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Tu connais déjà un triangle rectangle quand on te le dit. Mais comment faire pour prouver, calcul à l’appui, qu’un triangle possède bien un angle droit, sans le mesurer avec une équerre ? C’est exactement le rôle de la réciproque du théorème de Pythagore. Dans cet article, tu vas apprendre à l’énoncer, à l’utiliser pas à pas, à la rédiger sans perdre de points au contrôle, et à ne plus la confondre avec sa contraposée.
À quoi sert la réciproque de Pythagore ?
Rappelle-toi le théorème de Pythagore. Quand on sait déjà qu’un triangle est rectangle, il permet de calculer une longueur manquante. Tu pars de l’angle droit, et tu trouves un côté.
La réciproque fait le chemin inverse. On te donne les trois longueurs d’un triangle, et tu veux savoir s’il est rectangle ou non. Tu pars des côtés, et tu trouves (ou pas) l’angle droit.
Comment retenir la différence :
- Pythagore : je sais que l’angle est droit → je calcule un côté.
- Réciproque : je connais les trois côtés → je prouve que l’angle est droit.
C’est un outil très utile dans la vraie vie : un maçon qui veut vérifier qu’un mur forme bien un angle droit mesure trois longueurs (souvent 3 m, 4 m et 5 m) et applique exactement ce raisonnement. C’est la technique de l’équerre 3-4-5.
L’énoncé de la réciproque (et sa « formule »)
Voici l’énoncé officiel, celui que tu dois savoir réciter et écrire au contrôle.
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
De plus, l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté (l’hypoténuse).
En pratique, si ton triangle a pour côtés \(a\), \(b\) et \(c\) avec \(c\) le plus grand, tu dois comparer deux nombres :
D’un côté \(c^2\), et de l’autre \(a^2 + b^2\).
Il n’y a pas vraiment de « formule de la réciproque ». Tu utilises la même égalité que Pythagore, \(a^2 + b^2 = c^2\), mais tu la lis dans l’autre sens : ce n’est pas une donnée, c’est une conclusion à vérifier.
La réciproque de Pythagore résumée en 1 page
L’énoncé, la méthode en 4 étapes et la rédaction-type notée comme au brevet, sur une fiche claire à imprimer.
📄 Télécharger la ficheTout ce qu’il faut pour ne plus perdre de points en contrôle.
La méthode pas à pas pour appliquer la réciproque
Pour utiliser la réciproque proprement, suis toujours ces quatre étapes, dans cet ordre. C’est exactement ce qu’on attend de toi sur une copie.
- Repère le plus grand côté. C’est lui qui pourrait être l’hypoténuse. Note bien lequel c’est.
- Calcule d’un côté le carré du plus grand côté : \(c^2\).
- Calcule de l’autre côté la somme des carrés des deux autres côtés : \(a^2 + b^2\).
- Compare les deux résultats. S’ils sont égaux, le triangle est rectangle. S’ils sont différents, il ne l’est pas.
Calcule les deux membres SÉPARÉMENT. N’écris jamais « \(a^2 + b^2 = c^2\) » dès le début : ce serait écrire que le triangle est rectangle… avant même de l’avoir prouvé ! Tu calcules d’abord \(c^2\), puis \(a^2 + b^2\), et seulement après tu conclus en comparant.
Réciproque, contraposée, théorème : ne plus les confondre
C’est LE point qui fait perdre des points au brevet. Trois énoncés se ressemblent mais ne s’utilisent pas dans la même situation. Voici un tableau pour t’y retrouver une fois pour toutes.
| Énoncé | Ce que tu sais au départ | Ce que tu veux trouver |
|---|---|---|
| Théorème de Pythagore | Le triangle EST rectangle | Une longueur manquante |
| Réciproque | Les 3 longueurs, et \(c^2 = a^2 + b^2\) | Prouver que le triangle EST rectangle |
| Contraposée | Les 3 longueurs, et \(c^2\) différent de \(a^2 + b^2\) | Prouver que le triangle N’EST PAS rectangle |
La contraposée du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Autrement dit : la réciproque sert à dire « oui, il est rectangle », et la contraposée sert à dire « non, il ne l’est pas ». Tu choisis l’une ou l’autre après avoir comparé tes deux calculs. C’est la même compétence de raisonnement que tu retrouves avec la réciproque de Thalès.
Exemples résolus pas à pas
Passons à la pratique avec deux exemples : un triangle qui est rectangle, et un qui ne l’est pas. Observe bien la rédaction.
Exemple 1 — Le triangle est-il rectangle ?
Un triangle \(ABC\) a pour côtés : \(AB = 6\) cm, \(AC = 8\) cm et \(BC = 10\) cm.
Étape 1. Le plus grand côté est \(BC = 10\) cm.
Étape 2. \(BC^2 = 10^2 = 100\).
Étape 3. \(AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Étape 4. On constate que \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) (l’angle opposé au plus grand côté \(BC\)). ∎
Exemple 2 — Attention, celui-ci n’est pas rectangle
Un triangle \(DEF\) a pour côtés : \(DE = 5\) cm, \(EF = 7\) cm et \(DF = 9\) cm.
Étape 1. Le plus grand côté est \(DF = 9\) cm.
Étape 2. \(DF^2 = 9^2 = 81\).
Étape 3. \(DE^2 + EF^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\).
Étape 4. On constate que \(81\) est différent de \(74\), donc \(DF^2\) n’est pas égal à \(DE^2 + EF^2\).
Donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) n’est pas rectangle. ∎
Pour calculer une longueur dans un triangle dont tu sais déjà qu’il est rectangle, c’est l’opération inverse : tu utilises alors la méthode pour calculer l’hypoténuse.
