Tu prépares le brevet et la trigonométrie te pose problème ? Pas de panique ! Voici 12 exercices classés par type : calculs de longueurs, calculs d’angles, puis problèmes complets comme au brevet des collèges. Chaque exercice est corrigé pas à pas. Commence par essayer seul(e), puis clique sur « Voir la correction » pour vérifier. Si tu as besoin de revoir le cours, notre page Trigonométrie dans le triangle rectangle est là pour toi. Prends ta calculatrice (en mode degrés !) et c’est parti.
I. Rappel — Les formules de trigonométrie
Avant de te lancer dans les exercices, vérifie que tu connais les trois formules. Elles s’appliquent uniquement dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
Les trois formules de trigonométrie
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :
- Cosinus : \(\cos(\text{angle}) = \displaystyle\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
- Sinus : \(\sin(\text{angle}) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
- Tangente : \(\tan(\text{angle}) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Moyen mnémotechnique : SOH — CAH — TOA
- Sinus = Opposé / Hypoténuse
- Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- Tangente = Opposé / Adjacent
Retiens ce mot magique : SOHCAHTOA !
Comment choisir la bonne formule ? Regarde quels côtés interviennent dans ton exercice :
| Tu connais… | Tu cherches… | Tu utilises… |
|---|---|---|
| Angle + hypoténuse | Côté adjacent | Cosinus |
| Angle + hypoténuse | Côté opposé | Sinus |
| Angle + côté adjacent | Côté opposé | Tangente |
| Deux côtés | Un angle | Formule inverse (arccos, arcsin ou arctan) |
Pour revoir les définitions de sinus, cosinus et tangente en détail, ou retrouver les valeurs exactes des angles classiques, consulte nos pages dédiées.
II. Calculer une longueur (exercices 1 à 4)
Dans ces exercices, tu connais un angle et un côté du triangle rectangle. Tu dois trouver un autre côté. Pense à identifier l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé avant de choisir ta formule.
Exercice 1
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que \(\widehat{ABC} = 35^\circ\) et BC = 8 cm. Calcule AB. Arrondis au dixième.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en A, donc BC est l’hypoténuse (le côté face à l’angle droit).
Par rapport à l’angle \(\widehat{ABC}\) : AB est le côté adjacent et AC est le côté opposé.
On connaît l’hypoténuse (BC) et on cherche le côté adjacent (AB) → on utilise le cosinus.
\(\cos(\widehat{ABC}) = \displaystyle\frac{AB}{BC}\) \(\cos(35^\circ) = \displaystyle\frac{AB}{8}\)\(AB = 8 \times \cos(35^\circ) \approx 8 \times 0{,}819 \approx 6{,}6\) cm
Réponse : AB ≈ 6,6 cm.
Exercice 2
Le triangle DEF est rectangle en E. On sait que \(\widehat{EDF} = 48^\circ\) et DF = 10 cm. Calcule EF. Arrondis au dixième.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en E, donc DF est l’hypoténuse.
Par rapport à l’angle \(\widehat{EDF}\) : DE est le côté adjacent et EF est le côté opposé.
On connaît l’hypoténuse (DF) et on cherche le côté opposé (EF) → on utilise le sinus.
\(\sin(\widehat{EDF}) = \displaystyle\frac{EF}{DF}\) \(\sin(48^\circ) = \displaystyle\frac{EF}{10}\)\(EF = 10 \times \sin(48^\circ) \approx 10 \times 0{,}743 \approx 7{,}4\) cm
Réponse : EF ≈ 7,4 cm.
Exercice 3
Le triangle GHI est rectangle en H. On sait que \(\widehat{HGI} = 54^\circ\) et GH = 6 cm. Calcule HI. Arrondis au dixième.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en H, donc GI est l’hypoténuse.
Par rapport à l’angle \(\widehat{HGI}\) : GH est le côté adjacent et HI est le côté opposé.
On connaît le côté adjacent (GH) et on cherche le côté opposé (HI) → on utilise la tangente.
\(\tan(\widehat{HGI}) = \displaystyle\frac{HI}{GH}\) \(\tan(54^\circ) = \displaystyle\frac{HI}{6}\)\(HI = 6 \times \tan(54^\circ) \approx 6 \times 1{,}376 \approx 8{,}3\) cm
Réponse : HI ≈ 8,3 cm.
Exercice 4
Une échelle de 5 m de long est posée contre un mur. Elle forme un angle de 70° avec le sol. À quelle hauteur du sol l’échelle touche-t-elle le mur ? Arrondis au dixième.
