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Les isométries vectorielles — les endomorphismes d’un espace euclidien qui conservent toutes les distances — forment l’une des familles d’applications les plus riches du programme de CPGE. Leur classification en dimension 2 (rotations et réflexions) et en dimension 3 (rotations autour d’un axe, anti-rotations) est un classique de colle et de concours. Tu trouveras ici un cours complet avec démonstrations exigibles, la classification exhaustive illustrée, et trois exercices corrigés par difficulté croissante.
I. Définition et premières propriétés d’une isométrie vectorielle
A. Définition formelle
Définition — Isométrie vectorielle
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien. Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est une isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) de \(E\) si :
\(\forall x \in E, \quad \|f(x)\| = \|x\|\)
L’ensemble des isométries vectorielles de \(E\) est noté \(\mathrm{O}(E)\) et s’appelle le groupe orthogonal de \(E\).
Autrement dit, une isométrie vectorielle est un endomorphisme qui conserve la norme de tout vecteur. C’est la traduction algébrique d’un « mouvement rigide » : les longueurs, les angles entre vecteurs, les aires — tout est préservé.
B. Caractérisations équivalentes
La définition par la norme n’est pas la seule manière de reconnaître une isométrie. Le théorème suivant regroupe quatre caractérisations équivalentes, toutes utiles selon le contexte.
Théorème ⋆ — Caractérisations des isométries
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Les propositions suivantes sont équivalentes :
- \(f\) conserve la norme : \(\forall x \in E, \; \|f(x)\| = \|x\|\)
- \(f\) conserve le produit scalaire : \(\forall x, y \in E, \; \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle\)
- L’image par \(f\) de toute base orthonormée est une base orthonormée
- La matrice de \(f\) dans toute base orthonormée est une matrice orthogonale (i.e. \({}^{t}\!M \, M = I_n\))
Démonstration ⋆ (exigible)
(i) \(\Rightarrow\) (ii) — Par l’identité de polarisation, pour tous \(x, y \in E\) :
\(\langle x, y \rangle = \displaystyle\frac{1}{4}\bigl(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2\bigr)\)
Si \(f\) conserve la norme, par linéarité :
\(\langle f(x), f(y) \rangle = \displaystyle\frac{1}{4}\bigl(\|f(x+y)\|^2 – \|f(x-y)\|^2\bigr) = \displaystyle\frac{1}{4}\bigl(\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2\bigr) = \langle x, y \rangle\)
(ii) \(\Rightarrow\) (i) — Immédiat : \(\|f(x)\|^2 = \langle f(x), f(x) \rangle = \langle x, x \rangle = \|x\|^2\).
(ii) \(\Rightarrow\) (iii) — Soit \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) une BON. Alors \(\langle f(e_i), f(e_j) \rangle = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\), donc \((f(e_1), \ldots, f(e_n))\) est une famille orthonormée de \(n\) vecteurs dans \(E\) de dimension \(n\) : c’est une BON.
(iii) \(\Rightarrow\) (iv) — Soit \(\mathcal{B}\) une BON et \(M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\). Les colonnes de \(M\) sont les coordonnées des \(f(e_i)\) dans \(\mathcal{B}\). La condition \(\langle f(e_i), f(e_j) \rangle = \delta_{ij}\) se traduit exactement par \({}^{t}\!M\, M = I_n\).
(iv) \(\Rightarrow\) (ii) — Si \(M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\) vérifie \({}^{t}\!M\, M = I_n\), alors pour tous \(x, y \in E\) de vecteurs-colonnes \(X, Y\) dans \(\mathcal{B}\) :
\(\langle f(x), f(y) \rangle = {}^{t}(MX)\,(MY) = {}^{t}\!X \; {}^{t}\!M\, M \; Y = {}^{t}\!X \, Y = \langle x, y \rangle\)
∎
C. Propriétés fondamentales
Proposition — Propriétés des isométries
Soit \(f \in \mathrm{O}(E)\). Alors :
- \(f\) est bijectif et \(f^{-1} = f^*\) (l’adjoint de \(f\))
- \(\det(f) \in \{-1, \, 1\}\)
- Toute valeur propre réelle de \(f\) appartient à \(\{-1, \, 1\}\)
- Les sous-espaces propres de \(f\) sont deux à deux orthogonaux
Démonstration
1. Si \(f(x) = 0\), alors \(\|x\| = \|f(x)\| = 0\), donc \(x = 0\) : \(f\) est injectif. En dimension finie, injectif entraîne bijectif. De plus, \({}^{t}\!M \, M = I_n\) donne \(M^{-1} = {}^{t}\!M\), soit \(f^{-1} = f^*\).
