Vous cherchez à calculer rapidement une somme de suite arithmétique (sans vous tromper sur le nombre de termes, les indices \(u_0\)/\(u_1\), ou la notation \(\sum\)) ? Cette page vous donne :
- la formule de la somme (cas standard + cas \(u_0\)/\(u_1\) + cas de \(u_p\) à \(u_q\)),
- une méthode en 4 étapes “anti-pièges”,
- une preuve courte (pour comprendre, pas juste appliquer),
- des exemples corrigés et des mini-exercices.
Liens utiles : ici, on traite uniquement la somme. Pour le cours complet (définition, raison, terme général, variations…), allez sur Suites arithmétiques : cours complet. Pour une banque d’entraînement + PDF, allez sur Exercices corrigés de suites arithmétiques.
À retenir : la formule de somme (Sn) en 30 secondes
Formule clé (suite arithmétique) : si vous additionnez des termes consécutifs, la somme vaut
\(\text{Somme}=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}\).
Autrement dit : moyenne des extrêmes × nombre de termes.
| Situation | Somme | Nombre de termes |
|---|---|---|
| Somme des n premiers termes \(u_1,\dots,u_n\) | \(S_n=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\) | \(n\) |
| Somme des termes \(u_0,\dots,u_n\) | \(S_n=\frac{n+1}{2}\left(u_0+u_n\right)\) | \(n+1\) |
| Somme de \(u_p\) à \(u_q\) (termes consécutifs) | \(u_p+\cdots+u_q=\frac{q-p+1}{2}\left(u_p+u_q\right)\) | \(q-p+1\) |
Sn : somme des n premiers termes (cas standard)
Si votre suite est indexée à partir de \(u_1\), alors la somme des \(n\) premiers termes est :
\(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\) et \(S_n=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\).
Cas u0 / u1 : comment ne pas se tromper
Beaucoup d’erreurs viennent d’un détail : la suite commence-t-elle à \(0\) ou à \(1\) ?
Piège classique. Confondre “\(S_n\) = somme jusqu’à \(u_n\)” avec “\(S_n\) = somme des \(n\) premiers termes”.
Si la suite commence à \(u_0\), alors \(u_0+\cdots+u_n\) contient \(n+1\) termes.
Cas de u_p à u_q (somme de termes consécutifs)
Si on vous demande la somme \(u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q\), on applique la même logique :
- premier terme : \(u_p\)
- dernier terme : \(u_q\)
- nombre de termes : \(q-p+1\)
Donc \(u_p+\cdots+u_q=\frac{q-p+1}{2}\left(u_p+u_q\right)\).
Pour retrouver rapidement \(u_n\) ou la raison \(r\), consultez aussi : Trouver la raison d’une suite arithmétique.
Méthode infaillible (4 étapes) pour ne jamais se tromper
Quand un exercice devient “piégeux”, ce n’est presque jamais la formule : c’est le choix du premier/dernier terme et le comptage. Voici la méthode utilisée en cours particuliers pour sécuriser le résultat.
Étape 1 : identifier ce qui est demandé (Sn ? u_p→u_q ?)
- On vous demande \(S_n\) : c’est souvent la somme \(u_1+\cdots+u_n\) (si indexation à partir de \(1\)).
- On vous demande “de \(u_p\) à \(u_q\)” : c’est une somme de termes consécutifs.
- On vous donne une notation \(\sum\) : commencez par traduire en somme “classique” (voir plus bas).
Étape 2 : trouver le premier et le dernier terme utiles
On identifie :
- le premier terme de la somme (souvent \(u_1\) ou \(u_p\)),
- le dernier terme de la somme (souvent \(u_n\) ou \(u_q\)).
Astuce premium. Si le dernier terme n’est pas donné, calculez-le proprement avec :
\(u_n=u_1+(n-1)r\) (indexation à partir de \(1\))
ou \(u_n=u_0+nr\) (indexation à partir de \(0\)).
Le cours complet (avec toutes les variantes) est sur Suites arithmétiques.
Étape 3 : compter le nombre de termes (le piège n°1)
Si la somme va de \(u_p\) à \(u_q\), le nombre de termes n’est pas \(q-p\), mais :
\(q-p+1\).
Piège classique. “De \(u_3\) à \(u_{10}\)” contient \(10-3+1\) termes, pas \(10-3\).
Étape 4 : appliquer la formule + vérification rapide
On applique : \(\text{Somme}=\text{(nombre de termes)}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\).
Vérification rapide : une somme de termes qui augmentent doit être “à peu près” le nombre de termes × un terme “moyen”. Si votre résultat est 10 fois trop petit ou trop grand, c’est souvent un problème de comptage.
Comprendre la formule (preuve courte, niveau lycée → prépa)
Comprendre la démonstration aide énormément à éviter les erreurs d’indice et à se souvenir de la formule sans “par cœur”.
