Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Tu connais sûrement la formule magique \(a^2 + b^2 = c^2\) et tu sais t’en servir pour calculer un côté. Mais sais-tu pourquoi elle est vraie ? En maths, croire une formule ne suffit pas : on la démontre. Dans cet article, tu vas découvrir 4 démonstrations du théorème de Pythagore, de la plus simple (à comprendre dès la 4ème) à une preuve étonnante… signée par un président américain.
I. Le théorème : ce que l’on veut démontrer
Avant de démontrer quelque chose, il faut savoir exactement ce que l’on affirme. Le théorème de Pythagore parle d’un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui possède un angle droit.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si on note \(c\) l’hypoténuse et \(a\) et \(b\) les deux côtés de l’angle droit :
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Notre but est donc clair : à partir de la seule information « l’angle est droit », nous voulons prouver que les trois carrés \(a^2\), \(b^2\) et \(c^2\) vérifient toujours cette égalité, quelle que soit la taille du triangle.
II. Démontrer un théorème, qu’est-ce que ça veut dire ?
Vérifier la formule sur un seul triangle (par exemple 3, 4, 5) ne suffit pas : ça prouve qu’elle marche pour ce triangle-là, pas pour tous. Une démonstration, c’est un raisonnement qui part de choses sûres (des aires, des longueurs) et qui conduit à la conclusion pour n’importe quel triangle rectangle.
L’idée à retenir : une démonstration, c’est comme une recette logique. On part d’ingrédients vrais (des figures, des calculs d’aires) et, étape par étape, on arrive à un résultat qui devient vrai pour toujours. C’est ce qui fait la force des mathématiques : une fois démontré, c’est démontré pour de bon.
Il existe plus de 350 démonstrations connues du théorème de Pythagore ! Voici les quatre plus belles, choisies pour leur simplicité.
Les 4 démonstrations de Pythagore réunies en une fiche claire
Toutes les preuves illustrées, des aires au trapèze de Garfield, expliquées pas à pas pour retenir le « pourquoi » de la formule.
📄 Télécharger la fiche PDF gratuiteIdéal pour réviser et comprendre une bonne fois pour toutes.
III. Preuve n°1 — la démonstration par les aires (la plus simple)
C’est la démonstration la plus facile à comprendre, et celle qu’on rencontre le plus souvent au collège, car elle n’utilise presque aucun calcul. L’idée est de découper deux grands carrés identiques de deux façons différentes.
On dessine deux grands carrés ayant exactement le même côté, de longueur \(a + b\). Dans chacun, on place 4 copies de notre triangle rectangle, mais rangées différemment.
Le raisonnement, pas à pas :
- Les deux grands carrés ont la même aire (même côté \(a + b\)).
- Dans chacun, on a placé les 4 mêmes triangles : ils occupent la même aire des deux côtés.
- Donc l’espace blanc restant a la même aire dans les deux carrés.
- À gauche, le blanc forme deux carrés : \(a^2\) et \(b^2\).
- À droite, le blanc forme un seul carré : \(c^2\).
Comme ces blancs sont égaux : \(a^2 + b^2 = c^2\) ✓
Pas une seule formule compliquée : juste des aires que l’on compare. C’est cette idée de réarrangement qui rend cette preuve si élégante.
IV. Preuve n°2 — le puzzle de Bhaskara
Le mathématicien indien Bhaskara (XIIᵉ siècle) a proposé une preuve si visuelle qu’il l’aurait accompagnée d’un seul mot : « Regarde ! ». Cette fois, on part d’un carré de côté \(c\) (l’hypoténuse) et on range 4 triangles à l’intérieur.
Quand on range les 4 triangles, il reste au centre un petit carré dont le côté vaut \(b – a\). On peut alors comparer les aires :
\(c^2 = 4 \times \displaystyle\frac{a \times b}{2} + (b – a)^2\)On développe :
\(c^2 = 2ab + b^2 – 2ab + a^2\)
Les \(2ab\) et \(-2ab\) se simplifient, et il reste :
\(c^2 = a^2 + b^2\) ✓
Cette preuve utilise une identité remarquable, \((b – a)^2 = b^2 – 2ab + a^2\), que tu verras (ou que tu as vue) en 3ème. Elle est parfaite pour relier la géométrie au calcul littéral.
