La vitesse moyenne, c’est la distance parcourue divisée par la durée du trajet. On la note \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\). Par exemple, une voiture qui parcourt 150 km en 2 heures roule à 75 km/h en moyenne. Dans ce cours, tu vas apprendre à calculer une vitesse, une distance ou une durée, à convertir les unités, et à éviter le piège classique qui trompe presque tout le monde : la moyenne des vitesses.
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En 5e, la vitesse moyenne est un exemple de coefficient de proportionnalité. En 4e, c’est une grandeur quotient. En 3e, elle revient dans les problèmes du brevet. Une ouverture 🔵 vers la Première relie la vitesse moyenne au nombre dérivé. Le parcours ci-dessous est une progression pédagogique à adapter aux chapitres vus en classe.
I. Qu’est-ce que la vitesse moyenne ?
La vitesse moyenne d’un objet en mouvement est la distance qu’il parcourt divisée par la durée du trajet. Si une voiture roule 240 km en 3 heures, sa vitesse moyenne est \(240 \div 3 = 80\) km/h : en moyenne, elle avance de 80 km à chaque heure. Peu importe qu’elle ait accéléré ou ralenti pendant le trajet.
Pourquoi parle-t-on de vitesse moyenne ? Parce que, dans la réalité, ta vitesse change tout le temps. En voiture, tu t’arrêtes aux feux, tu accélères sur l’autoroute, tu ralentis en ville. La vitesse moyenne lisse toutes ces variations en un seul nombre : celui qui, s’il restait constant tout le trajet, te ferait parcourir la même distance dans le même temps.
Définition — Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :
\(v = \displaystyle\frac{\text{distance}}{\text{durée}} = \displaystyle\frac{d}{t}\)
Elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande vitesse atteintes pendant le trajet.
Cette idée de « distance par unité de temps » est au cœur de la proportionnalité : à vitesse constante, plus tu roules longtemps, plus tu avances, et de façon proportionnelle. Voyons maintenant comment écrire cette formule et l’utiliser dans les deux sens.
II. Quelle est la formule de la vitesse ?
La formule de base est \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\), c’est-à-dire la distance divisée par le temps. À partir de cette seule égalité, on obtient deux autres formes : \(d = v \times t\) pour calculer une distance, et \(t = \displaystyle\frac{d}{v}\) pour calculer une durée. Ces trois écritures disent exactement la même chose, écrite différemment.
Les trois formes de la formule
- Pour trouver la vitesse : \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\)
- Pour trouver la distance : \(d = v \times t\)
- Pour trouver la durée, si la vitesse moyenne est non nulle : \(t = \displaystyle\frac{d}{v}\)
Attention aux unités : si \(v\) est en km/h, alors \(d\) est en km et \(t\) en heures.
A. Le triangle vitesse, distance, temps
Pour retenir ces trois formules sans te tromper, beaucoup d’élèves utilisent un petit triangle. On place \(d\) en haut, puis \(v\) et \(t\) en bas. On cache la grandeur cherchée avec le doigt, et ce qui reste donne l’opération.
Le triangle ne suffit pas. Il t’aide à retrouver une formule, mais il ne vérifie pas tes unités. Si ta durée est en minutes et ta vitesse en km/h, le triangle te donnera quand même un résultat… faux. Le vrai travail, c’est d’abord de mettre les unités d’accord.
La fiche de révision « Vitesse moyenne » en PDF
Les trois formules, le triangle, les conversions km/h ↔ m/s et le piège de la moyenne, résumés sur 2 pages PDF à imprimer.
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Maintenant que tu connais la formule, passons à la méthode complète pour calculer une vitesse moyenne sans erreur.
III. Comment calculer une vitesse moyenne ?
Pour calculer une vitesse moyenne, procède en 3 étapes :
- Vérifie que la distance et la durée sont dans des unités cohérentes (km avec heures, ou m avec secondes).
- Convertis la durée si besoin (par exemple, mets les minutes en heures).
- Divise la distance par la durée : \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\).
L’étape qui fait trébucher la plupart des élèves, c’est la deuxième. Une durée comme 1 h 30 min ne s’écrit pas 1,30 h, mais 1,5 h. Pour transformer une durée correctement, va voir la méthode des minutes en heures et des heures décimales.
Exemple : Un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Étape 1 : la distance est en km, la durée en heures et minutes.
Étape 2 : 1 h 30 min = 1,5 h (car 30 min, c’est une demi-heure).