La technique du “pairing” (écriture dans les deux sens)
Preuve (cas \(u_1,\dots,u_n\)).
On pose \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\).
On écrit aussi \(S_n=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_1\).
En additionnant :
\(2S_n=(u_1+u_n)+(u_2+u_{n-1})+\cdots+(u_n+u_1)\).
Dans une suite arithmétique, chaque paire “symétrique” fait la même somme : \(u_1+u_n\).
Il y a \(n\) paires, donc \(2S_n=n(u_1+u_n)\), d’où :
\(S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).
Pourquoi ça revient à “moyenne des extrêmes × nombre de termes”
La moyenne de \(u_1\) et \(u_n\) est \(\frac{u_1+u_n}{2}\). Multiplier par \(n\) donne exactement :
\(n\times\frac{u_1+u_n}{2}=\frac{n}{2}(u_1+u_n)=S_n\).
Utiliser ∑ (sigma) : traduire et calculer proprement
La notation \(\sum\) (sigma) signifie “additionner une expression quand l’indice parcourt une liste de valeurs”.
Lire ∑ : terme général + bornes (ce que ça signifie)
\(\sum_{k=1}^{n}u_k\) se lit :
\(u_1+u_2+\cdots+u_n\).
Piège fréquent. Confondre \(\sum_{k=0}^{n}u_k\) et \(\sum_{k=1}^{n}u_k\) : le premier contient \(n+1\) termes, le second contient \(n\) termes.
Reconnaître une somme arithmétique sous forme ∑(a+bn)
Exemple typique : \(\sum_{k=1}^{n}(a+bk)\).
Les termes \(a+bk\) forment une suite arithmétique (en \(k\)) : quand \(k\) augmente de \(1\), l’expression augmente de \(b\).
Les erreurs fréquentes (bornes, décalages d’indice)
- Oublier de calculer le premier terme (mettre \(k=0\) ou \(k=1\) selon les bornes).
- Oublier de calculer le dernier terme (remplacer \(k\) par \(n\)).
- Se tromper sur le nombre de termes (à cause du \(+1\)).
Exemples corrigés (progressifs)
Ces exemples sont volontairement variés : indexation, bornes, sigma, problème concret. Pour une liste complète avec corrigés détaillés, voir la page d’exercices corrigés.
Exemple 1 : somme des n premiers termes (cas direct)
Énoncé. Suite arithmétique de premier terme \(u_1=3\) et de raison \(r=2\). Calculer \(S_{15}=u_1+\cdots+u_{15}\).
Solution. On calcule d’abord le dernier terme :
\(u_{15}=u_1+(15-1)r=3+14\times 2=31\).
Puis :
\(S_{15}=\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=\frac{15}{2}(3+31)=\frac{15}{2}\times 34=15\times 17=255\).
Exemple 2 : somme de u_p à u_q (cas “bornes”)
Énoncé. Suite arithmétique définie par \(u_n=5-n\). Calculer \(u_3+u_4+\cdots+u_{10}\).
Solution. On identifie :
- \(u_3=5-3=2\)
- \(u_{10}=5-10=-5\)
- nombre de termes : \(10-3+1=8\)
Donc :
\(u_3+\cdots+u_{10}=\frac{8}{2}(u_3+u_{10})=4(2-5)=4\times(-3)=-12\).
Exemple 3 : expression avec ∑ (sigma)
Énoncé. Calculer \(\sum_{k=1}^{20}(7+3k)\).
Solution. Les termes forment une suite arithmétique :
- premier terme (quand \(k=1\)) : \(7+3\times 1=10\)
- dernier terme (quand \(k=20\)) : \(7+3\times 20=67\)
- nombre de termes : \(20\)
Donc :
\(\sum_{k=1}^{20}(7+3k)=\frac{20}{2}(10+67)=10\times 77=770\).
Exemple 4 : problème contextualisé (modélisation simple)
Énoncé. Un élève met de côté \(20\) € la première semaine, puis augmente de \(5\) € chaque semaine. Combien a-t-il économisé au total après \(12\) semaines ?
Solution. C’est une suite arithmétique de premier terme \(u_1=20\) et de raison \(r=5\).
Dernier terme :
\(u_{12}=u_1+(12-1)r=20+11\times 5=75\).
Somme :
\(S_{12}=\frac{12}{2}(u_1+u_{12})=6(20+75)=6\times 95=570\).
Mini-exercices (réponses) + aller plus loin
Objectif : valider les automatismes. Ces mini-exercices sont courts (corrigés immédiats). Pour un entraînement complet, consultez les exercices corrigés (PDF).
5 mini-exercices rapides (niveau Première)
Exercice 1 — Calculer \(S_{10}\) si \(u_1=4\) et \(r=3\).
