Pourquoi un clou en fer coule-t-il aussitôt, alors qu’un énorme tronc d’arbre flotte tranquillement sur l’eau ? Ce n’est pas une affaire de taille, mais de masse volumique. Cette grandeur compare la masse d’un objet au volume qu’il occupe : elle explique ce qui flotte, ce qui coule, et permet même de reconnaître un métal sans le voir.
Dans ce cours, tu vas découvrir la formule \(\rho = m \div V\), apprendre à convertir les unités sans te tromper d’un facteur 1 000, et lire un tableau de valeurs directement utile pour tes exercices de 4e et de 3e.
📚 Au programme
La masse volumique est au programme de 4e et de 3e, en mathématiques (comme grandeur quotient) et en physique-chimie (cycle 4). Les conversions et les problèmes de masse reviennent souvent au brevet. 🔵 En Seconde, on la relie à la concentration en masse.
Qu’est-ce que la masse volumique ?
La masse volumique te dit combien pèse un volume donné d’une substance. Prends 1 litre d’eau et 1 litre d’huile : ils occupent le même volume, mais l’eau est plus lourde. C’est exactement ce que mesure la masse volumique.
Définition — Masse volumique
La masse volumique d’une substance est la masse d’une unité de volume de cette substance. On la note avec la lettre grecque \(\rho\) (qui se lit « rhô »). Elle se calcule en divisant la masse \(m\) par le volume \(V\) :
\(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\)
La masse volumique est une grandeur quotient : elle est le résultat d’une division entre deux grandeurs différentes (une masse et un volume), exactement comme la vitesse est une distance divisée par une durée. Tu retrouveras ce type de grandeur dans toutes les grandeurs composées du collège.
Pour un matériau homogène, à température et pression fixées, la masse volumique ne dépend pas de la taille de l’échantillon. Elle aide à reconnaître une matière, mais une valeur seule ne prouve pas sa composition.
La formule et ses trois formes
À partir de la formule \(\rho = m \div V\), on peut retrouver la masse ou le volume. Il y a donc trois formes à connaître.
Les trois formes de la formule
- Pour trouver la masse volumique : \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\)
- Pour trouver la masse : \(m = \rho \times V\)
- Pour trouver le volume : \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\)
Le triangle de la masse volumique
Pour ne jamais te tromper de formule, tu peux utiliser un petit moyen mnémotechnique : le triangle. On place \(m\) en haut, puis \(\rho\) et \(V\) en bas. Tu caches la grandeur que tu cherches, et le triangle te donne l’opération.
Comment lire le triangle : si tu caches \(m\) (en haut), il reste \(\rho\) et \(V\) côte à côte, donc on multiplie : \(m = \rho \times V\). Si tu caches \(V\), il reste \(m\) au-dessus de \(\rho\), donc on divise : \(V = m \div \rho\).
Les unités de masse volumique
Comme la masse volumique est une masse divisée par un volume, son unité combine toujours une unité de masse et une unité de volume. On écrit l’unité de masse « par » l’unité de volume.
Les unités les plus courantes au collège sont :
- le kilogramme par mètre cube : \(\text{kg/m}^3\) (l’unité officielle du système international) ;
- le gramme par centimètre cube : \(\text{g/cm}^3\) (pratique pour les petits objets) ;
- le gramme par millilitre : \(\text{g/mL}\) ;
- le kilogramme par litre : \(\text{kg/L}\).
Souviens-toi de deux égalités utiles entre les volumes : \(1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}\) et \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\). Pour revoir ces égalités en détail, consulte la méthode pour convertir des m³ en litres.
Toute la masse volumique sur une seule fiche
La formule, le triangle, les conversions clés et le tableau des valeurs usuelles, prêts à réviser avant un contrôle ou le brevet.
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Convertir une masse volumique
Beaucoup d’élèves apprennent par cœur que « \(1\text{ g/cm}^3 = 1\,000\text{ kg/m}^3\) ». C’est juste, mais tu comprendras mieux en faisant le calcul directement sur les unités. L’astuce est de remplacer chaque grandeur par sa valeur dans les nouvelles unités.
