Vous cherchez un exercice d’équation différentielle (avec corrigé) pour réviser efficacement ? Vous trouverez ici une sélection d’exercices corrigés et progressifs, du niveau Terminale au niveau Prépa, avec une méthode claire pour savoir “quoi faire” selon le type d’équation.
Pour compléter vos révisions (cours + méthodes détaillées), vous pouvez aussi consulter :
Ressources associées (cours & méthodes).
Comment aborder une équation différentielle (méthode express)
Définition (très courte). Une équation différentielle relie une fonction inconnue \(y\) à ses dérivées (par exemple \(y^{\prime}(x)\) ou \(y^{\prime\prime}(x)\)).
Exemples classiques :
- \(y^{\prime}(x)=ay(x)\) (ordre 1 homogène)
- \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\) (ordre 1 linéaire, coefficients éventuellement variables)
- \(y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=0\) (ordre 2 homogène à coefficients constants)
| Type | Forme typique | Réflexe | Aller plus loin |
|---|---|---|---|
| Ordre 1 (linéaire) |
\(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\) (cas particulier : \(a,b\) constants) |
Facteur intégrant / variation de la constante \(y(x)=e^{\int a(x)\,dx}\Big(C+\int b(x)e^{-\int a(x)\,dx}\,dx\Big)\) |
Ordre 1 : cours & méthodes |
| Ordre 2 (homogène) | \(y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=0\) |
Résoudre l’équation caractéristique \(r^2+pr+q=0\) |
Ordre 2 : cours |
| Ordre 2 (avec second membre) | \(y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=g(x)\) |
\(y=y_h+y_p\) (homogène + particulière) Attention aux cas de résonance |
Solution particulière (ordre 2) |
Méthode express : Terminale (ordre 1)
But en Terminale : reconnaître le modèle et écrire rapidement la solution générale, puis utiliser la condition initiale.
- Cas 1 — homogène : si \(y^{\prime}(x)=ay(x)\), alors \(y(x)=Ce^{ax}\).
- Cas 2 — second membre constant : si \(y^{\prime}(x)=ay(x)+b\) avec \(a\neq 0\), alors \(y(x)=-\frac{b}{a}+Ce^{ax}\).
- Cas 3 — second membre simple : si \(y^{\prime}(x)=ay(x)+f(x)\) (avec \(a\) constant), on peut soit chercher une particulière adaptée à \(f(x)\), soit utiliser directement la méthode de l’ordre 1 (facteur intégrant).
Pour les exercices et la méthode complète (y compris \(a(x)\) en Prépa) : Équation différentielle d’ordre 1.
Méthode express : Prépa (ordre 1 à coefficients variables + ordre 2)
Ordre 1 linéaire (Prépa) : pour \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\), posez \(A(x)=\int a(x)\,dx\). Une écriture efficace de la solution générale est :
\(y(x)=e^{A(x)}\Big(C+\int b(x)e^{-A(x)}\,dx\Big)\).
Ordre 2 homogène : pour \(y^{\prime\prime}(x)+py^{\prime}(x)+qy(x)=0\), résolvez \(r^2+pr+q=0\) :
- Racines réelles distinctes \(r_1,r_2\) : \(y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
- Racine double \(r\) : \(y(x)=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
- Racines complexes \(\alpha\pm i\beta\) : \(y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big)\).
Ordre 2 avec second membre : on cherche \(y=y_h+y_p\). La forme de \(y_p\) dépend de \(g(x)\) ; en cas de résonance, on multiplie souvent l’essai par \(x\) (ou \(x^2\) si besoin).
Pour les détails et plus d’exercices : Ordre 2 et Solution particulière (ordre 2).
Appliquer une condition initiale (problème de Cauchy)
Problème de Cauchy. On appelle “problème de Cauchy” une équation différentielle accompagnée de condition(s) initiale(s) en un point \(x_0\).
- Ordre 1 : on impose par exemple \(y(x_0)=y_0\) (cela fixe la constante \(C\)).
- Ordre 2 : on impose en général \(y(x_0)=y_0\) et \(y^{\prime}(x_0)=y_1\) (cela fixe \(C_1\) et \(C_2\)).
Concrètement, on écrit d’abord la solution générale, puis on remplace \(x\) par \(x_0\) (et on calcule \(y^{\prime}(x_0)\) si nécessaire) pour déterminer les constantes.
