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Tu as déjà plié une feuille carrée en deux le long de sa diagonale ? Tu obtiens alors un triangle très particulier : un triangle qui est à la fois isocèle et rectangle. C’est tout simplement la moitié d’un carré ! Dans ce cours, tu vas comprendre ce qui le rend si spécial, découvrir ses angles toujours identiques, et apprendre à calculer son aire et son hypoténuse sans te tromper.
Définition et vocabulaire
Un triangle isocèle rectangle réunit deux propriétés en même temps. Commençons par bien comprendre chaque mot.
- Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur.
- Un triangle rectangle possède un angle droit (un angle de 90°).
Un triangle isocèle rectangle a donc, à la fois, deux côtés égaux et un angle droit.
Définition — Triangle isocèle rectangle
Un triangle isocèle rectangle est un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur.
Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) et que \(AB = AC\), alors \(ABC\) est un triangle isocèle rectangle en \(A\).
Le sommet \(A\) (où se trouve l’angle droit) est appelé le sommet principal. Le côté opposé à l’angle droit, \(BC\), est l’hypoténuse : c’est toujours le plus long des trois côtés.
Les propriétés à connaître
Le triangle isocèle rectangle est tellement régulier que ses angles sont toujours les mêmes, quelle que soit sa taille. C’est ce qui le rend très pratique en exercice.
Ses angles : 45°, 45° et 90°
Dans n’importe quel triangle, la somme des trois angles fait 180°. Ici, l’angle droit en occupe déjà 90°. Il reste donc 90° à se partager entre les deux autres angles. Comme le triangle est isocèle, ces deux angles sont égaux : ils valent chacun 45°.
On vérifie : \(90 + 45 + 45 = 180\) ✓
À retenir : un triangle isocèle rectangle a toujours les mêmes angles : 90°, 45° et 45°. On l’appelle aussi le triangle « 45-45-90 ».
Son axe de symétrie
Comme tout triangle isocèle, il possède un axe de symétrie. Cet axe part du sommet de l’angle droit \(A\) et coupe l’hypoténuse \(BC\) en son milieu, perpendiculairement. C’est à la fois la hauteur, la médiane et la médiatrice issues de \(A\).
Cette symétrie est logique : un triangle isocèle rectangle, c’est exactement un carré coupé en deux par sa diagonale.
L’essentiel du triangle isocèle rectangle en 1 page
Une fiche claire avec les angles 45-45-90, la formule de l’aire et celle de l’hypoténuse, prête à imprimer pour réviser avant le contrôle.
📄 Je télécharge ma ficheToutes les propriétés réunies sur une seule page.
Calculer l’aire et l’hypoténuse
Maintenant que tu connais sa forme, voyons les deux calculs les plus demandés en contrôle : l’aire et la longueur de l’hypoténuse.
L’aire
Dans un triangle isocèle rectangle, les deux côtés de l’angle droit jouent le rôle de la base et de la hauteur. Si on appelle \(c\) la longueur d’un côté de l’angle droit, l’aire vaut :
Aire du triangle isocèle rectangle
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{c \times c}{2} = \displaystyle\frac{c^2}{2}\)
où \(c\) est la longueur d’un des deux côtés de l’angle droit.
Exemple : un triangle isocèle rectangle a ses deux côtés de l’angle droit qui mesurent 6 cm. Calcule son aire.
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{6 \times 6}{2} = \displaystyle\frac{36}{2} = 18\)
L’aire vaut donc 18 cm².
Pour aller plus loin sur ce calcul (notamment quand on ne connaît que l’hypoténuse), va voir la fiche dédiée à l’aire d’un triangle rectangle.
L’hypoténuse : côté × √2
Pour trouver l’hypoténuse, on utilise le théorème de Pythagore. Comme les deux côtés de l’angle droit sont égaux à \(c\) :
\(BC^2 = c^2 + c^2 = 2 \times c^2\)donc \(BC = c \times \sqrt{2}\).
Formule magique du 45-45-90 : dans un triangle isocèle rectangle, l’hypoténuse est toujours égale au côté multiplié par \(\sqrt{2}\).
\(\text{hypoténuse} = \text{côté} \times \sqrt{2}\)
Exemple : les côtés de l’angle droit mesurent 4 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
\(BC = 4 \times \sqrt{2} \approx 5{,}66\)
L’hypoténuse mesure environ 5,66 cm.
Et si on connaît l’hypoténuse, on retrouve le côté en divisant par \(\sqrt{2}\). Pour t’entraîner sur ce type de calcul, consulte la méthode pour calculer l’hypoténuse et un côté.
Construire un triangle isocèle rectangle
Le tracer est très simple, car il suffit de partir de l’angle droit. Voici la méthode avec une équerre et une règle.
- Trace un segment \(AB\) de la longueur voulue (par exemple 5 cm).
- Au point \(A\), trace un angle droit avec ton équerre.
- Sur cette demi-droite perpendiculaire, place le point \(C\) à la même distance que \(AB\) : ici \(AC = 5\) cm.
- Relie \(B\) et \(C\) : tu obtiens l’hypoténuse, et le triangle est terminé.