La rédaction-type notée (comme au brevet)
Au brevet, ce n’est pas le bon résultat qui rapporte des points : c’est la rédaction complète. Voici la copie modèle, avec le barème détaillé pour que tu voies exactement où sont les points.
Sujet : le triangle \(ABC\) tel que \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(BC = 10\) est-il rectangle ?
Rédaction attendue :
« Le plus grand côté est \(BC\). (barème : 0,5 pt — identifier le plus grand côté)
D’une part : \(BC^2 = 10^2 = 100\). (0,5 pt)
D’autre part : \(AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). (0,5 pt)
On a donc \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). (0,5 pt — la comparaison explicite)
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). » (1 pt — nommer la réciproque + conclure + préciser le sommet)
Total : 3 points.
Les 3 mots qui rapportent des points : « D’une part », « D’autre part », et surtout « d’après la réciproque du théorème de Pythagore ». Si tu oublies de nommer la réciproque, tu perds le point de conclusion même avec les bons calculs.
La rigueur de rédaction se travaille de la même façon sur tous les théorèmes du collège, par exemple pour rédiger une démonstration avec Thalès.
Les erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges qui reviennent le plus souvent dans les copies. Repère-les pour ne pas tomber dedans.
Erreur n°1 — Se tromper de plus grand côté.
❌ Copie fautive : avec \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(BC = 10\), l’élève calcule \(8^2\) d’un côté et \(6^2 + 10^2\) de l’autre.
Diagnostic : il a pris \(AC\) comme côté à isoler, alors que le plus grand côté est \(BC = 10\).
✅ Correction : le carré à isoler est toujours celui du plus grand côté, ici \(BC^2 = 100\), que l’on compare à \(AB^2 + AC^2\).
Erreur n°2 — Écrire l’égalité avant de la prouver.
❌ Copie fautive : « \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) donc le triangle est rectangle ».
Diagnostic : écrire l’égalité dès le début, c’est supposer le résultat. Le correcteur ne sait pas si tu l’as vérifié.
✅ Correction : calcule les deux membres séparément, puis écris « on constate que les deux résultats sont égaux ».
Erreur n°3 — Oublier de nommer la réciproque.
❌ Copie fautive : « les deux calculs donnent 100, donc le triangle est rectangle. »
Diagnostic : la justification manque. C’est la réciproque qui autorise la conclusion, il faut la citer.
✅ Correction : « …donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en A. »
Exercices d’application corrigés
À ton tour ! Cache la correction, fais l’exercice sur ton cahier, puis compare.
Exercice 1 (★) — Le triangle \(RST\) tel que \(RS = 9\) cm, \(ST = 12\) cm et \(RT = 15\) cm est-il rectangle ?
Voir la correction de l'exercice 1
Le plus grand côté est \(RT = 15\).
D’une part : \(RT^2 = 15^2 = 225\).
D’autre part : \(RS^2 + ST^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).
On a \(RT^2 = RS^2 + ST^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\).
Exercice 2 (★★) — Le triangle \(MNP\) tel que \(MN = 4\) cm, \(NP = 6\) cm et \(MP = 8\) cm est-il rectangle ? Justifie.
Voir la correction de l'exercice 2
Le plus grand côté est \(MP = 8\).
D’une part : \(MP^2 = 8^2 = 64\).
D’autre part : \(MN^2 + NP^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\).
On constate que \(64\) est différent de \(52\). Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(MNP\) n’est pas rectangle.
Exercice 3 (★★★ — raisonnement) — Un menuisier fabrique un cadre. Il mesure les côtés : 20 cm, 21 cm et 29 cm. Le coin du cadre est-il bien un angle droit ? Que devrait-il faire si ce n’était pas le cas ?
Voir la correction de l'exercice 3
Le plus grand côté mesure 29 cm.
D’une part : \(29^2 = 841\).
D’autre part : \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\).
Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle formé est rectangle : le coin du cadre est bien un angle droit.
Si les deux calculs avaient été différents, le menuisier devrait corriger l’assemblage (rectifier l’angle) car le cadre ne serait pas « d’équerre ».
Tu veux t’entraîner davantage, notamment sur des sujets type brevet ? Va voir nos exercices de 3ème corrigés avec barème.
Questions fréquentes
Comment faire la réciproque du théorème de Pythagore ?
Repère le plus grand côté, calcule son carré d’un côté, calcule la somme des carrés des deux autres côtés de l’autre côté, puis compare. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (angle droit opposé au plus grand côté). Sinon, il ne l’est pas.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème de Pythagore part d’un triangle dont on sait qu’il est rectangle pour calculer une longueur. La réciproque part des trois longueurs connues pour prouver que le triangle est rectangle. C’est le même raisonnement, mais dans le sens inverse.
Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée de Pythagore ?
Les deux comparent \(c^2\) et \(a^2 + b^2\). La réciproque s’utilise quand ils sont égaux, pour conclure que le triangle EST rectangle. La contraposée s’utilise quand ils sont différents, pour conclure que le triangle N’EST PAS rectangle.
Quand utiliser la réciproque de Pythagore ?
Tu l’utilises chaque fois que tu connais les trois côtés d’un triangle et que la question te demande de prouver (ou de vérifier) qu’il est rectangle. Mots-clés de l’énoncé : « démontrer que », « montrer que le triangle est rectangle », « le triangle est-il rectangle ? ».
Comment savoir quel est l'angle droit ?
L’angle droit est toujours l’angle opposé au plus grand côté (l’hypoténuse). Si le plus grand côté est \(BC\), alors l’angle droit est en \(A\), le sommet qui ne touche pas \(BC\).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la réciproque. Pour consolider tout le chapitre :
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