L’ensemble de définition (ou domaine de définition) d’une fonction est l’un des premiers réflexes attendus en DS : si tu te trompes sur \(D_f\), tout le reste peut être faux (tableau de variations, résolution d’équations, étude de signe, etc.).
Dans cette page, tu vas apprendre à déterminer l’ensemble de définition d’une fonction :
- à partir d’une expression (méthode universelle + cas classiques),
- à partir d’un graphique (lecture rigoureuse),
- en évitant les pièges qui font perdre des points,
- avec des exercices corrigés (Seconde → Terminale → bonus prépa).
Si tu veux consolider les bases du chapitre « fonctions », tu peux aussi lire :
- Fonctions en maths — cours complet (page pilier)
- Image et antécédent d’une fonction
- Fonctions en Seconde : cours et méthodes
- Exercices sur les fonctions en Seconde
Définition : qu’appelle-t-on ensemble de définition ?
Définition — Ensemble de définition
On appelle ensemble de définition d’une fonction \(f\) l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels l’expression \(f(x)\) a un sens.
On le note souvent \(D_f\).
Dans un devoir, on attend une réponse en notation d’ensemble (intervalles, union, exclusion d’un point, etc.). Exemples :
- \(D_f = \mathbb{R}\) (domaine = tous les réels)
- \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) (tous les réels sauf 3)
- \(D_f = ]-\infty, 2] \cup ]5, +\infty[\) (deux intervalles)
À retenir : l’ensemble de définition concerne les entrées possibles (les \(x\)). Ne pas confondre avec l’ensemble image (les valeurs prises par \(f(x)\)).
Pour revoir clairement la différence (et les méthodes « image / antécédent »), va sur Image et antécédent d’une fonction.
Concrètement, déterminer \(D_f\) revient à chercher les conditions d’existence. On part du principe que la fonction est définie sur tous les réels (\(\mathbb{R}\)), sauf ceux qui posent problème (les « valeurs interdites »).
Les 4 règles d’or pour trouver l’ensemble de définition
En mathématiques au lycée et dans le supérieur, il n’existe que quatre opérations principales qui restreignent l’ensemble de définition. Mémorise ce tableau, c’est la clé de voûte de ce chapitre.
| Dans l’expression | Contrainte à écrire | Comment on l’utilise |
|---|---|---|
| Une fraction \(\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)}\) | \(B(x) \neq 0\) | Exclure les solutions de \(B(x) = 0\) |
| Une racine paire \(\sqrt{u(x)}\) | \(u(x) \geq 0\) | Résoudre une inéquation |
| Un logarithme \(\ln(u(x))\) | \(u(x)\) > \(0\) | Résoudre une inéquation stricte |
| Composition \(f(g(x))\) | \(x \in D_g\) et \(g(x) \in D_f\) | Travailler « de l’intérieur vers l’extérieur » |
Piège classique : oublier de combiner les contraintes. Quand l’expression contient à la fois une racine et une fraction (par exemple \(\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)), tu dois imposer toutes les conditions simultanément, puis prendre l’intersection des ensembles obtenus.
Méthode étape par étape : comment rédiger ?
Pour obtenir tous les points en contrôle ou aux concours, la rigueur de la rédaction est aussi importante que le résultat. Voici l’algorithme à suivre :
- Identifier la contrainte : repère si ta fonction contient une fraction, une racine ou un logarithme (voir les 4 règles ci-dessus).
- Poser la condition : écris la phrase magique : « La fonction \(f\) est définie si et seulement si… » suivie de l’inéquation.
- Résoudre : isole \(x\). C’est ici que tu fais appel à tes compétences en résolution d’équations ou d’inéquations.
- Conclure : écris l’ensemble \(D_f\) sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles.
Exemple de rédaction type :
Soit \(f(x) = \sqrt{x – 3}\).
Identification : c’est une racine carrée.
Condition : \(f(x)\) existe si et seulement si \(x – 3 \geq 0\).
Résolution : \(x \geq 3\).
Conclusion : \(D_f = [3 ; +\infty[\).
Déterminer Df à partir de la courbe représentative
Lorsqu’on dispose de la courbe représentative d’une fonction, on peut déterminer graphiquement son ensemble de définition en lisant l’ensemble des abscisses des points de la courbe.
Test de la droite verticale
Une valeur \(c\) appartient à \(D_f\) si et seulement si la droite verticale d’équation \(x = c\) coupe la courbe représentative de la fonction.
En d’autres termes : si \(x = c\) coupe la courbe, alors \(c \in D_f\).
