Tu cherches à calculer rapidement une somme de suite arithmétique sans te tromper sur le nombre de termes, les indices \(u_0\)/\(u_1\) ou la notation \(\sum\) ? Cette page te donne :
- la formule de la somme (cas standard + cas \(u_0\)/\(u_1\) + cas de \(u_p\) à \(u_q\)),
- une méthode en 4 étapes « anti-pièges »,
- une preuve courte (pour comprendre, pas juste appliquer),
- des exemples corrigés et des mini-exercices.
Navigation — Cocon Suites arithmétiques :
- Suite arithmétique : cours complet — Définition, formules, variations, limites.
- Exercices corrigés suites arithmétiques — 20 exercices + PDF, triés par niveau.
- Trouver la raison (r) — 4 méthodes selon l’énoncé.
- Arithmétique vs géométrique — Tableau comparatif + exercices.
À retenir : la formule de somme (Sn) en 30 secondes
Formule clé (suite arithmétique) : si tu additionnes des termes consécutifs, la somme vaut
\(\text{Somme}=\displaystyle\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}\).
Autrement dit : moyenne des extrêmes × nombre de termes.
| Situation | Somme | Nombre de termes |
|---|---|---|
| Somme des n premiers termes \(u_1,\dots,u_n\) | \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\) | \(n\) |
| Somme des termes \(u_0,\dots,u_n\) | \(S_n=\displaystyle\frac{n+1}{2}\left(u_0+u_n\right)\) | \(n+1\) |
| Somme de \(u_p\) à \(u_q\) (termes consécutifs) | \(u_p+\cdots+u_q=\displaystyle\frac{q-p+1}{2}\left(u_p+u_q\right)\) | \(q-p+1\) |
| Somme des \(n\) premiers entiers | \(1+2+\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) | \(n\) |
Sn : somme des n premiers termes d’une suite arithmétique (cas standard)
Si ta suite est indexée à partir de \(u_1\), alors la somme des \(n\) premiers termes est :
\(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\) et \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\).
On peut aussi écrire cette formule en remplaçant \(u_n\) par \(u_1+(n-1)r\) :
\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\bigl(2u_1+(n-1)r\bigr)\).
Quand utiliser quelle version ? Si tu connais \(u_1\) et \(u_n\), utilise \(\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\). Si tu connais \(u_1\) et \(r\) (mais pas \(u_n\)), utilise \(\displaystyle\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)r)\).
Cas u0 / u1 : comment ne pas se tromper
Beaucoup d’erreurs viennent d’un détail : la suite commence-t-elle à \(0\) ou à \(1\) ?
Piège classique. Confondre « \(S_n\) = somme jusqu’à \(u_n\) » avec « \(S_n\) = somme des \(n\) premiers termes ».
Si la suite commence à \(u_0\), alors \(u_0+\cdots+u_n\) contient \(n+1\) termes.
Cas de up à uq (somme de termes consécutifs)
Si on te demande la somme \(u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q\), on applique la même logique :
- premier terme : \(u_p\)
- dernier terme : \(u_q\)
- nombre de termes : \(q-p+1\)
Donc \(u_p+\cdots+u_q=\displaystyle\frac{q-p+1}{2}\left(u_p+u_q\right)\).
Pour retrouver rapidement \(u_n\) ou la raison \(r\), consulte : raison d’une suite arithmétique.
Méthode infaillible (4 étapes) pour ne jamais se tromper
Quand un exercice devient « piégeux », ce n’est presque jamais la formule : c’est le choix du premier/dernier terme et le comptage. Voici la méthode utilisée en cours particuliers pour sécuriser le résultat.
Étape 1 : identifier ce qui est demandé (Sn ? up→uq ?)
- On te demande \(S_n\) : c’est souvent la somme \(u_1+\cdots+u_n\) (si indexation à partir de \(1\)).
- On te demande « de \(u_p\) à \(u_q\) » : c’est une somme de termes consécutifs.
- On te donne une notation \(\sum\) : commence par traduire en somme « classique » (voir plus bas).
