : la méthode en 6 étapes

Tout repose sur une idée : pour calculer le DL de $f(g(x))$, on remplace $u$ par le DL de $g(x)$ dans le DL de $f(u)$. Mais cette substitution n’est légitime que si $g(x) \to 0$ quand $x \to 0$, car les DL usuels de $f$ sont écrits au voisinage de $0$.

La règle des ordres (à graver) : si la partie régulière de $g$ commence au degré $p$ (c’est-à-dire $g(x) \sim c\,x^p$), alors pour obtenir $f\circ g$ à l’ordre $n$, il suffit de connaître le DL de $f$ à l’ordre $\left\lfloor \displaystyle\frac{n}{p}\right\rfloor$. Inutile d’aller plus loin : les puissances supérieures de $g$ partent dans le reste.

A. Les 6 étapes

Identifier la fonction extérieure $f$ et la fonction intérieure $g$, puis vérifier que $g(x) \to 0$. Si $g(0) \neq 0$, on factorise (voir étape de sauvetage ci-dessous).
Choisir l’ordre $n$ imposé par l’énoncé (ou par la limite à calculer).
Écrire le DL de $g$ à l’ordre $n$ et repérer le degré $p$ de son premier terme non nul.
Écrire le DL de $f$ à l’ordre $\left\lfloor n/p \right\rfloor$ (pas davantage).
Substituer $u = g(x)$ dans le DL de $f$, en calculant chaque puissance $u, u^2, u^3,\dots$ tronquée à l’ordre $n$.
Regrouper les termes par degré croissant et conclure par le reste $o(x^n)$.

L’étape 1 contient le piège n°1 du chapitre. Si la fonction intérieure ne tend pas vers $0$, on ne peut pas composer brutalement : il faut d’abord la ramener à un terme nul.

Cas où $g(0)\neq 0$ : pour $\ln(\cos x)$, on a $\cos(0)=1\neq 0$. On écrit alors $\cos x = 1 + \underbrace{(\cos x – 1)}_{\to\, 0}$ et on compose $\ln(1+u)$ avec $u = \cos x – 1$. La fonction intérieure $u$ tend bien vers $0$ : la composition redevient valide.

Cette méthode appliquée mécaniquement résout tous les cas. Voyons-la sur des exemples de difficulté croissante.

III. Exemples résolus, du classique au type concours

Chaque exemple est badgé selon son niveau d’exigence : 🟠 Prépa (programme), 🔴 Concours (oraux X/ENS, écrits Centrale/Mines).

A. 🟠 DL de $e^{\sin x}$ à l’ordre 4

Énoncé : déterminer le DL en $0$ à l’ordre $4$ de $f(x)=e^{\sin x}$.

Étape 1–2. Extérieure $\exp$, intérieure $\sin$ avec $\sin(0)=0$ ✓. Ordre demandé $n=4$.

Étape 3. $\sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^4)$. Premier terme en $x$ donc $p=1$.

Étape 4. Il faut $\exp$ à l’ordre $\lfloor 4/1\rfloor = 4$ : $e^u = 1 + u + \displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{u^3}{6} + \displaystyle\frac{u^4}{24} + o(u^4)$.

Étape 5. Avec $u = x – \displaystyle\frac{x^3}{6}$, on tronque chaque puissance à l’ordre 4 :

$u^2 = x^2 – \displaystyle\frac{x^4}{3} + o(x^4)$, $\quad u^3 = x^3 + o(x^4)$, $\quad u^4 = x^4 + o(x^4)$.

Étape 6. En regroupant :

$e^{\sin x} = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + 0\cdot x^3 – \displaystyle\frac{x^4}{8} + o(x^4)$

Le terme en $x^3$ s’annule ($-\frac16 + \frac16 = 0$), résultat caractéristique à vérifier.

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La méthode des DL composés en recto-verso

Les 6 étapes, la règle des ordres et les DL usuels indispensables sur une fiche claire à garder sous les yeux en colle et en DS.

📄 Télécharger la fiche méthode

Plus jamais d’erreur d’ordre dans une composition.

