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Tu veux connaître la longueur de la diagonale de ton écran, vérifier qu’un mur forme bien un angle droit, ou simplement trouver le côté manquant d’un triangle dans un contrôle ? Dans tous ces cas, tu as besoin de calculer une longueur dans un triangle rectangle. La méthode est toujours la même : le théorème de Pythagore. Tu vas voir, en 4 étapes claires, tu sauras calculer l’hypoténuse (le plus grand côté) à coup sûr.
I. La formule pour calculer l’hypoténuse
Avant de calculer, il faut bien reconnaître l’hypoténuse. Dans un triangle rectangle, c’est le côté qui est situé en face de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long des trois.
Définition — L’hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus grand côté du triangle.
![triangle rectangle ABC annoté, angle droit en A marqué par un petit carré, l'hypoténuse [BC] mise en évidence en bleu #1](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/hypotenuse_triangle.png)
Pour trouver sa longueur, on utilise le théorème de Pythagore. Il relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle.
Formule — Calculer l’hypoténuse
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Comme \(BC\) est l’hypoténuse, on la trouve en prenant la racine carrée :
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)
Autrement dit : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C’est cette somme (une addition) qui caractérise le calcul de l’hypoténuse.
II. La méthode en 4 étapes
Maintenant que tu connais la formule, voici comment l’appliquer sans te tromper. Garde toujours ces 4 étapes dans l’ordre.
Les 4 étapes pour calculer l’hypoténuse
- Repère l’hypoténuse : c’est le côté en face de l’angle droit (le plus long).
- Écris le théorème de Pythagore avec les noms des côtés de ton triangle.
- Remplace par les longueurs connues et calcule les carrés, puis additionne.
- Prends la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur de l’hypoténuse.
L’étape 4 est celle qu’on oublie le plus souvent : à la fin du calcul, tu obtiens le carré de l’hypoténuse, pas l’hypoténuse elle-même. Il faut donc bien prendre la racine carrée pour conclure.
La méthode pour calculer l’hypoténuse, en une fiche
Les 4 étapes, les triplets pythagoriciens et les pièges à éviter, résumés en recto-verso à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche méthode (PDF)Gratuit — prêt à imprimer pour réviser avant le contrôle.
III. Exemples résolus
Commençons par un cas tout simple, puis montons progressivement en difficulté.
Exemple 1 — Longueurs entières
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Calcule l’hypoténuse \(BC\).
Étape 1 : l’hypoténuse est \(BC\) (en face de l’angle droit en A).
Étape 2 : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Étape 3 : \(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
Étape 4 : \(BC = \sqrt{25} = 5\) cm.
L’hypoténuse mesure 5 cm.
Très souvent, le résultat n’est pas un nombre entier. Dans ce cas, on donne une valeur arrondie.
Exemple 2 — Résultat non entier
Le triangle DEF est rectangle en D, avec \(DE = 5\) cm et \(DF = 7\) cm. Calcule l’hypoténuse \(EF\) arrondie au millimètre.
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
\(EF = \sqrt{74} \approx 8{,}6\) cm.
L’hypoténuse mesure environ 8,6 cm.
La méthode sert aussi quand l’hypoténuse est connue et que tu cherches l’un des côtés de l’angle droit. La différence : tu fais une soustraction au lieu d’une addition.
Exemple 3 — Trouver un côté de l’angle droit
Le triangle GHI est rectangle en G. L’hypoténuse \(HI = 13\) cm et le côté \(GH = 5\) cm. Calcule \(GI\).
On écrit Pythagore : \(HI^2 = GH^2 + GI^2\)
On remplace : \(13^2 = 5^2 + GI^2\), donc \(169 = 25 + GI^2\).
On isole : \(GI^2 = 169 – 25 = 144\) (ici on soustrait).
On conclut : \(GI = \sqrt{144} = 12\) cm.
Une situation concrète, maintenant, pour voir à quoi ça sert vraiment.
Exemple 4 — Une échelle contre un mur
Une échelle est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,5 m du mur et son sommet touche le mur à 2 m de hauteur. Quelle est la longueur de l’échelle ?
Le mur et le sol forment un angle droit : l’échelle est l’hypoténuse.
\(L^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25\)
\(L = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) m. L’échelle mesure 2,5 m.
Astuce — Les triplets pythagoriciens
Certains triangles ont trois côtés entiers. Si tu les reconnais, tu trouves l’hypoténuse sans calculatrice : (3 ; 4 ; 5), (6 ; 8 ; 10), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17). Le plus grand nombre du triplet est toujours l’hypoténuse.
IV. Quelle méthode utiliser selon la situation ?
Pythagore n’est pas toujours le bon outil. Tout dépend de ce que tu connais et de ce que tu cherches. Ce tableau t’aide à choisir.
| Ce que tu connais | Ce que tu cherches | Calcul à faire | Méthode |
|---|---|---|---|
| Les 2 côtés de l’angle droit | L’hypoténuse | Addition puis racine : \(\sqrt{a^2 + b^2}\) | Pythagore (cette page) |
| L’hypoténuse et 1 côté de l’angle droit | L’autre côté de l’angle droit | Soustraction puis racine | Pythagore (cette page) |
| Les 3 longueurs des côtés | Savoir si le triangle est rectangle | Comparer \(c^2\) et \(a^2 + b^2\) | Réciproque de Pythagore |
| Des longueurs et tu cherches un angle | La mesure d’un angle | Cosinus, sinus ou tangente | Trigonométrie |
Retiens surtout la règle d’or : si tu cherches l’hypoténuse, tu additionnes ; si tu cherches un côté de l’angle droit, tu soustrais.