V. Preuve n°3 — la démonstration d’Euclide
C’est la plus ancienne démonstration écrite, présente dans les Éléments d’Euclide (vers 300 avant J.-C.). On la surnomme parfois « le moulin à vent » à cause de la figure obtenue. Son idée : tracer la hauteur issue de l’angle droit, qui coupe l’hypoténuse en deux morceaux.
Cette hauteur partage le grand triangle en deux petits triangles qui ont exactement la même forme que le grand (on dit qu’ils sont semblables). En comparant les côtés, on obtient deux égalités d’aires qui, additionnées, donnent encore une fois :
\(a^2 + b^2 = c^2\)Pourquoi c’est important : la démonstration d’Euclide montre que Pythagore est en réalité une conséquence des triangles semblables, eux-mêmes liés au théorème de Thalès. Tous les grands théorèmes de géométrie se tiennent par la main !
VI. Preuve n°4 — l’étonnante preuve du président Garfield
Voici l’anecdote que personne ne raconte en classe : en 1876, James Garfield, futur président des États-Unis, trouve sa propre démonstration de Pythagore… alors qu’il était simple député ! Son astuce : assembler deux triangles rectangles pour former un trapèze.
On calcule l’aire de ce trapèze de deux façons.
Méthode 1 — formule du trapèze (demi-somme des bases × hauteur) :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{(a + b) \times (a + b)}{2}\)
Méthode 2 — somme des 3 triangles (deux d’aire \(\displaystyle\frac{ab}{2}\) et un d’aire \(\displaystyle\frac{c^2}{2}\)) :
\(\mathcal{A} = 2 \times \displaystyle\frac{ab}{2} + \displaystyle\frac{c^2}{2}\)
On égalise et on simplifie : \((a + b)^2 = 2ab + c^2\), donc \(a^2 + b^2 = c^2\) ✓
Quatre preuves, quatre époques, un seul résultat. C’est ça, la beauté d’un théorème démontré.
VII. 🔴 Pour les plus grands : Pythagore vu autrement au lycée
Au lycée, le théorème de Pythagore réapparaît sous une forme encore plus puissante. Cette partie est un bonus pour les curieux : tu n’as pas besoin de la maîtriser au collège.
🔴 Niveau lycée — la preuve par le produit scalaire
Quand deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires, leur produit scalaire est nul. La norme de leur somme vérifie alors :
\(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}\)
Comme \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\), il reste \(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2\) : c’est Pythagore !
On peut aussi voir Pythagore comme un cas particulier de la loi d’Al-Kashi \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(\widehat{C})\) : lorsque l’angle \(\widehat{C}\) vaut 90°, son cosinus est nul, et on retrouve exactement \(c^2 = a^2 + b^2\). Pythagore est donc une famille de résultats qui t’accompagnera jusqu’en prépa.
VIII. Les erreurs à éviter
Comprendre une démonstration, c’est aussi savoir où sont les pièges. Voici les trois confusions les plus courantes.
Erreur 1 — confondre démontrer et vérifier. Tester la formule sur le triangle 3-4-5 (\(9 + 16 = 25\) ✓) ne démontre rien : ça vérifie un cas, pas tous. Une vraie preuve doit marcher pour n’importe quelles longueurs \(a\) et \(b\).
Erreur 2 — oublier que l’angle doit être droit. Le théorème de Pythagore ne s’applique que dans un triangle rectangle. Sans angle droit, l’égalité \(a^2 + b^2 = c^2\) est fausse. C’est justement ce que teste la réciproque.
Erreur 3 — se tromper d’hypoténuse. Dans toutes ces preuves, \(c\) est toujours le côté opposé à l’angle droit, le plus long. Si tu mets un côté de l’angle droit à la place de \(c\), tout le raisonnement s’effondre.
IX. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer ! Ces deux exercices te font refaire le raisonnement par toi-même.
Exercice 1 ★ — Vérifier la preuve par les aires. On prend un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(a = 3\) et \(b = 4\). Calcule l’aire des 4 triangles, puis celle des carrés \(a^2\) et \(b^2\), et vérifie qu’on retrouve bien \(c^2\) avec \(c = 5\).
