Tu cherches un exercice d’équation différentielle avec corrigé pour réviser efficacement ? Tu trouveras ici 20 exercices corrigés et progressifs, du niveau Terminale au niveau Prépa, avec une méthode claire pour savoir quoi faire selon le type d’équation.
Pour compléter tes révisions (cours + méthodes détaillées), consulte le cours complet sur les équations différentielles.
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- Cours complet sur les équations différentielles (vue d’ensemble)
- Résoudre une équation différentielle d’ordre 1
- Équation différentielle d’ordre 2 : cours et méthode
- Solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2
- → Exercices corrigés d’équations différentielles + PDF — tu es ici
- Circuit RC et équation différentielle (Terminale)
Comment utiliser cette page
- Tu prépares le bac ? → Séries A, B, C + exercices type bac
- Tu es en BTS ? → Exercices BTS (en fin de section Terminale)
- Tu es en prépa ? → Ordre 1 à coefficients variables + ordre 2
- Tu veux bosser les solutions particulières ? → Focus second membre (résonance incluse)
- Tu perds des points en rédaction ? → Conseils rédaction DS/colle
Quel type d’équation ? (diagnostic rapide avant de commencer)
Avant de te lancer dans un exercice, identifie le type d’équation pour choisir la bonne méthode. Le tableau ci-dessous t’oriente en quelques secondes — les cours détaillés sont sur les pages dédiées.
| Type | Tu vois… | Réflexe | Cours détaillé |
|---|---|---|---|
| Ordre 1 (Terminale) | \(y^\prime = ay + b\) avec \(a, b\) constants | Particulière constante + exponentielle | Résoudre une ED d’ordre 1 |
| Ordre 1 (Prépa) | \(y^\prime + a(x)\,y = b(x)\) avec \(a(x)\) variable | Facteur intégrant / variation de la constante | Résoudre une ED d’ordre 1 |
| Ordre 2 (homogène) | \(y^{\prime\prime} + py^\prime + qy = 0\) | Équation caractéristique \(r^2 + pr + q = 0\) | ED d’ordre 2 |
| Ordre 2 (second membre) | \(y^{\prime\prime} + py^\prime + qy = g(x)\) | \(y = y_h + y_p\) (attention à la résonance) | Solution particulière d’une ED d’ordre 2 |
S’il y a une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) (problème de Cauchy) : résous d’abord l’équation en gardant la constante \(C\), puis détermine \(C\) à la fin.
Exercices corrigés niveau Terminale (ordre 1)
Ces exercices correspondent aux situations les plus fréquentes au lycée : équations du type \(y^\prime(x) = ay(x)\) et \(y^\prime(x) = ay(x) + b\), avec condition initiale. Pour une méthode plus détaillée, voir : résoudre une équation différentielle d’ordre 1 (cours et méthodes).
Série A — Résoudre \(y^\prime(x) = ay(x)\) (bases + condition initiale)
Exercice A1. Résoudre \(y^\prime(x) = 2y(x)\) avec \(y(0) = 3\).
▶ Voir la correction
L’équation est de la forme \(y^\prime(x) = ay(x)\) avec \(a = 2\). La solution générale est \(y(x) = Ce^{2x}\). Avec \(y(0) = 3\), on obtient \(C = 3\). Donc \(y(x) = 3e^{2x}\).
Exercice A2. Résoudre \(y^\prime(x) = -3y(x)\) avec \(y(1) = 2\).
▶ Voir la correction
Solution générale : \(y(x) = Ce^{-3x}\). Puis \(y(1) = 2\) donne \(Ce^{-3} = 2\), donc \(C = 2e^3\). Ainsi \(y(x) = 2e^{3 - 3x}\).
Série B — Résoudre \(y^\prime(x) = ay(x) + b\) (second membre constant)
Exercice B1. Résoudre \(y^\prime(x) = 3y(x) - 6\) avec \(y(0) = 1\).