Voir la correction
On modélise la situation par un triangle rectangle : le mur est vertical, le sol est horizontal, et l’échelle est l’hypoténuse (5 m).
L’angle entre l’échelle et le sol vaut 70°. La hauteur sur le mur est le côté opposé à cet angle.
On connaît l’hypoténuse et on cherche le côté opposé → on utilise le sinus.
\(\sin(70^\circ) = \displaystyle\frac{h}{5}\)\(h = 5 \times \sin(70^\circ) \approx 5 \times 0{,}940 \approx 4{,}7\) m
Réponse : l’échelle atteint le mur à environ 4,7 m de hauteur.
III. Calculer un angle (exercices 5 à 8)
Ici, tu connais deux côtés du triangle rectangle et tu dois trouver un angle. Il faut d’abord calculer un rapport (cos, sin ou tan), puis utiliser la touche inverse de ta calculatrice (arccos, arcsin ou arctan).
Exercice 5
Le triangle KLM est rectangle en L. On sait que KL = 4 cm et LM = 7 cm. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{LKM}\). Arrondis au degré.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en L, donc KM est l’hypoténuse.
Par rapport à l’angle \(\widehat{LKM}\) : KL = 4 cm est le côté adjacent et LM = 7 cm est le côté opposé.
On connaît le côté opposé et le côté adjacent → on utilise la tangente.
\(\tan(\widehat{LKM}) = \displaystyle\frac{LM}{KL} = \displaystyle\frac{7}{4} = 1{,}75\)On utilise la touche arctan (ou tan⁻¹) de la calculatrice :
\(\widehat{LKM} = \arctan(1{,}75) \approx 60^\circ\)Réponse : l’angle \(\widehat{LKM}\) mesure environ 60°.
Exercice 6
Le triangle NPQ est rectangle en P. On sait que NQ = 9 cm et NP = 5 cm. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{QNP}\). Arrondis au degré.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en P, donc NQ = 9 cm est l’hypoténuse.
Par rapport à l’angle \(\widehat{QNP}\) : NP = 5 cm est le côté adjacent.
On connaît le côté adjacent et l’hypoténuse → on utilise le cosinus.
\(\cos(\widehat{QNP}) = \displaystyle\frac{NP}{NQ} = \displaystyle\frac{5}{9} \approx 0{,}556\)On utilise la touche arccos (ou cos⁻¹) de la calculatrice :
\(\widehat{QNP} = \arccos(0{,}556) \approx 56^\circ\)Réponse : l’angle \(\widehat{QNP}\) mesure environ 56°.
Exercice 7
Le triangle RST est rectangle en S. On sait que RT = 11 cm et RS = 4 cm. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{RTS}\). Arrondis au degré.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en S, donc RT = 11 cm est l’hypoténuse.
Par rapport à l’angle \(\widehat{RTS}\) : RS = 4 cm est le côté opposé (il est en face de l’angle \(\widehat{RTS}\)).
On connaît le côté opposé et l’hypoténuse → on utilise le sinus.
\(\sin(\widehat{RTS}) = \displaystyle\frac{RS}{RT} = \displaystyle\frac{4}{11} \approx 0{,}364\)On utilise la touche arcsin (ou sin⁻¹) de la calculatrice :
\(\widehat{RTS} = \arcsin(0{,}364) \approx 21^\circ\)Réponse : l’angle \(\widehat{RTS}\) mesure environ 21°.
Exercice 8
Un toboggan mesure 4 m de long. Il part d’une plateforme située à 2 m au-dessus du sol. Quel angle le toboggan forme-t-il avec le sol ?
Voir la correction
On modélise la situation par un triangle rectangle : la plateforme (2 m) est le côté opposé et le toboggan (4 m) est l’hypoténuse.
On connaît le côté opposé et l’hypoténuse → on utilise le sinus.
\(\sin(\text{angle}) = \displaystyle\frac{2}{4} = 0{,}5\) \(\text{angle} = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ\)Réponse : le toboggan forme un angle de 30° exactement avec le sol.
IV. Problèmes type brevet (exercices 9 à 12)
Ces exercices ressemblent à ceux du brevet : ils ont plusieurs questions et peuvent combiner la trigonométrie avec le théorème de Pythagore. Lis bien l’énoncé en entier avant de commencer.
Exercice 9
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que AB = 6 cm et \(\widehat{ABC} = 50^\circ\).