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Si les équations différentielles vous posent problème (méthode, rédaction, exercices type bac/DS/colle), nous pouvons vous proposer des cours particuliers sur mesure (Terminale & Prépa). Contactez Excellence Maths.
Exercices corrigés niveau Terminale (ordre 1)
Ces exercices correspondent aux situations les plus fréquentes au lycée : équations du type \(y^{\prime}(x)=ay(x)\) et \(y^{\prime}(x)=ay(x)+b\), avec condition initiale. Pour une méthode plus détaillée (et davantage d’exemples), voir : Équation différentielle d’ordre 1 (cours & méthodes).
Série A — Résoudre \(y^{\prime}(x)=ay(x)\) (bases + condition initiale)
Exercice A1
Résoudre \(y^{\prime}(x)=2y(x)\) avec \(y(0)=3\).
Correction. L’équation est de la forme \(y^{\prime}(x)=ay(x)\) avec \(a=2\). La solution générale est \(y(x)=Ce^{2x}\). Avec \(y(0)=3\), on obtient \(C=3\). Donc \(y(x)=3e^{2x}\).
Exercice A2
Résoudre \(y^{\prime}(x)=-3y(x)\) avec \(y(1)=2\).
Correction. Solution générale : \(y(x)=Ce^{-3x}\). Puis \(y(1)=2\) donne \(Ce^{-3}=2\), donc \(C=2e^3\). Ainsi \(y(x)=2e^{3-3x}\).
Série B — Résoudre \(y^{\prime}(x)=ay(x)+b\) (second membre constant)
Exercice B1
Résoudre \(y^{\prime}(x)=3y(x)-6\) avec \(y(0)=1\).
Correction. On cherche une solution particulière constante \(y_p\). Si \(y_p\) est constante, alors \(y_p^{\prime}=0\) et l’équation donne \(0=3y_p-6\), donc \(y_p=2\).
La solution générale est alors \(y(x)=2+Ce^{3x}\). Avec \(y(0)=1\), on a \(1=2+C\) donc \(C=-1\). Finalement \(y(x)=2-e^{3x}\).
Exercice B2
Résoudre \(y^{\prime}(x)=-2y(x)+4\) avec \(y(0)=0\).
Correction. Particulière constante : \(0=-2y_p+4\) donc \(y_p=2\). Solution générale : \(y(x)=2+Ce^{-2x}\). Avec \(y(0)=0\) : \(0=2+C\) donc \(C=-2\). Ainsi \(y(x)=2-2e^{-2x}\).
Série C — Vérifier qu’une fonction est solution + interprétation
Exercice C1
Vérifier que \(y(x)=e^{2x}\) est solution de \(y^{\prime}(x)-2y(x)=0\).
Correction. On calcule \(y^{\prime}(x)=2e^{2x}\). Alors \(y^{\prime}(x)-2y(x)=2e^{2x}-2e^{2x}=0\). Donc \(y\) est bien solution.
Exercice C2
On considère \(y^{\prime}(x)=y(x)+x\). Vérifier que \(y_p(x)=-x-1\) est une solution particulière.
Correction. On a \(y_p^{\prime}(x)=-1\) et \(y_p(x)+x=(-x-1)+x=-1\). Donc \(y_p^{\prime}(x)=y_p(x)+x\) : c’est bien une solution particulière.
Mini “type bac” (format sujet court)
Exercice Bac
Résoudre \(y^{\prime}(x)=-y(x)+e^{x}\) avec \(y(0)=0\).
Correction (idée attendue). On cherche une particulière sous la forme \(y_p(x)=Ae^{x}\). Alors \(y_p^{\prime}(x)=Ae^{x}\) et l’équation donne \(Ae^{x}=-Ae^{x}+e^{x}\), donc \(2A=1\) et \(A=\frac{1}{2}\).
Pour l’homogène \(y^{\prime}(x)=-y(x)\), on a \(y_h(x)=Ce^{-x}\). Solution générale : \(y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+Ce^{-x}\). Avec \(y(0)=0\) : \(\frac{1}{2}+C=0\), donc \(C=-\frac{1}{2}\). Finalement \(y(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\).
Exercices corrigés niveau Prépa : ordre 1 (coefficients variables) & ordre 2
En Prépa, on rencontre : (i) des équations d’ordre 1 avec coefficients non constants (méthode du facteur intégrant / variation de la constante), et (ii) des équations d’ordre 2 à coefficients constants. Pour la méthode d’ordre 1 (Terminale & Prépa), voir : Équation différentielle d’ordre 1.