Étape 3 : \(v = \displaystyle\frac{45}{1{,}5} = 30\) km/h.
Il roule à 30 km/h en moyenne.
A. Exemple : calculer sa vitesse de course à pied
Tu cours 6 km en 36 minutes. Quelle est ta vitesse ? D’abord, convertis : 36 min = \(\displaystyle\frac{36}{60} = 0{,}6\) h. Puis \(v = \displaystyle\frac{6}{0{,}6} = 10\) km/h. Tu cours donc à 10 km/h.
En course à pied, on parle souvent d’allure plutôt que de vitesse : l’allure, c’est le temps mis pour faire 1 km, ici 6 min par km. C’est l’inverse de la vitesse. Pour passer de l’une à l’autre, tout est expliqué sur la page allure en min/km.
IV. Comment calculer une distance ou une durée ?
Quand tu connais la vitesse, les deux autres formes de la formule te permettent de retrouver la distance ou le temps. C’est très utile pour prévoir une heure d’arrivée ou la longueur d’un trajet.
Trouver une distance : un train roule à 120 km/h pendant 2 h 30 min. Quelle distance parcourt-il ?
2 h 30 min = 2,5 h, donc \(d = v \times t = 120 \times 2{,}5 = 300\) km.
Trouver une durée : combien de temps pour parcourir 150 km à 100 km/h ?
\(t = \displaystyle\frac{d}{v} = \displaystyle\frac{150}{100} = 1{,}5\) h, soit 1 h 30 min.
Pour transformer un résultat décimal en heures et minutes (par exemple 1,5 h en 1 h 30 min) et pour additionner ou soustraire des horaires, consulte la page calculer une durée.
V. Les unités de vitesse : km/h, m/s, nœuds
La vitesse s’exprime le plus souvent en kilomètres par heure (km/h), mais en physique on utilise les mètres par seconde (m/s), et dans la marine ou l’aviation, les nœuds. Pour comparer deux vitesses, il faut toujours les mettre dans la même unité.
La conversion la plus demandée est km/h ↔ m/s. On divise par 3,6 pour passer des km/h aux m/s, et on multiplie par 3,6 dans l’autre sens. Pourquoi 3,6 ? Parce qu’un km, c’est 1 000 m, et une heure, c’est 3 600 s :
\(90\text{ km/h} = \displaystyle\frac{90\,000\text{ m}}{3\,600\text{ s}} = 25\text{ m/s}\)Le détail de toutes ces conversions, avec les nœuds, les miles par heure et l’allure, se trouve sur la page convertir des km/h en m/s.
Erreur classique : multiplier par 3,6 au lieu de diviser. Si une voiture roule à 90 km/h, elle ne fait pas 324 m/s (soit 1 166,4 km/h !) mais 25 m/s. Pour retrouver le bon sens, souviens-toi : en m/s, les nombres sont toujours plus petits qu’en km/h.
Passons maintenant au piège le plus trompeur de tout le chapitre : la moyenne des vitesses.
VI. Le piège de la moyenne des vitesses
Voici une question qui piège presque tout le monde. Tu fais un aller à 60 km/h et un retour à 40 km/h, sur le même chemin. Quelle est ta vitesse moyenne sur l’aller-retour ? La réponse spontanée est 50 km/h (la moyenne de 60 et 40). C’est faux. La vraie vitesse moyenne est 48 km/h.
A. Aller à 60 km/h, retour à 40 km/h
Vérifions sur un exemple concret. Imaginons une route de 120 km dans chaque sens.
- Aller : \(t = \displaystyle\frac{120}{60} = 2\) h.
- Retour : \(t = \displaystyle\frac{120}{40} = 3\) h.
Au total, tu as parcouru \(120 + 120 = 240\) km en \(2 + 3 = 5\) h. Donc :
\(v = \displaystyle\frac{240}{5} = 48\text{ km/h}\)Pourquoi pas 50 ? Parce que tu passes plus de temps à la vitesse lente (3 h à 40 km/h contre 2 h à 60 km/h). La vitesse lente « compte » davantage, donc la moyenne est tirée vers le bas.
B. La règle générale
La vitesse moyenne est la distance totale divisée par la durée totale. Pour plusieurs phases, les vitesses sont pondérées par leurs durées. La moyenne simple est correcte lorsque les phases durent aussi longtemps ; elle ne convient pas en général à un aller-retour sur deux distances égales.
