Vous cherchez comment trouver la raison d’une suite arithmétique ? La raison (notée \(r\)) est le « pas » constant entre deux termes successifs. Ici, on va droit au but : quelle méthode utiliser selon les données, comment vérifier votre résultat, et quels sont les pièges qui font perdre des points.
Accès rapide.
Raison r : définition & idée clé
La raison r : ce que ça signifie concrètement (différence constante)
Définition. Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout rang \(n\), \(u_{n+1}-u_n=r\). Ce nombre \(r\) s’appelle la raison.
Autrement dit, on passe de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) en ajoutant toujours la même quantité : \(u_{n+1}=u_n+r\).
Les deux écritures à connaître : \(u_{n+1}=u_n+r\) et \(u_{n+1}-u_n=r\)
Dans la pratique, c’est souvent la différence \(u_{n+1}-u_n\) qui permet de calculer la raison. Mais l’écriture \(u_{n+1}=u_n+r\) est très utile pour reconnaître une suite arithmétique dans une relation de récurrence.
Notations \(u_0\) vs \(u_1\) : pourquoi ça change les formules
Piège classique. Beaucoup d’erreurs viennent du rang de départ. Si on part de \(u_0\), alors \(u_n=u_0+nr\). Si on part de \(u_1\), alors \(u_n=u_1+(n-1)r\).
Méthodes pour trouver r selon les données
Il n’y a pas une seule méthode : tout dépend de ce que l’énoncé vous donne. Voici un tableau de décision rapide, puis les cas détaillés.
| Ce que vous avez | Méthode fiable | Formule clé | Contrôle rapide |
|---|---|---|---|
| Relation de récurrence « + constante » | Identifier l’écart constant | \(u_{n+1}=u_n+c\) ⇒ \(r=c\) | Vérifier que \(c\) ne dépend pas de \(n\) |
| Deux termes consécutifs | Différence directe | \(r=u_{n+1}-u_n\) | Recalculer sur un autre pas |
| Deux termes non consécutifs | Écart total ÷ nombre de pas | \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\) (avec q > p) | Tester \(u_p+(q-p)r\) |
| La suite est donnée via une somme | Passer de la somme au terme | \(u_n=S_n-S_{n-1}\) (si \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\)) | Comparer \(u_{n+1}-u_n\) |
| Formule explicite | Lire la pente | si \(u_n=an+b\), alors \(r=a\) | Comparer \(u_{n+1}-u_n\) |
| Tableau / valeurs | Différences successives | \(r=u_{n+1}-u_n\) | Constante sur plusieurs rangs |
Cas 1 — La suite est donnée par une récurrence « + constante »
Si l’énoncé vous donne une relation du type \(u_{n+1}=u_n+c\) avec \(c\) constant, alors la suite est arithmétique et \(r=c\).
Exemple. Si \(u_{n+1}=u_n-3\), alors la raison est \(r=-3\).
Attention. Si le “+ …” dépend de \(n\), la suite n’est pas arithmétique. Exemple : \(u_{n+1}=u_n+2n+1\) (l’écart varie avec \(n\)).
Cas 2 — On connaît deux termes consécutifs : \(r=u_{n+1}-u_n\)
C’est la méthode la plus directe : on soustrait deux termes qui se suivent.
Exemple. Si \(u_5=17\) et \(u_6=20\), alors
\(r=u_6-u_5=20-17=3\).
Cas 3 — On connaît deux termes non consécutifs : \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\) (q > p)
Ici, \(u_q-u_p\) mesure l’écart total entre les deux termes. Mais il faut le répartir sur le nombre de pas (q − p).
Exemple. Si \(u_3=-2\) et \(u_9=16\), alors
\(r=\frac{16-(-2)}{9-3}=\frac{18}{6}=3\).
Cas 4 — Trouver r à partir d’une somme (méthode plus avancée)
Parfois, on ne vous donne pas directement les termes \(u_n\), mais une somme. Deux situations fréquentes :
Situation A (la plus propre). On vous donne \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\). Alors on retrouve le terme par différence : \(u_n=S_n-S_{n-1}\) (pour \(n\) > 0), puis on calcule \(r=u_{n+1}-u_n\).