V. Les erreurs fréquentes à éviter
Voici les trois pièges qui font perdre le plus de points. Lis-les attentivement, ils sont vraiment courants.
Erreur n°1 — Oublier la racine carrée
❌ Copie fautive : « \(BC^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(BC = 25\). »
Diagnostic : l’élève a trouvé le carré de l’hypoténuse mais s’est arrêté trop tôt.
✅ Correction : \(BC = \sqrt{25} = 5\). N’oublie jamais l’étape 4.
Erreur n°2 — Confondre addition et soustraction
Quand tu cherches l’hypoténuse, tu additionnes les carrés. Quand tu cherches un côté de l’angle droit, tu soustrais. Si tu trouves une hypoténuse plus petite que l’un des côtés, c’est un signe que tu t’es trompé : l’hypoténuse est toujours le plus grand côté.
Erreur n°3 — Calculer le carré comme une multiplication par 2
❌ Copie fautive : « \(3^2 = 6\) ».
Diagnostic : \(3^2\) veut dire \(3 \times 3\), pas \(3 \times 2\).
✅ Correction : \(3^2 = 3 \times 3 = 9\).
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer ! Essaie chaque exercice seul, puis vérifie avec la correction détaillée.
Exercice 1 (★)
Le triangle MNP est rectangle en M, avec \(MN = 6\) cm et \(MP = 8\) cm. Calcule l’hypoténuse \(NP\).
Correction de l'exercice 1
L’hypoténuse est \(NP\). On applique Pythagore : \(NP^2 = MN^2 + MP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Donc \(NP = \sqrt{100} = 10\) cm. (On reconnaît le triplet 6 ; 8 ; 10.)
Exercice 2 (★★)
Le triangle RST est rectangle en R, avec \(RS = 9\) cm et \(RT = 12\) cm. Calcule l’hypoténuse \(ST\).
Correction de l'exercice 2
\(ST^2 = RS^2 + RT^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Donc \(ST = \sqrt{225} = 15\) cm. (C’est le triplet 9 ; 12 ; 15, qui est le triplet 3 ; 4 ; 5 multiplié par 3.)
Exercice 3 (★★) — Trouver un côté de l’angle droit
Le triangle UVW est rectangle en U. L’hypoténuse \(VW = 10\) cm et le côté \(UV = 6\) cm. Calcule \(UW\).
Correction de l'exercice 3
Ici on cherche un côté de l’angle droit : on soustrait. \(VW^2 = UV^2 + UW^2\), soit \(10^2 = 6^2 + UW^2\). Donc \(UW^2 = 100 – 36 = 64\), et \(UW = \sqrt{64} = 8\) cm.
Exercice 4 (★★★) — Raisonnement
Léa affirme : « Mon triangle rectangle a deux côtés de l’angle droit qui mesurent 5 cm chacun, donc son hypoténuse mesure 10 cm. » A-t-elle raison ? Justifie.
Correction de l'exercice 4
Non, Léa a tort : elle a additionné les longueurs au lieu d’additionner les carrés. Le bon calcul est \(h^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\), donc \(h = \sqrt{50} \approx 7{,}1\) cm. L’hypoténuse mesure environ 7,1 cm, pas 10 cm. Un bon réflexe : l’hypoténuse est plus grande que chaque côté, mais plus petite que leur somme.
Tu veux t’entraîner davantage ? Retrouve une série complète dans les exercices corrigés sur le théorème de Pythagore.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Tu utilises le théorème de Pythagore. Repère l’hypoténuse (le côté en face de l’angle droit), élève au carré les deux autres côtés, additionne-les, puis prends la racine carrée du résultat. Par exemple, avec des côtés de 3 cm et 4 cm : \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) cm.
Quelle est la formule de l'hypoténuse ?
Si le triangle ABC est rectangle en A, la formule est \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\), où \(BC\) est l’hypoténuse. Elle vient directement de l’égalité \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Quelle est la différence entre calculer l'hypoténuse et calculer un côté de l'angle droit ?
C’est l’opération qui change. Pour l’hypoténuse, tu additionnes les carrés des deux autres côtés. Pour un côté de l’angle droit, tu connais l’hypoténuse et un côté, donc tu soustrais : tu enlèves le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse. Dans les deux cas, tu finis par une racine carrée.
Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?
L’hypoténuse est toujours le côté situé en face de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle. Si tu connais le sommet de l’angle droit, l’hypoténuse est le côté qui ne touche pas ce sommet.
Que faire si la racine carrée ne tombe pas juste ?
C’est très fréquent. Tu donnes alors une valeur arrondie. Par exemple, \(\sqrt{74} \approx 8{,}6\) cm. Pense à préciser l’arrondi demandé (au dixième, au millimètre…) et à utiliser le symbole \(\approx\) qui signifie « environ égal ».
Le théorème de Pythagore marche-t-il pour tous les triangles ?
Non, uniquement pour les triangles rectangles. Si le triangle n’a pas d’angle droit, cette méthode ne s’applique pas. Pour vérifier qu’un triangle est bien rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. Pour continuer :
- 📖 Le cours complet sur le théorème de Pythagore
- → Démontrer qu’un triangle est rectangle (la réciproque)
- → Calculer le périmètre d’un triangle rectangle
- → Calculer un angle avec la trigonométrie
- ✏️ S’entraîner avec des exercices corrigés
Et plus tard au lycée, ce que tu apprends ici se retrouve quand on calcule la distance entre deux points dans un repère : c’est encore Pythagore !
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