Tu cherches comment calculer la raison d’une suite arithmétique ? La raison (notée \(r\)) est le « pas » constant entre deux termes successifs. Ici, on va droit au but : quelle méthode utiliser selon les données, comment démontrer qu’une suite est arithmétique, et quels pièges éviter. Niveau : Première / Terminale.
Navigation dans le cocon :
- Suite arithmétique : cours complet — Définition, formules, variations, limites.
- Exercices corrigés suites arithmétiques — 20 exercices progressifs + PDF.
- Somme d’une suite arithmétique — Formules, méthode, exemples.
- Suite arithmétique et géométrique : comparatif — Tableau, différences, pièges.
- Suite arithmético-géométrique — Méthode du point fixe, formule explicite.
Raison r : définition et idée clé
La raison r : ce que ça signifie concrètement (différence constante)
Définition. Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout rang \(n\) :
\(u_{n+1} – u_n = r\)
Ce nombre \(r\) s’appelle la raison.
Autrement dit, on passe de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) en ajoutant toujours la même quantité : \(u_{n+1} = u_n + r\).
Les deux écritures à connaître
Dans la pratique, c’est souvent la différence \(u_{n+1} – u_n\) qui permet de calculer la raison. Mais l’écriture \(u_{n+1} = u_n + r\) est très utile pour reconnaître une suite arithmétique dans une relation de récurrence.
Notations \(u_0\) vs \(u_1\) : pourquoi ça change les formules
Piège classique. Beaucoup d’erreurs viennent du rang de départ.
- Si on part de \(u_0\), alors \(u_n = u_0 + nr\).
- Si on part de \(u_1\), alors \(u_n = u_1 + (n-1)r\).
Trouver r : quelle méthode selon les données ?
Il n’y a pas une seule méthode : tout dépend de ce que l’énoncé te donne. Voici un tableau de décision rapide, puis les cas détaillés.
| Ce que tu as | Méthode fiable | Formule clé | Contrôle rapide |
|---|---|---|---|
| Récurrence « + constante » | Identifier l’écart constant | \(u_{n+1} = u_n + c\) ⇒ \(r = c\) | Vérifier que \(c\) ne dépend pas de \(n\) |
| Deux termes consécutifs | Différence directe | \(r = u_{n+1} – u_n\) | Recalculer sur un autre pas |
| Deux termes non consécutifs | Écart total ÷ nombre de pas | \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\) (avec \(q\) > \(p\)) | Tester \(u_p + (q-p)r\) |
| Suite donnée via une somme | Passer de la somme au terme | \(u_n = S_n – S_{n-1}\) | Comparer \(u_{n+1} – u_n\) |
| Formule explicite | Lire la pente | Si \(u_n = an + b\), alors \(r = a\) | Comparer \(u_{n+1} – u_n\) |
| Tableau / valeurs | Différences successives | \(r = u_{n+1} – u_n\) | Constante sur plusieurs rangs |
Cas 1 — La suite est donnée par une récurrence « + constante »
Si l’énoncé te donne une relation du type \(u_{n+1} = u_n + c\) avec \(c\) constant, alors la suite est arithmétique et \(r = c\).
Exemple. Si \(u_{n+1} = u_n – 3\), alors la raison est \(r = -3\).
Attention. Si le « + … » dépend de \(n\), la suite n’est pas arithmétique. Exemple : \(u_{n+1} = u_n + 2n + 1\) (l’écart varie avec \(n\)).
Cas 2 — On connaît deux termes consécutifs : \(r = u_{n+1} – u_n\)
C’est la méthode la plus directe : on soustrait deux termes qui se suivent.
Exemple. Si \(u_5 = 17\) et \(u_6 = 20\), alors \(r = u_6 – u_5 = 20 – 17 = 3\).
Cas 3 — On connaît deux termes non consécutifs : \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\)
Ici, \(u_q – u_p\) mesure l’écart total entre les deux termes. Mais il faut le répartir sur le nombre de pas \((q – p)\).
Exemple. Si \(u_3 = -2\) et \(u_9 = 16\), alors \(r = \displaystyle\frac{16 – (-2)}{9 – 3} = \displaystyle\frac{18}{6} = 3\).
Cas 4 — Trouver r à partir d’une somme (méthode plus avancée)
Parfois, on ne te donne pas directement les termes \(u_n\), mais une somme. Deux situations fréquentes :
Situation A (la plus propre). On te donne \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\). Alors on retrouve le terme par différence : \(u_n = S_n – S_{n-1}\) (pour \(n \geq 1\)), puis on calcule \(r = u_{n+1} – u_n\).
Exemple. On sait que \(S_n = n^2 + 2n\) où \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\).
Pour \(n \geq 1\) :
\(u_n = S_n – S_{n-1} = (n^2 + 2n) – ((n-1)^2 + 2(n-1)) = (n^2 + 2n) – (n^2 – 1) = 2n + 1\)
Donc \(u_{n+1} – u_n = (2(n+1) + 1) – (2n + 1) = 2\), et la raison est \(r = 2\).
