En 3ème, le théorème de Pythagore revient à chaque contrôle… et tombe presque tous les ans au brevet. La bonne nouvelle : c’est l’un des chapitres où l’on gagne le plus de points facilement, à condition de bien rédiger. Voici 10 exercices corrigés pas à pas, classés du plus simple au plus exigeant : calcul d’un côté, valeur exacte, réciproque pour prouver un angle droit, et problèmes type brevet avec barème. Chaque correction est détaillée comme tu dois l’écrire sur ta copie. À la fin, tu trouveras une fiche PDF à imprimer pour réviser.
Rappel express : la formule et la réciproque
Avant de t’entraîner, garde ces deux outils sous les yeux. Le détail complet est dans le cours sur le théorème de Pythagore.
Le théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
La réciproque (pour prouver un angle droit)
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. C’est l’outil indispensable pour les exercices de 3ème : il sert à démontrer qu’un triangle possède un angle droit. Pour t’entraîner uniquement là-dessus, va voir la page réciproque de Pythagore.
Exercices d’application directe (★)
On commence par le calcul d’une longueur. Le réflexe : repérer l’hypoténuse, écrire le théorème, puis remplacer par les valeurs.
Exercice 1 — Calculer l’hypoténuse. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On donne \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Calcule la longueur \(BC\).
Correction. Le triangle est rectangle en \(A\), donc l’hypoténuse est \(BC\). D’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Donc \(BC = \sqrt{25} = 5\) cm.
Exercice 2 — Calculer un côté de l’angle droit. Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\). On donne \(DF = 10\) cm et \(EF = 6\) cm. Calcule \(DE\).
Correction. Ici l’hypoténuse est \(DF\) (côté opposé à l’angle droit en \(E\)). On cherche un côté de l’angle droit, donc on soustrait :
\(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
\(DE^2 = DF^2 – EF^2 = 10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64\)
Donc \(DE = \sqrt{64} = 8\) cm.
Exercice 3 — Donner une valeur exacte. Le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\), avec \(GH = 5\) cm et \(HI = 7\) cm. Calcule \(GI\) : donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au millimètre.
Correction. L’hypoténuse est \(GI\).
\(GI^2 = GH^2 + HI^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
Comme 74 n’est pas un carré parfait, la valeur exacte est \(GI = \sqrt{74}\) cm.
Valeur approchée : \(GI \approx 8{,}6\) cm.
Exercice 4 — Reconnaître un triplet. Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\), avec \(KM = 13\) cm et \(KL = 5\) cm. Calcule \(LM\).
Correction. L’hypoténuse est \(KM = 13\). On cherche le côté \(LM\) :
\(LM^2 = KM^2 – KL^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144\)
Donc \(LM = \sqrt{144} = 12\) cm.
On reconnaît le triplet pythagoricien \(5 – 12 – 13\) : connaître ces triplets (comme \(3-4-5\) ou \(8-15-17\)) fait gagner du temps au brevet.
Ta fiche de révision Pythagore prête à imprimer
Formule, réciproque, méthode en 3 étapes et pièges à éviter, le tout sur une seule page à glisser dans ton classeur.
📄 Je télécharge ma fiche gratuiteRévise 2× plus vite avant ton contrôle ou le brevet.
Exercices d’approfondissement (★★)
On passe maintenant à la réciproque et aux problèmes concrets. Ici, il ne suffit pas de calculer : il faut raisonner et bien rédiger.
Exercice 5 — Prouver qu’un triangle est rectangle. Un triangle \(RST\) a pour côtés \(RS = 9\) cm, \(ST = 12\) cm et \(RT = 15\) cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Correction. On repère le plus grand côté : \(RT = 15\). On calcule séparément les deux membres :
D’un côté : \(RT^2 = 15^2 = 225\).
De l’autre : \(RS^2 + ST^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).
On constate que \(RT^2 = RS^2 + ST^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle. L’angle droit est opposé au plus grand côté \(RT\), donc le triangle est rectangle en \(S\).
Exercice 6 — Montrer qu’un triangle n’est PAS rectangle. Un triangle a pour côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm. Est-il rectangle ?
Correction. Plus grand côté : 6 cm.
D’un côté : \(6^2 = 36\).
De l’autre : \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\).
Comme \(36 \neq 41\), on a \(6^2\) différent de \(4^2 + 5^2\). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle.
Exercice 7 — Problème de la vie courante. Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? Donne l’arrondi au centimètre.
Correction. Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle, l’angle droit étant entre le mur et le sol. L’échelle est l’hypoténuse. On note \(h\) la hauteur cherchée :
\(5^2 = h^2 + 1{,}5^2\)
\(h^2 = 25 – 2{,}25 = 22{,}75\)
\(h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m.
L’échelle touche le mur à environ 4,77 m de hauteur.
Exercices de synthèse type brevet (★★★)
Ces exercices combinent plusieurs notions, comme au brevet. C’est ici que la rédaction rapporte des points : on te corrige même si le résultat final comporte une petite erreur de calcul.
Exercice 8 — Brevet, avec barème de rédaction. Un terrain a la forme d’un triangle \(ABC\) tel que \(AB = 40\) m, \(AC = 9\) m et \(BC = 41\) m.
a) Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle.
b) Calcule son aire.
Correction rédigée (et son barème sur 4 points).
a) Le plus grand côté est \(BC = 41\) m.