Ordre 1 (coefficient non constant) : variation de la constante
Exercice P0
Résoudre \(y^{\prime}(x)=2xy(x)+e^{x^2}\) avec \(y(0)=1\).
Correction. On réécrit l’équation sous la forme linéaire :
\(y^{\prime}(x)-2xy(x)=e^{x^2}\).
On prend comme facteur intégrant \(\mu(x)=e^{\int -2x\,dx}=e^{-x^2}\).
Alors \((\mu y)^{\prime}=\mu\big(y^{\prime}-2xy\big)\), donc \((e^{-x^2}y(x))^{\prime}=e^{-x^2}\cdot e^{x^2}=1\).
On intègre : \(e^{-x^2}y(x)=x+C\), donc \(y(x)=(x+C)e^{x^2}\).
Condition initiale : \(y(0)=1\) donne \(C=1\).
Finalement \(y(x)=(x+1)e^{x^2}\).
À retenir. En ordre 1 linéaire \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\), le facteur intégrant (variation de la constante) est un outil central en Prépa.
Pour un cours complet + d’autres exercices : Équation différentielle d’ordre 1.
Recollement de solutions : résoudre “par morceaux” (avec une astuce)
Exercice R1
On cherche une fonction \(y\) définie sur \(\mathbb{R}\), continue en \(0\), telle que :
- pour x < 0 : \(y^{\prime}(x)=y(x)\)
- pour x > 0 : \(y^{\prime}(x)=2y(x)\)
- et \(y(0)=1\).
Déterminer \(y(x)\) pour tout \(x\). Peut-on avoir une solution dérivable en \(0\) ?
Correction (astuce). On traite l’équation comme deux problèmes de Cauchy, l’un sur x < 0, l’autre sur x > 0, avec la même donnée \(y(0)=1\) (continuité).
Pour x < 0 : \(y^{\prime}(x)=y(x)\) donc \(y(x)=C_-e^{x}\). Avec \(y(0)=1\) : \(C_-=1\). Donc \(y(x)=e^{x}\) pour x < 0.
Pour x > 0 : \(y^{\prime}(x)=2y(x)\) donc \(y(x)=C_+e^{2x}\). Avec \(y(0)=1\) : \(C_+=1\). Donc \(y(x)=e^{2x}\) pour x > 0.
Conclusion : la fonction qui convient est \(y(x)=e^{x}\) pour x < 0, \(y(0)=1\), et \(y(x)=e^{2x}\) pour x > 0.
Astuce “vérif rapide” pour la dérivabilité en 0 : si \(y\) était dérivable en \(0\), on aurait \(y^{\prime}(0^-)=y(0)=1\) (car à gauche \(y^{\prime}=y\)) et \(y^{\prime}(0^+)=2y(0)=2\) (car à droite \(y^{\prime}=2y\)), impossible. Donc pas de solution dérivable en \(0\).
Ordre 2 homogène (coefficients constants) : équation caractéristique
Pour l’ordre 2, on commence par résoudre l’équation caractéristique \(r^2+pr+q=0\), puis on applique les conditions initiales. Pour une méthode détaillée : Équation différentielle d’ordre 2.
Exercice P1
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)-3y^{\prime}(x)+2y(x)=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y^{\prime}(0)=0\).
Correction. Équation caractéristique : \(r^2-3r+2=0\), donc \((r-1)(r-2)=0\). Racines \(r_1=1\) et \(r_2=2\).
Solution générale : \(y(x)=Ae^{x}+Be^{2x}\). Alors \(y^{\prime}(x)=Ae^{x}+2Be^{2x}\).
Conditions initiales : \(y(0)=A+B=1\) et \(y^{\prime}(0)=A+2B=0\). On en déduit \(B=-1\) puis \(A=2\).
Donc \(y(x)=2e^{x}-e^{2x}\).
Exercice P2
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)-2y^{\prime}(x)+y(x)=0\) avec \(y(0)=0\) et \(y^{\prime}(0)=1\).
Correction. Équation caractéristique : \(r^2-2r+1=0\), soit \((r-1)^2=0\). Racine double \(r=1\).
Solution générale : \(y(x)=(A+Bx)e^{x}\).