$courbe de f(x)=e^{sin x} en bleu #1f4acc sur [-1.5;1.5], et son polynôme de Taylor d'ordre 4 (1+x+x²/2-x⁴/8) en or #caa8$

B. 🟠 DL de $\ln(1+\sin x)$ à l’ordre 3

Énoncé : DL en $0$ à l’ordre $3$ de $\ln(1+\sin x)$.

Ici $f(u)=\ln(1+u)$ et $u=\sin x \to 0$ ✓, donc $p=1$ et on prend $\ln(1+u)$ à l’ordre 3 :

$\ln(1+u) = u – \displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{u^3}{3} + o(u^3)$, avec $u = x – \displaystyle\frac{x^3}{6}$.

$u^2 = x^2 + o(x^3)$, $\quad u^3 = x^3 + o(x^3)$. D’où :

$\ln(1+\sin x) = \left(x – \displaystyle\frac{x^3}{6}\right) – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)$.

C. 🟠 DL en un point $a\neq 0$ : $\ln x$ en 1

La composition partage sa logique avec le changement de variable, l’outil dès qu’on développe ailleurs qu’en $0$. On pose $t = x – a$ (donc $t \to 0$) et on ramène au cas usuel.

Énoncé : DL de $\ln x$ en $1$ à l’ordre $2$.

On pose $t = x-1$, soit $x = 1+t$ avec $t \to 0$ :

$\ln x = \ln(1+t) = t – \displaystyle\frac{t^2}{2} + o(t^2) = (x-1) – \displaystyle\frac{(x-1)^2}{2} + o\big((x-1)^2\big)$.

D. 🔴 Fonction réciproque : DL de $\arctan x$

Pour une fonction réciproque, le réflexe gagnant est souvent de dériver puis d’intégrer le DL, car la dérivée se compose facilement.

Énoncé : DL en $0$ à l’ordre $5$ de $\arctan x$.

On sait que $\arctan^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{1+x^2}$. Or, par composition de $\displaystyle\frac{1}{1+u}$ avec $u=x^2$ :

$\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = 1 – x^2 + x^4 + o(x^5)$.

On intègre terme à terme (licite pour un DL d’une dérivée), en notant $\arctan 0 = 0$ :

$\arctan x = x – \displaystyle\frac{x^3}{3} + \displaystyle\frac{x^5}{5} + o(x^5)$.

E. 🔴 Type X/ENS : DL de $(1+x)^{1/x}$

Ce grand classique d’oral combine logarithme, composition et exponentielle. La méthode : passer à la forme exponentielle pour faire apparaître une composition.

Énoncé : DL en $0$ à l’ordre $2$ de $f(x)=(1+x)^{1/x}$.

On écrit $f(x) = \exp\!\left(\displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x}\right)$. Or $\ln(1+x) = x – \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)$, donc :

$\displaystyle\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 – \displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{3} + o(x^2)$.

On compose avec l’exponentielle. En posant $v = -\displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{3} + o(x^2)$ (qui tend vers 0) :

$f(x) = e \cdot e^{v} = e\left(1 + v + \displaystyle\frac{v^2}{2} + o(x^2)\right)$ avec $v^2 = \displaystyle\frac{x^2}{4} + o(x^2)$.

$f(x) = e\left(1 – \displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{3} + \displaystyle\frac{x^2}{8}\right) + o(x^2) = e – \displaystyle\frac{e}{2}\,x + \displaystyle\frac{11e}{24}\,x^2 + o(x^2)$.

Tu maîtrises maintenant l’enchaînement complet. Avant de t’entraîner, garde cette méthode sous la main pour tes DS et tes colles.

IV. Les erreurs fréquentes (et comment le correcteur les repère)

Trois fautes reviennent dans 90 % des copies. Les connaître, c’est gagner des points faciles.

A. Oublier de tronquer après une multiplication

❌ Copie fautive : pour un DL à l’ordre 2, l’étudiant écrit le produit complet

$\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2}\right) = 1 + x + \frac{x^2}{2} – \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{2} – \frac{x^4}{4}$

et garde les termes en $x^3$ et $x^4$.

