En Terminale, le circuit RC est l’exemple le plus classique pour comprendre concrètement ce qu’est une équation différentielle : on part d’un schéma électrique, on écrit une loi physique, puis on obtient une équation qui décrit l’évolution de la tension au cours du temps.
Dans cette page, on se concentre sur l’objectif “efficacité + rigueur” : établir l’équation différentielle du circuit RC, résoudre les cas charge et décharge, interpréter la constante de temps \(\tau\) et réussir les exercices type bac.
À ne pas confondre avec le cours général. Ici, on traite l’application “circuit RC”. Pour la méthode complète de résolution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 (plus générale que le RC), va plutôt sur notre cours sur les équations différentielles d’ordre 1. Et pour t’entraîner plus largement : exercices corrigés d’équations différentielles.
Besoin d’une vue d’ensemble sur les ED (définitions, types, méthodes, exercices) ? Tu peux aussi consulter le cours complet sur les équations différentielles.
Forme canonique à connaître (RC) — Si \(u_C(t)\) est la tension aux bornes du condensateur et \(e(t)\) la tension d’entrée, on obtient (avec les conventions usuelles) :
\(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t).\)
Cette équation est une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Tout le chapitre RC, c’est : poser correctement cette équation + l’exploiter intelligemment (conditions initiales, lecture de \(\tau=RC\), etc.).
Circuit RC en Terminale : l’essentiel à maîtriser
Grandeurs et notations (R, C, uC, i, e(t))
On considère un circuit avec une résistance \(R\) et un condensateur \(C\), soumis à une tension d’entrée \(e(t)\). La grandeur centrale qu’on suit est la tension aux bornes du condensateur, notée \(u_C(t)\).
Notations (Terminale).
- \(R\) : résistance (en \(\Omega\))
- \(C\) : capacité (en \(\mathrm{F}\))
- \(u_C(t)\) : tension aux bornes du condensateur (en \(\mathrm{V}\))
- \(i(t)\) : intensité du courant dans la branche (en \(\mathrm{A}\))
- \(e(t)\) : tension imposée par le générateur (en \(\mathrm{V}\))
- \(\tau\) : constante de temps (en \(\mathrm{s}\)) avec \(\tau=RC\)
L’enjeu, c’est de relier ces grandeurs par une loi d’évolution : c’est là que l’équation différentielle apparaît.
Régime transitoire vs régime permanent (ce que ça signifie au bac)
Le circuit RC “réagit” lorsqu’on change l’entrée \(e(t)\). On observe alors :
- Régime transitoire : \(u_C(t)\) varie (souvent de façon exponentielle) pendant un certain temps.
- Régime permanent : \(u_C(t)\) se stabilise vers une valeur finale (si l’entrée est constante).
Reflexe bac. Dès que tu vois “charge / décharge” + “condensateur” + “circuit RC”, pense immédiatement : « transitoire exponentiel + constante de temps \(\tau\) ».
Ce que l’énoncé te demande “vraiment” (établir l’ED / résoudre / exploiter un graphe)
Dans la plupart des exercices de Terminale sur le circuit RC, l’énoncé attend une combinaison des tâches suivantes :
- Établir l’équation différentielle vérifiée par \(u_C(t)\).
- Donner (ou retrouver) la solution dans un cas standard (charge ou décharge).
- Identifier la constante de temps \(\tau\) et l’interpréter.
- Exploiter une courbe pour déterminer \(\tau\) (méthode \(63\%\), tangente…).
Établir l’équation différentielle du circuit RC (méthode en 6 étapes)
Schéma + conventions de signe (piège n°1)
Avant toute équation, il faut fixer une convention cohérente :
- on choisit un sens de parcours de la maille,
- on choisit un sens pour le courant \(i(t)\),
- on définit la tension \(u_C(t)\) avec une borne “+” et une borne “−”.
Piège classique. Changer la convention en cours de route (ou mélanger deux schémas) conduit à une ED avec un mauvais signe. Résultat : une “solution” qui diverge au lieu de se stabiliser.
Loi des mailles : exprimer la tension aux bornes de R et de C
Sur une maille simple (générateur, résistance, condensateur en série), la loi des mailles donne typiquement :
\(e(t)=u_R(t)+u_C(t)\)Or, pour la résistance :
\(u_R(t)=R\,i(t)\)Relier i(t) et uC(t) (condensateur)
Pour le condensateur, la relation fondamentale (avec convention cohérente) est :
\(i(t)=C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\)C’est ici qu’apparaît la dérivée : le condensateur “transforme” une variation de tension en courant.
