En Terminale, le circuit RC est l’exemple le plus classique pour comprendre concrètement ce qu’est une équation différentielle : on part d’un schéma électrique, on écrit une loi physique, puis on obtient une équation qui décrit l’évolution de la tension au cours du temps. Pour une vue d’ensemble sur les ED (définitions, types, méthodes), tu peux consulter le cours complet sur les équations différentielles.

Dans cette page, on se concentre sur l’objectif « efficacité + rigueur » : établir l’équation différentielle du circuit RC (aussi appelée équation différentielle du condensateur), résoudre les cas charge et décharge, interpréter la constante de temps \(\tau\) et réussir les exercices type bac.

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Circuit RC en Terminale : l’essentiel à maîtriser

Grandeurs, notations et schéma

On considère un circuit avec une résistance \(R\) et un condensateur \(C\), soumis à une tension d’entrée \(e(t)\). La grandeur centrale qu’on suit est la tension aux bornes du condensateur, notée \(u_C(t)\).

Schéma du circuit RC série : générateur e(t), résistance R, condensateur C, tension u_C(t), tension u_R(t) et courant i(t)

Notations (Terminale)

  • \(R\) : résistance (en \(\Omega\))
  • \(C\) : capacité (en \(\mathrm{F}\))
  • \(u_C(t)\) : tension aux bornes du condensateur (en \(\mathrm{V}\))
  • \(i(t)\) : intensité du courant dans la branche (en \(\mathrm{A}\))
  • \(e(t)\) : tension imposée par le générateur (en \(\mathrm{V}\))
  • \(\tau = RC\) : constante de temps (en \(\mathrm{s}\))

Établir l’équation différentielle du circuit

On applique la loi des mailles au circuit série :

\(e(t) = u_R(t) + u_C(t)\)

On remplace \(u_R(t) = R\,i(t)\) (loi d’Ohm) puis \(i(t) = C\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\) (relation fondamentale du condensateur). On obtient :

\(e(t) = RC\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t)\)

Équation différentielle du circuit RC — En posant \(\tau = RC\) :

\(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = e(t)\)

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants. Pour la méthode générale de résolution, voir résoudre une équation différentielle d’ordre 1.

Check-list « à recopier en contrôle » :

  1. Écrire la maille : \(e(t) = u_R(t) + u_C(t)\)
  2. Remplacer \(u_R(t)\) par \(R\,i(t)\)
  3. Remplacer \(i(t)\) par \(C\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\)
  4. Obtenir \(RC\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = e(t)\)
  5. Identifier \(\tau = RC\)
  6. Vérifier l’allure : si \(e(t)\) est constant, \(u_C(t)\) doit tendre vers une constante.

Piège classique. Changer la convention de signe en cours de route conduit à une ED avec un mauvais signe. Résultat : une solution qui diverge au lieu de se stabiliser. Fixe ta convention dès le début et garde-la.

Régime transitoire, régime permanent et conditions initiales

Quand on change l’entrée \(e(t)\) (par exemple en fermant un interrupteur), le circuit passe par deux phases :

  • Régime transitoire : \(u_C(t)\) varie (de façon exponentielle) pendant un certain temps.
  • Régime permanent : \(u_C(t)\) se stabilise. Si l’entrée est constante, on obtient la valeur finale en posant la dérivée égale à zéro dans l’ED : \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} u_C(t) = e(0^+)\).

Continuité de la tension aux bornes du condensateur

La tension \(u_C(t)\) est toujours continue (pas de « saut » instantané) : c’est une propriété fondamentale du condensateur. Conséquence directe : la valeur de \(u_C\) juste avant la fermeture de l’interrupteur est la même juste après. C’est ce qui fixe la condition initiale \(u_C(0)\) dans l’ED.

Résoudre : charge et décharge du condensateur

Solution générale de l’équation différentielle

L’ED \(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = e(t)\) avec une entrée constante \(e(t) = E\) admet la solution générale :

\(u_C(t) = E + \bigl(u_C(0) – E\bigr)\,e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}}\)

Cette formule couvre tous les cas (charge, décharge, condensateur partiellement chargé) : il suffit de remplacer \(E\) par la valeur de l’entrée et \(u_C(0)\) par la condition initiale.

Charge d’un condensateur (échelon montant)

On rencontre très souvent le cas d’un condensateur initialement déchargé : \(u_C(0) = 0\), avec une entrée \(e(t) = E\). La solution devient :

\(u_C(t) = E\bigl(1 – e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}}\bigr)\)

Lecture physique

Au début, \(u_C(t)\) part de \(0\) et se rapproche progressivement de \(E\). La résistance « freine » la charge : plus \(R\) est grande, plus \(\tau = RC\) est grand, plus la charge est lente.