Partons de \(1\text{ g/cm}^3\). On sait que \(1\text{ g} = 0{,}001\text{ kg}\) et que \(1\text{ cm}^3 = 0{,}000001\text{ m}^3\). Donc :
\(1\text{ g/cm}^3 = \displaystyle\frac{0{,}001\text{ kg}}{0{,}000001\text{ m}^3} = 1\,000\text{ kg/m}^3\)Les conversions à connaître
\(1\text{ g/cm}^3 = 1\text{ g/mL} = 1\text{ kg/L} = 1\,000\text{ kg/m}^3\)
Le piège du facteur 1 000
Ici se cache l’erreur la plus fréquente, qu’on trouve même sur certains convertisseurs en ligne. Pour passer de \(\text{kg/m}^3\) à \(\text{g/cm}^3\), on divise par 1 000 (et non on multiplie).
Erreur classique : écrire que \(2{,}5\text{ kg/m}^3 = 2\,500\text{ g/cm}^3\). C’est faux ! On divise par 1 000 : \(2{,}5\text{ kg/m}^3 = 0{,}0025\text{ g/cm}^3\). Pour éviter ce piège, vérifie toujours le sens : un nombre exprimé en \(\text{g/cm}^3\) doit être 1 000 fois plus petit que le même en \(\text{kg/m}^3\).
Pour les conversions de masses seules (g, kg, t) et de volumes, appuie-toi sur la méthode générale de conversion d’unités de mesure.
Calculer une masse ou un volume
Une fois que tu connais la masse volumique d’un matériau, tu peux prévoir la masse d’un objet sans la peser, ou son volume sans le mesurer. C’est très utile dans les problèmes de 3e, où il faut souvent d’abord calculer le volume d’un solide, puis en déduire sa masse.
Exemple : quelle est la masse d’un bloc de cuivre de volume \(V = 50\text{ cm}^3\) ? (On donne \(\rho = 8{,}96\text{ g/cm}^3\).)
On cherche une masse, donc on utilise \(m = \rho \times V\) :
\(m = 8{,}96 \times 50 = 448\text{ g}\)
Le bloc a une masse de 448 g, soit un peu moins d’un demi-kilogramme. Un litre de ce cuivre aurait une masse de 8,96 kg.
Remarque importante : avant de calculer, vérifie que la masse volumique et le volume sont dans des unités cohérentes. Ici, \(\rho\) est en \(\text{g/cm}^3\) et \(V\) en \(\text{cm}^3\) : les \(\text{cm}^3\) se « simplifient » et il reste des grammes.
Le tableau des masses volumiques usuelles
Voici les valeurs les plus utiles pour tes exercices. Elles te servent à identifier une substance, ou à comparer deux matériaux. Remarque comme les gaz sont des milliers de fois moins denses que les métaux.
| Substance | \(\rho\) en \(\text{g/cm}^3\) | \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\) | État |
|---|---|---|---|
| Air | 0,0012 | 1,2 | Gaz |
| Liège | 0,24 | 240 | Solide |
| Huile | 0,92 | 920 | Liquide |
| Glace | 0,917 | 917 | Solide |
| Eau | 1,00 | 1 000 | Liquide |
| Lait | 1,03 | 1 030 | Liquide |
| Aluminium | 2,70 | 2 700 | Solide |
| Fer | 7,87 | 7 870 | Solide |
| Cuivre | 8,96 | 8 960 | Solide |
| Plomb | 11,34 | 11 340 | Solide |
| Mercure | 13,6 | 13 600 | Liquide |
| Or | 19,3 | 19 300 | Solide |
Valeurs indicatives arrondies pour les exercices. Elles dépendent de la température, de la pression et de la composition ; le liège, l’huile et le lait ne sont pas des matériaux de composition unique. On utilise ici 1 000 kg/m³ comme valeur approchée pour l’eau et 1,2 kg/m³ pour l’air ambiant. En contrôle, utilise la donnée de l’énoncé.
La masse volumique de l’eau : pourquoi 1 L pèse 1 kg
La valeur de l’eau est à retenir par cœur car elle sert de repère : \(\rho_{\text{eau}} = 1\,000\text{ kg/m}^3 = 1\text{ kg/L} = 1\text{ g/cm}^3\). C’est pour cela que l’on dit qu’un litre d’eau pèse un kilogramme. Le contenu d’une bouteille d’eau de 1,5 L a donc une masse d’environ 1,5 kg, sans compter la bouteille.