\(BC^2 = 41^2 = 1681\) (0,5 pt)
\(AB^2 + AC^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681\) (0,5 pt)
On constate que \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). (0,5 pt) D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). (1 pt — citer la réciproque + conclure)
b) L’angle droit est en \(A\), donc \(AB\) et \(AC\) sont les côtés perpendiculaires. L’aire vaut :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{AB \times AC}{2} = \displaystyle\frac{40 \times 9}{2} = 180\) m². (1,5 pt)
Pour le détail du calcul d’aire, vois la page aire d’un triangle rectangle.
Exercice 9 — Pythagore et Thalès combinés. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm. Le point \(M\) appartient à \([AB]\) avec \(AM = 3\) cm, et le point \(N\) appartient à \([AC]\) avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\).
a) Calcule \(BC\).
b) Calcule \(MN\) en utilisant le théorème de Thalès.
Correction.
a) L’hypoténuse est \(BC\) :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(BC = 10\) cm.
b) Comme \((MN)\) est parallèle à \((BC)\), d’après le théorème de Thalès :
\(\displaystyle\frac{AM}{AB} = \displaystyle\frac{MN}{BC}\), soit \(\displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{MN}{10}\).
Donc \(MN = \displaystyle\frac{3 \times 10}{6} = 5\) cm.
Au brevet, Pythagore et le théorème de Thalès tombent souvent ensemble : repère vite lequel utiliser selon ce qui est demandé.
Exercice 10 — Pythagore et trigonométrie. Le triangle \(PQR\) est rectangle en \(Q\) avec \(PQ = 4\) cm et \(QR = 3\) cm.
a) Calcule \(PR\).
b) Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{QPR}\), arrondie au degré.
Correction.
a) L’hypoténuse est \(PR\) :
\(PR^2 = PQ^2 + QR^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\), donc \(PR = 5\) cm.
b) Dans le triangle rectangle en \(Q\), pour l’angle \(\widehat{QPR}\), le côté opposé est \(QR\) et le côté adjacent est \(PQ\). On utilise la tangente :
\(\tan(\widehat{QPR}) = \displaystyle\frac{QR}{PQ} = \displaystyle\frac{3}{4} = 0{,}75\)
Donc \(\widehat{QPR} \approx 37^\circ\) (à l’aide de la touche \(\tan^{-1}\) de la calculatrice).
Pour maîtriser cosinus, sinus et tangente, va voir la fiche calculer un angle dans un triangle rectangle.
Ta fiche de révision Pythagore en PDF
Tu veux réviser efficacement avant ton prochain contrôle ou le brevet ? Télécharge la fiche de révision Pythagore : formule, réciproque, méthode en 3 étapes et les pièges à éviter, le tout sur une page à imprimer et glisser dans ton classeur.
📄 Révise 2× plus vite — fiche PDF gratuite
Erreurs fréquentes et conseils de rédaction
Voici les fautes qui coûtent le plus de points au brevet. Les éviter, c’est déjà gagner des points faciles.
Erreur n°1 — Confondre hypoténuse et côté. Pour trouver l’hypoténuse, on additionne les carrés. Pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait. Repère toujours d’abord où est l’angle droit : l’hypoténuse est le côté opposé, c’est le plus grand.
Erreur n°2 — Oublier la racine carrée. Beaucoup d’élèves écrivent \(BC^2 = 25\) puis répondent \(BC = 25\). Faux ! Il faut conclure : \(BC = \sqrt{25} = 5\).
Erreur n°3 — Mal citer la réciproque. Pour démontrer qu’un triangle est rectangle, tu dois calculer séparément les deux membres, constater l’égalité, puis écrire « d’après la réciproque du théorème de Pythagore ». Sauter cette phrase de conclusion fait perdre des points, même si le calcul est juste.
Le réflexe brevet : écris toujours le théorème en lettres avant de remplacer par les nombres. Le correcteur voit ta démarche, et tu gardes des points même en cas d’erreur de calcul. Pour aller plus loin, consulte les erreurs coûteuses au brevet de maths.
Continue à t’entraîner
Tu maîtrises ces exercices ? Voici comment progresser :
- La réciproque de Pythagore en détail — la compétence clé du brevet.
- Calculer l’hypoténuse et un côté — la méthode pas à pas.
- Les exercices de 4ème — pour revoir les bases.
- Les exercices de Thalès en 3ème — l’autre gros chapitre de géométrie du brevet.
Questions fréquentes
Quelle est la formule du théorème de Pythagore en 3ème ?
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), la formule s’écrit \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), où \(BC\) est l’hypoténuse. La formule est la même qu’en 4ème : en 3ème, on l’utilise surtout avec la réciproque et dans des problèmes plus complexes.
Comment trouver la longueur manquante d'un côté d'un triangle rectangle ?
Repère d’abord l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit). Si tu cherches l’hypoténuse, additionne les carrés des deux autres côtés. Si tu cherches un côté de l’angle droit, soustrais le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse. N’oublie jamais la racine carrée pour conclure.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème sert à calculer une longueur quand on sait déjà que le triangle est rectangle. La réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs. C’est une distinction essentielle au brevet : lis bien l’énoncé pour savoir lequel utiliser.
Le théorème de Pythagore tombe-t-il au brevet ?
Oui, très souvent. Pythagore et Thalès sont les deux grands chapitres de géométrie du brevet. On te demande généralement de calculer une longueur, de prouver qu’un triangle est rectangle (réciproque), ou de combiner Pythagore avec Thalès ou la trigonométrie dans un même problème.
Conforme au programme officiel de mathématiques de 3ème (cycle 4), année scolaire 2025-2026.