2. \(\det({}^{t}\!M) \cdot \det(M) = \det(I_n) = 1\), d’où \(\det(M)^2 = 1\).
3. Si \(f(x) = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(|\lambda| \cdot \|x\| = \|f(x)\| = \|x\|\), donc \(|\lambda| = 1\). Comme \(\lambda \in \mathbb{R}\), on conclut \(\lambda \in \{-1, 1\}\).
4. Soient \(x \in E_\lambda\) et \(y \in E_\mu\) avec \(\lambda \neq \mu\). Alors :
\(\lambda\mu \, \langle x, y \rangle = \langle \lambda x, \mu y \rangle = \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle\)
Comme \(\lambda, \mu \in \{-1, 1\}\) et \(\lambda \neq \mu\), on a \(\lambda\mu = -1 \neq 1\), d’où \(\langle x, y \rangle = 0\). ∎
Lemme clé — Valeurs propres complexes
Toute valeur propre complexe d’une matrice orthogonale a un module égal à 1.
Preuve rapide : si \(M \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) et \(Mv = \lambda v\) avec \(v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}\), alors \({}^{t}\!\overline{v} \cdot v = {}^{t}\!\overline{v} \, {}^{t}\!M \, M \, v = {}^{t}\!\overline{(Mv)}\,(Mv) = |\lambda|^2 \, {}^{t}\!\overline{v} \cdot v\), d’où \(|\lambda|^2 = 1\). Ce lemme est la clé de la classification en dimension 3.
D. Isométries directes et indirectes
Définition — Isométries directes et indirectes
- \(\mathrm{O}^+(E) = \mathrm{SO}(E) = \{f \in \mathrm{O}(E) : \det(f) = 1\}\) : isométries directes (rotations au sens large)
- \(\mathrm{O}^-(E) = \{f \in \mathrm{O}(E) : \det(f) = -1\}\) : isométries indirectes
\(\mathrm{SO}(E)\) est un sous-groupe distingué de \(\mathrm{O}(E)\) d’indice 2. En revanche, \(\mathrm{O}^-(E)\) n’est pas un sous-groupe : la composée de deux isométries indirectes est directe (car \((-1) \times (-1) = 1\)).
II. Classification des isométries en dimension 2
On se place dans un espace euclidien \(E\) de dimension 2, muni d’une BON directe \(\mathcal{B} = (e_1, e_2)\). La classification est complète et élégante : il n’y a que deux types d’isométries.
A. Rotations vectorielles
Définition — Rotation vectorielle d’angle \(\theta\)
La rotation vectorielle d’angle \(\theta\) est l’isométrie directe \(R_\theta \in \mathrm{SO}(E)\) dont la matrice dans toute BON directe est :
\(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
Propriétés fondamentales des rotations :
- Composition : \(R_\theta \circ R_\varphi = R_{\theta + \varphi}\) — le groupe \((\mathrm{SO}(E), \circ)\) est isomorphe à \((\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)\).
- Inverse : \(R_\theta^{-1} = R_{-\theta}\).
- Cas particuliers : \(R_0 = \mathrm{Id}\) et \(R_\pi = -\mathrm{Id}\).
- Trace : \(\mathrm{tr}(R_\theta) = 2\cos\theta\).
- Spectre : si \(\theta \notin \pi\mathbb{Z}\), le polynôme caractéristique \(\chi_{R_\theta}(X) = X^2 – 2\cos\theta \cdot X + 1\) a un discriminant \(\Delta = -4\sin^2\theta\) < \(0\) : pas de valeur propre réelle. Les valeurs propres complexes sont \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\).
Piège classique : l’angle \(\theta\) dépend de l’orientation de la BON. Si tu remplaces \((e_1, e_2)\) par \((e_2, e_1)\) (orientation indirecte), l’angle devient \(-\theta\). En kholle, précise toujours « dans la BON directe \(\mathcal{B}\) ».
