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Avec le théorème de Pythagore, tu sais déjà retrouver une longueur manquante dans un triangle rectangle. Mais que faire quand on te demande la mesure d’un angle ? Pas de panique : il existe une méthode simple et fiable, qui repose sur trois petits mots magiques — cosinus, sinus et tangente. Dans cette fiche, tu vas apprendre à choisir le bon rapport, à utiliser ta calculatrice et à vérifier ton résultat. Objectif : ne plus jamais bloquer sur un calcul d’angle au brevet.
I. Quelle méthode choisir pour calculer un angle ?
Avant de te lancer, pose-toi une seule question : qu’est-ce que je connais déjà dans ce triangle ? La réponse décide de la méthode. Inutile de sortir la trigonométrie si une simple soustraction suffit.
Rappelle-toi deux faits valables dans tout triangle rectangle :
- Un angle mesure toujours 90° (l’angle droit).
- La somme des trois angles d’un triangle vaut 180°.
Conséquence : les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont une somme de \(180 – 90 = 90\) degrés. Si tu en connais un, l’autre se déduit par soustraction. Sinon, il faut passer par les longueurs et la trigonométrie.
| Ce que tu connais | Méthode à utiliser | Outil |
|---|---|---|
| Un des deux angles aigus | Somme des angles : l’autre angle vaut \(90 – \text{angle}\) | Une soustraction |
| Deux longueurs de côtés | Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) | cos, sin ou tan + touche inverse |
| Les trois longueurs | Trigonométrie (n’importe quel rapport au choix) | cos, sin ou tan |
| Un triangle « 3-4-5 » reconnu | Triangle célèbre : les angles aigus valent environ 37° et 53° | Mémorisation + vérification |
La fiche méthode « Calculer un angle » en recto-verso
SOH-CAH-TOA, les 5 étapes et la touche inverse de la calculatrice, résumés sur une fiche prête à imprimer.
📄 Je télécharge la fiche méthodeLe bon réflexe pour ne plus jamais bloquer au brevet.
La « méthode 3/4/5 », dont on entend souvent parler, sert surtout à vérifier qu’un angle est droit (c’est la réciproque de Pythagore appliquée au triplet 3-4-5). Pour le calcul des autres angles, c’est bien la trigonométrie qui va nous servir. Voyons ses trois formules.
II. Les trois formules : cosinus, sinus, tangente
La trigonométrie relie les angles d’un triangle rectangle à ses longueurs. Mais avant les formules, il faut savoir nommer les côtés. Et attention : ce nom dépend de l’angle que tu regardes !
Le vocabulaire des côtés
On se place sur un angle aigu, appelé \(\widehat{A}\) par exemple. Alors :
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (toujours le plus long).
- Le côté opposé à \(\widehat{A}\) est celui qui ne touche pas \(\widehat{A}\).
- Le côté adjacent à \(\widehat{A}\) est celui qui touche \(\widehat{A}\) (sans être l’hypoténuse).
![triangle rectangle ABC, angle droit en C, angle aigu repéré en A. Hypoténuse [AB] en bleu #1f4acc, côté opposé [BC] en o](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/triangle-cotes-trigonometrie.png)
Une fois les côtés repérés, les trois formules s’écrivent ainsi :
Les formules de trigonométrie
\(\cos(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\sin(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\tan(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)
Le moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
Lis chaque bloc de trois lettres : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Répète « so-ka-toa » à voix haute jusqu’à le retenir par cœur : il te sauvera au brevet.
Ces formules servent dans les deux sens. Quand tu connais un angle, elles donnent une longueur. Quand tu connais deux longueurs, elles donnent l’angle — c’est exactement ce qui nous intéresse ici. Pour calculer une longueur grâce à Pythagore, retrouve la fiche calculer une longueur dans un triangle rectangle.
III. La méthode pas à pas en 5 étapes
Voici la marche à suivre, toujours la même, pour trouver un angle à partir de deux longueurs. Garde-la en tête comme une recette.
- Repère l’angle cherché et place-toi dessus.
- Identifie les deux côtés connus par rapport à cet angle : opposé ? adjacent ? hypoténuse ?
- Choisis la bonne formule avec SOH-CAH-TOA, selon les deux côtés que tu connais.
- Calcule le rapport (un nombre entre 0 et 1 pour cos et sin).
- Utilise la touche « inverse » de la calculatrice (\(\cos^{-1}\), \(\sin^{-1}\) ou \(\tan^{-1}\), souvent en appuyant sur SHIFT ou 2nde) pour remonter à l’angle.
