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Le sujet BCE Mathématiques B/L 2026, conçu par ESSEC BS et HEC Paris, se compose d’un exercice de probabilités et d’un problème d’algèbre linéaire structuré en quatre parties. L’épreuve dure quatre heures, sans calculatrice ni document autorisé (seule la règle graduée est permise). L’exercice, classique dans sa facture, étudie la transformation \(Y = X^2 + 1\) d’une loi normale centrée réduite et débouche sur le calcul de plusieurs intégrales généralisées. Le problème, nettement plus ambitieux, part du produit vectoriel dans \(\mathbb{R}^3\) pour construire l’exponentielle d’une matrice antisymétrique et caractériser la rotation associée — un parcours dont la difficulté croît sensiblement au fil des parties.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice (Q1–Q10) | Loi normale et variable \(Y = X^2 + 1\) | Accessible à Élevé | Densité, fonction de répartition, intégrales généralisées |
| Problème — Partie I (Q1–Q5) | Produit vectoriel : calculs et propriétés | Accessible | Bilinéarité, antisymétrie, sous-espaces vectoriels |
| Problème — Partie II (Q6–Q9) | Endomorphisme \(f\) et projection orthogonale | Élevé | Matrice antisymétrique, valeurs propres, diagonalisation |
| Problème — Partie III (Q10–Q11) | Formule de Taylor et exponentielle de matrice | Élevé à Très élevé | Reste intégral, séries de cos et sin, exp(M) |
| Problème — Partie IV (Q12–Q15) | Rotation dans \(\mathbb{R}^3\) | Élevé | Base orthonormée, matrice orthogonale |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice (probabilités — 10 questions). On part d’une variable \(X\) suivant la loi normale centrée réduite et on pose \(Y = X^2 + 1\). Les premières questions (Q1–Q4) demandent la densité de \(X\), les propriétés de symétrie de \(\Phi\) (la fonction de répartition de la loi normale) et le calcul explicite de \(F_Y\). Les questions Q5–Q6 conduisent à la densité de \(Y\) et à une première intégrale généralisée. Les questions Q7–Q10 exploitent cette densité pour établir la convergence et la valeur d’intégrales généralisées faisant intervenir \(\displaystyle\frac{e^{-y}}{\sqrt{y}}\) et \(\sqrt{y}\,e^{-y}\), toutes reliées à la valeur \(\Gamma\!\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\).
Problème — Partie I (Q1–Q5). Cette partie installe le produit vectoriel \(x \wedge y\) dans \(\mathbb{R}^3\). On calcule les produits vectoriels des vecteurs de la base canonique, on vérifie sur un exemple numérique la non-associativité du produit vectoriel, puis on établit ses propriétés fondamentales : antisymétrie, bilinéarité, orthogonalité avec les facteurs. La question Q4 caractérise les sous-espaces vectoriels \(E = \{x \in \mathbb{R}^3 : x \wedge w = 0\}\) et \(F = \{x \in \mathbb{R}^3 : x \wedge a = 0\}\) — tous deux de dimension 1. La question Q5 aboutit à la formule du double produit vectoriel : \(x \wedge (y \wedge z) = \langle x,z \rangle y – \langle x,y \rangle z\).
Problème — Partie II (Q6–Q9). On fixe un vecteur unitaire \(u = (p,q,r)\) et on étudie l’endomorphisme \(f(x) = u \wedge x\). On montre que \(f(u) = 0\) (valeur propre 0), on détermine le rang de \(f\) et sa matrice antisymétrique \(M\). L’application \(p(x) = x – \langle u,x \rangle u\) est ensuite étudiée : c’est la projection orthogonale sur le plan \((\mathrm{Vect}(u))^\perp\). Le résultat central est \(M^2 = -P\), qui permet de calculer toutes les puissances de \(M\). La partie se conclut par l’étude de la diagonalisation de \(P\) et \(M\) sur \(\mathbb{R}\).
Problème — Partie III (Q10–Q11). La question Q10 est un bloc d’analyse autonome : on démontre la formule de Taylor avec reste intégral, on l’applique au cosinus pour obtenir la majoration du reste, puis le développement en série entière de \(\cos(x)\). Le développement de \(\sin(x)\) est donné sans démonstration. On en déduit l’identité \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}\, x^{2n-2}}{(2n)!} = \displaystyle\frac{1 – \cos(x)}{x^2}\). La question Q11 injecte les expressions des puissances de \(M\) dans ces séries pour définir \(\exp(M) = I_3 + \sin(1)\,M + (1-\cos(1))\,M^2\).