Exemple. On sait que \(S_n=n^2+2n\) où \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\).
Pour \(n\) > 0 : \(u_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-((n-1)^2+2(n-1))\) \(= (n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1\).
Donc \(u_{n+1}-u_n=(2(n+1)+1)-(2n+1)=2\), et la raison est \(r=2\).
Situation B. On vous donne la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique (par exemple \(S_n\)) et une information supplémentaire. Dans ce cas, on peut utiliser la formule de somme d’une suite arithmétique. Pour le détail complet (et les pièges sur les indices), voir : Somme d’une suite arithmétique.
Cas 5 — La suite est donnée par une formule explicite : lire r directement
Si \(u_n\) est affine en \(n\), alors la raison est le coefficient de \(n\).
Exemple. Si \(u_n=2n-1\), alors
\(u_{n+1}-u_n=(2(n+1)-1)-(2n-1)=2\), donc \(r=2\).
Vérifier que r est correct (rigueur)
Le test le plus fiable : vérifier la constance de \(u_{n+1}-u_n\) sur plusieurs rangs
Si vous avez plusieurs termes (ou un tableau), calculez plusieurs différences successives. Une seule différence correcte ne suffit pas toujours : on veut s’assurer que l’écart est constant.
Vérification quand r est fractionnaire / décimal / négatif
La raison \(r\) peut être un décimal, une fraction, ou négative. Ce qui compte : la constance de l’écart.
- Si \(r\) > 0, la suite est croissante.
- Si \(r\) < 0, la suite est décroissante.
- Si \(r\) = 0, la suite est constante.
Ne pas confondre raison r (arithmétique) et raison q (géométrique)
Confusion fréquente. En suite arithmétique, on ajoute une constante \(r\). En suite géométrique, on multiplie par une constante \(q\) : \(u_{n+1}=q\,u_n\) et (quand \(u_n\) n’est pas nul) \(q=\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Si votre question est “comment trouver la raison q”, allez plutôt ici : Suites géométriques : cours.
Pièges classiques (et comment les éviter)
Oublier (q − p) quand les termes ne sont pas consécutifs
Erreur typique. Écrire \(r=u_q-u_p\) au lieu de \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\) (avec q > p). Le numérateur mesure l’écart total, mais il faut le répartir sur le nombre de pas (q − p).
Se tromper entre \(u_0\) et \(u_1\)
Avant de poser une formule, repérez le premier rang dans l’énoncé. Sinon, vous pouvez trouver une bonne raison, mais un mauvais premier terme (ou l’inverse).
Confondre arithmétique et géométrique
- Arithmétique : différence constante \(u_{n+1}-u_n\).
- Géométrique : quotient constant (quand possible) \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
Pour une comparaison claire avec exemples : suite arithmétique vs géométrique.
“Ça ressemble” à une suite arithmétique n’est pas une preuve
Une erreur commune que les professeurs retoruvent souvent dans le contenu des copies : l’élève calcule une première différence entre le premier terme et le deuxième et une deuxième différence entre le deuxième terme et le troisième et conclut. En mathématiques, on attend une vraie justification. Il faut donc montrer que un+1 – un est constant pour tous les termes.
Exercices : trouver la raison r
Les exercices ci-dessous sont volontairement sélectionnés (pas une banque complète) pour éviter les répétitions. Pour beaucoup plus d’entraînement (avec PDF), voir : exercices corrigés sur les suites arithmétiques.
Série 1 — Facile (automatiser les réflexes)
Exercice 1. On a \(u_5=17\) et \(u_6=20\). Trouver la raison.
Corrigé. \(r=u_6-u_5=20-17=3\).
Exercice 2. La suite est définie par \(u_n=5n-2\). Trouver \(r\).
Corrigé. \(u_{n+1}-u_n=(5(n+1)-2)-(5n-2)=5\), donc \(r=5\).
Exercice 3 (tableau). On donne les valeurs suivantes :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 |
La suite est-elle arithmétique ? Si oui, donner \(r\).
Corrigé. Différences : \(9-12=-3\), \(6-9=-3\), \(3-6=-3\), \(0-3=-3\). Elles sont constantes, donc la suite est arithmétique et \(r=-3\).