Correction rapide. \(u_{10}=u_1+(10-1)r=4+9\times 3=31\), donc
\(S_{10}=\frac{10}{2}(4+31)=5\times 35=175\).
Exercice 2 — Calculer \(u_5+\cdots+u_{12}\) si \(u_n=2n-1\).
Correction rapide. \(u_5=9\), \(u_{12}=23\), nombre de termes \(12-5+1=8\), donc
\(\frac{8}{2}(9+23)=4\times 32=128\).
Exercice 3 — Une suite commence à \(u_0=7\) avec \(r=-2\). Calculer \(u_0+\cdots+u_8\).
Correction rapide. \(u_8=u_0+8r=7+8\times(-2)=-9\). Il y a \(9\) termes, donc
\(\frac{9}{2}(7-9)=\frac{9}{2}\times(-2)=-9\).
Exercice 4 — Calculer \(\sum_{k=1}^{15}(2+4k)\).
Correction rapide. Premier terme : \(2+4\times 1=6\), dernier terme : \(2+4\times 15=62\), nombre de termes : \(15\).
Somme : \(\frac{15}{2}(6+62)=\frac{15}{2}\times 68=15\times 34=510\).
Exercice 5 — Vrai ou faux : la somme \(u_3+\cdots+u_{10}\) contient \(7\) termes.
Correction rapide. Faux : le nombre de termes est \(10-3+1=8\).
5 mini-exercices (niveau Terminale / début prépa)
Exercice 6 — On sait que \(u_1=5\) et \(u_{20}=62\). Calculer \(S_{20}\).
Correction rapide. \(S_{20}=\frac{20}{2}(5+62)=10\times 67=670\).
Exercice 7 — Calculer \(u_{12}+\cdots+u_{30}\) si \(u_n=3n+2\).
Correction rapide. \(u_{12}=38\), \(u_{30}=92\), nombre de termes \(30-12+1=19\), donc
\(\frac{19}{2}(38+92)=\frac{19}{2}\times 130=19\times 65=1235\).
Exercice 8 — Traduire puis calculer \(\sum_{k=0}^{10}(9-2k)\).
Correction rapide. Premier terme : \(9\) (pour \(k=0\)), dernier terme : \(9-2\times 10=-11\), nombre de termes : \(11\).
Somme : \(\frac{11}{2}(9-11)=\frac{11}{2}\times(-2)=-11\).
Exercice 9 — Une somme vaut \(S_n=210\) avec \(u_1=5\) et \(u_n=23\). Trouver \(n\).
Correction rapide. \(210=\frac{n}{2}(5+23)=\frac{n}{2}\times 28=14n\), donc \(n=15\).
Exercice 10 — Pour aller plus vite : quelle page consulter pour trouver \(r\) si on ne l’a pas ?
Réponse. Trouver la raison d’une suite arithmétique (et pour une vue d’ensemble : cours sur les suites arithmétiques).
Aller plus loin dans le cocon.
- Besoin d’une vue d’ensemble (définition, propriété, terme général…) : Suites arithmétiques : cours complet.
- Besoin de beaucoup d’entraînement (avec corrigés + PDF) : Exercices corrigés de suites arithmétiques.
- Besoin de trancher arithmétique vs géométrique : Suite arithmétique et géométrique : différences.
FAQ : questions fréquentes
Comment calculer la somme d’une suite arithmétique ?
Repérez le premier et le dernier terme de la somme, comptez le nombre de termes, puis appliquez : \(\text{Somme}=\text{(nombre de termes)}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\).
Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ?
Si c’est \(u_1+\cdots+u_n\), utilisez \(S_n=\frac{n}{2}(u_1+u_n)\). Si c’est \(u_p+\cdots+u_q\), utilisez \(\frac{q-p+1}{2}(u_p+u_q)\). L’erreur la plus fréquente est d’oublier le \(+1\) dans \(q-p+1\).
Comment utiliser ∑ ?
\(\sum_{k=1}^{n}u_k\) signifie \(u_1+u_2+\cdots+u_n\). Commencez par traduire la somme, puis calculez le premier terme (en remplaçant \(k\) par la borne de départ) et le dernier terme (en remplaçant \(k\) par la borne d’arrivée).
Quelle est la propriété d’une suite arithmétique ?
La différence entre deux termes consécutifs est constante : \(u_{n+1}-u_n=r\). Pour la définition complète, les formules de \(u_n\) et les méthodes d’identification : cours sur les suites arithmétiques.
Cours particuliers (premium accessible). Si votre objectif est de gagner en méthode (et en points) sur les suites, nous accompagnons des élèves de lycée et de début de prépa avec un travail très structuré : diagnostic, protocole de résolution, puis automatisation sur exercices types. Vous pouvez explorer nos ressources du cocon, puis nous contacter via Excellence Maths.