Problème — Partie IV (Q12–Q15). On introduit l’endomorphisme \(g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3} + \sin(1)\,f + (1-\cos(1))\,f^2\) et une base orthonormée \(\mathcal{U} = (u,v,w)\) vérifiant \(v \wedge w = u\). On calcule successivement \(f(v)\), \(f(w)\), \(f^2(v)\), \(f^2(w)\), puis \(g(u)\), \(g(v)\), \(g(w)\). La matrice \(G\) de \(g\) dans \(\mathcal{U}\) fait apparaître une matrice orthogonale de rotation d’angle 1 radian autour de l’axe \(u\), conclusion élégante de tout le problème.
Notions et chapitres testés
Le sujet couvre un spectre large du programme ENS B/L :
- Probabilités : loi normale centrée réduite, densité de probabilité, fonction de répartition d’une transformée de variable aléatoire, espérance, lien avec les intégrales généralisées et la fonction Gamma.
- Algèbre bilinéaire : produit vectoriel dans \(\mathbb{R}^3\), produit scalaire, orthogonalité, base orthonormée.
- Algèbre linéaire : endomorphismes, noyau, image, rang, projection orthogonale, matrices antisymétriques, puissances de matrices, valeurs propres et diagonalisation.
- Analyse : formule de Taylor avec reste intégral, majoration du reste, développements en série entière de \(\cos\) et \(\sin\), convergence de séries numériques.
- Synthèse algèbre-analyse : exponentielle de matrice construite par série, interprétation géométrique comme rotation.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet est d’une difficulté globalement supérieure à la moyenne des épreuves BCE Maths B/L des cinq dernières années. L’exercice de probabilités reste dans la lignée des sujets habituels : la transformation \(Y = X^2 + 1\) d’une variable normale est un grand classique, et le passage aux intégrales liées à \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\) ne surprendra pas un candidat bien entraîné. Un bon étudiant peut espérer traiter l’intégralité de l’exercice en 45 à 60 minutes.
La vraie sélection se fait dans le problème. Les Parties I et II sont abordables : les calculs de produit vectoriel et la mise en place de l’endomorphisme \(f\) relèvent d’un niveau standard. En revanche, la Partie III (formule de Taylor, séries entières) exige une maîtrise rigoureuse de l’analyse que tous les candidats B/L n’auront pas acquise avec la même solidité. Quant à la Partie IV, elle synthétise algèbre et analyse pour identifier une rotation — un final ambitieux comparable aux questions conclusives des meilleures années ESSEC/HEC.
Par rapport aux sujets 2023 et 2024, la longueur est comparable (un exercice + un problème structuré en plusieurs parties), mais la montée en difficulté est plus raide. Le lien entre exponentielle de matrice et rotation, bien que magnifique sur le plan mathématique, constitue un défi inhabituel pour la filière B/L. Les candidats qui auront travaillé les sujets classiques de produit vectoriel et de séries entières des années précédentes auront un net avantage.
Pièges et points techniques délicats
Exercice Q3–Q4 : Ne pas oublier que \(Y = X^2 + 1 \geq 1\) toujours. Le piège classique est d’écrire \(F_Y(y) = P(X^2 \leq y-1)\) sans vérifier que \(y – 1 \geq 0\). Pour \(y \leq 1\), la probabilité est nulle — et c’est précisément l’objet de Q3. Attention aussi à bien utiliser la symétrie de \(\Phi\) pour passer de \(\Phi(\sqrt{y-1}) – \Phi(-\sqrt{y-1})\) à \(2\Phi(\sqrt{y-1}) – 1\).
Exercice Q5 (densité de Y) : Lorsque tu dérives \(F_Y(y) = 2\Phi(\sqrt{y-1}) – 1\), pense à appliquer correctement la dérivée composée : \(\Phi^\prime(\sqrt{y-1}) \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\). L’oubli du facteur \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y-1}}\) est une erreur fréquente qui fausse toute la suite de l’exercice.