  • Valeur initiale : \(u_C(0) = 0\)
  • Valeur finale : \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} u_C(t) = E\)
  • Monotonie : \(u_C(t)\) est strictement croissante
  • Repère clé : à \(t = \tau\), on atteint \(u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,E\)

Courbe de charge d'un circuit RC : u_C(t)=E(1-exp(-t/tau)), repère t=tau et 63% de E

Décharge d’un condensateur (échelon descendant)

En décharge, on coupe le générateur : \(e(t) = 0\). Le condensateur se vide à travers \(R\) à partir de sa tension initiale \(u_C(0) = U_0\). La solution est :

\(u_C(t) = U_0\,e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}}\)

Lecture physique

La tension part de \(U_0\) et décroît vers \(0\). C’est une exponentielle décroissante.

  • Valeur initiale : \(u_C(0) = U_0\)
  • Valeur finale : \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} u_C(t) = 0\)
  • Monotonie : \(u_C(t)\) est strictement décroissante
  • Repère clé : à \(t = \tau\), il reste \(u_C(\tau) = U_0\,e^{-1} \approx 0{,}37\,U_0\)

Courbe de décharge d'un circuit RC : u_C(t)=U_0 exp(-t/tau), repère t=tau et 37% de U_0

Test de cohérence. En décharge, la valeur finale doit être \(0\). Si tu trouves une valeur finale non nulle, c’est que tu as gardé un terme \(E\) quelque part.

Temps pour atteindre x% (mini-cas très fréquent en exercice)

En décharge, on cherche souvent le temps \(t\) tel que \(u_C(t) = \alpha\,U_0\) (avec \(0\) < \(\alpha\) < \(1\)). On résout :

\(U_0\,e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}} = \alpha\,U_0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tau\ln(\alpha)\)

Exemple flash. Pour atteindre \(10\,\%\) de la valeur initiale : \(\alpha = 0{,}10\), donc \(t = -\tau\ln(0{,}10) \approx 2{,}30\,\tau\).

En pratique, on considère le transitoire « quasi terminé » après environ \(5\tau\).

Constante de temps τ = RC : la mesurer sur un graphe

La constante de temps \(\tau = RC\) fixe la « vitesse » du transitoire. Plus \(\tau\) est grand, plus la charge/décharge est lente. Voici les deux méthodes graphiques utilisées en exercice.

Deux méthodes pour déterminer τ sur un graphe
Méthode Principe Quand l’utiliser
63 % / 37 % Lire le temps pour atteindre \(0{,}63\,E\) (charge) ou \(0{,}37\,U_0\) (décharge) Courbe propre, lecture graphique facile
Tangente à l’origine Tracer la tangente en \(t = 0\) (charge) : elle coupe \(E\) à l’abscisse \(t = \tau\) Quand le début de la courbe est net (même si la suite est bruitée)

Méthode 1 : repère 63 % (charge) / 37 % (décharge)

Charge (avec \(u_C(0) = 0\)) : la valeur finale est \(E\). On lit \(\tau\) au temps où \(u_C(t) \approx 0{,}63\,E\).

Décharge : on lit \(\tau\) au temps où \(u_C(t) \approx 0{,}37\,U_0\).

Méthode 63% / 37% pour déterminer tau sur les courbes de charge et de décharge d'un circuit RC

Pourquoi 63 % et 37 % ? Parce que \(e^{-1} \approx 0{,}37\) et \(1-e^{-1} \approx 0{,}63\). C’est le repère naturel de l’exponentielle.

Méthode 2 : tangente à l’origine

Pour une charge avec \(u_C(t) = E\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\), la pente au départ vaut :

\(\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \displaystyle\frac{E}{\tau}\)

La tangente en \(t = 0\) coupe la valeur \(E\) à l’abscisse \(t = \tau\). C’est une méthode très efficace sur un graphe expérimental.

Méthode de la tangente à l'origine pour déterminer tau d'un circuit RC

Exercices type bac (corrigés) : charge, décharge, τ

Chaque exercice est corrigé comme on l’attend en copie. Pour encore plus d’entraînement (au-delà du RC), va sur nos exercices corrigés d’équations différentielles.