Diagnostic : tous les termes de degré > 2 sont faux car les facteurs eux-mêmes ne sont valides qu’à l’ordre 2 — ils contiennent un $o(x^2)$ qui « pollue » les degrés supérieurs.

✅ Correction : $1 + x + \frac{x^2}{2} – \frac{x^2}{2} + o(x^2) = 1 + x + o(x^2)$. On tronque avant de développer.

B. Composer alors que la fonction intérieure ne tend pas vers 0

❌ Copie fautive : pour $\ln(\cos x)$, l’étudiant remplace directement dans $\ln(1+u)$ avec $u = \cos x$.

Diagnostic : $\cos(0)=1 \neq 0$. Le DL de $\ln(1+u)$ est écrit au voisinage de $u=0$ : la substitution est mathématiquement illégitime. Le correcteur le sanctionne immédiatement.

✅ Correction : écrire $\ln(\cos x) = \ln\big(1 + (\cos x – 1)\big)$ avec $\cos x – 1 \to 0$.

C. Utiliser un équivalent dans une somme ou une composition

❌ Copie fautive : pour étudier $\sin x – x$, écrire $\sin x \sim x$ donc $\sin x – x \sim 0$.

Diagnostic : un équivalent ne capture que le terme dominant. Dans une différence, les termes dominants peuvent se compenser : il faut un DL. Ici $\sin x – x = -\displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)$, pas $0$.

✅ Règle : jamais d’équivalent dans une somme, une différence, un exposant ou une composition. Dans ces cas, on passe au DL. C’est le point de bascule entre équivalents et développements limités.

Ces erreurs maîtrisées, le DL devient un outil de résolution. Voyons comment il alimente toute une chaîne de raisonnement.

V. De la composition à la limite et à l’asymptote

Un DL n’est presque jamais une fin en soi : c’est l’outil qui résout une indétermination. La chaîne de raisonnement est toujours la même, et c’est exactement ce que les concours évaluent.

La chaîne DL → équivalent → limite → asymptote :

Un DL fournit le premier terme non nul, donc un équivalent. Cet équivalent lève une limite indéterminée. Et en $+\infty$, un DL de la forme $f(x) = ax + b + \displaystyle\frac{c}{x} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)$ révèle l’asymptote $y = ax+b$ et la position de la courbe.

A. Lever une limite indéterminée

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2}$.

Avec $e^x = 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)$, le numérateur vaut $\displaystyle\frac{x^2}{2} + o(x^2)$.

D’où $\displaystyle\frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2} + o(1) \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}$.

B. Trouver une asymptote en $+\infty$

Pour développer en $+\infty$, on pose $h = \displaystyle\frac{1}{x} \to 0$ : encore un changement de variable.

Étudier l’asymptote de : $f(x)=\sqrt{x^2+x}$ en $+\infty$.

$f(x) = x\sqrt{1+\frac1x} = x\left(1 + \displaystyle\frac{1}{2x} – \displaystyle\frac{1}{8x^2} + o\!\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$

$= x + \displaystyle\frac{1}{2} – \displaystyle\frac{1}{8x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$.

L’asymptote est donc $y = x + \displaystyle\frac{1}{2}$. Comme $-\displaystyle\frac{1}{8x} < 0$ pour $x > 0$, la courbe est en dessous de son asymptote.

courbe de f(x)=sqrt(x²+x) en bleu #1f4acc et son asymptote y=x+1/2 en rouge #e15a4f sur [1;8] ; illustrer que la courbe

Ce parcours — du DL composé jusqu’à l’asymptote — est exactement le type de raisonnement attendu en colle. Entraîne-toi maintenant.

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VI. Exercices d’application corrigés

Quatre exercices de difficulté croissante. Cherche-les complètement avant d’ouvrir la correction. Pour aller plus loin, la page exercices corrigés sur les DL propose une douzaine de problèmes type concours.