Problème I – Q2(b) : Le produit vectoriel n’est pas associatif. Le sujet demande si \(u \wedge (v \wedge w) = (u \wedge v) \wedge w\) avec \(u=(1,0,2)\), \(v=(2,1,0)\), \(w=(1,1,1)\). Il faut calculer les deux membres séparément et constater qu’ils diffèrent. Ne pas confondre cette propriété avec la bilinéarité, qui elle est vraie.
Problème II – Q6(c) (rang de f) : Le rang de \(f\) se déduit du théorème du rang : \(\dim(\ker f) + \mathrm{rg}(f) = 3\). Puisque \(\ker f = \mathrm{Vect}(u)\) (dimension 1, car \(x \wedge u = 0\) si et seulement si \(x\) est colinéaire à \(u\)), on a \(\mathrm{rg}(f) = 2\). L’erreur serait de confondre le noyau de \(f\) avec celui de \(f^2\).
Problème II – Q9(b) (diagonalisation de M sur ℝ) : Une matrice antisymétrique réelle non nulle de taille 3 a pour valeurs propres réelles uniquement 0. Les deux autres valeurs propres sont complexes conjuguées (\(\pm i\) ici après normalisation). Comme \(M\) n’admet qu’une seule valeur propre réelle avec un espace propre de dimension 1, elle n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).
Problème III – Q10(d) (majoration du reste) : Il faut borner \(\vert \cos^{(n+1)}(t) \vert \leq 1\) et utiliser \(\vert x – t \vert \leq \vert x \vert\) pour \(t\) entre 0 et \(x\). L’intégration donne la borne \(\displaystyle\frac{\vert x \vert^{n+1}}{(n+1)!}\). Attention à ne pas confondre \(\vert x – t \vert^n\) avec \(\vert t \vert^n\).
Problème IV – Q12 (calcul de f(v) et f(w)) : Pour calculer \(f(v) = u \wedge v\) et \(f(w) = u \wedge w\), tu dois utiliser les propriétés cycliques du produit vectoriel dans la base orthonormée directe \((u,v,w)\). Avec \(v \wedge w = u\), les relations cycliques donnent \(u \wedge v = w\) et \(w \wedge u = v\), donc \(u \wedge w = -v\). L’erreur classique est de se tromper de signe sur \(u \wedge w\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice.
- Q1 : Écrire la densité gaussienne standard \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^2/2}\) et tracer la courbe en cloche symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Q3–Q4 : Raisonner par l’événement \(\{Y \leq y\} = \{X^2 + 1 \leq y\} = \{X^2 \leq y-1\}\) et distinguer les cas \(y \leq 1\) et \(y > 1\). Utiliser la symétrie \(\Phi(-t) = 1 – \Phi(t)\) pour simplifier.
- Q5 : Dériver \(F_Y\) en utilisant \(\Phi^\prime = f\) (la densité de la loi normale). La densité de \(Y\) vaut \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi(y-1)}}\, e^{-(y-1)/2}\) pour \(y > 1\).
- Q7 : Effectuer le changement de variable \(y = t^2\) pour transformer l’intégrale en \(2\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{\pi}\).
- Q8 : L’espérance \(E(Y) = E(X^2 + 1) = \mathrm{Var}(X) + (E(X))^2 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2\). Vérifier ensuite par intégration directe avec la densité de \(Y\).
Problème — Partie I.
- Q1 : Appliquer la définition composante par composante. On obtient \(\varepsilon_i \wedge \varepsilon_i = 0\) et la relation cyclique \(\varepsilon_1 \wedge \varepsilon_2 = \varepsilon_3\), etc.
- Q3 : Établir chaque propriété par calcul direct sur les composantes. L’orthogonalité \(\langle x, x \wedge y \rangle = 0\) se vérifie en développant le produit scalaire.
- Q5 : Développer \(x \wedge (y \wedge z)\) composante par composante et identifier le résultat avec \(\langle x,z \rangle y – \langle x,y \rangle z\). Pour \((x \wedge y) \wedge z\), utiliser l’antisymétrie : \((x \wedge y) \wedge z = -z \wedge (x \wedge y) = -(\langle z,y \rangle x – \langle z,x \rangle y) = \langle z,x \rangle y – \langle z,y \rangle x\).