Étape 2 : trouver le premier et le dernier terme utiles
On identifie :
- le premier terme de la somme (souvent \(u_1\) ou \(u_p\)),
- le dernier terme de la somme (souvent \(u_n\) ou \(u_q\)).
Astuce premium. Si le dernier terme n’est pas donné, calcule-le proprement avec :
\(u_n=u_1+(n-1)r\) (indexation à partir de \(1\))
ou \(u_n=u_0+nr\) (indexation à partir de \(0\)).
Le cours complet est sur suite arithmétique : cours complet.
Étape 3 : compter le nombre de termes (le piège n°1)
Si la somme va de \(u_p\) à \(u_q\), le nombre de termes n’est pas \(q-p\), mais :
\(q-p+1\).
Piège classique. « De \(u_3\) à \(u_{10}\) » contient \(10-3+1=8\) termes, pas \(10-3=7\).
Étape 4 : appliquer la formule + vérification rapide
On applique : \(\text{Somme}=\text{(nombre de termes)}\times\displaystyle\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\).
Vérification rapide : une somme de termes qui augmentent doit être « à peu près » le nombre de termes × un terme « moyen ». Si ton résultat est 10 fois trop petit ou trop grand, c’est souvent un problème de comptage.
La méthode en action : 2 exemples express
Exemple A — \(u_1=4\), \(r=3\). Calculer \(S_8=u_1+\cdots+u_8\).
Étape 1 : on demande \(S_8\) (somme des 8 premiers termes).
Étape 2 : premier terme \(u_1=4\), dernier terme \(u_8=4+7\times 3=25\).
Étape 3 : nombre de termes = \(8\).
Étape 4 : \(S_8=\displaystyle\frac{8}{2}(4+25)=4\times 29=116\). ✓ Vérif : 8 termes autour de ~15 → ~120, cohérent.
Exemple B — \(u_n=2n+1\). Calculer \(u_5+u_6+\cdots+u_{12}\).
Étape 1 : somme de \(u_5\) à \(u_{12}\).
Étape 2 : \(u_5=11\), \(u_{12}=25\).
Étape 3 : nombre de termes = \(12-5+1=8\) (pas 7 !).
Étape 4 : \(\displaystyle\frac{8}{2}(11+25)=4\times 36=144\). ✓ Vérif : 8 termes autour de ~18 → ~144, exact.
Comprendre la formule (preuve courte, niveau lycée → prépa)
Comprendre la démonstration aide énormément à éviter les erreurs d’indice et à se souvenir de la formule sans « par cœur ».
La technique du « pairing » (écriture dans les deux sens)
Preuve (cas \(u_1,\dots,u_n\)).
On pose \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\).
On écrit aussi \(S_n=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_1\).
En additionnant :
\(2S_n=(u_1+u_n)+(u_2+u_{n-1})+\cdots+(u_n+u_1)\).
Dans une suite arithmétique, chaque paire « symétrique » fait la même somme : \(u_1+u_n\).
Il y a \(n\) paires, donc \(2S_n=n(u_1+u_n)\), d’où :
\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).
Pourquoi ça revient à « moyenne des extrêmes × nombre de termes »
La moyenne de \(u_1\) et \(u_n\) est \(\displaystyle\frac{u_1+u_n}{2}\). Multiplier par \(n\) donne exactement :
\(n\times\displaystyle\frac{u_1+u_n}{2}=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)=S_n\).
Utiliser la notation sigma : traduire et calculer proprement
La notation \(\sum\) (sigma) signifie « additionner une expression quand l’indice parcourt une liste de valeurs ».
Lire la notation sigma : terme général + bornes
\(\sum_{k=1}^{n}u_k\) se lit : \(u_1+u_2+\cdots+u_n\).
Piège fréquent. Confondre \(\sum_{k=0}^{n}u_k\) et \(\sum_{k=1}^{n}u_k\) : le premier contient \(n+1\) termes, le second contient \(n\) termes.
Reconnaître une somme arithmétique sous forme sigma
Exemple typique : \(\sum_{k=1}^{n}(a+bk)\).
Les termes \(a+bk\) forment une suite arithmétique (en \(k\)) : quand \(k\) augmente de \(1\), l’expression augmente de \(b\).