B. Réflexions (symétries orthogonales par rapport à une droite)
Définition — Réflexion par rapport à une droite
Soit \(D\) une droite vectorielle de \(E\). La réflexion (ou symétrie orthogonale) par rapport à \(D\) est l’endomorphisme \(s_D\) défini par :
- \(s_D(x) = x\) pour tout \(x \in D\) (les vecteurs de \(D\) sont fixes)
- \(s_D(x) = -x\) pour tout \(x \in D^\perp\) (les vecteurs orthogonaux sont retournés)
Dans une BON adaptée \((u, v)\) avec \(u \in D\) et \(v \in D^\perp\), la matrice de \(s_D\) est diagonale :
\(\mathrm{Mat}(s_D) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Si \(D\) fait un angle \(\alpha\) avec \(e_1\), on obtient dans la BON canonique :
\(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(s_D) = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}\)
Propriétés essentielles :
- \(s_D \in \mathrm{O}^-(E)\) (déterminant \(-1\))
- \(s_D^2 = \mathrm{Id}\) (involution)
- Valeurs propres : \(1\) (espace propre \(D\)) et \(-1\) (espace propre \(D^\perp\))
- \(\mathrm{tr}(s_D) = 0\)
C. Théorème de classification en dimension 2
Théorème ⋆ — Classification en dimension 2
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension 2 et \(f \in \mathrm{O}(E)\).
- Si \(\det(f) = 1\), alors \(f\) est une rotation \(R_\theta\) pour un unique \(\theta \in [0, 2\pi[\).
- Si \(\det(f) = -1\), alors \(f\) est la réflexion \(s_D\) par rapport à une unique droite \(D\).
Il n’existe aucun autre type d’isométrie en dimension 2.
Démonstration ⋆ (exigible)
Cas \(\det(f) = 1\). Soit \(M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) dans une BON directe. La condition \({}^{t}\!M\,M = I_2\) donne :
\(a^2 + c^2 = 1, \quad b^2 + d^2 = 1, \quad ab + cd = 0, \quad ad – bc = 1\)
De \(a^2 + c^2 = 1\), il existe \(\theta \in [0, 2\pi[\) tel que \(a = \cos\theta\) et \(c = \sin\theta\). La relation \(ab + cd = 0\) donne \(b\cos\theta + d\sin\theta = 0\), donc \((b, d)\) est colinéaire à \((-\sin\theta, \cos\theta)\). Avec \(b^2 + d^2 = 1\), le facteur de proportionnalité est \(\pm 1\). La condition \(ad – bc = 1\) sélectionne le signe \(+\) : \(b = -\sin\theta\), \(d = \cos\theta\). Donc \(M = R_\theta\).
Cas \(\det(f) = -1\). Le polynôme caractéristique est \(\chi_f(X) = X^2 – \mathrm{tr}(f)\,X – 1\). Son discriminant vaut \(\Delta = \mathrm{tr}(f)^2 + 4\) > \(0\) : les deux valeurs propres sont réelles. Elles ont un module \(1\) (propriété des isométries), donc appartiennent à \(\{-1, 1\}\). Leur produit est \(\det(f) = -1\), donc les valeurs propres sont \(1\) et \(-1\).
L’espace propre \(E_1 = \ker(f – \mathrm{Id})\) est une droite \(D\). L’espace propre \(E_{-1} = \ker(f + \mathrm{Id}) = D^\perp\) (par orthogonalité des sous-espaces propres). Comme \(f\) fixe \(D\) et envoie \(D^\perp\) sur son opposé, on a \(f = s_D\). ∎
Fiche de synthèse — Isométries vectorielles (dim 2 et 3)
Définitions, caractérisations, tableau de classification et méthode de détermination des éléments géométriques — tout le cours sur une page recto-verso.
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III. Classification des isométries en dimension 3
La dimension 3 est fondamentalement plus riche que la dimension 2. Le fait décisif : un polynôme de degré 3 à coefficients réels a toujours au moins une racine réelle. Cela garantit l’existence d’un axe (droite propre) et rend la classification possible.
A. Isométries directes : rotations autour d’un axe
Théorème ⋆ — Classification des isométries directes en dimension 3
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension 3 et \(f \in \mathrm{O}^+(E)\). Alors \(f\) est une rotation autour d’un axe : il existe une droite \(D\) et un angle \(\theta \in [0, 2\pi[\) tels que :
- \(f\) fixe \(D\) point par point : \(\forall x \in D, \; f(x) = x\)
- La restriction \(f|_{D^\perp}\) est la rotation d’angle \(\theta\) dans le plan euclidien \(D^\perp\)
Dans une BON adaptée \((e_1, e_2, e_3)\) avec \((e_1, e_2)\) BON directe de \(D^\perp\) et \(e_3 \in D\) :
\(\mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Démonstration ⋆ (exigible)
Étape 1 : la valeur propre 1 existe toujours. Le polynôme caractéristique \(\chi_f\) a degré 3 et coefficients réels : il admet au moins une racine réelle \(\lambda\). Par le lemme (section I.C), toutes les valeurs propres (réelles ou complexes) ont un module 1. Donc \(\lambda \in \{-1, 1\}\).
