Qu’est-ce qu’un nombre entier ? C’est la base des mathématiques. Dans ce cours, nous allons définir précisément ce qu’est un nombre entier, distinguer les entiers naturels des entiers relatifs et voir comment les utiliser.
Définition (à retenir) : un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule (sans partie décimale).
- Exemples : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Pas des entiers : 2,5 ; 1/3 ; −7,2
- ℕ : 0, 1, 2, 3, … (entiers naturels) — ℤ : …, −2, −1, 0, 1, 2, … (entiers relatifs)
Exemples :
- \(5\) est un nombre entier.
- \(-12\) est un nombre entier (relatif).
- \(2026\) est un nombre entier.
- \(2,0\) est un nombre entier (car égal à \(2\)).
Contre-exemples (ce ne sont PAS des entiers) :
- \(3,14\) (nombre décimal).
- \(\frac{1}{2}\) (fraction non entière, égale à \(0,5\)).
- \(\sqrt{2}\) (nombre irrationnel).
Qu’est-ce qu’un nombre entier ? Définition simple et claire
Définition intuitive des nombres entiers
Un nombre entier, c’est tout simplement un élément de l’ensemble des nombres que l’on peut écrire sans virgule ni fraction.
Ces nombres te permettent de compter des objets dans une collection finie ou infinie, comme tes livres ou des billes.
Les entiers nuls, positifs et négatifs appartiennent tous à cet ensemble.
Exemples de nombres entiers positifs et négatifs
- Entiers positifs : 1, 2, 3, 4, 5, …
- Entiers négatifs : −1, −2, −3, −4, −5, …
Le zéro (0) est un entier particulier : il n’est ni positif ni négatif, il marque le point de départ entre les deux.
Différence entre entiers naturels et entiers relatifs
Il existe deux grandes catégories d’ensembles en arithmétique : les entiers naturels et les entiers relatifs.
- Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, …
- Entiers relatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Les entiers relatifs élargissent donc les entiers naturels en incluant les nombres négatifs. On peut aussi les relier aux ensembles plus larges des nombres rationnels et réels, étudiés plus tard.
Notations standards (langage mathématique)
- \(\mathbb{N}\) : entiers naturels (selon les conventions : avec ou sans 0).
- \(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs (positifs, nuls, négatifs).
- \(\mathbb{Q}\) : nombres rationnels (fractions \(a/b\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}\) et \(b\neq 0\)).
- \(\mathbb{R}\) : nombres réels (rationnels + irrationnels).
Chaîne d’inclusion : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Opposé de \(a\) : \(-a\) ; valeur absolue : \(|a|\).
Comparer deux entiers revient à utiliser la relation d’ordre \(\leq\) sur \(\mathbb{Z}\).
Liste des nombres entiers : peut-on la donner ?
Les nombres entiers sont les nombres qui s’écrivent sans virgule. On ne peut pas “tout lister” car il y en a une infinité, mais on peut écrire l’ensemble sous forme de suite qui continue des deux côtés :
Entiers relatifs : \(\mathbb{Z}\) = \(\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\)
Entiers naturels : \(\mathbb{N}\) =
\(\{0,1,2,3,\dots\}\)
(selon la convention la plus fréquente, on inclut 0)
À retenir : si un nombre a une partie décimale (ex. 2,5) ou est une fraction (ex. 1/3), ce n’est pas un entier.
Comparer des nombres entiers : techniques simples
Comparer deux nombres entiers facilement
Comparer deux entiers revient à établir une relation d’ordre : on détermine lequel est le plus grand ou le plus petit selon la théorie de l’ordre en mathématiques. Retiens ces règles simples :
- Un positif est toujours supérieur à un négatif : \(3 > -3\).
- Parmi les positifs : plus loin de 0 vers la droite ⇒ plus grand (ex. \(7>4\)).
- Parmi les négatifs : plus proche de 0 ⇒ plus grand (ex. \(-2>-5\)).
