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Tu en croises partout : dans une équerre, le coin d’une feuille, la diagonale d’un écran de télé ou les fondations d’une maison. Le triangle rectangle est sans doute la figure la plus utile de toute la géométrie du collège. C’est aussi la porte d’entrée vers le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Dans ce cours, tu vas apprendre à le reconnaître, à connaître toutes ses propriétés et à savoir quel calcul faire dans chaque situation.
Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?
Commençons par le plus simple : un triangle rectangle, c’est un triangle qui possède un angle droit. Rien de plus, rien de moins.
Définition — Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire un angle qui mesure exactement \(90^\circ\).
On dit qu’il est « rectangle en A » lorsque l’angle droit se trouve au sommet A.
Sur une figure, l’angle droit se repère grâce au petit carré dessiné dans le coin. C’est le signal qui te dit : « ici, l’angle vaut 90° ».
Le vocabulaire à connaître : hypoténuse et côtés de l’angle droit
Dans un triangle rectangle, les côtés portent des noms précis. Il faut absolument les retenir, car presque toutes les formules en dépendent.
- Les deux côtés qui forment l’angle droit s’appellent les côtés de l’angle droit (on dit parfois les « cathètes »).
- Le côté opposé à l’angle droit — celui qui ne le touche pas — s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le plus long des trois côtés.
Comment retenir l’hypoténuse : place ton doigt sur le petit carré de l’angle droit. Le côté qui est en face, qui ne touche pas ton doigt, c’est l’hypoténuse. C’est aussi le plus grand côté du triangle.
Les propriétés du triangle rectangle
Maintenant que tu sais le reconnaître, voici tout ce que ce triangle a de spécial. Ces propriétés reviennent sans arrêt dans les exercices et au brevet.
Propriété 1 : les deux autres angles sont aigus et complémentaires
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut \(180^\circ\). Comme l’un des angles d’un triangle rectangle vaut déjà \(90^\circ\), il ne reste que \(90^\circ\) à partager entre les deux autres.
Conséquence très pratique : les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont toujours une somme de \(90^\circ\). On dit qu’ils sont complémentaires.
Exemple : dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure \(30^\circ\). Combien mesure l’autre angle aigu ?
On calcule : \(90 – 30 = 60\). L’autre angle mesure donc \(60^\circ\).
Propriété 2 : l’hypoténuse est le plus grand côté
L’hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux côtés de l’angle droit. Si tu trouves une « hypoténuse » plus courte qu’un autre côté, c’est qu’il y a une erreur quelque part.
Propriété 3 : le théorème de Pythagore
C’est la propriété reine du triangle rectangle. Elle relie les longueurs des trois côtés. Pour un triangle rectangle en A :
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Autrement dit : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.
Cette formule te permet de calculer une longueur manquante dès que tu connais les deux autres. Pour le détail des calculs, va voir la fiche théorème de Pythagore et la méthode pour calculer l’hypoténuse.
Propriété 4 : l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit
Voici une propriété que beaucoup d’élèves ignorent et qui impressionne au brevet. Si tu traces le cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle rectangle (le cercle circonscrit), alors :
- le centre de ce cercle est exactement le milieu de l’hypoténuse ;
- l’hypoténuse est un diamètre de ce cercle.
Cela signifie aussi que le milieu de l’hypoténuse est à la même distance des trois sommets.
À l’envers, c’est aussi vrai : si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle. C’est une façon rapide de reconnaître un angle droit.
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Toutes les propriétés, le vocabulaire et les calculs réunis sur une seule page claire à garder sous les yeux.
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Triangle rectangle isocèle, scalène ou équilatéral ?
Tous les triangles rectangles ne se ressemblent pas. On les classe selon la longueur de leurs côtés.
| Type | Particularité | Angles |
|---|---|---|
| Triangle rectangle scalène | Les trois côtés ont des longueurs différentes | 90°, et deux angles aigus différents |
| Triangle rectangle isocèle | Les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur | 90°, 45° et 45° |
| Triangle rectangle équilatéral | Impossible (voir le piège ci-dessous) | — |
Le cas le plus intéressant est le triangle rectangle isocèle : ses deux angles aigus valent chacun \(45^\circ\), et son hypoténuse vaut le côté multiplié par \(\sqrt{2}\). Tout est expliqué en détail sur la page dédiée au triangle rectangle isocèle.
Idée fausse à éviter : un triangle rectangle ne peut jamais être équilatéral. Dans un triangle équilatéral, les trois angles valent \(60^\circ\) : il ne peut donc pas avoir d’angle de \(90^\circ\). « Rectangle » et « équilatéral » sont incompatibles.
Tous les calculs dans un triangle rectangle
Le triangle rectangle est une véritable boîte à outils : on peut y calculer des longueurs, une aire, un périmètre ou un angle. Le secret, c’est de savoir quel calcul utiliser selon ce qu’on cherche. Voici le tableau qui te guide.
| Tu cherches… | Tu utilises… | Fiche dédiée |
|---|---|---|
| Une longueur manquante | Le théorème de Pythagore | Calculer l’hypoténuse |
| L’aire | (côté × côté de l’angle droit) ÷ 2 | Aire du triangle rectangle |
| Le périmètre | La somme des trois côtés | Périmètre du triangle rectangle |
| Un angle | La trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) | Calculer un angle |
| Vérifier qu’il est rectangle | La réciproque de Pythagore | La réciproque |
Un point important pour l’aire : dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit jouent le rôle de la base et de la hauteur. C’est ce qui rend son aire si simple à calculer :
Exemple d’aire : un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 6 cm et 4 cm.