Exemple de lecture graphique
Considérons une fonction \(f\) dont la courbe représentative est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
En observant le graphique :
- La courbe commence en \(x = -3\) avec un point plein (●) → \(-3\) est inclus
- La courbe présente une asymptote verticale en \(x = 2\) → \(2\) est exclu
- La courbe se termine en \(x = 5\) avec un point creux (○) → \(5\) est exclu
En lisant les abscisses des points de la courbe, on peut déterminer :
\(D_f = [-3 ; 2[ \cup ]2 ; 5[\)
Ou encore : \(D_f = [-3 ; 5[ \setminus \{2\}\)
Repère les trous, asymptotes verticales et extrémités
Sur un graphique :
- Un trou dans la courbe (point non défini) → exclure cette valeur de \(D_f\)
- Une asymptote verticale en \(x = a\) → exclure \(a\) de \(D_f\)
- Des flèches aux extrémités → la fonction s’étend vers \(-\infty\) ou \(+\infty\)
- Un point plein (●) → la valeur est incluse ; un point creux (○) → la valeur est exclue
La lecture graphique est également essentielle pour déterminer l’image et l’antécédent d’une fonction.
Ensemble de définition d’une fonction composée
Pour les élèves de Terminale et classes préparatoires, il est fréquent de rencontrer des fonctions composées de la forme \((f \circ g)(x) = f(g(x))\).
Règle de composition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’ensembles de définition respectifs \(D_f\) et \(D_g\).
L’ensemble de définition de \(f \circ g\) est :
\(D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}\)
Autrement dit : \(x\) doit appartenir à \(D_g\) et \(g(x)\) doit appartenir à \(D_f\).
Méthode en 3 étapes pour une composée
Pour déterminer \(D_{f \circ g}\) :
- Étape 1 : déterminer \(D_g\) (ensemble de définition de \(g\))
- Étape 2 : déterminer \(D_f\) (ensemble de définition de \(f\))
- Étape 3 : résoudre la double condition : \(x \in D_g\) ET \(g(x) \in D_f\)
Exemple — Composition avec logarithme et racine carrée
Soient \(f(x) = \ln(x)\) et \(g(x) = \sqrt{x – 1}\). Déterminons l’ensemble de définition de \((f \circ g)(x) = \ln(\sqrt{x – 1})\).
Étape 1 : \(g(x) = \sqrt{x – 1}\) est définie lorsque \(x – 1 \geq 0\), donc \(D_g = [1 ; +\infty[\).
Étape 2 : \(f(x) = \ln(x)\) est définie pour \(x\) > \(0\), donc \(D_f = ]0 ; +\infty[\).
Étape 3 : il faut que \(x \in [1 ; +\infty[\) et \(g(x) \in ]0 ; +\infty[\).
Autrement dit : \(\sqrt{x – 1}\) > \(0\).
Cette condition est vérifiée si et seulement si \(x – 1\) > \(0\), soit \(x\) > \(1\).
Attention : bien que \(\sqrt{x – 1}\) soit définie pour \(x = 1\) (on obtient \(\sqrt{0} = 0\)), le logarithme de 0 n’existe pas. Il faut donc exclure \(x = 1\).
Conclusion :
\(D_{f \circ g} = ]1 ; +\infty[\)
Tableau récapitulatif de l’ensemble de définition des fonctions usuelles
Chaque famille de fonctions usuelles possède un ensemble de définition caractéristique. Voici un tableau récapitulatif des fonctions que tu rencontreras du collège à la prépa.
| Fonction | Expression type | Ensemble de définition |
|---|---|---|
| Affine / Linéaire | \(f(x) = ax + b\) | \(\mathbb{R}\) |
| Polynôme (carré, cube) | \(f(x) = x^2\), \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) |
| Inverse | \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| Racine carrée | \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(\mathbb{R}_+\) (ou \([0 ; +\infty[\)) |
| Logarithme népérien | \(f(x) = \ln(x)\) | \(\mathbb{R}_+^*\) (ou \(]0 ; +\infty[\)) |
| Exponentielle | \(f(x) = e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Sinus / Cosinus | \(f(x) = \sin(x)\), \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Tangente | \(f(x) = \tan(x)\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\) |
| Valeur absolue | \(f(x) = |x|\) | \(\mathbb{R}\) |
Exercices corrigés : déterminer Df (progressif)
Voici 8 exercices classés par difficulté croissante. Pour une banque plus large par niveau, va sur :
Niveau Seconde
Exercice 1. Déterminer \(D_f\) pour \(f(x) = \displaystyle\frac{3}{2x – 5}\).
▶ Voir la correction
On impose \(2x – 5 \neq 0\) donc \(x \neq \displaystyle\frac{5}{2}\).
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{5}{2}\right\}\).
Exercice 2. Déterminer \(D_g\) pour \(g(x) = \sqrt{7 – 3x}\).
▶ Voir la correction
On impose \(7 – 3x \geq 0\) donc \(-3x \geq -7\) donc \(x \leq \displaystyle\frac{7}{3}\).
Donc \(D_g = \left]-\infty, \displaystyle\frac{7}{3}\right]\).
Exercice 3. Déterminer \(D_h\) pour \(h(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x + 2}}{x – 1}\).
▶ Voir la correction
- Racine : \(x + 2 \geq 0\) donc \(x \geq -2\).
- Dénominateur : \(x – 1 \neq 0\) donc \(x \neq 1\).
Donc \(D_h = [-2, +\infty[ \;\cap\; (\mathbb{R} \setminus \{1\}) = [-2, 1[ \;\cup\; ]1, +\infty[\).