Exercice 1 — 🟠 $\sqrt{1+\sin x}$ à l’ordre 3

Déterminer le DL en $0$ à l’ordre $3$ de $\sqrt{1+\sin x}$.

Voir la correction de l'exercice 1

On compose $\sqrt{1+u}$ avec $u = \sin x = x – \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)$ (qui tend vers 0).

$\sqrt{1+u} = 1 + \displaystyle\frac{u}{2} – \displaystyle\frac{u^2}{8} + \displaystyle\frac{u^3}{16} + o(u^3)$.

Avec $u^2 = x^2 + o(x^3)$ et $u^3 = x^3 + o(x^3)$ :

$\sqrt{1+\sin x} = 1 + \displaystyle\frac{x}{2} – \displaystyle\frac{x^2}{8} – \displaystyle\frac{x^3}{48} + o(x^3)$.

(Détail du terme en $x^3$ : $-\frac{1}{12} + \frac{1}{16} = -\frac{1}{48}$.)

Exercice 2 — 🟠 $\ln(\cos x)$ à l’ordre 4

Déterminer le DL en $0$ à l’ordre $4$ de $\ln(\cos x)$.

Voir la correction de l'exercice 2

Comme $\cos(0)=1$, on pose $u = \cos x – 1 = -\displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^4}{24} + o(x^4)$, qui tend vers 0.

$u$ commence au degré $p=2$, donc $\ln(1+u)$ à l’ordre $\lfloor 4/2\rfloor = 2$ suffit : $\ln(1+u) = u – \displaystyle\frac{u^2}{2} + o(u^2)$.

$u^2 = \displaystyle\frac{x^4}{4} + o(x^4)$, d’où :

$\ln(\cos x) = -\displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^4}{24} – \displaystyle\frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\displaystyle\frac{x^2}{2} – \displaystyle\frac{x^4}{12} + o(x^4)$.

Exercice 3 — 🔴 Limite par DL

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} – \displaystyle\frac{1}{x^2}\right)$.

Voir la correction de l'exercice 3

On réduit au même dénominateur : $\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} – \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{x^2 – \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$.

Avec $\sin^2 x = x^2 – \displaystyle\frac{x^4}{3} + o(x^4)$, le numérateur vaut $x^2 – \sin^2 x = \displaystyle\frac{x^4}{3} + o(x^4)$.

Le dénominateur est équivalent à $x^2 \cdot x^2 = x^4$. Donc :

$\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} – \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{\frac{x^4}{3} + o(x^4)}{x^4(1+o(1))} \longrightarrow \displaystyle\frac{1}{3}$.

Exercice 4 — 🔴 DL composé type oral X

Déterminer le DL en $0$ à l’ordre $3$ de $\exp(\tan x)$.

Voir la correction de l'exercice 4

Intérieure $\tan x = x + \displaystyle\frac{x^3}{3} + o(x^3)$ avec $\tan(0)=0$ ✓, $p=1$.

On prend $e^u = 1 + u + \displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{u^3}{6} + o(u^3)$ avec $u = x + \displaystyle\frac{x^3}{3}$.

$u^2 = x^2 + o(x^3)$, $\quad u^3 = x^3 + o(x^3)$. On regroupe :

$\exp(\tan x) = 1 + \left(x + \displaystyle\frac{x^3}{3}\right) + \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$= 1 + x + \displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{2} + o(x^3)$ (car $\frac13 + \frac16 = \frac12$).

VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend

En oral comme à l’écrit, un calcul de DL juste mais mal présenté perd des points. Voici les réflexes de rédaction qui font la différence.

Les 5 points que le correcteur vérifie :

Justifier l’ordre choisi. Une phrase suffit : « On développe à l’ordre 4 car on cherche un équivalent du numérateur d’ordre inconnu, et l’expérience montre que les premiers termes se compensent. » Ne jamais sortir un ordre du chapeau.
Vérifier l’hypothèse de composition. Écrire explicitement « $\sin x \to 0$ quand $x \to 0$, la composition est licite ». C’est l’erreur la plus sanctionnée — la signaler montre la rigueur.
Conserver le reste à chaque ligne. Le $o(x^n)$ doit apparaître à droite de chaque égalité, pas seulement à la fin.
Tronquer visiblement. Indiquer « on tronque à l’ordre $n$ » lorsqu’on élimine des termes : le correcteur voit que ce n’est pas un oubli.
Conclure proprement. Encadrer ou souligner le résultat final, et répondre à la question posée (limite, équivalent, asymptote) — pas seulement donner le DL.