L’astuce : comme c’est la moitié d’un carré, tu peux aussi tracer un carré puis tirer une seule diagonale.
Exercices corrigés
À toi de jouer ! Essaie chaque exercice seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Reconnaître les angles ★
\(ABC\) est un triangle isocèle rectangle en \(A\). Donne la mesure des angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\).
Correction : le triangle est rectangle en \(A\), donc \(\widehat{A} = 90°\). Il reste \(180 – 90 = 90°\) pour les deux autres angles. Comme le triangle est isocèle, ils sont égaux :
\(\widehat{B} = \widehat{C} = \displaystyle\frac{90}{2} = 45°\)
Les deux angles mesurent donc 45° chacun.
Exercice 2 — Calculer l’hypoténuse ★★
Un triangle isocèle rectangle a ses deux côtés de l’angle droit qui mesurent 7 cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse, puis arrondis au dixième.
Correction : on applique la formule du 45-45-90.
\(\text{hypoténuse} = 7 \times \sqrt{2} \approx 9{,}9\)
L’hypoténuse mesure environ 9,9 cm.
Exercice 3 — Calculer l’aire ★★
\(DEF\) est un triangle isocèle rectangle en \(D\) avec \(DE = DF = 8\) cm. Calcule son aire.
Correction : les deux côtés de l’angle droit sont la base et la hauteur.
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{8 \times 8}{2} = \displaystyle\frac{64}{2} = 32\)
L’aire vaut 32 cm².
Exercice 4 — Raisonner ★★★
Un triangle a trois angles qui mesurent 45°, 45° et 90°. Peut-on affirmer qu’il est isocèle rectangle ? Explique.
Correction : oui. Il a un angle de 90°, donc il est rectangle. Il a deux angles égaux (les deux angles de 45°), donc il est isocèle. Un triangle qui est à la fois rectangle et isocèle est bien un triangle isocèle rectangle. La réponse est donc oui.
Les erreurs fréquentes à éviter
Deux confusions reviennent souvent dans les copies. Évite-les et tu gagneras des points faciles.
Erreur classique : croire que l’hypoténuse est égale à un côté de l’angle droit. Faux ! L’hypoténuse est plus longue, elle vaut \(\text{côté} \times \sqrt{2}\). Si un côté mesure 5 cm, l’hypoténuse ne mesure pas 5 cm, mais environ 7,07 cm.
Un triangle rectangle peut-il être équilatéral ? ❌ Non, jamais. Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60°. Or un triangle rectangle a déjà un angle de 90°. Il ne peut donc pas avoir trois angles de 60°. Un triangle peut être rectangle et isocèle, mais jamais rectangle et équilatéral.
Questions fréquentes
Quels sont les angles d'un triangle isocèle rectangle ?
Ses angles sont toujours 90°, 45° et 45°. L’angle droit fait 90°, et les deux autres angles, égaux car le triangle est isocèle, se partagent les 90° restants : ils valent donc 45° chacun. On l’appelle aussi le triangle « 45-45-90 ».
Comment calculer l'aire d'un triangle rectangle isocèle ?
On utilise les deux côtés de l’angle droit comme base et hauteur. Si un côté mesure \(c\), l’aire est \(\displaystyle\frac{c^2}{2}\). Par exemple, avec des côtés de 6 cm, l’aire vaut \(\displaystyle\frac{36}{2} = 18\) cm².
Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle isocèle rectangle ?
Un triangle isocèle a seulement deux côtés de même longueur, mais ses angles peuvent varier. Un triangle isocèle rectangle est un cas particulier : en plus d’avoir deux côtés égaux, il possède un angle droit. Ses angles sont donc fixes (90°, 45°, 45°), alors qu’un triangle isocèle « normal » peut avoir beaucoup de formes différentes.
Un triangle rectangle peut-il être isocèle ?
Oui, tout à fait. Il suffit que ses deux côtés de l’angle droit aient la même longueur. C’est exactement la définition du triangle isocèle rectangle. En revanche, un triangle rectangle ne peut jamais être équilatéral.
Pourquoi l'hypoténuse vaut côté × √2 ?
Grâce au théorème de Pythagore. Si les deux côtés de l’angle droit valent \(c\), alors l’hypoténuse au carré vaut \(c^2 + c^2 = 2c^2\). En prenant la racine carrée, on obtient \(c \times \sqrt{2}\).
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant tout sur le triangle isocèle rectangle : ses angles 45-45-90, son aire et son hypoténuse. Pour continuer ta progression :
- Le théorème de Pythagore — l’outil pour calculer l’hypoténuse et tous les côtés manquants.
- L’aire d’un triangle rectangle — la méthode complète, y compris quand on connaît l’hypoténuse.
- La réciproque de Pythagore — pour démontrer qu’un triangle est bien rectangle.
- Tout sur le triangle rectangle — la page qui rassemble toutes les propriétés.
- ✏️ S’entraîner avec des exercices corrigés.
Dernière mise à jour : 13/06/2026. Conforme au programme officiel de mathématiques du cycle 4 (2025-2026).
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