Le produit des trois valeurs propres (racines de \(\chi_f\)) est \(\det(f) = 1\). Deux cas :
- Trois valeurs propres réelles : chacune dans \(\{-1, 1\}\), produit 1. Options : \((1, 1, 1)\) ou \((1, -1, -1)\). Dans les deux cas, \(1\) est valeur propre.
- Une réelle et deux conjuguées \(\lambda_0, w, \overline{w}\) avec \(|w| = 1\). Produit : \(\lambda_0 \cdot |w|^2 = \lambda_0 = 1\).
Dans tous les cas, \(1 \in \mathrm{Sp}(f)\).
Étape 2 : structure. Soit \(D = \ker(f – \mathrm{Id})\) ; on a \(\dim D \geq 1\). Le sous-espace \(D^\perp\) est stable par \(f\) : en effet, pour \(x \in D^\perp\) et \(y \in D\), on a \(\langle f(x), y \rangle = \langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle = 0\), donc \(f(x) \in D^\perp\).
La restriction \(f|_{D^\perp}\) est une isométrie de \(D^\perp\) de déterminant \(\displaystyle\frac{\det(f)}{\det(f|_D)} = \displaystyle\frac{1}{1} = 1\).
- Si \(\dim D = 3\) : \(f = \mathrm{Id}\) (rotation d’angle \(0\)).
- Si \(\dim D = 2\) : le complément \(D^\perp\) est une droite sur laquelle \(f\) agit par \(\pm 1\). Le déterminant \(\det(f) = 1 \cdot 1 \cdot (\pm 1)\) impose \(+1\), d’où \(f = \mathrm{Id}\).
- Si \(\dim D = 1\) : \(D\) est une droite (l’axe) et \(D^\perp\) un plan. La restriction \(f|_{D^\perp} \in \mathrm{SO}(D^\perp)\) est une rotation d’angle \(\theta\).
Dans tous les cas, \(f\) est une rotation. ∎
Formule de la trace (dimension 3)
Pour une rotation d’angle \(\theta\) autour d’un axe en dimension 3 :
\(\mathrm{tr}(f) = 1 + 2\cos\theta\)
Cette formule est le moyen le plus rapide de déterminer l’angle en exercice. Une fois l’axe trouvé, la trace fixe \(\theta\) à signe près.
B. Isométries indirectes : anti-rotations
Pour les isométries indirectes, le raisonnement est analogue mais le rôle de la valeur propre \(-1\) remplace celui de \(1\).
Théorème — Classification des isométries indirectes en dimension 3
Soit \(f \in \mathrm{O}^-(E)\) avec \(\dim E = 3\). Alors \(f\) est une anti-rotation (ou rotation-réflexion) : il existe une droite \(D\) et un angle \(\theta\) tels que :
\(f = s_{D^\perp} \circ R_{D,\theta} = R_{D,\theta} \circ s_{D^\perp}\)
où \(R_{D,\theta}\) est la rotation d’angle \(\theta\) autour de \(D\) et \(s_{D^\perp}\) la réflexion par rapport au plan \(D^\perp\). Dans une BON adaptée :
\(\mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Preuve (schéma). Par le même raisonnement qu’en III.A (produit des valeurs propres = \(-1\), toutes de module 1), la valeur propre \(-1\) existe toujours. Soit \(D^\prime = \ker(f + \mathrm{Id})\). Nécessairement \(\dim D^\prime \in \{1, 3\}\) (on montre que \(\dim D^\prime = 2\) conduit à \(\det(f) = 1\), contradiction). Sur \((D^\prime)^\perp\), la restriction \(f|_{(D^\prime)^\perp}\) est directe, donc c’est une rotation \(R_\theta\). Le résultat suit en posant \(D = D^\prime\).
Cas particuliers importants :
- \(\theta = 0\) : \(f = s_{D^\perp}\) est une réflexion par rapport au plan \(D^\perp\). Valeurs propres : \((1, 1, -1)\).
- \(\theta = \pi\) : \(f = -\mathrm{Id}\) (la symétrie centrale). Valeurs propres : \((-1, -1, -1)\).
Trace d’une anti-rotation
\(\mathrm{tr}(f) = -1 + 2\cos\theta\)
Compare avec la trace d’une rotation (\(1 + 2\cos\theta\)). La différence de 2 entre les deux formules vient du signe de la composante sur l’axe (\(+1\) pour rotation, \(-1\) pour anti-rotation).