Ces DL composés s’appuient tous sur les théorèmes du chapitre : le DL d’une fonction de classe $C^n$ est garanti par la formule de Taylor-Young, et la maîtrise du calcul de dérivées successives reste un prérequis indispensable.

VIII. Questions fréquentes

À quel ordre faut-il développer la fonction intérieure dans une composition ?

Si la partie régulière de la fonction intérieure $g$ commence au degré $p$ (c’est-à-dire $g(x)\sim c\,x^p$), il suffit de connaître la fonction extérieure $f$ à l’ordre $\lfloor n/p\rfloor$ pour obtenir $f\circ g$ à l’ordre $n$. Par exemple pour $\ln(\cos x)$ à l’ordre 4, comme $\cos x – 1$ commence en $x^2$ ($p=2$), un DL de $\ln(1+u)$ à l’ordre 2 suffit.

Pourquoi faut-il que g(0) = 0 pour composer deux DL ?

Parce que les DL usuels de la fonction extérieure sont écrits au voisinage de $0$. La substitution $u = g(x)$ dans le DL de $f(u)$ n’a de sens que si $u$ reste proche de $0$, donc si $g(x)\to 0$. Si ce n’est pas le cas (ex. $\cos x \to 1$), on factorise pour faire apparaître une quantité qui tend vers 0 : $\cos x = 1 + (\cos x – 1)$.

Quelle est la différence entre composition de DL et changement de variable ?

Le changement de variable $t = x – a$ sert à développer en un point $a \neq 0$ en se ramenant à un DL en $0$ : on transforme la variable. La composition calcule le DL de $f(g(x))$ où $g$ est une vraie fonction (sinus, exponentielle…) : on emboîte deux fonctions. Les deux reposent toutefois sur la même idée de substitution suivie d’une troncature.

Peut-on remplacer le DL par un équivalent dans une composition ?

Non, jamais. Un équivalent ne retient que le terme dominant et perd toute l’information sur les termes suivants. Or une composition ou une somme peut faire se compenser ces termes dominants. La règle est stricte : équivalents pour un produit, un quotient ou une limite simple ; DL dès qu’il y a somme, différence, exposant ou composition. Pour t’entraîner sur la frontière, vois la page équivalents usuels.

Comment composer quand la fonction intérieure tend vers une valeur non nulle ?

On isole un terme qui tend vers 0. Pour $\ln(\cos x)$ avec $\cos x \to 1$, on écrit $\ln(\cos x) = \ln\big(1 + (\cos x – 1)\big)$ et on compose $\ln(1+u)$ avec $u = \cos x – 1 \to 0$. Plus généralement, si $g(x)\to \ell$, on développe la fonction extérieure au voisinage de $\ell$, pas de $0$.

IX. Pour aller plus loin

Tu sais désormais composer, multiplier, diviser et changer de variable pour calculer n’importe quel développement limité. Pour consolider :

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Méthode pour calculer un développement limité : produit, quotient et composition

I. La règle d’or : tout se joue sur la troncature à l’ordre n

A. Quel outil pour quelle situation ?

II. Composer deux DL : la méthode en 6 étapes

A. Les 6 étapes

III. Exemples résolus, du classique au type concours

A. 🟠 DL de \(e^{\sin x}\) à l’ordre 4

B. 🟠 DL de \(\ln(1+\sin x)\) à l’ordre 3

C. 🟠 DL en un point \(a\neq 0\) : \(\ln x\) en 1

D. 🔴 Fonction réciproque : DL de \(\arctan x\)

E. 🔴 Type X/ENS : DL de \((1+x)^{1/x}\)