Série 2 — Intermédiaire (termes non consécutifs, décimaux, contrôle)
Exercice 4. On sait que la suite est arithmétique, avec \(u_3=-2\) et \(u_{10}=19\). Trouver la raison.
Corrigé. \(r=\frac{u_{10}-u_3}{10-3}=\frac{19-(-2)}{7}=\frac{21}{7}=3\).
Exercice 5. On définit \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=u_n+1{,}5\). Donner la raison et le sens de variation.
Corrigé. L’écart est constant : \(r=1{,}5\). Comme \(r\) > 0, la suite est croissante.
Exercice 6. On donne \(u_1=7\) et \(u_6=-3\) (suite arithmétique). Calculer \(r\) puis vérifier le résultat en recalculant \(u_6\).
Corrigé. \(r=\frac{u_6-u_1}{6-1}=\frac{-3-7}{5}=\frac{-10}{5}=-2\). Vérification : \(u_6=u_1+5r=7+5\times(-2)=-3\) (ok).
Série 3 — Difficile (somme, récurrence “prépa”, système)
Exercice 7 (à partir d’une somme). On définit \(S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k\) et on sait que \(S_n=n^2+2n\). Déterminer la raison de \((u_n)\).
Corrigé. Pour \(n\) > 0, \(u_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1\). Donc \(u_{n+1}-u_n=(2(n+1)+1)-(2n+1)=2\), ainsi \(r=2\).
Exercice 8 (récurrence plus exigeante). On a \(u_0=3\), \(u_1=8\) et, pour tout \(n\) > 1, \(u_{n+1}=2u_n-u_{n-1}\). Montrer que la suite est arithmétique et donner la raison.
Corrigé. On réécrit : \(u_{n+1}-u_n=u_n-u_{n-1}\). Les écarts successifs sont donc égaux (constantes), la suite est arithmétique. La raison vaut alors \(r=u_1-u_0=8-3=5\).
Exercice 9 (système). On sait que \((u_n)\) est arithmétique, que \(u_3=7\) et que \(u_2+u_5=20\). Déterminer la raison.
Corrigé. Écrivons \(u_n=u_0+nr\). Alors \(u_3=u_0+3r=7\) et \(u_2+u_5=(u_0+2r)+(u_0+5r)=2u_0+7r=20\). De \(u_0=7-3r\), puis \(2(7-3r)+7r=20\), soit \(14-6r+7r=20\), donc \(r=6\).
FAQ (questions fréquentes)
Comment déterminer la raison d’une suite arithmétique ?
Cherchez une différence constante : calculez \(u_{n+1}-u_n\). Si vous avez deux termes non consécutifs \(u_p\) et \(u_q\) (q > p), utilisez \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\).
Comment calculer la raison d’une suite arithmétique ?
Le plus direct est \(r=u_{n+1}-u_n\) si vous avez deux termes consécutifs. Sinon, prenez l’écart total et divisez par le nombre de pas : \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\) (q > p).
Comment trouver la raison q ?
La “raison \(q\)” concerne les suites géométriques, pas les suites arithmétiques. Pour une suite géométrique : \(u_{n+1}=q\,u_n\) et (si possible) \(q=\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Voir : cours sur les suites géométriques.
Comment trouver u0 et la raison ?
Utilisez deux informations. Par exemple avec \(u_p\) et \(u_q\) (q > p), on calcule d’abord \(r=\frac{u_q-u_p}{q-p}\), puis on remonte à \(u_0=u_p-pr\) (si l’énoncé part de \(u_0\)). Si l’énoncé part de \(u_1\), adaptez avec \(u_n=u_1+(n-1)r\).
La raison peut-elle être négative ou décimale ?
Oui. La seule condition est que l’écart \(u_{n+1}-u_n\) reste constant. Si \(r\) < 0, la suite décroît ; si \(r\) = 0, elle est constante.
Pour consolider le chapitre (définition, terme général, variations, représentation), vous pouvez lire le cours complet sur les suites arithmétiques. Et pour vous entraîner davantage : exercices corrigés (PDF).