À retenir : additionne les distances et les durées, puis divise. Par exemple, 1 h à 60 km/h et 1 h à 40 km/h donnent 100 km en 2 h, soit 50 km/h. Ce sont ici les durées égales qui permettent la moyenne simple.
VII. Ordres de grandeur des vitesses
Connaître quelques vitesses de référence te permet de vérifier si ton résultat est crédible. Si tu trouves qu’un piéton marche à 200 km/h, c’est qu’il y a une erreur quelque part !
| Déplacement | Vitesse moyenne |
|---|---|
| Marche d’un adulte | environ 5 km/h |
| Course à pied (loisir) | environ 10 km/h |
| Vélo sur route | environ 20 km/h |
| Voiture (ville à route) | 50 à 90 km/h |
| TGV | environ 300 km/h |
| Avion de ligne | environ 900 km/h |
Ces ordres de grandeur sont indicatifs : marche et course varient selon la personne et le terrain ; train et avion désignent ici des vitesses de circulation ou de croisière, pas nécessairement la moyenne porte à porte.
Ces vitesses ne sont que des moyennes : un cycliste descend bien plus vite dans une pente. Elles servent de contrôle, pas de valeurs exactes.
VIII. La vitesse, une grandeur composée
La vitesse n’est pas une grandeur simple comme une longueur ou une masse : elle combine deux grandeurs, une distance et une durée. On l’appelle pour cette raison une grandeur composée, plus précisément une grandeur quotient (des km par heure).
Elle n’est pas seule dans ce cas. La masse volumique (des kg par m³), le débit (des litres par minute) ou le prix au kilo sont aussi des grandeurs quotients. Toutes se calculent et se convertissent de la même façon. Pour comprendre cette famille entière, va voir la page sur les grandeurs composées.
Autres grandeurs à travailler : entraîne-toi sur les exercices de masse volumique de 4e et les exercices de 3e type brevet.
IX. Parcours par niveau : du CM2 à la Première
La vitesse revient à chaque année, de plus en plus riche. Voici comment elle se construit tout au long de ta scolarité.
| Niveau | Ce que tu apprends |
|---|---|
| CM2 – 6e | distance et durée proportionnelles à vitesse constante |
| 5e | la vitesse comme coefficient de proportionnalité |
| 4e | la vitesse comme grandeur quotient, conversions km/h ↔ m/s |
| 3e | problèmes du brevet, graphiques distance-temps, aller-retour |
| 🔵 Première | la vitesse instantanée et le nombre dérivé |
Pour t’exercer à ton niveau, toutes les séries classées de la 6e à la 3e sont sur la page exercices vitesse, distance, temps corrigés.
A. 🔵 En Première : vitesse instantanée et nombre dérivé
Au lycée, on cherche la vitesse à un instant précis, pas sur tout un trajet. On note \(d(t)\) la distance parcourue au bout du temps \(t\). Entre les instants \(t\) et \(t + h\), la vitesse moyenne vaut :
\(v_{\text{moy}} = \displaystyle\frac{d(t+h)- d(t)}{h}\)Quand on choisit \(h\) de plus en plus petit (une durée qui tend vers 0), cette vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée, celle qu’indique le compteur de la voiture. C’est exactement l’idée du nombre dérivé, développée dans le cours sur les dérivées.
X. Exemples d’application
Trois situations complètes pour t’entraîner. Lis l’énoncé, essaie de chercher, puis compare avec la solution rédigée.
Exercice 1 — Vitesse à vélo de Marie ★
Marie parcourt 12 km à vélo en 40 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
Voir la correction de l’exercice 1
40 min = \(\displaystyle\frac{40}{60} \approx 0{,}667\) h… mais c’est plus simple de raisonner : 40 min, c’est les deux tiers d’une heure.
\(v = \displaystyle\frac{12}{\displaystyle\frac{2}{3}} = 12 \times \displaystyle\frac{3}{2} = 18\) km/h.
Marie roule à 18 km/h.
Exercice 2 — Distance parcourue par un avion ★★
Un avion vole à 850 km/h pendant 3 h 15 min. Quelle distance parcourt-il ?
Voir la correction de l’exercice 2
3 h 15 min = 3,25 h (car 15 min = un quart d’heure = 0,25 h).
\(d = 850 \times 3{,}25 = 2\,762{,}5\) km.
L’avion parcourt 2 762,5 km.