Exercice 1 : établir l’ED (mailles + condensateur)

Énoncé. On a un circuit série avec une résistance \(R\) et un condensateur \(C\). La tension d’entrée est \(e(t)\). On note \(u_C(t)\) la tension aux bornes du condensateur. Établir l’équation différentielle vérifiée par \(u_C(t)\).

▶ Voir la correction

Loi des mailles : \(e(t) = u_R(t) + u_C(t)\).

Or \(u_R(t) = R\,i(t)\) et \(i(t) = C\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\).

Donc : \(e(t) = RC\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t)\).

Finalement : \(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = e(t)\) avec \(\tau = RC\).

Exercice 2 : charge — trouver τ et la valeur finale

Énoncé. On impose \(e(t) = E\) (constante). Le condensateur est initialement déchargé : \(u_C(0) = 0\). Donner \(u_C(t)\), la valeur finale, et calculer \(u_C(\tau)\).

▶ Voir la correction

L’ED est \(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = E\) avec \(u_C(0) = 0\).

Solution : \(u_C(t) = E\bigl(1-e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}}\bigr)\).

Valeur finale : \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} u_C(t) = E\).

À \(t = \tau\) : \(u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,E\).

Exercice 3 : décharge — déterminer un temps pour atteindre un seuil

Énoncé. Un condensateur a une tension initiale \(u_C(0) = U_0\). On le décharge dans une résistance \(R\) (entrée nulle). Déterminer le temps \(t\) pour lequel \(u_C(t) = 0{,}10\,U_0\).

▶ Voir la correction

En décharge : \(u_C(t) = U_0\,e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}}\) avec \(\tau = RC\).

On impose \(U_0\,e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}} = 0{,}10\,U_0\), donc \(e^{-\displaystyle\frac{t}{\tau}} = 0{,}10\).

Alors \(-\displaystyle\frac{t}{\tau} = \ln(0{,}10)\), donc \(t = -\tau\ln(0{,}10) \approx 2{,}30\,\tau\).

Exercice 4 : exploitation de courbe expérimentale

Énoncé. On observe une courbe de charge vers une valeur finale \(E\). Sur le graphe, on lit que \(u_C(t)\) atteint environ \(0{,}63\,E\) pour \(t = 12\,\mathrm{ms}\). Estimer \(\tau\).

▶ Voir la correction

Par la méthode 63 % (charge), le temps où \(u_C(t) \approx 0{,}63\,E\) correspond à \(t \approx \tau\).

Donc \(\tau \approx 12\,\mathrm{ms}\).

Variante (si on te donne la tangente). Si la tangente en \(t = 0\) coupe la droite \(u = E\) au temps \(t = t_0\), alors \(\tau \approx t_0\).

Exercice 5 : variation de R ou C, impact sur la dynamique

Énoncé. On remplace \(R\) par \(2R\) (capacité inchangée). Comment évoluent \(\tau\) et la vitesse de charge ?

▶ Voir la correction

On a \(\tau = RC\). Si \(R\) est multipliée par \(2\), alors \(\tau\) est multipliée par \(2\).

La charge est plus lente : il faut environ deux fois plus de temps pour atteindre un même pourcentage de la valeur finale.

Exercice 6 : application numérique complète

Schéma du circuit RC avec R=10 kΩ, C=47 µF, E=5 V, interrupteur K et condensateur initialement déchargé

Énoncé. On considère le circuit ci-dessus. À \(t = 0\), on ferme l’interrupteur \(K\).

  1. Calculer \(\tau\).
  2. Donner l’expression de \(u_C(t)\).
  3. Calculer \(u_C(t)\) à \(t = 0{,}5\,\mathrm{s}\).
  4. Déterminer le temps pour que \(u_C(t)\) atteigne \(4\,\mathrm{V}\).

▶ Voir la correction

1. On convertit : \(R = 10\,\mathrm{k}\Omega = 10\times 10^3\,\Omega\) et \(C = 47\,\mu\mathrm{F} = 47\times 10^{-6}\,\mathrm{F}\).

\(\tau = RC = 10\times 10^3 \times 47\times 10^{-6} = 0{,}47\,\mathrm{s}\).

2. Condensateur initialement déchargé (\(u_C(0) = 0\)) et entrée \(E = 5\,\mathrm{V}\) :

\(u_C(t) = 5\bigl(1 – e^{-\displaystyle\frac{t}{0{,}47}}\bigr)\) (en volts, \(t\) en secondes).