Voir la correction de l'exercice 1
Aire d’un triangle : \(\displaystyle\frac{3 \times 4}{2} = 6\). Les 4 triangles font donc \(4 \times 6 = 24\).
Carrés des côtés : \(a^2 = 9\) et \(b^2 = 16\), soit \(9 + 16 = 25\).
Et \(c^2 = 5^2 = 25\). On a bien \(a^2 + b^2 = c^2\). La preuve par les aires fonctionne sur cet exemple. ∎
Exercice 2 ★★ — Raisonner sur le puzzle de Bhaskara. Dans la preuve de Bhaskara, on affirme que le petit carré central a pour côté \(b – a\). Explique avec tes mots pourquoi ce côté ne peut pas valoir \(a + b\), et pourquoi on a besoin que \(b\) soit plus grand que \(a\).
Voir la correction de l'exercice 2
Le petit carré se trouve à l’intérieur du grand carré de côté \(c\) : son côté est forcément plus petit que \(c\), donc plus petit que \(a + b\). La valeur \(a + b\) est impossible.
En rangeant les triangles, le côté du trou central vaut la différence entre les deux côtés de l’angle droit, c’est-à-dire \(b – a\). Pour que cette longueur soit positive (une longueur ne peut pas être négative), il faut que \(b\) soit plus grand que \(a\). Si \(a = b\), le trou disparaît : le triangle est alors rectangle isocèle. ∎
Tu veux t’entraîner davantage ? Retrouve une série complète dans les exercices corrigés de Pythagore en 4ème.
X. Questions fréquentes
Comment démontrer le théorème de Pythagore ?
La méthode la plus simple est la démonstration par les aires : on compare deux grands carrés identiques de côté \(a + b\), remplis des mêmes 4 triangles rangés différemment. L’espace restant vaut \(a^2 + b^2\) d’un côté et \(c^2\) de l’autre, ce qui prouve l’égalité.
Quelles sont les principales démonstrations du théorème de Pythagore ?
Il en existe plus de 350 ! Les plus connues sont la preuve par les aires (réarrangement de carrés), le puzzle de Bhaskara (avec une identité remarquable), la démonstration d’Euclide (par les triangles semblables) et la preuve du trapèze du président Garfield. Au lycée s’ajoute la preuve par le produit scalaire.
Comment démontre-t-on un théorème en général ?
On part d’affirmations déjà sûres (définitions, propriétés démontrées, calculs d’aires) et on enchaîne des étapes logiques jusqu’à la conclusion. La différence avec une vérification : une démonstration doit être valable pour tous les cas, pas seulement pour un exemple.
La démonstration de Pythagore est-elle au programme de 4ème ?
Le théorème de Pythagore est introduit en 4ème, et sa démonstration par les aires est souvent présentée pour comprendre le « pourquoi ». Elle n’est pas exigée par cœur au brevet, mais la connaître aide énormément à retenir la formule et à éviter les erreurs.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème part d’un triangle rectangle pour en déduire l’égalité \(a^2 + b^2 = c^2\). La réciproque fait l’inverse : elle part de l’égalité des longueurs pour prouver que l’angle est droit. L’un sert à calculer une longueur, l’autre à démontrer qu’un triangle est rectangle.
Pythagore a-t-il vraiment découvert ce théorème ?
Le résultat était connu bien avant lui : les Babyloniens et les Égyptiens utilisaient déjà des triplets comme 3-4-5 plus de 1000 ans avant Pythagore. La tradition lui attribue la première démonstration générale, mais aucun texte de sa main ne nous est parvenu.
XI. Pour aller plus loin
Maintenant que tu comprends pourquoi le théorème est vrai, tu peux explorer ses usages :
- Le cours complet sur le théorème de Pythagore (formule, calculs types et triplets pythagoriciens)
- Calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle
- La réciproque : démontrer qu’un triangle est rectangle
- Exercices type brevet corrigés
- Le produit scalaire au lycée, qui généralise Pythagore
Tu veux comprendre les maths en profondeur, et pas seulement appliquer des formules ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