Les erreurs fréquentes (bornes, décalages d’indice)
- Oublier de calculer le premier terme (mettre \(k=0\) ou \(k=1\) selon les bornes).
- Oublier de calculer le dernier terme (remplacer \(k\) par \(n\)).
- Se tromper sur le nombre de termes (à cause du \(+1\)).
Exemples corrigés (progressifs)
Ces exemples sont volontairement variés : indexation, bornes, sigma, problème concret. Pour une liste complète avec corrigés détaillés, voir exercices corrigés suites arithmétiques.
Exemple 1 : somme des n premiers termes (cas direct)
Énoncé. Suite arithmétique de premier terme \(u_1=3\) et de raison \(r=2\). Calculer \(S_{15}=u_1+\cdots+u_{15}\).
▶ Voir la correction
On calcule d’abord le dernier terme : \(u_{15}=u_1+(15-1)r=3+14\times 2=31\).
Puis : \(S_{15}=\displaystyle\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=\displaystyle\frac{15}{2}(3+31)=\displaystyle\frac{15}{2}\times 34=15\times 17=255\).
Exemple 2 : somme de up à uq (cas « bornes »)
Énoncé. Suite arithmétique définie par \(u_n=5-n\). Calculer \(u_3+u_4+\cdots+u_{10}\).
▶ Voir la correction
On identifie : \(u_3=5-3=2\), \(u_{10}=5-10=-5\), nombre de termes : \(10-3+1=8\).
Donc : \(u_3+\cdots+u_{10}=\displaystyle\frac{8}{2}(u_3+u_{10})=4(2-5)=4\times(-3)=-12\).
Exemple 3 : expression avec sigma
Énoncé. Calculer \(\sum_{k=1}^{20}(7+3k)\).
▶ Voir la correction
Les termes forment une suite arithmétique : premier terme (\(k=1\)) : \(7+3=10\), dernier terme (\(k=20\)) : \(7+60=67\), nombre de termes : \(20\).
Donc : \(\sum_{k=1}^{20}(7+3k)=\displaystyle\frac{20}{2}(10+67)=10\times 77=770\).
Exemple 4 : problème contextualisé (modélisation simple)
Énoncé. Un élève met de côté \(20\) € la première semaine, puis augmente de \(5\) € chaque semaine. Combien a-t-il économisé au total après \(12\) semaines ?
▶ Voir la correction
Suite arithmétique : \(u_1=20\), \(r=5\).
Dernier terme : \(u_{12}=20+11\times 5=75\).
Somme : \(S_{12}=\displaystyle\frac{12}{2}(20+75)=6\times 95=570\) €.
Mini-exercices (réponses) + aller plus loin
Objectif : valider les automatismes. Ces mini-exercices sont courts (corrigés immédiats). Pour un entraînement complet, consulte les exercices corrigés suites arithmétiques (PDF).
5 mini-exercices rapides (niveau Première)
Exercice 1 — Calculer \(S_{10}\) si \(u_1=4\) et \(r=3\).
▶ Voir la correction
\(u_{10}=4+9\times 3=31\), donc \(S_{10}=\displaystyle\frac{10}{2}(4+31)=5\times 35=175\).
Exercice 2 — Calculer \(u_5+\cdots+u_{12}\) si \(u_n=2n-1\).
▶ Voir la correction
\(u_5=9\), \(u_{12}=23\), nombre de termes \(12-5+1=8\), donc \(\displaystyle\frac{8}{2}(9+23)=4\times 32=128\).
Exercice 3 — Une suite commence à \(u_0=7\) avec \(r=-2\). Calculer \(u_0+\cdots+u_8\).
▶ Voir la correction
\(u_8=7+8\times(-2)=-9\). Il y a \(9\) termes, donc \(\displaystyle\frac{9}{2}(7-9)=\displaystyle\frac{9}{2}\times(-2)=-9\).
Exercice 4 — Calculer \(\sum_{k=1}^{15}(2+4k)\).
▶ Voir la correction
Premier terme : \(6\), dernier terme : \(62\), nombre de termes : \(15\). Somme : \(\displaystyle\frac{15}{2}(6+62)=15\times 34=510\).