Obtenir l’ED sous forme “standard” (lisible en Terminale)
On remplace \(u_R(t)=R\,i(t)\) puis \(i(t)=C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\) dans la maille :
\(e(t)=R\,C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)\)Donc l’équation différentielle du circuit RC (forme “physique”) est :
\(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t)\)On peut aussi l’écrire sous forme “mathématique” (linéaire du 1er ordre) :
\(\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+\frac{1}{RC}\,u_C(t)=\frac{1}{RC}\,e(t)\)Constante de temps. On pose \(\tau=RC\), ce qui permet de réécrire l’ED sous une forme très lisible :
\(\tau\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t)\)Check-list rapide “à recopier en contrôle” (sans refaire tout le raisonnement)
- Écrire la maille : \(e(t)=u_R(t)+u_C(t)\)
- Remplacer \(u_R(t)\) par \(R\,i(t)\)
- Remplacer \(i(t)\) par \(C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\)
- Obtenir \(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t)\)
- Identifier \(\tau=RC\)
- Vérifier l’allure : si \(e(t)\) est constant, \(u_C(t)\) doit tendre vers une constante (donc pas d’exponentielle “qui explose”).
Résoudre : charge d’un condensateur (échelon montant)
Identifier la forme d’ED et la stratégie (rappel express)
Le cas “charge” standard correspond à une entrée constante après \(t=0\) :
\(e(t)=E\)L’ED devient alors :
\(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=E\)Astuce clé : Ici, on utilise directement la forme de solution “réponse à un échelon” (spécifique au RC). Si tu veux la démonstration générale (méthode complète), elle est dans le cours dédié : équation différentielle d’ordre 1.
La solution (forme canonique) s’écrit :
\(u_C(t)=E+\bigl(u_C(0)-E\bigr)\,e^{-\frac{t}{RC}}\)Autrement dit, avec \(\tau=RC\) :
\(u_C(t)=E+\bigl(u_C(0)-E\bigr)\,e^{-\frac{t}{\tau}}\)Appliquer la condition initiale (uC(0) : ce qu’on prend et pourquoi)
En Terminale, on rencontre très souvent le cas d’un condensateur initialement déchargé :
\(u_C(0)=0\)Alors :
\(u_C(t)=E\bigl(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)\)Lecture physique. Au début, \(u_C(t)\) part de \(0\) et se rapproche progressivement de \(E\). La résistance “freine” la charge, d’où la lenteur caractérisée par \(\tau\).
Lecture qualitative : sens de variation, valeur finale, allure de la courbe
- Valeur finale : quand le régime permanent est atteint, \(u_C(t)\) tend vers \(E\).
- Monotonie : si \(u_C(0)\) < \(E\), alors \(u_C(t)\) augmente (courbe exponentielle croissante).
- Courant (utile parfois) : \(i(t)=\frac{E-u_C(t)}{R}\), donc \(i(t)\) diminue au cours du temps.
Repère bac : à \(t=\tau\), on atteint environ \(63\%\) de la valeur finale
Si \(u_C(0)=0\), alors à \(t=\tau\) :
\(u_C(\tau)=E\bigl(1-e^{-1}\bigr)\approx 0.63\,E\)
Repère ultra rentable. Sur une courbe de charge, le temps pour atteindre environ \(63\%\) de la valeur finale est (très souvent) une estimation directe de \(\tau\).
Résoudre : décharge d’un condensateur (échelon descendant)
Mise en équation (différence avec la charge)
En décharge “pure”, on coupe le générateur (ou on met \(e(t)=0\)) et le condensateur se vide à travers \(R\). L’ED devient :
\(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=0\)Solution et interprétation physique
La solution est une exponentielle décroissante :
\(u_C(t)=u_C(0)\,e^{-\frac{t}{\tau}}\)La tension part de \(u_C(0)\) et tend vers \(0\) quand \(t\) augmente.
Point clé. En décharge, la valeur finale est \(0\) (si l’entrée est nulle). C’est un bon test de cohérence : si tu trouves une valeur finale non nulle, c’est que tu as gardé un terme \(E\) quelque part.
Durée “pratique” du transitoire : ordre de grandeur (quelques \(\tau\))
En pratique, on considère que le transitoire est “quasi terminé” après quelques constantes de temps. Un repère courant :
\(t\approx 5\tau\) (la tension restante est alors très faible).
Mini-cas “temps pour atteindre x%” (très fréquent en exercices)
On cherche le temps \(t\) tel que \(u_C(t)\) atteigne une fraction \(\alpha\) de sa valeur initiale :
\(u_C(t)=\alpha\,u_C(0)\)Avec \(u_C(t)=u_C(0)e^{-\frac{t}{\tau}}\), on obtient :
\(e^{-\frac{t}{\tau}}=\alpha\)donc
\(t=-\tau\ln(\alpha)\)Exemple flash. Pour atteindre \(10\%\) : \(\alpha=0.10\), donc \(t=-\tau\ln(0.10)\approx 2.30\,\tau\).