▶ Voir la correction
On cherche une solution particulière constante \(y_p\). Si \(y_p\) est constante, alors \(y_p^\prime = 0\) et l’équation donne \(0 = 3y_p - 6\), donc \(y_p = 2\).
La solution générale est alors \(y(x) = 2 + Ce^{3x}\). Avec \(y(0) = 1\), on a \(1 = 2 + C\) donc \(C = -1\). Finalement \(y(x) = 2 - e^{3x}\).
Exercice B2. Résoudre \(y^\prime(x) = -2y(x) + 4\) avec \(y(0) = 0\).
▶ Voir la correction
Particulière constante : \(0 = -2y_p + 4\) donc \(y_p = 2\). Solution générale : \(y(x) = 2 + Ce^{-2x}\). Avec \(y(0) = 0\) : \(0 = 2 + C\) donc \(C = -2\). Ainsi \(y(x) = 2 - 2e^{-2x}\).
Série C — Vérifier qu’une fonction est solution + interprétation
Exercice C1. Vérifier que \(y(x) = e^{2x}\) est solution de \(y^\prime(x) - 2y(x) = 0\).
▶ Voir la correction
On calcule \(y^\prime(x) = 2e^{2x}\). Alors \(y^\prime(x) - 2y(x) = 2e^{2x} - 2e^{2x} = 0\). Donc \(y\) est bien solution.
Exercice C2. On considère \(y^\prime(x) = y(x) + x\). Vérifier que \(y_p(x) = -x - 1\) est une solution particulière.
▶ Voir la correction
On a \(y_p^\prime(x) = -1\) et \(y_p(x) + x = (-x - 1) + x = -1\). Donc \(y_p^\prime(x) = y_p(x) + x\) : c’est bien une solution particulière.
Exercices type bac (format sujet court)
Exercice Bac 1. Résoudre \(y^\prime(x) = -y(x) + e^{x}\) avec \(y(0) = 0\).
▶ Voir la correction
On cherche une particulière sous la forme \(y_p(x) = Ae^{x}\). Alors \(y_p^\prime(x) = Ae^{x}\) et l’équation donne \(Ae^{x} = -Ae^{x} + e^{x}\), donc \(2A = 1\) et \(A = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Pour l’homogène \(y^\prime(x) = -y(x)\), on a \(y_h(x) = Ce^{-x}\). Solution générale : \(y(x) = \displaystyle\frac{1}{2}e^{x} + Ce^{-x}\). Avec \(y(0) = 0\) : \(\displaystyle\frac{1}{2} + C = 0\), donc \(C = -\displaystyle\frac{1}{2}\). Finalement \(y(x) = \displaystyle\frac{1}{2}e^{x} - \displaystyle\frac{1}{2}e^{-x}\).
Exercice Bac 2. On modélise la température \(T(t)\) d’un objet plongé dans un milieu ambiant à 20 °C par l’équation : \(T^\prime(t) = -0{,}1\,(T(t) - 20)\), avec \(T(0) = 80\). Déterminer \(T(t)\) et sa limite quand \(t \to +\infty\).
▶ Voir la correction
On pose \(u(t) = T(t) - 20\). Alors \(u^\prime(t) = T^\prime(t) = -0{,}1\,u(t)\). C’est une équation homogène : \(u(t) = Ce^{-0{,}1\,t}\).
Donc \(T(t) = 20 + Ce^{-0{,}1\,t}\). Avec \(T(0) = 80\) : \(80 = 20 + C\), soit \(C = 60\).
Solution : \(T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1\,t}\).
Limite : \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} T(t) = 20\) (l’objet atteint la température ambiante).
Exercice Bac 3. Résoudre \(y^\prime(x) = 2y(x) + 4x\) avec \(y(0) = 3\).