Calculatrice en mode degré (D ou DEG)
Avant tout calcul d’angle, vérifie que ta calculatrice affiche D ou DEG à l’écran (et non R/RAD ou G/GRAD). En mode radian, tu obtiendrais un résultat absurde !
L’étape clé, c’est la touche inverse. Si ta calculatrice te donne \(\cos(\widehat{A}) = 0{,}8\) et que tu cherches \(\widehat{A}\), tu tapes : SHIFT, puis \(\cos\), puis \(0{,}8\). L’écran répond \(\widehat{A} \approx 36{,}87\)°. Voyons cela sur des exemples concrets.
IV. Trois exemples résolus
On monte doucement en difficulté : un cas avec le cosinus, un avec le sinus, un avec la tangente.
Exemple 1 — avec le cosinus. Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), on connaît l’hypoténuse \(AB = 5\) cm et le côté \(AC = 4\) cm. Calcule l’angle \(\widehat{A}\).
Étape 1-2 : par rapport à \(\widehat{A}\), le côté \(AC\) est adjacent et \(AB\) est l’hypoténuse.
Étape 3 : adjacent + hypoténuse → c’est le cosinus.
\(\cos(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{AC}{AB} = \displaystyle\frac{4}{5} = 0{,}8\)
Étape 5 : \(\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9\)°.
Vérification : l’autre angle aigu vaut \(90 – 36{,}9 = 53{,}1\)°, et \(36{,}9 + 53{,}1 + 90 = 180\)° ✓
Exemple 2 — avec le sinus. Dans un triangle \(DEF\) rectangle en \(F\), l’hypoténuse \(DE = 6\) cm et le côté \(EF = 3\) cm. Calcule l’angle \(\widehat{D}\).
Par rapport à \(\widehat{D}\), le côté \(EF\) est opposé et \(DE\) est l’hypoténuse. Opposé + hypoténuse → sinus.
\(\sin(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{EF}{DE} = \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5\)
\(\widehat{D} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30\)°.
Vérification : un angle de 30° donne un sinus de 0,5, c’est un cas classique à connaître ✓
Exemple 3 — avec la tangente. Dans un triangle \(GHI\) rectangle en \(H\), on connaît \(GH = 8\) cm et \(HI = 5\) cm. Calcule l’angle \(\widehat{G}\).
Par rapport à \(\widehat{G}\), le côté \(HI\) est opposé et \(GH\) est adjacent. Opposé + adjacent → tangente.
\(\tan(\widehat{G}) = \displaystyle\frac{HI}{GH} = \displaystyle\frac{5}{8} = 0{,}625\)
\(\widehat{G} = \tan^{-1}(0{,}625) \approx 32\)°.
Remarque : ici, on n’avait pas l’hypoténuse — la tangente est faite pour ça.
Tu remarques que la difficulté n’est jamais le calcul lui-même, mais le choix du bon rapport. C’est là que les élèves se trompent. Garde la méthode complète sous la main grâce à la fiche recto-verso à imprimer.
V. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent sans cesse dans les copies. Les connaître, c’est déjà la moitié des points gagnés.
Erreur n°1 : confondre opposé et adjacent.
❌ Copie fautive : « \(\cos(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{BC}{AB}\) » alors que \(BC\) est le côté opposé à \(\widehat{A}\).
Diagnostic : l’élève a confondu opposé et adjacent. Le côté adjacent touche l’angle qu’on étudie.
✅ Correction : pour le cosinus, on prend toujours le côté adjacent à l’angle, celui qui le borde.
Erreur n°2 : oublier la touche inverse.
❌ Trouver \(\cos(\widehat{A}) = 0{,}8\) puis écrire « \(\widehat{A} = 0{,}8\) ». Un angle de 0,8° n’a aucun sens ici !
✅ Correction : 0,8 est seulement le rapport. Pour l’angle, il faut appuyer sur \(\cos^{-1}\) : \(\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 36{,}9\)°.
Erreur n°3 : la calculatrice en radians.
❌ Obtenir \(\cos^{-1}(0{,}5) = 1{,}047\) et écrire 1°. C’est un résultat en radians.
✅ Correction : repasse en mode DEG. Tu obtiendras \(60\)°, le bon résultat.
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice seul, calculatrice en main, avant de regarder la correction.
Exercice 1. Dans un triangle \(MNP\) rectangle en \(N\), on a \(MP = 10\) cm (hypoténuse) et \(MN = 6\) cm. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{M}\) arrondie au degré.
Correction. Par rapport à \(\widehat{M}\), \(MN\) est adjacent et \(MP\) est l’hypoténuse → cosinus.