Exercice 5 — Vrai ou faux : la somme \(u_3+\cdots+u_{10}\) contient \(7\) termes.
▶ Voir la correction
Faux : le nombre de termes est \(10-3+1=8\).
5 mini-exercices (niveau Terminale / début prépa)
Exercice 6 — On sait que \(u_1=5\) et \(u_{20}=62\). Calculer \(S_{20}\).
▶ Voir la correction
\(S_{20}=\displaystyle\frac{20}{2}(5+62)=10\times 67=670\).
Exercice 7 — Calculer \(u_{12}+\cdots+u_{30}\) si \(u_n=3n+2\).
▶ Voir la correction
\(u_{12}=38\), \(u_{30}=92\), nombre de termes \(30-12+1=19\), donc \(\displaystyle\frac{19}{2}(38+92)=19\times 65=1235\).
Exercice 8 — Traduire puis calculer \(\sum_{k=0}^{10}(9-2k)\).
▶ Voir la correction
Premier terme (\(k=0\)) : \(9\), dernier terme (\(k=10\)) : \(-11\), nombre de termes : \(11\). Somme : \(\displaystyle\frac{11}{2}(9-11)=-11\).
Exercice 9 — Une somme vaut \(S_n=210\) avec \(u_1=5\) et \(u_n=23\). Trouver \(n\).
▶ Voir la correction
\(210=\displaystyle\frac{n}{2}(5+23)=14n\), donc \(n=15\).
Exercice 10 — Pour aller plus vite : quelle page consulter pour trouver \(r\) si on ne l’a pas ?
▶ Voir la réponse
Raison d’une suite arithmétique (et pour une vue d’ensemble : suite arithmétique : cours complet).
Aller plus loin dans le cocon.
- Vue d’ensemble (définition, propriété, terme général…) : suite arithmétique : cours complet.
- Entraînement avec corrigés + PDF : exercices corrigés suites arithmétiques.
- Trancher arithmétique vs géométrique : suite arithmétique et géométrique.
FAQ : questions fréquentes sur la somme d’une suite arithmétique
Quelle est la formule de la somme d'une suite arithmétique ?
La formule générale est : \(\text{Somme}=\displaystyle\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}\). En notation compacte : \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\) si la suite commence à \(u_1\), ou \(S=\displaystyle\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)\) si elle commence à \(u_0\).
Comment calculer la somme d'une suite arithmétique ?
Repère le premier et le dernier terme de la somme, compte le nombre de termes (attention au \(+1\)), puis applique : \(\text{Somme}=\text{(nombre de termes)}\times\displaystyle\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\).
Comment calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique ?
Si la suite commence à \(u_1\), on utilise \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\). Le nombre de termes est \(n\). Si on ne connaît pas \(u_n\), on le calcule avec \(u_n=u_1+(n-1)r\), ce qui donne \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)r)\).
Comment calculer la somme de termes consécutifs (de u_p à u_q) ?
On applique : \(u_p+\cdots+u_q=\displaystyle\frac{q-p+1}{2}(u_p+u_q)\). Le piège le plus fréquent est le comptage : il y a \(q-p+1\) termes (pas \(q-p\)). Par exemple, de \(u_3\) à \(u_{10}\), il y a \(8\) termes.
Comment utiliser la notation sigma pour une somme arithmétique ?
\(\sum_{k=1}^{n}u_k\) signifie \(u_1+u_2+\cdots+u_n\). Commence par traduire : calcule le premier terme (en remplaçant \(k\) par la borne de départ) et le dernier terme (en remplaçant \(k\) par la borne d’arrivée), puis applique la formule classique.
Comment calculer 1+2+3+...+n ?
C’est la somme d’une suite arithmétique de premier terme \(1\), de dernier terme \(n\) et de \(n\) termes. La formule donne : \(1+2+\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\). Par exemple, \(1+2+\cdots+100=\displaystyle\frac{100\times 101}{2}=5050\).
Cette page est centrée sur la somme. Pour un approfondissement ciblé :
suite arithmétique : cours complet ·
exercices corrigés suites arithmétiques ·
raison d’une suite arithmétique.