\(\displaystyle\text{Aire} = \displaystyle\frac{6 \times 4}{2} = \displaystyle\frac{24}{2} = 12\) cm².
Un triangle rectangle a-t-il un volume ?
C’est une question que beaucoup d’élèves se posent, alors mettons les choses au clair. Non, un triangle rectangle n’a pas de volume.
Un triangle est une figure plane : il est dessiné « à plat » sur une feuille, en deux dimensions. On peut calculer son aire (la surface à l’intérieur) et son périmètre (le tour), mais pas son volume.
Le volume, lui, concerne les solides : des objets en trois dimensions comme un cube, un prisme ou une pyramide. Si on « épaissit » un triangle rectangle pour en faire un objet en relief, on obtient par exemple un prisme droit à base triangulaire : c’est lui qui possède un volume, pas le triangle.
Exercices corrigés
À toi de jouer ! Commence par essayer chaque exercice seul, puis vérifie ta réponse. Pour t’entraîner davantage, fonce sur les exercices Pythagore 4ème.
Exercice 1 (★) — Reconnaître le vocabulaire
Le triangle ABC est rectangle en A. Donne le nom de l’hypoténuse, puis celui des deux côtés de l’angle droit.
Correction : l’angle droit est en A. L’hypoténuse est le côté opposé à A, c’est donc [BC]. Les deux côtés de l’angle droit sont [AB] et [AC] (ceux qui touchent le sommet A).
Exercice 2 (★) — Trouver un angle
Dans le triangle DEF rectangle en D, l’angle E mesure \(37^\circ\). Quelle est la mesure de l’angle F ?
Correction : les deux angles aigus sont complémentaires, leur somme vaut \(90^\circ\).
\(90 – 37 = 53\). L’angle F mesure donc \(53^\circ\).
Exercice 3 (★★) — Calculer une longueur
Le triangle GHI est rectangle en G. On sait que GH = 3 cm et GI = 4 cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse HI.
Correction : on applique le théorème de Pythagore (l’hypoténuse est [HI]).
\(HI^2 = GH^2 + GI^2\)
\(HI^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Donc \(HI = \sqrt{25} = 5\) cm.
On reconnaît ici le célèbre triangle « 3-4-5 », utilisé par les maçons pour tracer un angle droit !
Exercice 4 (★★) — Un peu de raisonnement
Marie dessine un triangle dont les angles mesurent \(40^\circ\), \(50^\circ\) et \(90^\circ\). Théo affirme que ce triangle est impossible. A-t-il raison ?
Correction : on vérifie d’abord la somme des angles : \(40 + 50 + 90 = 180\). La somme fait bien \(180^\circ\), donc le triangle existe.
De plus, l’un des angles vaut \(90^\circ\) : c’est un triangle rectangle. Théo a donc tort, ce triangle est tout à fait possible.
Erreurs fréquentes et pièges
Voici les trois erreurs qui coûtent le plus de points dans les contrôles. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur 1 — Se tromper d’hypoténuse. L’hypoténuse n’est pas « le côté du bas » ou « le côté incliné ». C’est toujours le côté opposé à l’angle droit (et le plus long). Repère d’abord le petit carré, puis regarde le côté qui lui fait face.
Erreur 2 — Croire qu’un triangle rectangle a forcément deux côtés égaux. C’est faux : seul le triangle rectangle isocèle a deux côtés égaux. La plupart des triangles rectangles ont trois côtés de longueurs différentes (ils sont scalènes).
Erreur 3 — Chercher le « volume » d’un triangle. Un triangle est une figure plane : il a une aire et un périmètre, jamais de volume. Le volume concerne les solides (cube, prisme, pyramide…).
Questions fréquentes
Quelle est la règle du triangle rectangle ?
La règle de base est simple : un triangle est rectangle s’il possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°. La grande propriété qui en découle est le théorème de Pythagore : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Comment calculer les 3 côtés d'un triangle rectangle ?
Si tu connais deux côtés, le théorème de Pythagore te donne le troisième. Par exemple, pour trouver l’hypoténuse \(BC\) d’un triangle rectangle en A, tu calcules \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), puis tu prends la racine carrée du résultat. Tous les détails sont sur la fiche pour calculer l’hypoténuse.
Est-ce qu'un triangle rectangle a deux côtés égaux ?
Pas toujours. Seul le triangle rectangle isocèle a deux côtés de même longueur (ses deux côtés de l’angle droit). Dans ce cas, ses deux angles aigus valent 45°. Les autres triangles rectangles, dits scalènes, ont trois côtés différents.
Quelle est la différence entre un triangle rectangle et un triangle isocèle ?
Un triangle rectangle a un angle droit (90°). Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Ce sont deux propriétés indépendantes : un triangle peut être seulement rectangle, seulement isocèle, ou les deux à la fois (c’est le triangle rectangle isocèle, avec ses angles de 90°, 45° et 45°).
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Si tu connais les trois longueurs, tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore : tu vérifies si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Si l’égalité est vraie, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l’est pas.
Pour aller plus loin
Tu connais maintenant le triangle rectangle de A à Z : sa définition, ses propriétés et tous les calculs qu’il permet. Pour approfondir, choisis ta direction :
- Le théorème de Pythagore : cours complet et formule
- La réciproque pour prouver qu’un triangle est rectangle
- Calculer l’aire d’un triangle rectangle
- Calculer le périmètre d’un triangle rectangle
- Pourquoi le théorème de Pythagore est-il vrai ?
- S’entraîner avec des exercices type brevet
Tu hésites encore entre Pythagore et Thalès ? La page Thalès ou Pythagore t’aide à choisir le bon théorème selon l’exercice, en lien avec le théorème de Thalès.
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