▶ Voir la correction
Homogène : \(y_h(x) = Ce^{2x}\). On cherche une particulière de la forme \(y_p(x) = ax + b\) : \(y_p^\prime = a\), et l’équation donne \(a = 2(ax + b) + 4x = (2a + 4)x + 2b\). Par identification : \(2a + 4 = 0\) donc \(a = -2\), et \(a = 2b\) donc \(b = -1\).
Solution générale : \(y(x) = Ce^{2x} - 2x - 1\). Avec \(y(0) = 3\) : \(C - 1 = 3\), donc \(C = 4\).
Solution : \(y(x) = 4e^{2x} - 2x - 1\).
Exercices niveau BTS
En BTS, les équations différentielles sont principalement d’ordre 1 à coefficients constants, souvent issues de modèles concrets (circuits électriques, cinétique chimique, économie).
Exercice BTS 1. La charge \(q(t)\) d’un condensateur vérifie \(q^\prime(t) + 5q(t) = 10\) avec \(q(0) = 0\). Déterminer \(q(t)\) et la valeur de \(q\) en régime permanent.
▶ Voir la correction
Particulière constante : \(0 + 5q_p = 10\), donc \(q_p = 2\). Homogène : \(q_h(t) = Ce^{-5t}\). Solution générale : \(q(t) = 2 + Ce^{-5t}\).
Avec \(q(0) = 0\) : \(0 = 2 + C\), donc \(C = -2\).
Solution : \(q(t) = 2 - 2e^{-5t} = 2(1 - e^{-5t})\).
En régime permanent : \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} q(t) = 2\).
Exercice BTS 2. On étudie l’évolution d’une concentration \(C(t)\) vérifiant \(C^\prime(t) = -0{,}2\,C(t) + 3\) avec \(C(0) = 0\). Calculer \(C(t)\), puis déterminer le temps \(t\) pour lequel \(C(t) = 10\).
▶ Voir la correction
Particulière constante : \(0 = -0{,}2\,C_p + 3\), donc \(C_p = 15\). Solution générale : \(C(t) = 15 + Ke^{-0{,}2\,t}\). Avec \(C(0) = 0\) : \(K = -15\).
Solution : \(C(t) = 15(1 - e^{-0{,}2\,t})\).
Pour \(C(t) = 10\) : \(1 - e^{-0{,}2\,t} = \displaystyle\frac{2}{3}\), soit \(e^{-0{,}2\,t} = \displaystyle\frac{1}{3}\), d’où \(t = \displaystyle\frac{\ln 3}{0{,}2} = 5\ln 3 \approx 5{,}5\).
Exercices corrigés niveau Prépa : ordre 1 (coefficients variables) et ordre 2
En Prépa, on rencontre : (i) des équations d’ordre 1 avec coefficients non constants (méthode du facteur intégrant / variation de la constante), et (ii) des équations d’ordre 2 à coefficients constants. Pour la méthode d’ordre 1 (Terminale et Prépa), voir : résoudre une équation différentielle d’ordre 1.
Ordre 1 (coefficient non constant) : variation de la constante
Exercice P0. Résoudre \(y^\prime(x) = 2xy(x) + e^{x^2}\) avec \(y(0) = 1\).
▶ Voir la correction
On réécrit l’équation sous la forme linéaire :
\(y^\prime(x) - 2xy(x) = e^{x^2}\).
On prend comme facteur intégrant \(\mu(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2}\).
Alors \((\mu y)^\prime = \mu\big(y^\prime - 2xy\big)\), donc \((e^{-x^2}y(x))^\prime = e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1\).
On intègre : \(e^{-x^2}y(x) = x + C\), donc \(y(x) = (x + C)e^{x^2}\).
Condition initiale : \(y(0) = 1\) donne \(C = 1\).
Finalement \(y(x) = (x + 1)e^{x^2}\).
À retenir. En ordre 1 linéaire \(y^\prime(x) = a(x)y(x) + b(x)\), le facteur intégrant (variation de la constante) est un outil central en Prépa.