3. À \(t = 0{,}5\,\mathrm{s}\) :

\(u_C(0{,}5) = 5\bigl(1 – e^{-\displaystyle\frac{0{,}5}{0{,}47}}\bigr) = 5(1 – e^{-1{,}064}) \approx 5 \times 0{,}655 \approx 3{,}28\,\mathrm{V}\).

4. On veut \(u_C(t) = 4\), soit \(1 – e^{-\displaystyle\frac{t}{0{,}47}} = \displaystyle\frac{4}{5}\), donc \(e^{-\displaystyle\frac{t}{0{,}47}} = 0{,}2\).

Alors \(t = -0{,}47\,\ln(0{,}2) \approx 0{,}47 \times 1{,}609 \approx 0{,}76\,\mathrm{s}\).

Erreurs fréquentes (et comment les éviter)

Piège de signe (mailles). Tu trouves une solution qui augmente sans se stabiliser ? Reviens au schéma, fixe une convention, puis réécris la maille proprement. Test simple : si \(e(t)\) est constant, \(u_C(t)\) doit tendre vers une constante.

Condition initiale erronée. Tu utilises \(u_C(0) = E\) alors que le condensateur est déchargé ? Lis toujours l’état initial dans l’énoncé : « déchargé » \(\Rightarrow u_C(0) = 0\), « chargé à \(U_0\) » \(\Rightarrow u_C(0) = U_0\).

Confusion sur la valeur finale. En charge, la valeur finale est l’entrée constante \(E\) (pas \(u_C(0)\)). Pour le vérifier : dans l’ED, si on « attend longtemps », la dérivée tend vers \(0\), donc \(u_C \to E\).

Unités et cohérence. Mélanger \(\mathrm{k}\Omega\), \(\mu\mathrm{F}\) et \(\mathrm{ms}\) sans conversion donne une constante de temps absurde. Convertis proprement : \(\mathrm{k}\Omega \to \Omega\), \(\mu\mathrm{F} \to \mathrm{F}\), puis vérifie l’ordre de grandeur de \(\tau = RC\) face au graphe.

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Questions fréquentes sur le circuit RC


Comment établir l'équation différentielle d'un circuit RC ?

En trois étapes : (1) écrire la loi des mailles \(e(t) = u_R(t) + u_C(t)\), (2) remplacer \(u_R = R\,i\) puis \(i = C\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\), (3) obtenir \(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = e(t)\) avec \(\tau = RC\). C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

Pourquoi un circuit RC mène-t-il à une équation différentielle ?

Parce que le condensateur relie le courant à la dérivée de la tension : \(i(t) = C\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\). En combinant cette relation avec la loi des mailles et la loi d’Ohm, on obtient une équation qui fait intervenir \(u_C(t)\) et sa dérivée — c’est une équation différentielle.

Que représente la constante de temps τ = RC ?

\(\tau = RC\) est la constante de temps du circuit : elle mesure la rapidité du régime transitoire. Plus \(\tau\) est grande, plus la charge ou la décharge est lente. Elle s’exprime en secondes. À \(t = \tau\), le condensateur a atteint environ 63 % de sa valeur finale (charge) ou a perdu environ 63 % de sa tension initiale (décharge).

Comment trouver τ sur un graphique ?

En charge, \(\tau\) correspond au temps pour atteindre environ \(63\,\%\) de la valeur finale. En décharge, c’est le temps pour tomber à environ \(37\,\%\) de la valeur initiale. Autre méthode : tracer la tangente à l’origine (charge) — elle coupe la valeur finale à \(t = \tau\).

Quelle est la différence entre charge et décharge d'un condensateur ?

En charge, l’entrée vaut \(e(t) = E\) et \(u_C(t)\) croît de \(0\) vers \(E\) : \(u_C(t) = E(1 – e^{-t/\tau})\). En décharge, l’entrée est nulle et \(u_C(t)\) décroît de \(U_0\) vers \(0\) : \(u_C(t) = U_0\,e^{-t/\tau}\). Les deux cas sont gouvernés par la même constante de temps \(\tau = RC\).

Combien de temps dure le régime transitoire ?

En pratique, on retient qu’après environ \(5\tau\), le régime permanent est quasi atteint (la tension est à plus de 99 % de sa valeur finale). C’est le repère standard utilisé en exercice et en TP.

L'équation différentielle du condensateur et celle du circuit RC, c'est la même chose ?

Oui. L’équation différentielle du condensateur dans un circuit RC série est exactement \(\tau\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) + u_C(t) = e(t)\). On parle d’« équation différentielle du condensateur » en physique et d’« équation différentielle du circuit RC » en maths, mais c’est la même ED.


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