La masse volumique de l’air
L’air a une masse, même si on ne la sent pas : environ \(1{,}2\text{ kg/m}^3\). Autrement dit, l’air d’une petite chambre (environ \(30\text{ m}^3\)) pèse à peu près 36 kg ! L’eau est pourtant plus de 800 fois plus dense que l’air.
Masse volumique et densité
Masse volumique et densité sont souvent confondues, mais ce sont deux notions différentes. La densité compare la masse volumique d’une substance à celle de l’eau.
Définition — Densité
La densité d’un solide ou d’un liquide est le quotient de sa masse volumique par celle de l’eau :
\(d = \displaystyle\frac{\rho}{\rho_{\text{eau}}}\)
Comme on divise deux masses volumiques, la densité n’a pas d’unité.
Comme \(\rho_{\text{eau}} = 1\text{ g/cm}^3\), il suffit de prendre la masse volumique en \(\text{g/cm}^3\) et d’enlever l’unité. La densité de l’aluminium est donc 2,7 ; celle du plomb, 11,34.
Flotte ou coule ?
La densité permet de répondre d’un coup d’œil à la question « ça flotte ou ça coule ? », quand on pose l’objet dans l’eau.
Dans le modèle usuel de flottabilité, compare la masse volumique moyenne de l’objet entier à celle de l’eau. Pour un objet plein et homogène, c’est celle du matériau ; pour un objet creux fermé, il faut tenir compte du volume extérieur et de l’air enfermé. On néglige ici les effets de surface.
- \(\rho\) < \(\rho_{\text{eau}}\) (densité < 1) : l’objet flotte (bois, glace, huile).
- \(\rho\) > \(\rho_{\text{eau}}\) (densité > 1) : l’objet coule (fer, plomb, verre).
C’est pour cette raison que la glace (densité 0,92) flotte sur l’eau : c’est tout l’enjeu des icebergs !
Masse et volume sont proportionnels
Pour une même substance, la masse et le volume sont proportionnels. Si tu doubles le volume, tu doubles la masse. Le coefficient de proportionnalité entre le volume et la masse, c’est justement… la masse volumique !
Si tu traces la masse en fonction du volume, tu obtiens une droite qui passe par l’origine. Plus la droite monte vite, plus la substance est dense.
Exemple : on a mesuré qu’un objet de \(20\text{ cm}^3\) a une masse de \(54\text{ g}\). Quelle est sa masse volumique ?
\(\rho = \displaystyle\frac{54}{20} = 2{,}7\text{ g/cm}^3\)
Parmi les matériaux du tableau, cette valeur correspond à l’aluminium.
🔵 Vers la Seconde : masse volumique ou concentration en masse ?
En Seconde, tu croiseras une grandeur qui ressemble beaucoup à la masse volumique : la concentration en masse. Attention à ne pas les confondre, car elles se mesurent parfois dans la même unité (\(\text{g/L}\)).
🔵 La distinction à connaître
- Masse volumique \(\rho\) : masse totale d’un échantillon divisée par son volume, qu’il s’agisse d’un corps pur ou d’un mélange. Elle caractérise le matériau lui-même.
- Concentration en masse \(C_m\) : masse de soluté dissous divisée par le volume de la solution. Elle décrit un mélange (par exemple du sel dans de l’eau).
Exemple parlant : la masse volumique de l’eau salée est celle du liquide entier, tandis que la concentration en masse du sel indique seulement combien de grammes de sel sont dissous par litre.
Exemples d’application
Voici trois situations résolues pas à pas pour t’entraîner. Essaie d’abord seul, puis compare avec la rédaction.
Exemple 1 — Identifier un métal. Un objet a une masse de \(540\text{ g}\) et un volume de \(200\text{ cm}^3\). De quel métal s’agit-il ?
\(\rho = \displaystyle\frac{540}{200} = 2{,}7\text{ g/cm}^3\). D’après le tableau, c’est de l’aluminium.
Exemple 2 — Calculer une masse. Quelle est la masse de \(2\text{ L}\) d’huile de masse volumique \(0{,}92\text{ kg/L}\) ?