Pour un cours complet + d’autres exercices : résoudre une équation différentielle d’ordre 1.
Recollement de solutions : résoudre « par morceaux » (avec une astuce)
Exercice R1. On cherche une fonction \(y\) définie sur \(\mathbb{R}\), continue en \(0\), telle que :
- pour \(x\) < \(0\) : \(y^\prime(x) = y(x)\)
- pour \(x\) > \(0\) : \(y^\prime(x) = 2y(x)\)
- et \(y(0) = 1\).
Déterminer \(y(x)\) pour tout \(x\). Peut-on avoir une solution dérivable en \(0\) ?
▶ Voir la correction
On traite l’équation comme deux problèmes de Cauchy, l’un sur \(x\) < \(0\), l’autre sur \(x\) > \(0\), avec la même donnée \(y(0) = 1\) (continuité).
Pour \(x\) < \(0\) : \(y^\prime(x) = y(x)\) donc \(y(x) = C_-e^{x}\). Avec \(y(0) = 1\) : \(C_- = 1\). Donc \(y(x) = e^{x}\) pour \(x\) < \(0\).
Pour \(x\) > \(0\) : \(y^\prime(x) = 2y(x)\) donc \(y(x) = C_+e^{2x}\). Avec \(y(0) = 1\) : \(C_+ = 1\). Donc \(y(x) = e^{2x}\) pour \(x\) > \(0\).
Conclusion : la fonction qui convient est \(y(x) = e^{x}\) pour \(x\) < \(0\), \(y(0) = 1\), et \(y(x) = e^{2x}\) pour \(x\) > \(0\).
Dérivabilité en 0 : si \(y\) était dérivable en \(0\), on aurait \(y^\prime(0^-) = y(0) = 1\) (car à gauche \(y^\prime = y\)) et \(y^\prime(0^+) = 2y(0) = 2\) (car à droite \(y^\prime = 2y\)), impossible. Donc pas de solution dérivable en \(0\).
Ordre 2 homogène (coefficients constants) : équation caractéristique
Pour l’ordre 2, on commence par résoudre l’équation caractéristique \(r^2 + pr + q = 0\), puis on applique les conditions initiales. Pour une méthode détaillée : équation différentielle d’ordre 2.
Exercice P1. Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) - 3y^\prime(x) + 2y(x) = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^\prime(0) = 0\).
▶ Voir la correction
Équation caractéristique : \(r^2 - 3r + 2 = 0\), donc \((r - 1)(r - 2) = 0\). Racines \(r_1 = 1\) et \(r_2 = 2\).
Solution générale : \(y(x) = Ae^{x} + Be^{2x}\). Alors \(y^\prime(x) = Ae^{x} + 2Be^{2x}\).
Conditions initiales : \(y(0) = A + B = 1\) et \(y^\prime(0) = A + 2B = 0\). On en déduit \(B = -1\) puis \(A = 2\).
Donc \(y(x) = 2e^{x} - e^{2x}\).
Exercice P2. Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) - 2y^\prime(x) + y(x) = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y^\prime(0) = 1\).
▶ Voir la correction
Équation caractéristique : \(r^2 - 2r + 1 = 0\), soit \((r - 1)^2 = 0\). Racine double \(r = 1\).
Solution générale : \(y(x) = (A + Bx)e^{x}\).
Avec \(y(0) = A = 0\), on a \(y(x) = Bxe^{x}\). Ensuite \(y^\prime(x) = B(1 + x)e^{x}\), donc \(y^\prime(0) = B = 1\). Finalement \(y(x) = xe^{x}\).
Exercice P3. Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) + y(x) = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^\prime(0) = 0\).
▶ Voir la correction
Équation caractéristique : \(r^2 + 1 = 0\), donc \(r = \pm i\).