Cette relation d’ordre se visualise sur la droite graduée, où chaque élément est placé selon sa valeur.
Utiliser la droite numérique pour mieux comprendre
Règle d’or : plus un nombre est placé à droite, plus il est grand.
Exemple visuel (imaginé) : ← −5 −3 −1 0 2 4 6 → On voit que \(4>2>-1>-3>-5\).
Exercice : comparer 3 et −2. Sur la droite numérique, 3 est plus à droite que −2, donc \(3>-2\).
Encadrer facilement des nombres entiers
Pour exprimer simplement la position d’un entier, on peut l’encadrer entre deux entiers proches :
- Encadrer 17 entre deux dizaines : \(10 < 17 < 20\).
- Encadrer −3 entre deux entiers naturels : \(-4 < -3 < -2\).
L’encadrement est utile en arithmétique pour vérifier des estimations rapides.
Comparer vite deux entiers
- Sur la droite graduée, plus à droite ⇒ plus grand.
- Négatifs : plus proche de 0 ⇒ plus grand (ex. \(-2>-5\)).
- Règle d’ordre : \(a\le b \iff b-a\ge 0\).
Les opérations de base avec les nombres entiers
Pour réussir facilement tes additions et soustractions avec des entiers relatifs, retiens ces propriétés et astuces simples.
Addition et soustraction des entiers relatifs : astuces et règles à retenir
- Deux positifs : on additionne. Ex. \(3+4=7\).
- Deux négatifs : on additionne les valeurs absolues et on met un “−”. Ex. \((-3)+(-4)=-7\).
- Signe différent : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe du plus “loin” de 0. Ex. \((-5)+3=-2\).
- Soustraction : soustraire, c’est additionner l’opposé. Ex. \(4-(-3)=4+3=7\).
Propriété utile
- Associativité : \((3+2)+4=3+(2+4)\)
- Commutativité : \(2+5=5+2\)
Multiplication et division des entiers : méthodes simples
La multiplication et la division suivent des règles de signe simples, étudiées dans toute théorie arithmétique.
| Opération | Signes identiques | Signes différents |
|---|---|---|
| Multiplication | Résultat positif — ex. \((-2)\times(-3)=6\) | Résultat négatif — ex. \(4\times(-2)=-8\) |
| Division | Résultat positif — ex. \((-8)\div(-2)=4\) | Résultat négatif — ex. \((-12)\div 3=-4\) |
Important : le résultat d’une multiplication dépend du signe de chaque élément du calcul.
Comment éviter les erreurs fréquentes ?
- Pense toujours à la règle des signes avant de calculer.
- Utilise des parenthèses pour éviter les confusions (surtout avec les négatifs).
- Contrôle ton résultat à l’aide de la droite numérique quand c’est pertinent.
Exemple : \((-7)-(-2)=(-7)+(+2)=-5\).
Erreurs à éviter
- Oublier les parenthèses sur les négatifs : \(4-(-3)=4+3\).
- Confondre “plus grand en valeur absolue” et “plus grand dans l’ordre”.
- Diviser par un diviseur nul : opération impossible.
Note : la valeur absolue \(|a|\) mesure la distance à 0, pas l’ordre.
Représenter et écrire clairement les nombres entiers
Système de numération décimale : comprendre facilement
Le système que nous utilisons est une notation décimale positionnelle, où chaque chiffre possède une valeur selon sa position : unités, dizaines, centaines, milliers, millions, jusqu’aux milliards.
Exemple : 3 274 signifie : 3 milliers, 2 centaines, 7 dizaines, 4 unités.
Cette notation mathématique universelle facilite la lecture et les calculs.
Écriture des nombres entiers sur une droite graduée
Une droite graduée permet de visualiser la position exacte des entiers et l’ordre croissant. Exemple : ← −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 →
Propriétés importantes des nombres entiers à connaître
Pair ou impair : reconnaître facilement la différence
- Pair : se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Ex. 2, 14, 68, −4…
- Impair : se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9. Ex. 3, 17, −5, 91…
Critères de divisibilité : comment les maîtriser rapidement ?
Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un entier est divisible par un autre sans calcul long.
| Divisible par… | Critère (notation décimale) | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Chiffre des unités pair (0, 2, 4, 6, 8) | 14 → oui |
| 3 | Somme des chiffres multiple de 3 | 123 → 1+2+3=6 → oui |
| 5 | Se termine par 0 ou 5 | 45 → oui |
| 10 | Se termine par 0 | 60 → oui |
Nombres premiers et nombres composés : explications et exemples
- Nombres premiers : entiers positifs ayant exactement deux diviseurs (1 et eux-mêmes). Ex. 2, 3, 5, 7, 11, …
- Nombres composés : entiers positifs ayant plus de deux diviseurs. Ex. 12 (1,2,3,4,6,12), 18 (1,2,3,6,9,18).
À retenir : 1 n’est ni premier ni composé (un seul diviseur).
Exemple : 29 est-il premier ? \(\sqrt{29}\approx 5{,}4\). On teste 2, 3, 5. 29 n’est divisible ni par 2 (impair), ni par 3 (2+9=11), ni par 5 (ne finit pas par 0 ou 5). Donc 29 est premier.
Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier composé s’écrit de manière unique comme produit de facteurs premiers.
Diviser des nombres entiers : méthodes et astuces clés
Comprendre la division euclidienne simplement
La division euclidienne permet de diviser deux entiers : le nombre divisé est le dividende, celui par lequel on divise est le diviseur. On obtient un quotient entier et éventuellement un reste.
Exemple : diviser 17 par 4. \(4\times 4=16\), donc le quotient est 4 et le reste 1. On écrit : \(17=(4\times 4)+1\).
Définition formelle
Pour \(a,b\in\mathbb{Z}\) avec \(b\neq 0\), il existe des entiers uniques \(q\) et \(r\) tels que : \(a=bq+r\quad\text{avec}\quad 0\le r<|b|.\)
Interdit en mathématiques : diviser par un diviseur nul (\(b=0\)).
Quotient et reste : savoir calculer efficacement
- Estimer le quotient (table du diviseur).
- Calculer précisément le produit « diviseur × quotient ».
- Soustraire pour obtenir le reste (doit vérifier \(0\le r<|b|\)).
Ex. \(58\div 7\) : \(7\times 8=56\) donc \(58=(7\times 8)+2\).
Applications concrètes de la division d’entiers
- Partager équitablement : 24 bonbons entre 5 amis ⇒ \(24\div 5=4\) reste 4. Chacun reçoit 4 bonbons, il en reste 4.
- Gestion du temps : 130 minutes en séances de 45 min ⇒ \(130\div 45=2\) reste 40. Deux séances complètes, il reste 40 minutes.
En résumé, les entiers forment le socle des ensembles arithmétiques, liés par des relations logiques et des notations cohérentes. Comprendre leur définition et leurs opposés prépare l’étude des ensembles rationnels puis réels.
Exercices corrigés et ressources pédagogiques sur les nombres entiers
Chaque exercice est accompagné d’une réponse détaillée pour vérifier ta compréhension.
Exercices corrigés sur les nombres entiers
Exercices supplémentaires corrigés sur les nombres entiers
Exercice 1 – Valeur absolue et comparaison
Classer les nombres suivants par ordre croissant : -7, -3, 0, 5, -1.
Correction détaillée
On place les nombres sur une droite graduée :
-7 < -3 < -1 < 0 < 5.
Le classement croissant est donc :
-7, -3, -1, 0, 5.
Astuce : pour comparer des entiers, pense toujours à la droite numérique. Plus on va à droite, plus le nombre est grand.
Exercice 2 – Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de \(157\) par \(12\) : déterminer le quotient et le reste.