\(\cos(\widehat{M}) = \displaystyle\frac{MN}{MP} = \displaystyle\frac{6}{10} = 0{,}6\)
\(\widehat{M} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53\)°.
Exercice 2. Un triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). On connaît \(ST = 7\) cm et \(RS = 7\) cm. Calcule l’angle \(\widehat{R}\). Que remarques-tu ?
Correction. Par rapport à \(\widehat{R}\), \(ST\) est opposé et \(RS\) est adjacent → tangente.
\(\tan(\widehat{R}) = \displaystyle\frac{ST}{RS} = \displaystyle\frac{7}{7} = 1\)
\(\widehat{R} = \tan^{-1}(1) = 45\)°.
Remarque : les deux côtés de l’angle droit sont égaux, donc le triangle est rectangle et isocèle. Ses deux angles aigus valent 45° chacun. Pour tout savoir sur ce cas particulier, va voir le cours sur le triangle rectangle isocèle.
Exercice 3 (raisonnement). Dans un triangle \(KLM\) rectangle en \(L\), on sait que l’angle \(\widehat{K} = 28\)°. Peux-tu trouver l’angle \(\widehat{M}\) sans trigonométrie ? Explique pourquoi.
Correction. Oui ! Inutile de connaître les longueurs. Les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont une somme de 90°. Donc :
\(\widehat{M} = 90 – 28 = 62\)°.
Vérification : \(28 + 62 + 90 = 180\)° ✓ La méthode la plus rapide n’est pas toujours la trigonométrie !
Tu veux t’entraîner davantage, notamment sur des sujets de brevet mêlant Pythagore et trigonométrie ? Direction la page exercices Pythagore 3ème et brevet.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer le degré d'un angle dans un triangle rectangle ?
Repère deux longueurs connues par rapport à l’angle cherché, choisis le bon rapport avec SOH-CAH-TOA (cosinus, sinus ou tangente), calcule ce rapport, puis appuie sur la touche inverse de ta calculatrice (\(\cos^{-1}\), \(\sin^{-1}\) ou \(\tan^{-1}\)) pour obtenir l’angle en degrés. Vérifie que ta calculatrice est en mode DEG.
Comment calculer les deux angles aigus d'un triangle rectangle ?
Calcule le premier angle aigu avec la trigonométrie. Pour le second, pas besoin de recalculer : les deux angles aigus ont une somme de 90°. Le deuxième angle vaut donc \(90\)° moins le premier. Tu peux vérifier que la somme des trois angles fait bien 180°.
Quelle est la différence entre Pythagore et la trigonométrie ?
Le théorème de Pythagore relie uniquement les longueurs des côtés (\(a^2 + b^2 = c^2\)) : il sert à trouver un côté manquant. La trigonométrie, elle, relie les longueurs aux angles : elle sert à trouver un angle (ou un côté quand on connaît un angle). Au brevet, on combine souvent les deux dans le même exercice.
Quand utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?
Tout dépend des deux côtés que tu connais. Si tu as l’adjacent et l’hypoténuse : cosinus. L’opposé et l’hypoténuse : sinus. L’opposé et l’adjacent (sans l’hypoténuse) : tangente. Le moyen SOH-CAH-TOA résume ces trois cas.
C'est quoi la méthode 3/4/5 ?
Un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 (ou des multiples : 6-8-10…) est forcément rectangle, car \(3^2 + 4^2 = 5^2\). C’est la réciproque de Pythagore. Cette méthode sert surtout à vérifier un angle droit, par exemple sur un chantier. Ses angles aigus mesurent environ 37° et 53°.
Peut-on calculer un angle sans calculatrice ?
Rarement de façon exacte, sauf pour des valeurs connues : un rapport de 0,5 donne 30°, un rapport de 1 (en tangente) donne 45°, et un triangle équilatéral coupé donne 60°. Pour les autres cas, la touche inverse de la calculatrice est indispensable.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer n’importe quel angle d’un triangle rectangle. Pour consolider tout le chapitre :
- Calculer l’hypoténuse et un côté manquant — le complément naturel : Pythagore donne les longueurs, la trigo donne les angles.
- Le triangle rectangle : définition et propriétés — la page qui regroupe tous les calculs.
- Le cours complet sur le théorème de Pythagore.
Plus tard, au lycée, cette trigonométrie du triangle rectangle prépare des outils plus puissants comme le produit scalaire, qui généralise tout ce que tu viens d’apprendre. Une belle preuve que les bases du collège servent longtemps !