Solution réelle générale : \(y(x) = A\cos(x) + B\sin(x)\). Conditions : \(y(0) = A = 1\) et \(y^\prime(x) = -A\sin(x) + B\cos(x)\), donc \(y^\prime(0) = B = 0\). Ainsi \(y(x) = \cos(x)\).
Exercice P4. Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) - y(x) = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y^\prime(0) = 2\).
▶ Voir la correction
Équation caractéristique : \(r^2 - 1 = 0\), racines \(1\) et \(-1\). Solution générale : \(y(x) = Ae^{x} + Be^{-x}\).
Conditions : \(y(0) = A + B = 0\). De plus \(y^\prime(x) = Ae^{x} - Be^{-x}\), donc \(y^\prime(0) = A - B = 2\).
On obtient \(A = 1\) et \(B = -1\), donc \(y(x) = e^{x} - e^{-x}\).
Focus méthode : trouver une solution particulière (avec second membre)
Dans un exercice d’équation différentielle « avec second membre », la difficulté est souvent de choisir la bonne forme pour \(y_p\). Ici, on s’entraîne sur 3 cas types. Pour une méthode complète (table de formes + résonance + entraînement guidé), voir : solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2.
Reconnaître la forme du second membre (polynôme / exponentielle / trigonométrie)
Exercice S1 (second membre exponentiel). Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) - y(x) = e^{2x}\).
▶ Voir la correction
Pour l’homogène : \(r^2 - 1 = 0\) donc \(y_h(x) = C_1e^{x} + C_2e^{-x}\).
On tente une particulière \(y_p(x) = Ae^{2x}\). Alors \(y_p^{\prime\prime}(x) = 4Ae^{2x}\), et \(y_p^{\prime\prime}(x) - y_p(x) = (4A - A)e^{2x} = 3Ae^{2x}\). On veut \(3Ae^{2x} = e^{2x}\), donc \(A = \displaystyle\frac{1}{3}\).
Solution générale : \(y(x) = C_1e^{x} + C_2e^{-x} + \displaystyle\frac{1}{3}e^{2x}\).
Exercice S2 (résonance trigonométrique). Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) + y(x) = \cos(x)\).
▶ Voir la correction
Homogène : \(r^2 + 1 = 0\) donc \(y_h(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)\).
Comme \(\cos(x)\) est déjà dans \(y_h\), on est en résonance : on tente \(y_p(x) = Ax\sin(x)\).
On calcule \(y_p^\prime(x) = A\sin(x) + Ax\cos(x)\) et \(y_p^{\prime\prime}(x) = 2A\cos(x) - Ax\sin(x)\). Alors \(y_p^{\prime\prime}(x) + y_p(x) = 2A\cos(x)\).
On veut \(2A\cos(x) = \cos(x)\), donc \(A = \displaystyle\frac{1}{2}\). Ainsi \(y_p(x) = \displaystyle\frac{1}{2}x\sin(x)\) et \(y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \displaystyle\frac{1}{2}x\sin(x)\).
Cas de résonance : que faire quand « ça ne marche pas »
Exercice S3 (résonance exponentielle, racine double). Résoudre \(y^{\prime\prime}(x) - 2y^\prime(x) + y(x) = e^{x}\).
▶ Voir la correction
Homogène : \((r - 1)^2 = 0\), donc \(y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{x}\).
Comme le second membre est \(e^{x}\) (résonance avec une racine double), on tente \(y_p(x) = Ax^2e^{x}\).
On vérifie (par calcul direct) que \(y_p^{\prime\prime}(x) - 2y_p^\prime(x) + y_p(x) = 2Ae^{x}\). Donc on veut \(2Ae^{x} = e^{x}\), d’où \(A = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Solution générale : \(y(x) = (C_1 + C_2x)e^{x} + \displaystyle\frac{1}{2}x^2e^{x}\).
Corrigés : rédaction, étapes, points de méthode
Un corrigé « qui rapporte des points » n’est pas seulement juste : il est lisible, structuré et montre que tu maîtrises la méthode. Voici ce qui est attendu d’un bon corrigé (Terminale comme Prépa).