- Calcule AC. Arrondis au dixième.
- Calcule BC. Arrondis au dixième.
Voir la correction
Le triangle est rectangle en A, donc BC est l’hypoténuse. Par rapport à l’angle \(\widehat{ABC}\) : AB = 6 cm est le côté adjacent et AC est le côté opposé.
a) Calcul de AC :
On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé → on utilise la tangente.
\(\tan(50^\circ) = \displaystyle\frac{AC}{AB} = \displaystyle\frac{AC}{6}\)\(AC = 6 \times \tan(50^\circ) \approx 6 \times 1{,}192 \approx 7{,}2\) cm
b) Calcul de BC :
On connaît le côté adjacent et on cherche l’hypoténuse → on utilise le cosinus.
\(\cos(50^\circ) = \displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{6}{BC}\)\(BC = \displaystyle\frac{6}{\cos(50^\circ)} \approx \displaystyle\frac{6}{0{,}643} \approx 9{,}3\) cm
Réponse : AC ≈ 7,2 cm et BC ≈ 9,3 cm.
Exercice 10
Pour mesurer la hauteur d’un immeuble, Thomas se place à 15 m du pied de l’immeuble. Avec un appareil situé à 1,60 m du sol, il mesure un angle de 58° entre l’horizontale et le sommet de l’immeuble.
- Calcule la hauteur de l’immeuble au-dessus de l’appareil de mesure. Arrondis au dixième.
- Déduis-en la hauteur totale de l’immeuble.
Voir la correction
a) Hauteur au-dessus de l’appareil :
On forme un triangle rectangle : la distance au sol (15 m) est le côté adjacent à l’angle de 58°, et la hauteur h au-dessus de l’appareil est le côté opposé.
Côté opposé et côté adjacent → on utilise la tangente.
\(\tan(58^\circ) = \displaystyle\frac{h}{15}\)\(h = 15 \times \tan(58^\circ) \approx 15 \times 1{,}600 \approx 24{,}0\) m
b) Hauteur totale :
Il faut ajouter la hauteur de l’appareil :
\(H = 24{,}0 + 1{,}60 = 25{,}6\) m
Réponse : l’immeuble mesure environ 25,6 m de haut.
Exercice 11
Le triangle RST est rectangle en S. On sait que RS = 5 cm et ST = 12 cm.
- Calcule RT en utilisant le théorème de Pythagore.
- Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{TRS}\). Arrondis au degré.
Voir la correction
a) Calcul de RT (Pythagore) :
Le triangle est rectangle en S, donc RT est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :
\(RT^2 = RS^2 + ST^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)\(RT = \sqrt{169} = 13\) cm
b) Calcul de l’angle \(\widehat{TRS}\) :
Par rapport à \(\widehat{TRS}\) : RS = 5 cm est le côté adjacent et ST = 12 cm est le côté opposé.
\(\tan(\widehat{TRS}) = \displaystyle\frac{ST}{RS} = \displaystyle\frac{12}{5} = 2{,}4\) \(\widehat{TRS} = \arctan(2{,}4) \approx 67^\circ\)Réponse : RT = 13 cm et \(\widehat{TRS} \approx 67^\circ\).
Exercice 12
La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle. Le triangle ABD est rectangle en A. On donne AB = 8 cm et AD = 6 cm. Le point C est situé sur le segment [BD] tel que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (BD).
- Calcule BD.
- Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{ABD}\). Arrondis au degré.
- Calcule AC. Arrondis au dixième.
Voir la correction
a) Calcul de BD (Pythagore) :
Le triangle ABD est rectangle en A, donc BD est l’hypoténuse :
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\)\(BD = \sqrt{100} = 10\) cm
b) Calcul de \(\widehat{ABD}\) :
Par rapport à \(\widehat{ABD}\) : AB = 8 cm est le côté adjacent et AD = 6 cm est le côté opposé.
\(\tan(\widehat{ABD}) = \displaystyle\frac{AD}{AB} = \displaystyle\frac{6}{8} = 0{,}75\) \(\widehat{ABD} = \arctan(0{,}75) \approx 37^\circ\)c) Calcul de AC :
Dans le triangle ABC, l’angle en C est droit (car AC ⊥ BD). Ce triangle est rectangle en C. L’angle \(\widehat{ABD} \approx 37^\circ\) et AB = 8 cm (hypoténuse de ce petit triangle).
AC est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ABD}\) dans le triangle ABC → on utilise le sinus.