Constante de temps τ = RC : comprendre et mesurer sur un graphe
La constante de temps \(\tau=RC\) est le paramètre qui fixe la “vitesse” du transitoire. Plus \(\tau\) est grand, plus la charge/décharge est lente.
| Méthode | Principe | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| \(63\%\) / \(37\%\) | Lire le temps pour atteindre \(0.63\) de la valeur finale (charge) ou \(0.37\) de la valeur initiale (décharge) | Courbe propre, lecture graphique facile |
| Tangente à l’origine | Tracer la tangente en \(t=0\) (charge) et voir où elle coupe la valeur finale | Quand la courbe est bruitée mais le début est net |
| Cohérence unités | Vérifier que \(RC\) est en secondes et est compatible avec l’échelle de temps | Contrôle de cohérence, estimation rapide |
Méthode 1 : repère 63% (charge) / 37% (décharge)
Charge (avec \(u_C(0)=0\)) : la valeur finale est \(E\). On lit \(\tau\) au temps où \(u_C(t)\approx 0.63\,E\).
Décharge : on lit \(\tau\) au temps où \(u_C(t)\approx 0.37\,u_C(0)\).
Pourquoi 63% et 37% ? Parce que \(e^{-1}\approx 0.37\) et \(1-e^{-1}\approx 0.63\). C’est le repère naturel de l’exponentielle.
Méthode 2 : tangente à l’origine (lecture rapide)
Pour une charge avec \(u_C(t)=E\bigl(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)\), la pente au départ vaut :
\(\left.\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}=\frac{E}{\tau}\)La tangente en \(t=0\) coupe la valeur \(E\) à l’abscisse \(t=\tau\). C’est une méthode très efficace sur un graphe expérimental.
Méthode 3 (bonus premium) : cohérence unités + ordre de grandeur
Réflexe “prépa” (même en Terminale). Vérifie toujours l’ordre de grandeur : si \(R\) est en \(\Omega\) et \(C\) en \(\mathrm{F}\), alors \(RC\) est en secondes. Si la courbe évolue sur quelques millisecondes, \(\tau\) doit être du même ordre.
Exercices type bac (corrigés) : charge, décharge, τ
Chaque exercice est corrigé de façon rédigée, comme on l’attend en copie (clarté + cohérence physique). Si tu veux encore plus d’entraînement (au-delà du RC), va sur nos exercices corrigés d’équations différentielles.
Exercice 1 : établir l’ED (mailles + condensateur)
Énoncé. On a un circuit série avec une résistance \(R\) et un condensateur \(C\). La tension d’entrée est \(e(t)\). On note \(u_C(t)\) la tension aux bornes du condensateur. Établir l’équation différentielle vérifiée par \(u_C(t)\).
Correction.
Loi des mailles : \(e(t)=u_R(t)+u_C(t)\).
Or \(u_R(t)=R\,i(t)\) et \(i(t)=C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\).
Donc : \(e(t)=R\,C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)\).
Finalement : \(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t)\).
Exercice 2 : charge : trouver τ et la valeur finale
Énoncé. On impose \(e(t)=E\) (constante). Le condensateur est initialement déchargé : \(u_C(0)=0\). Donner \(u_C(t)\), la valeur finale, et calculer \(u_C(\tau)\) avec \(\tau=RC\).
Correction.
L’ED est \(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=E\).
Solution de charge (cas standard) : \(u_C(t)=E\bigl(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\bigr)\).
Valeur finale : \(\lim_{t\to+\infty}u_C(t)=E\).
À \(t=\tau\) : \(u_C(\tau)=E\bigl(1-e^{-1}\bigr)\approx 0.63\,E\).
Exercice 3 : décharge : déterminer le temps pour atteindre un seuil
Énoncé. Un condensateur a une tension initiale \(u_C(0)=U_0\). On le décharge dans une résistance \(R\) (entrée nulle). Déterminer le temps \(t\) pour lequel \(u_C(t)=0.10\,U_0\).
Correction.
En décharge, \(u_C(t)=U_0\,e^{-\frac{t}{\tau}}\) avec \(\tau=RC\).
On impose \(U_0\,e^{-\frac{t}{\tau}}=0.10\,U_0\), donc \(e^{-\frac{t}{\tau}}=0.10\).
Alors \(-\frac{t}{\tau}=\ln(0.10)\), donc \(t=-\tau\ln(0.10)\approx 2.30\,\tau\).