Situation B. On te donne la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique et une information supplémentaire. Dans ce cas, on peut utiliser la formule de somme d’une suite arithmétique.
Cas 5 — La suite est donnée par une formule explicite : lire r directement
Si \(u_n\) est affine en \(n\), alors la raison est le coefficient de \(n\).
Exemple. Si \(u_n = 2n – 1\), alors \(u_{n+1} – u_n = (2(n+1) – 1) – (2n – 1) = 2\), donc \(r = 2\).
Montrer qu’une suite est arithmétique (méthode de preuve)
C’est une question classique en contrôle et au bac : « montrer que la suite \((u_n)\) est arithmétique ». Beaucoup d’élèves perdent des points parce qu’ils vérifient sur deux ou trois valeurs au lieu de rédiger une vraie preuve.
La méthode attendue :
- Calculer \(u_{n+1} – u_n\) pour un rang \(n\) quelconque (en utilisant la formule de \(u_n\)).
- Simplifier l’expression.
- Si le résultat est un nombre constant (indépendant de \(n\)), conclure : « la suite est arithmétique de raison \(r = \ldots\) ».
Exemple. Soit \(u_n = 5n + 3\). Montrer que \((u_n)\) est arithmétique.
\(u_{n+1} – u_n = (5(n+1) + 3) – (5n + 3) = 5n + 5 + 3 – 5n – 3 = 5\)
La différence est constante égale à 5, donc \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 5\).
Erreur fréquente dans les copies. L’élève calcule \(u_1 – u_0\) et \(u_2 – u_1\), constate que c’est le même nombre, et conclut. Ce n’est pas une preuve : il faut montrer que \(u_{n+1} – u_n\) est constant pour tout \(n\), pas seulement pour deux valeurs particulières.
Vérifier que r est correct (rigueur)
Le test le plus fiable : vérifier la constance sur plusieurs rangs
Si tu as plusieurs termes (ou un tableau), calcule plusieurs différences successives. Une seule différence correcte ne suffit pas toujours : on veut s’assurer que l’écart est constant.
Vérification quand r est fractionnaire, décimal ou négatif
La raison \(r\) peut être un décimal, une fraction, ou un nombre négatif. Ce qui compte : la constance de l’écart.
- Si \(r\) > \(0\), la suite est croissante.
- Si \(r\) < \(0\), la suite est décroissante.
- Si \(r = 0\), la suite est constante.
Ne pas confondre raison r (arithmétique) et raison q (géométrique)
Confusion fréquente. En suite arithmétique, on ajoute une constante \(r\). En suite géométrique, on multiplie par une constante \(q\) : \(u_{n+1} = q \, u_n\) et (quand \(u_n\) n’est pas nul) \(q = \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Pour un comparatif clair des deux types : suite arithmétique et géométrique.
Pièges classiques (et comment les éviter)
Oublier \((q – p)\) quand les termes ne sont pas consécutifs
Erreur typique. Écrire \(r = u_q – u_p\) au lieu de \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\) (avec \(q\) > \(p\)). Le numérateur mesure l’écart total, mais il faut le répartir sur le nombre de pas \((q – p)\).
Se tromper entre \(u_0\) et \(u_1\)
Avant de poser une formule, repère le premier rang dans l’énoncé. Sinon, tu peux trouver une bonne raison, mais un mauvais premier terme (ou l’inverse).
Confondre arithmétique et géométrique
- Arithmétique : différence constante \(u_{n+1} – u_n\).
- Géométrique : quotient constant (quand possible) \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
Pour une comparaison claire avec exemples : suite arithmétique et géométrique.
Exercices : trouver la raison r
Les exercices ci-dessous sont volontairement sélectionnés (pas une banque complète) pour couvrir chaque cas de figure. Pour beaucoup plus d’entraînement (avec PDF) : exercices corrigés sur les suites arithmétiques.
Série 1 — Facile (automatiser les réflexes)
Exercice 1. On a \(u_5 = 17\) et \(u_6 = 20\). Trouver la raison.
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\(r = u_6 – u_5 = 20 – 17 = 3\).
Exercice 2. La suite est définie par \(u_n = 5n – 2\). Trouver \(r\).
▶ Voir la correction
\(u_{n+1} – u_n = (5(n+1) – 2) – (5n – 2) = 5\), donc \(r = 5\).
Exercice 3 (tableau). On donne les valeurs suivantes :
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 |
La suite est-elle arithmétique ? Si oui, donner \(r\).
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Différences : \(9 – 12 = -3\), \(6 – 9 = -3\), \(3 – 6 = -3\), \(0 – 3 = -3\). Elles sont constantes, donc la suite est arithmétique et \(r = -3\).