Problème — Partie II.
- Q6 : La linéarité de \(f\) vient de la bilinéarité du produit vectoriel. Calculer \(f(u) = u \wedge u = 0\) donne la valeur propre 0 avec \(\mathrm{Vect}(u)\) comme sous-espace propre.
- Q8 : La relation clé \(f^2(x) = u \wedge (u \wedge x) = \langle u,x \rangle u – \Vert u \Vert^2 x = \langle u,x \rangle u – x = -p(x)\) donne \(M^2 = -P\). En déduire \(M^3 = -M\), \(M^4 = P\), et par récurrence \(M^{2n+1} = (-1)^n M\) et \(M^{2n} = (-1)^n P\) pour \(n \geq 1\).
- Q9 : \(P\) est diagonalisable (projection : valeurs propres 0 et 1). \(M\) n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) (une seule valeur propre réelle, 0, de multiplicité géométrique 1).
Problème — Partie III.
- Q10(a) : Récurrence sur \(n\) avec intégration par parties sur le terme de reste.
- Q10(e) : Montrer que le reste tend vers 0 grâce à la majoration de Q10(d) et au fait classique que \(\displaystyle\frac{\vert x \vert^{n+1}}{(n+1)!} \to 0\).
- Q11 : Factoriser \(M\) et \(M^2\) dans les sommes partielles, reconnaître les séries de \(\sin(1)\) et \(1 – \cos(1)\). En déduire \(\alpha = \sin(1)\) et \(\beta = 1 – \cos(1)\).
Problème — Partie IV.
- Q12–Q13 : \(f(v) = w\), \(f(w) = -v\), puis \(f^2(v) = -v\), \(f^2(w) = -w\).
- Q14 : \(g(u) = u\), \(g(v) = \cos(1)\,v + \sin(1)\,w\), \(g(w) = -\sin(1)\,v + \cos(1)\,w\).
- Q15 : La matrice \(G\) dans \(\mathcal{U}\) est une matrice de rotation d’angle 1 radian autour de \(u\). Le calcul \(G^T G = I_3\) confirme que \(g\) est une isométrie.
Conseils pour les futurs candidats
Ce sujet confirme plusieurs tendances des épreuves BCE B/L qu’il est essentiel d’intégrer dans ta préparation :
- Maîtriser les transformations de variables aléatoires : le passage de \(X\) à \(Y = h(X)\) est un exercice récurrent. Entraîne-toi systématiquement à calculer la fonction de répartition de \(Y\) avant de dériver pour obtenir la densité. Les liens avec les intégrales classiques (\(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)) apparaissent très régulièrement.
- Travailler le produit vectoriel : bien que moins central en B/L qu’en MP, le produit vectoriel dans \(\mathbb{R}^3\) est au programme et peut donner lieu à un problème complet. Retiens la formule du double produit vectoriel \(x \wedge (y \wedge z) = \langle x,z \rangle y – \langle x,y \rangle z\) — elle est la clé de toute la Partie II.
- Consolider l’algèbre linéaire : endomorphismes, noyau, image, rang, projection orthogonale, valeurs propres, puissances de matrices — ces notions forment le socle du problème. La réduction des puissances d’une matrice via une relation de récurrence (ici \(M^3 = -M\)) est une technique incontournable.
- Ne pas négliger la formule de Taylor : la question Q10 est un bloc d’analyse autonome qui ne requiert aucune connaissance du produit vectoriel. C’est un passage obligé pour accéder à l’exponentielle de matrice. Si tu bloques sur la Partie II, passe directement à Q10 : ses premières sous-questions sont abordables indépendamment et bien rémunérées.
- S’entraîner aux problèmes longs et progressifs : le problème comporte 15 questions sur 4 parties. La gestion du temps est cruciale. Commence par sécuriser l’exercice et la Partie I du problème, puis consacre le temps restant aux parties les plus sélectives. Ne reste pas bloqué sur une question intermédiaire au détriment de la suite.
- Comprendre les liens entre algèbre et analyse : l’exponentielle de matrice et son interprétation géométrique comme rotation sont des thèmes de synthèse de plus en plus prisés par les concepteurs. Travaille ce chapitre en profondeur si tu vises les meilleures écoles.