Exercice 4 : exploitation de courbe expérimentale (tangente / 63%)
Énoncé. On observe une courbe de charge vers une valeur finale \(E\). Sur le graphe, on lit que \(u_C(t)\) atteint environ \(0.63\,E\) pour \(t=12\,\mathrm{ms}\). Estimer \(\tau\).
Correction.
Par la méthode \(63\%\) (charge), le temps où \(u_C(t)\approx 0.63\,E\) correspond à \(t\approx\tau\).
Donc \(\tau\approx 12\,\mathrm{ms}\).
Variante (si on te donne la tangente). Si la tangente en \(t=0\) coupe la droite \(u=E\) au temps \(t=t_0\), alors \(\tau\approx t_0\).
Exercice 5 (bonus) : variation de R ou C, impact sur la dynamique
Énoncé. On remplace \(R\) par \(2R\) (capacité inchangée). Comment évoluent \(\tau\) et la vitesse de charge ?
Correction.
On a \(\tau=RC\). Si \(R\) est multipliée par \(2\), alors \(\tau\) est multipliée par \(2\).
Donc la charge est plus lente : il faut environ deux fois plus de temps pour atteindre un même pourcentage de la valeur finale.
Erreurs fréquentes (et comment les éviter)
Piège de signe (mailles + conventions)
Symptôme. Tu trouves une solution qui augmente sans se stabiliser (ou une exponentielle avec un mauvais signe).
Remède. Revenir au schéma, fixer une convention, puis écrire la maille proprement. Un test simple : si \(e(t)\) est constant, \(u_C(t)\) doit tendre vers une constante.
Piège sur la condition initiale (uC(0))
Erreur fréquente. Utiliser une “condition initiale” incompatible avec le graphique ou l’énoncé (ex. prendre \(u_C(0)=E\) alors que le condensateur est déchargé).
Remède. Toujours lire l’état initial : “déchargé” \(\Rightarrow\) \(u_C(0)=0\). “chargé à \(U_0\)” \(\Rightarrow\) \(u_C(0)=U_0\).
Confusions sur la valeur finale (charge)
Erreur fréquente. En charge, confondre la valeur finale avec \(u_C(0)\) ou oublier que la valeur finale est l’entrée constante \(E\).
Remède. Sur \(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=E\), si on “attend longtemps”, la dérivée tend vers \(0\), donc on doit avoir \(u_C(t)\approx E\).
Unités et cohérence (RC en secondes)
Erreur fréquente. Mélanger \(\mathrm{k}\Omega\), \(\mu\mathrm{F}\), \(\mathrm{ms}\) sans conversion, puis obtenir une constante de temps absurde.
Remède. Convertir proprement : \(\mathrm{k}\Omega\) en \(\Omega\), \(\mu\mathrm{F}\) en \(\mathrm{F}\), et vérifier l’ordre de grandeur de \(\tau=RC\) face au graphe.
FAQ (Terminale + parents)
Pourquoi un circuit RC mène à une équation différentielle ?
Parce que le condensateur relie le courant à la dérivée de la tension : \(i(t)=C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)\). En combinant cette relation avec la loi des mailles et la loi d’Ohm, on obtient une équation du type \(RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t)+u_C(t)=e(t)\).
C’est quoi exactement τ = RC ?
\(\tau=RC\) est la constante de temps : elle mesure la rapidité du transitoire. Plus \(\tau\) est grande, plus la charge/décharge est lente. Elle s’exprime en secondes.
Comment trouver τ sur un graphique ?
En charge, \(\tau\) correspond au temps pour atteindre environ \(63\%\) de la valeur finale. En décharge, c’est le temps pour tomber à environ \(37\%\) de la valeur initiale. Une autre méthode consiste à tracer la tangente à l’origine (charge) : elle coupe la valeur finale vers \(t=\tau\).
Quelle différence entre charge et décharge ?
En charge, l’entrée vaut souvent \(e(t)=E\) et \(u_C(t)\) tend vers \(E\). En décharge, l’entrée est nulle et \(u_C(t)\) décroît vers \(0\). Dans les deux cas, la dynamique est exponentielle et gouvernée par \(\tau\).
Combien de temps dure le transitoire ?
Ça dépend de la précision attendue, mais en pratique on retient qu’après quelques constantes de temps, le régime est presque établi. Un repère fréquent est \(t\approx 5\tau\).
Pour aller plus loin (prépa). Si tu veux prolonger au-delà du programme Terminale (autres entrées, cas plus généraux), tu peux explorer les équations différentielles d’ordre 2 et renforcer la méthode avec nos exercices corrigés.