Série 2 — Intermédiaire (termes non consécutifs, décimaux, contrôle)
Exercice 4. On sait que la suite est arithmétique, avec \(u_3 = -2\) et \(u_{10} = 19\). Trouver la raison.
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\(r = \displaystyle\frac{u_{10} – u_3}{10 – 3} = \displaystyle\frac{19 – (-2)}{7} = \displaystyle\frac{21}{7} = 3\).
Exercice 5. On définit \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = u_n + 1{,}5\). Donner la raison et le sens de variation.
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L’écart est constant : \(r = 1{,}5\). Comme \(r\) > \(0\), la suite est croissante.
Exercice 6. On donne \(u_1 = 7\) et \(u_6 = -3\) (suite arithmétique). Calculer \(r\) puis vérifier le résultat en recalculant \(u_6\).
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\(r = \displaystyle\frac{u_6 – u_1}{6 – 1} = \displaystyle\frac{-3 – 7}{5} = \displaystyle\frac{-10}{5} = -2\).
Vérification : \(u_6 = u_1 + 5r = 7 + 5 \times (-2) = -3\) ✓
Série 3 — Difficile (somme, récurrence « prépa », système)
Exercice 7 (à partir d’une somme). On définit \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\) et on sait que \(S_n = n^2 + 2n\). Déterminer la raison de \((u_n)\).
▶ Voir la correction
Pour \(n \geq 1\), \(u_n = S_n – S_{n-1} = (n^2 + 2n) – (n^2 – 1) = 2n + 1\).
Donc \(u_{n+1} – u_n = (2(n+1) + 1) – (2n + 1) = 2\), ainsi \(r = 2\).
Méthode complète : somme d’une suite arithmétique.
Exercice 8 (récurrence plus exigeante). On a \(u_0 = 3\), \(u_1 = 8\) et, pour tout \(n \geq 1\), \(u_{n+1} = 2u_n – u_{n-1}\). Montrer que la suite est arithmétique et donner la raison.
▶ Voir la correction
On réécrit : \(u_{n+1} – u_n = u_n – u_{n-1}\). Les écarts successifs sont donc tous égaux, la suite est arithmétique. La raison vaut \(r = u_1 – u_0 = 8 – 3 = 5\).
Exercice 9 (système). On sait que \((u_n)\) est arithmétique, que \(u_3 = 7\) et que \(u_2 + u_5 = 20\). Déterminer la raison.
▶ Voir la correction
Écrivons \(u_n = u_0 + nr\). Alors \(u_3 = u_0 + 3r = 7\) et \(u_2 + u_5 = (u_0 + 2r) + (u_0 + 5r) = 2u_0 + 7r = 20\).
De \(u_0 = 7 – 3r\), puis \(2(7 – 3r) + 7r = 20\), soit \(14 – 6r + 7r = 20\), donc \(r = 6\).
FAQ — Raison d’une suite arithmétique
Comment déterminer la raison d'une suite arithmétique ?
Cherche une différence constante : calcule \(u_{n+1} – u_n\). Si tu as deux termes non consécutifs \(u_p\) et \(u_q\) (avec \(q\) > \(p\)), utilise \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\).
Comment calculer la raison d'une suite arithmétique ?
Le plus direct est \(r = u_{n+1} – u_n\) si tu as deux termes consécutifs. Sinon, prends l’écart total et divise par le nombre de pas : \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\).
Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?
Calcule \(u_{n+1} – u_n\) pour un rang \(n\) quelconque. Si le résultat est un nombre constant (indépendant de \(n\)), la suite est arithmétique et ce nombre est la raison. Attention : vérifier sur deux ou trois valeurs ne suffit pas — il faut une preuve pour tout \(n\).
Comment trouver la raison q d'une suite géométrique ?
La « raison \(q\) » concerne les suites géométriques, pas les suites arithmétiques. Pour une suite géométrique : \(u_{n+1} = q \, u_n\) et (si possible) \(q = \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Voir : cours sur les suites géométriques.
Comment trouver le premier terme et la raison ?
Utilise deux informations. Par exemple avec \(u_p\) et \(u_q\), on calcule d’abord \(r = \displaystyle\frac{u_q – u_p}{q – p}\), puis on remonte à \(u_0 = u_p – pr\) (si l’énoncé part de \(u_0\)). Si l’énoncé part de \(u_1\), adapte avec \(u_n = u_1 + (n-1)r\).
La raison peut-elle être négative ou décimale ?
Oui. La seule condition est que l’écart \(u_{n+1} – u_n\) reste constant. Si \(r\) < \(0\), la suite décroît ; si \(r = 0\), elle est constante.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul de la raison et la preuve qu’une suite est arithmétique. Pour consolider le chapitre :
- Cours complet sur les suites arithmétiques — définition, terme général, variations, limites.
- Exercices corrigés suites arithmétiques (PDF) — 20 exercices progressifs.
- Somme d’une suite arithmétique — formule, démonstration, exemples.