Avec \(y(0)=A=0\), on a \(y(x)=Bxe^{x}\). Ensuite \(y^{\prime}(x)=B(1+x)e^{x}\), donc \(y^{\prime}(0)=B=1\). Finalement \(y(x)=xe^{x}\).
Exercice P3
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)+y(x)=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y^{\prime}(0)=0\).
Correction. Équation caractéristique : \(r^2+1=0\), donc \(r=\pm i\).
Solution réelle générale : \(y(x)=A\cos(x)+B\sin(x)\). Conditions : \(y(0)=A=1\) et \(y^{\prime}(x)=-A\sin(x)+B\cos(x)\), donc \(y^{\prime}(0)=B=0\). Ainsi \(y(x)=\cos(x)\).
Exercice P4
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)-y(x)=0\) avec \(y(0)=0\) et \(y^{\prime}(0)=2\).
Correction. Équation caractéristique : \(r^2-1=0\), racines \(1\) et \(-1\). Solution générale : \(y(x)=Ae^{x}+Be^{-x}\).
Conditions : \(y(0)=A+B=0\). De plus \(y^{\prime}(x)=Ae^{x}-Be^{-x}\), donc \(y^{\prime}(0)=A-B=2\).
On obtient \(A=1\) et \(B=-1\), donc \(y(x)=e^{x}-e^{-x}\).
Focus méthode : trouver une solution particulière (avec second membre)
Dans un exercice d’équation différentielle “avec second membre”, la difficulté est souvent de choisir la bonne forme pour \(y_p\). Ici, on s’entraîne sur 3 cas types. Pour une méthode complète (table de formes + résonance + entraînement guidé), voir : Solution particulière (ordre 2).
Reconnaître la forme du second membre (polynôme / exponentielle / trigonométrie)
Exercice S1 (second membre exponentiel)
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)-y(x)=e^{2x}\).
Correction. Pour l’homogène : \(r^2-1=0\) donc \(y_h(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}\).
On tente une particulière \(y_p(x)=Ae^{2x}\). Alors \(y_p^{\prime\prime}(x)=4Ae^{2x}\), et \(y_p^{\prime\prime}(x)-y_p(x)=(4A-A)e^{2x}=3Ae^{2x}\). On veut \(3Ae^{2x}=e^{2x}\), donc \(A=\frac{1}{3}\).
Solution générale : \(y(x)=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\frac{1}{3}e^{2x}\).
Exercice S2 (résonance trigonométrique)
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)+y(x)=\cos(x)\).
Correction. Homogène : \(r^2+1=0\) donc \(y_h(x)=C_1\cos(x)+C_2\sin(x)\).
Comme \(\cos(x)\) est déjà dans \(y_h\), on est en résonance : on tente \(y_p(x)=Ax\sin(x)\).
On calcule \(y_p^{\prime}(x)=A\sin(x)+Ax\cos(x)\) et \(y_p^{\prime\prime}(x)=2A\cos(x)-Ax\sin(x)\). Alors \(y_p^{\prime\prime}(x)+y_p(x)=2A\cos(x)\).
On veut \(2A\cos(x)=\cos(x)\), donc \(A=\frac{1}{2}\). Ainsi \(y_p(x)=\frac{1}{2}x\sin(x)\) et \(y(x)=C_1\cos(x)+C_2\sin(x)+\frac{1}{2}x\sin(x)\).
Cas de résonance : que faire quand “ça ne marche pas”
Exercice S3 (résonance exponentielle, racine double)
Résoudre \(y^{\prime\prime}(x)-2y^{\prime}(x)+y(x)=e^{x}\).
Correction (idée efficace). Homogène : \((r-1)^2=0\), donc \(y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{x}\).
Comme le second membre est \(e^{x}\) (résonance avec une racine double), on tente \(y_p(x)=Ax^2e^{x}\).
On vérifie (par calcul direct) que \(y_p^{\prime\prime}(x)-2y_p^{\prime}(x)+y_p(x)=2Ae^{x}\). Donc on veut \(2Ae^{x}=e^{x}\), d’où \(A=\frac{1}{2}\).
Solution générale : \(y(x)=(C_1+C_2x)e^{x}+\frac{1}{2}x^2e^{x}\).
3 exercices d’application (du simple au piégeux)
Si ces exercices vous semblent difficiles, c’est normal : la “solution particulière” se maîtrise par entraînement. Pour un entraînement guidé (avec table de formes + variantes), voir : Solution particulière (ordre 2) : méthode & exercices.