\(\sin(\widehat{ABD}) = \displaystyle\frac{AC}{AB}\)\(AC = 8 \times \sin(37^\circ) \approx 8 \times 0{,}602 \approx 4{,}8\) cm
Vérification : on peut aussi retrouver AC par une autre méthode : \(AC = \displaystyle\frac{AB \times AD}{BD} = \displaystyle\frac{8 \times 6}{10} = 4{,}8\) cm. On trouve bien le même résultat !
Réponse : BD = 10 cm, \(\widehat{ABD} \approx 37^\circ\) et AC ≈ 4,8 cm.
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V. Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Voici les erreurs que les correcteurs du brevet voient le plus souvent. Vérifie que tu ne tombes pas dans ces pièges !
Piège n°1 — Confondre côté adjacent et côté opposé
❌ Copie fautive : « Je cherche AB. L’angle est en B. Donc sin(35°) = AB/BC. »
🔍 Diagnostic : l’élève a écrit « sinus » alors que AB est le côté adjacent à l’angle B (pas le côté opposé). Il fallait utiliser le cosinus.
✅ Bonne méthode : avant de choisir ta formule, nomme chaque côté par rapport à l’angle : adjacent, opposé, hypoténuse. Puis choisis la formule qui relie les deux côtés qui t’intéressent.
Piège n°2 — Calculatrice en mode radians
Tu tapes cos(35) et tu obtiens 0,903… au lieu de 0,819… ? Ta calculatrice est probablement en mode radians au lieu de degrés.
✅ Vérifie toujours que l’affichage indique DEG (ou D) avant de commencer tes calculs. Sur la plupart des calculatrices, appuie sur la touche MODE ou SETUP pour changer.
Piège n°3 — Utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n’est pas rectangle
Les formules SOHCAHTOA ne fonctionnent que dans un triangle rectangle. Si le triangle n’a pas d’angle droit, il faut d’abord vérifier qu’il est rectangle (avec Pythagore par exemple) ou tracer une hauteur pour créer un triangle rectangle.
VI. Questions fréquentes
Comment savoir si je dois utiliser cosinus, sinus ou tangente ?
Repère d’abord les trois côtés du triangle rectangle par rapport à l’angle étudié : hypoténuse (le plus grand côté, face à l’angle droit), côté adjacent (qui touche l’angle) et côté opposé (en face de l’angle). Ensuite, regarde quels côtés interviennent dans ton exercice : adjacent et hypoténuse → cosinus, opposé et hypoténuse → sinus, opposé et adjacent → tangente. Le moyen mnémotechnique SOHCAHTOA t’aide à retenir.
Quelle est la différence entre la trigonométrie et le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle entre eux, sans utiliser d’angle. La trigonométrie, elle, relie un angle et deux côtés. Utilise Pythagore quand tu connais deux côtés et que tu cherches le troisième. Utilise la trigonométrie dès qu’un angle intervient dans le problème (soit pour le calculer, soit pour l’utiliser). Au brevet, les deux sont souvent combinés dans le même exercice !
Comment trouver un angle avec la calculatrice ?
Calcule d’abord le rapport trigonométrique (par exemple 5/9 ≈ 0,556). Puis utilise la touche inverse de ta calculatrice : arccos (ou cos⁻¹ ou SHIFT + cos) si tu as utilisé le cosinus, arcsin si tu as utilisé le sinus, arctan si tu as utilisé la tangente. Vérifie que ta calculatrice est en mode degrés (DEG) avant de valider.
La trigonométrie tombe-t-elle au brevet des collèges ?
Oui, presque chaque année. La trigonométrie fait partie des thèmes les plus fréquents au brevet de maths. Elle est souvent combinée avec le théorème de Pythagore dans un même exercice : on calcule d’abord un côté avec Pythagore, puis un angle avec la trigonométrie (ou l’inverse). C’est pourquoi les cours de trigonométrie 3ème et ces exercices d’entraînement sont essentiels.
VII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises ces 12 exercices ? Bravo ! Voici comment continuer à progresser :
- 📖 Trigonométrie dans le triangle rectangle — le cours complet pour revoir les notions
- 📖 Trigonométrie : cours complet du collège à la prépa — la vue d’ensemble du chapitre
- 📊 Tableau des valeurs trigonométriques — toutes les valeurs de cos, sin et tan à connaître
- ✏️ Exercices de trigonométrie (lycée et prépa) — pour aller plus loin après la 3ème
- 🎯 Exercices de probabilités — un autre thème incontournable du brevet