Correction détaillée
On cherche à écrire :
\(157 = 12q + r\)
avec \(0 \le r < 12.\)
On effectue la division : \(157 \div 12 = 13\) avec un reste :
\(157 – 12 \times 13 = 157 – 156 = 1.\)
La division euclidienne est donc :
\(157 = 12 \times 13 + 1.\)
Attention : le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. Ici \(r = 1\) satisfait bien \(0 \le r < 12\).
Exercice 3 – Multiples et diviseurs
Déterminer parmi les nombres suivants lesquels sont des multiples de \(6\) : \(18,\; 25,\; 42,\; 55,\; 72.\)
Correction détaillée
Un nombre est multiple de \(6\) s’il est divisible à la fois par \(2\) et par \(3\).
- \(18 = 2 \times 9\) et \(1+8=9\) divisible par 3 → multiple ✔
- \(25\) : impair → pas multiple ✘
- \(42 = 2 \times 21\) et \(4+2=6\) divisible par 3 → multiple ✔
- \(55\) : impair et \(5+5=10\) pas divisible par 3 → pas multiple ✘
- \(72\) : pair et \(7+2=9\) divisible par 3 → multiple ✔
Les multiples de \(6\) sont donc :
\(18,\;42,\;72.\)
Astuce : pour tester si un entier est divisible par 3, il suffit de vérifier si la somme de ses chiffres l’est aussi.
Fiches de cours à télécharger gratuitement (PDF)
- 📥 Fiche résumé « Opérations avec des nombres entiers »
- 📥 Fiche méthode « Critères de divisibilité »
- 📥 Fiche révision « Nombres premiers et composés »
Liens vers des ressources pédagogiques complémentaires
- Exercices interactifs sur les entiers (niveau collège)
- Quiz en ligne sur la comparaison des entiers
- Vidéos explicatives sur les opérations
FAQ — Nombres entiers
Qu’est-ce qu’un nombre entier ?
Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule. Exemples : −4, 0, 7 sont des entiers ; 2,:contentReference[oaicite:7]{index=7}as.
Quels sont les nombres entiers ?
L’ensemble des entiers relatifs se note \(\mathbb{Z}\) et s’écrit : \(\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\).
Quelle différence entre entiers naturels et entiers relatifs ?
Les entiers naturels \(\mathbb{N}\) servent à compter (0, 1, 2, 3, …). Les entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) incluent aussi les négatifs (… −2, −1, 0, 1, 2, …).
Est-ce que 0 est un nombre entier ?
Oui. 0 est un entier (il appartient à \(\mathbb{Z}\)). Et dans la convention la plus utilisée, 0 appartient aussi à \(\mathbb{N}\).
Un nombre négatif peut-il être entier ?
Oui. −3, −12, −1 sont des entiers (ils appartiennent à \(\mathbb{Z}\)). Ce sont simplement des entiers “à gauche de 0” sur la droite graduée.
Un nombre décimal peut-il être entier ?
Si la partie décimale est nulle, oui : 2,0 représente le même nombre que 2. En revanche 2,5 n’est pas un entier.
Qu’est-ce que la valeur absolue d’un entier ?
La valeur absolue mesure la “distance à 0” : la valeur absolue de −7 est 7. Elle sert notamment à comparer des entiers négatifs plus facilement.
Qu’est-ce qu’une division euclidienne ?
Diviser un entier par un autre entier (non nul), c’est écrire : \(a=bq+r\) avec un quotient q et un reste r. Le reste doit être plus petit que le diviseur (c’est le point de contrôle le plus important).
Comment savoir si un entier est multiple d’un autre ?
Un entier a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que \(a=bk\). Exemple : 42 est multiple de 6 car 42 = 6 × 7.
Comment trouver deux entiers consécutifs qui encadrent une racine carrée ?
On compare la racine carrée aux carrés parfaits voisins. Exemple : comme 7² = 49 et 8² = 64, alors √50 est entre 7 et 8.
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