Niveau Première / Terminale
Exercice 4. Déterminer \(D_f\) pour \(f(x) = \ln(2x – 3)\).
▶ Voir la correction
Il faut \(2x – 3\) > \(0\), donc \(2x\) > \(3\), donc \(x\) > \(\displaystyle\frac{3}{2}\).
Donc \(D_f = \left]\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right[\).
Exercice 5. Déterminer \(D_g\) pour \(g(x) = \sqrt{x^2 – 4x + 3}\).
▶ Voir la correction
On impose \(x^2 – 4x + 3 \geq 0\). Or \(x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)\).
Le produit est positif ou nul si \(x \leq 1\) ou \(x \geq 3\).
Donc \(D_g = ]-\infty, 1] \cup [3, +\infty[\).
Exercice 6. Déterminer \(D_h\) pour \(h(x) = \displaystyle\frac{1}{\ln(x)}\).
▶ Voir la correction
Deux contraintes :
- \(x\) > \(0\) pour que \(\ln(x)\) existe.
- \(\ln(x) \neq 0\) pour ne pas diviser par zéro, donc \(x \neq 1\).
Donc \(D_h = ]0, +\infty[ \;\setminus \{1\} = ]0, 1[ \;\cup\; ]1, +\infty[\).
Bonus prépa (rigueur + compositions)
Exercice 7. Déterminer \(D_f\) pour \(f(x) = \sqrt{\ln(x – 2)}\).
▶ Voir la correction
On combine les contraintes de l’intérieur vers l’extérieur :
- \(x – 2\) > \(0\) pour que \(\ln(x – 2)\) existe, donc \(x\) > \(2\).
- Ensuite racine : \(\ln(x – 2) \geq 0\).
\(\ln(x – 2) \geq 0\) équivaut à \(x – 2 \geq 1\), donc \(x \geq 3\).
Au final, \(D_f = [3, +\infty[\).
Exercice 8. Déterminer \(D_g\) pour \(g(x) = \displaystyle\frac{\ln(x)}{\sqrt{1 – x}}\).
▶ Voir la correction
- \(\ln(x)\) : il faut \(x\) > \(0\).
- \(\sqrt{1 – x}\) au dénominateur : il faut \(1 – x \geq 0\) et \(\sqrt{1 – x} \neq 0\), donc \(1 – x\) > \(0\) (strict), soit \(x\) < \(1\).
Intersection : \(D_g = ]0, 1[\).
Questions fréquentes
Comment définir un ensemble de définition ?
On appelle ensemble de définition (ou domaine de définition) l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels l’expression \(f(x)\) a un sens. On le note en général \(D_f\).
Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?
On part de \(\mathbb{R}\), on repère les opérations sensibles (fraction, racine, logarithme…), on écrit les contraintes (\(\neq 0\), \(\geq 0\), strictement positif…), on résout, puis on prend l’intersection des ensembles obtenus.
Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction polynôme ?
Une fonction polynôme ne comporte ni division, ni racine, ni logarithme : elle est définie pour tout réel. Donc \(D_f = \mathbb{R}\).
Quelle est la différence entre ensemble de définition et ensemble de départ ?
L’ensemble de départ est l’ensemble annoncé dans l’écriture \(f : A \to B\) (ici, \(A\)). L’ensemble de définition est le sous-ensemble de \(A\) où \(f\) est réellement définie.
Pour une application, ces deux ensembles coïncident : toutes les valeurs de l’ensemble de départ ont une image.
Pour une fonction, l’ensemble de définition peut être strictement inclus dans l’ensemble de départ : certaines valeurs peuvent ne pas avoir d’image.
Exemple : \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; x \mapsto \displaystyle\frac{1}{x}\) a pour ensemble de départ \(\mathbb{R}\) mais pour ensemble de définition \(\mathbb{R}^*\) (car \(f(0)\) n’existe pas).
Cette distinction est surtout importante en classes préparatoires et à l’université. Au lycée, on utilise généralement le terme « fonction » de manière simplifiée.
Qu'est-ce que l'ensemble de définition d'une fraction rationnelle ?
Pour une fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)}\), on doit exclure les \(x\) qui annulent le dénominateur : \(B(x) \neq 0\). Le domaine est donc \(\mathbb{R}\) privé de ces valeurs interdites.
Comment lire l'ensemble de définition sur un graphique ?
Il faut lire l’ensemble des abscisses des points de la courbe. Utilise le test de la droite verticale : trace mentalement des droites \(x = c\) et vérifie si elles coupent la courbe. Attention aux points creux (○ = exclu), points pleins (● = inclus) et asymptotes verticales.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la détermination de \(D_f\). Pour approfondir l’étude des fonctions :
- Les fonctions en mathématiques — cours complet
- Image et antécédent d’une fonction
- Représentation graphique d’une fonction
- Tableau de variation d’une fonction
- Fonction inverse
- Fonction logarithme népérien
- Continuité d’une fonction
Tu veux progresser plus vite en maths et arrêter de perdre des points sur des détails de rédaction ? Découvre les cours particuliers en ligne Excellence Maths, dispensés par des professeurs diplômés de Polytechnique, Centrale et Mines.