\(m = \rho \times V = 0{,}92 \times 2 = 1{,}84\text{ kg}\). L’huile pèse 1,84 kg, moins que 2 kg d’eau : c’est logique, elle flotte.
Exemple 3 — Flotte ou coule ? (raisonnement) Un cube de plastique de côté \(10\text{ cm}\) a une masse de \(850\text{ g}\). Flotte-t-il sur l’eau ?
Son volume vaut \(V = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\text{ cm}^3\). Donc \(\rho = \displaystyle\frac{850}{1\,000} = 0{,}85\text{ g/cm}^3\).
Comme \(0{,}85\) < \(1\), le cube est moins dense que l’eau : il flotte.
Pour aller plus loin, retrouve nos exercices de masse volumique en 4e et nos exercices type brevet en 3e, corrigés pas à pas.
Erreurs fréquentes à éviter
Inverser la formule : écrire \(\rho = V \div m\) au lieu de \(\rho = m \div V\). Pense au mot « masse volumique » : c’est la masse au-dessus du volume.
Oublier l’unité obtenue : une masse en grammes divisée par un volume en m³ donne une masse volumique en g/m³, pas en kg/m³. Le quotient a un sens, mais il faut le convertir dans l’unité demandée.
Croire que \(1\text{ kg/L} = 1\text{ g/L}\) : c’est faux ! \(1\text{ kg/L} = 1\,000\text{ g/L}\), car 1 kg = 1 000 g. On lit parfois cette confusion en ligne.
Donner une unité à la densité : la densité est un nombre sans unité (c’est un rapport). Seule la masse volumique porte une unité comme \(\text{g/cm}^3\).
Questions fréquentes
Quelle est l’unité de la masse volumique ?
L’unité officielle est le kilogramme par mètre cube : \(\text{kg/m}^3\). Au collège, on utilise aussi beaucoup le gramme par centimètre cube \(\text{g/cm}^3\) pour les petits objets, ainsi que \(\text{g/mL}\) et \(\text{kg/L}\). On passe de \(\text{g/cm}^3\) à \(\text{kg/m}^3\) en multipliant par 1 000.
Quelles sont les 3 formules de la masse volumique ?
À partir de \(\rho = m \div V\), on obtient trois formules : \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\) pour la masse volumique, \(m = \rho \times V\) pour la masse, et \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\) pour le volume. Le triangle avec \(m\) en haut, \(\rho\) et \(V\) en bas aide à les retrouver.
Comment calculer la masse à partir du volume ?
On utilise la formule \(m = \rho \times V\). Il faut connaître la masse volumique de la substance (donnée ou lue dans un tableau) et le volume de l’objet. Attention à utiliser des unités cohérentes : une masse volumique en \(\text{g/cm}^3\) se multiplie par un volume en \(\text{cm}^3\).
Quelle est la différence entre la densité et la masse volumique ?
La masse volumique \(\rho\) est une masse divisée par un volume : elle a une unité (par exemple \(\text{g/cm}^3\)). La densité compare cette masse volumique à celle de l’eau : \(d = \rho \div \rho_{\text{eau}}\), et elle n’a pas d’unité. Comme \(\rho_{\text{eau}} = 1\text{ g/cm}^3\), la densité est égale à la masse volumique exprimée en \(\text{g/cm}^3\), sans l’unité.
La masse volumique change-t-elle avec la température ?
Oui, car le volume d’une substance varie quand elle chauffe ou refroidit. L’eau est la plus dense vers 4 °C. Pour les gaz comme l’air, l’effet est très marqué : l’air chaud est moins dense que l’air froid, c’est ce qui fait monter les montgolfières. Au collège, on utilise les valeurs données à température ambiante.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer, convertir et comparer des masses volumiques. Pour consolider les grandeurs quotients et la proportionnalité, poursuis avec ces ressources :
- La proportionnalité : tout comprendre du CM1 à la 3ème
- 12 Exercices de Proportionnalité en 4ème Corrigés (PDF)
- Exercices de proportionnalité corrigés : du CM1 à la 3ème
- Fonctions en 3ème en mathématiques : cours, méthodes et exemples
- Convertir un nombre décimal en fraction (et une fraction en décimal)