Comment rédiger proprement (ce qui est attendu)
- Étape 1 : annoncer le type d’équation (ordre, linéaire, homogène/second membre, coefficients constants ou variables).
- Étape 2 : écrire la solution générale clairement (avec constantes).
- Étape 3 : appliquer la/les condition(s) initiale(s) et déterminer les constantes.
- Étape 4 : conclure avec l’expression finale de \(y(x)\).
Où les élèves se trompent le plus (diagnostic rapide)
Piège classique. En ordre 2, on oublie que \(y(0)\) et \(y^\prime(0)\) fixent deux constantes. Il faut donc toujours calculer \(y^\prime(x)\) proprement avant de remplacer \(x\) par \(0\).
Astuces pour gagner du temps en DS/colle
- Ordre 1 : repère rapidement le modèle \(y^\prime(x) = a(x)y(x) + b(x)\) et applique le facteur intégrant.
- Ordre 2 : écris l’équation caractéristique dès la première ligne et traite proprement les cas (racines distinctes, double, complexes).
- Solution particulière : si ta tentative recopie une partie de \(y_h\), multiplie par \(x\) (ou \(x^2\) si résonance plus forte).
Pour une application très fréquente en physique (utile en Prépa), voir : circuit RC et équation différentielle.
📄 +20 exos corrigés pour t’entraîner — PDF
FAQ : questions fréquentes sur les exercices d’ED
C'est quoi une équation différentielle, en une phrase ?
C’est une équation où l’inconnue est une fonction \(y\), reliée à ses dérivées (par exemple \(y^\prime\) ou \(y^{\prime\prime}\)). Pour une explication complète : cours complet sur les équations différentielles.
Comment savoir si je suis en ordre 1 ou en ordre 2 ?
Regarde la dérivée la plus « haute » : si l’équation contient \(y^\prime\) mais pas \(y^{\prime\prime}\), c’est ordre 1 ; si elle contient \(y^{\prime\prime}\), c’est ordre 2.
Quelle est la méthode la plus rapide en ordre 1 ?
Si tu reconnais \(y^\prime(x) = ay(x)\), alors \(y(x) = Ce^{ax}\). Plus généralement, pour \(y^\prime(x) = a(x)y(x) + b(x)\), la méthode du facteur intégrant (variation de la constante) est la bonne approche. Voir : résoudre une équation différentielle d’ordre 1.
En ordre 2, comment démarre-t-on un exercice ?
On commence par l’équation homogène : on résout l’équation caractéristique associée, puis on applique les conditions initiales si elles sont données. Détails : équation différentielle d’ordre 2.
Solution générale vs solution particulière : quelle différence ?
La solution générale regroupe toutes les solutions (avec des constantes). Une solution particulière est une solution « spécifique », très utile quand il y a un second membre. Voir : solution particulière d’une équation différentielle d’ordre 2.
Je comprends la méthode, mais je perds des points : pourquoi ?
Souvent à cause de la rédaction (constantes oubliées, conditions initiales mal appliquées, dérivée mal calculée). Relis la section Corrigés : rédaction et points méthode, puis refais 2 à 3 exercices par type.
Que faire si je bloque sur ce chapitre ?
Tu peux demander un accompagnement personnalisé : nous proposons des cours particuliers (lycée et prépa) avec une méthode structurée et exigeante. Découvre nos cours particuliers en ligne.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises les exercices d’équations différentielles ? Approfondis avec les cours détaillés du cocon :
- Équations différentielles : cours complet + méthodes
- Résoudre une équation différentielle d’ordre 1
- Équation différentielle d’ordre 2 : résoudre pas à pas
- Solution particulière d’une ED d’ordre 2
- Circuit RC et équation différentielle (Terminale)
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths, dispensés par des professeurs diplômés de Polytechnique, Centrale et Mines.