Corrigés : rédaction, étapes, points de méthode
Un corrigé “qui rapporte des points” n’est pas seulement juste : il est lisible, structuré et montre que vous maîtrisez la méthode. Voici ce que nous attendons d’un bon corrigé (Terminale comme Prépa).
Comment rédiger proprement (ce qui est attendu)
- Étape 1 : annoncer le type d’équation (ordre, linéaire, homogène/second membre, coefficients constants ou variables).
- Étape 2 : écrire la solution générale clairement (avec constantes).
- Étape 3 : appliquer la/les condition(s) initiale(s) et déterminer les constantes.
- Étape 4 : conclure avec l’expression finale de \(y(x)\).
Où les élèves se trompent le plus (diagnostic rapide)
Piège classique. En ordre 2, on oublie que \(y(0)\) et \(y^{\prime}(0)\) fixent deux constantes. Il faut donc toujours calculer \(y^{\prime}(x)\) proprement avant de remplacer \(x\) par \(0\).
Astuces pour gagner du temps en DS/colle
- Ordre 1 : repérez rapidement le modèle \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\) et appliquez le facteur intégrant.
- Ordre 2 : écrivez l’équation caractéristique dès la première ligne et traitez proprement les cas (racines distinctes, double, complexes).
- Solution particulière : si votre tentative recopie une partie de \(y_h\), multipliez par \(x\) (ou \(x^2\) si résonance plus forte).
Pour une application très fréquente en physique (utile en Prépa), voir : Équation différentielle : circuit RC.
PDF à télécharger : feuille d’exercices + corrigés
Pour réviser “à l’ancienne” (feuille imprimée + corrections), un PDF est idéal : vous faites les exercices au brouillon, puis vous comparez avec le corrigé.
Téléchargement.
| Partie | Contenu | Niveau |
|---|---|---|
| Ordre 1 | Exercices \(y^{\prime}(x)=ay(x)\), \(y^{\prime}(x)=ay(x)+b\) et \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\) + conditions initiales | Terminale → Prépa |
| Ordre 2 homogène | Racines réelles distinctes / double / complexes + conditions initiales | Prépa |
| Second membre | Choix de \(y_p\) + cas de résonance (exos guidés) | Prépa |
| Corrigés | Corrigés détaillés + points méthode + conseils de rédaction | Tous niveaux |
FAQ : questions fréquentes sur les exercices d’ED
C’est quoi une équation différentielle, en une phrase ?
C’est une équation où l’inconnue est une fonction \(y\), reliée à ses dérivées (par exemple \(y^{\prime}\) ou \(y^{\prime\prime}\)). Pour une explication complète : cours sur les équations différentielles.
Comment savoir si je suis en ordre 1 ou en ordre 2 ?
Regardez la dérivée la plus “haute” : si l’équation contient \(y^{\prime}\) mais pas \(y^{\prime\prime}\), c’est ordre 1 ; si elle contient \(y^{\prime\prime}\), c’est ordre 2.
Quelle est la méthode la plus rapide en ordre 1 ?
Si vous reconnaissez \(y^{\prime}(x)=ay(x)\), alors \(y(x)=Ce^{ax}\). Plus généralement, pour \(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)\), la méthode du facteur intégrant (variation de la constante) est la bonne approche. Voir : équation différentielle d’ordre 1.
En ordre 2, comment démarre-t-on un exercice ?
On commence par l’équation homogène : on résout l’équation caractéristique associée, puis on applique les conditions initiales si elles sont données. Détails : équation différentielle d’ordre 2.
Solution générale vs solution particulière : quelle différence ?
La solution générale regroupe toutes les solutions (avec des constantes). Une solution particulière est une solution “spécifique”, très utile quand il y a un second membre. Voir : solution particulière (ordre 2).
Je comprends la méthode, mais je perds des points : pourquoi ?
Souvent à cause de la rédaction (constantes oubliées, condition(s) initiale(s) mal appliquée(s), dérivée mal calculée). Relisez la section Corrigés : rédaction & points méthode, puis refaites 2 à 3 exercices par type.
Vous proposez un accompagnement si je bloque sur ce chapitre ?
Oui : nous proposons des cours particuliers (lycée et prépa) avec une méthode structurée et exigeante. Écrivez-nous ici : page de contact.