Exercice 3 — La côte aller-retour de Paul ★★★
Paul monte une côte de 10 km à 20 km/h, puis la redescend à 60 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l’aller-retour ?
Voir la correction de l’exercice 3
Montée : \(t = \displaystyle\frac{10}{20} = 0{,}5\) h. Descente : \(t = \displaystyle\frac{10}{60} \approx 0{,}167\) h.
Distance totale : 20 km. Durée totale : \(0{,}5 + \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{2}{3}\) h.
Donc \(v = \displaystyle\frac{20}{\displaystyle\frac{2}{3}} = 30\) km/h.
La moyenne est 30 km/h, pas 40 : le piège de la moyenne des vitesses !
XI. Erreurs fréquentes
Confondre la formule : on lit parfois v = d × t. C’est faux. La vitesse se calcule en divisant la distance par le temps : \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\). Le produit d’une distance par une durée aurait une unité comme km·h : ce n’est ni une vitesse ni une distance.
Écrire 1 h 30 = 1,30 h : non ! 1 h 30 min = 1,5 h, car 30 min est une demi-heure. L’erreur vient de recopier les minutes après la virgule. Pour convertir correctement, passe par les heures décimales.
Faire la moyenne des deux vitesses : 60 et 40 ne donnent pas 50 km/h de moyenne, mais 48, parce qu’on passe plus de temps à la vitesse lente. Toujours : distance totale ÷ durée totale.
Mélanger km/h et m/s : on ne peut pas comparer 90 km/h et 25 m/s sans convertir. Ici, les deux sont égales (90 ÷ 3,6 = 25). Mets toujours les deux vitesses dans la même unité avant de comparer.
XII. Questions fréquentes
Comment calculer la vitesse moyenne ?
En trois étapes : vérifie que distance et durée ont des unités cohérentes, convertis la durée si besoin (les minutes en heures), puis divise la distance par la durée avec la formule \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\). Par exemple, 60 km en 1,5 h donnent \(60 \div 1{,}5 = 40\) km/h.
Qu’est-ce que la vitesse moyenne ?
C’est la distance parcourue divisée par la durée du trajet. Elle représente la vitesse constante qui, maintenue pendant toute la durée, ferait parcourir la même distance. Elle est toujours comprise entre la vitesse la plus faible et la vitesse la plus forte atteintes pendant le déplacement.
Quelle est la formule de la vitesse ?
La formule de base est \(v = \displaystyle\frac{d}{t}\). On en déduit deux autres formes : \(d = v \times t\) pour une distance et \(t = \displaystyle\frac{d}{v}\) pour une durée. Les trois disent la même chose ; on choisit celle qui donne la grandeur cherchée.
Quelle est la vitesse moyenne d’un humain ?
Un adulte marche à environ 5 km/h. En course à pied de loisir, il atteint environ 10 km/h, et un bon coureur dépasse 15 km/h. Ces valeurs sont des moyennes : elles varient selon la personne, le terrain et la distance parcourue.
Quelle différence entre allure et vitesse moyenne ?
La vitesse moyenne se mesure en distance par temps (km/h) : combien de km par heure. L’allure, utilisée en course à pied, se mesure en temps par distance (min/km) : combien de minutes pour faire 1 km. L’allure est l’inverse de la vitesse. Rouler à 10 km/h correspond à une allure de 6 min par km.
Comment calculer la vitesse moyenne d’un aller-retour ?
Sur deux distances égales parcourues à des vitesses différentes, la moyenne simple des vitesses ne convient pas. Il faut additionner toutes les distances, additionner toutes les durées, puis diviser. Pour un aller à 60 km/h et un retour à 40 km/h sur 120 km : 240 km au total en 5 h, soit \(240 \div 5 = 48\) km/h, et non 50.
XIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer une vitesse, une distance et une durée, convertir les unités et déjouer le piège de la moyenne. Pour continuer ta progression :
- La proportionnalité : tout comprendre du CM1 à la 3ème
- 12 Exercices de Proportionnalité en 4ème Corrigés (PDF)
- Exercices de proportionnalité corrigés : du CM1 à la 3ème
- Arrondir un nombre au dixième, au centième : arrondi et troncature
- L’écriture scientifique : méthode en 3 étapes et exercices corrigés
- Au lycée, la vitesse moyenne devient le point de départ de la vitesse instantanée, et la division des durées demande de savoir si un nombre « tombe juste » : Nombre décimal ou non : le critère et la démonstration pour 1/3.