C. Tableau récapitulatif de la classification
Le tableau suivant synthétise toutes les isométries en dimension 3. C’est une référence précieuse pour les colles et les concours.
| Type | det | Valeurs propres | Trace | Matrice en BON adaptée |
|---|---|---|---|---|
| Identité | \(+1\) | \(1, 1, 1\) | \(3\) | \(I_3\) |
| Rotation d’angle \(\theta \neq 0\) | \(+1\) | \(1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\) | \(1 + 2\cos\theta\) | \(\mathrm{diag}(R_\theta, 1)\) |
| Demi-tour (\(\theta = \pi\)) | \(+1\) | \(1, -1, -1\) | \(-1\) | \(\mathrm{diag}(-I_2, 1)\) |
| Réflexion (plan) | \(-1\) | \(1, 1, -1\) | \(1\) | \(\mathrm{diag}(I_2, -1)\) |
| Anti-rotation d’angle \(\theta\) | \(-1\) | \(-1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\) | \(-1 + 2\cos\theta\) | \(\mathrm{diag}(R_\theta, -1)\) |
| Symétrie centrale \(-\mathrm{Id}\) | \(-1\) | \(-1, -1, -1\) | \(-3\) | \(-I_3\) |
Méthode rapide pour classifier une isométrie en dimension 3
- Calculer \(\det(M)\) : détermine si l’isométrie est directe (\(+1\)) ou indirecte (\(-1\)).
- Calculer \(\mathrm{tr}(M)\) : donne l’angle via \(\cos\theta = \displaystyle\frac{\mathrm{tr}(M) – \varepsilon}{2}\) avec \(\varepsilon = \det(M)\).
- Trouver l’axe : résoudre \((M – \varepsilon I_3)X = 0\) où \(\varepsilon = \det(M)\).
- Déterminer le signe de l’angle (si nécessaire) : calculer un produit vectoriel.
IV. Lien avec les matrices orthogonales et décomposition en réflexions
Les isométries vectorielles et les matrices orthogonales sont les deux faces d’une même pièce. Cette section explicite leur correspondance et présente un résultat structurel profond : toute isométrie se décompose en produit de réflexions.
A. Correspondance isométrie ↔ matrice orthogonale
Soit \(\mathcal{B}\) une BON de \(E\). L’application
\(\varphi : \mathrm{O}(E) \longrightarrow \mathrm{O}_n(\mathbb{R}), \quad f \longmapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\)
est un isomorphisme de groupes. De même, \(\mathrm{SO}(E) \cong \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\).
Concrètement, étudier une isométrie \(f\) ou sa matrice \(M\) dans une BON, c’est la même chose. Le passage par les matrices est indispensable en exercice : on travaille avec \({}^{t}\!M\,M = I_n\), on calcule \(\det(M)\) et \(\mathrm{tr}(M)\), et on en déduit la nature géométrique de \(f\).
Pour un traitement détaillé du groupe orthogonal \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) et de ses propriétés algébriques, consulte la page dédiée du cocon.
B. Décomposition en produit de réflexions (Cartan-Dieudonné)
Théorème (Cartan-Dieudonné)
Toute isométrie d’un espace euclidien de dimension \(n\) est le produit d’au plus \(n\) réflexions par rapport à des hyperplans.
En petites dimensions, cela donne :
| Isométrie | Nombre de réflexions |
|---|---|
| Réflexion (dim 2 ou 3) | 1 |
| Rotation en dim 2 | 2 |
| Rotation en dim 3 | 2 (réflexions par rapport à des plans) |
| Anti-rotation en dim 3 | 3 |
Propriété clé — Composée de deux réflexions en dimension 2
Soient \(D_1\) et \(D_2\) deux droites vectorielles faisant un angle \(\alpha\) (de \(D_1\) vers \(D_2\)). Alors :
\(s_{D_2} \circ s_{D_1} = R_{2\alpha}\)
Réciproquement, toute rotation \(R_\theta\) se décompose en \(s_{D_2} \circ s_{D_1}\) avec \(\alpha = \displaystyle\frac{\theta}{2}\).
Cette propriété est fondamentale : elle signifie que les rotations « vivent » dans les réflexions. En exercice, elle permet de décomposer une rotation en produit de réflexions avec une liberté de choix sur la première droite \(D_1\).
V. Exercices corrigés
Trois exercices de difficulté croissante pour ancrer les résultats de classification. Chaque correction est détaillée pas à pas.
Exercice 1 — ★ Reconnaissance en dimension 2 (niveau MPSI)
Énoncé. Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) de matrice dans la base canonique :
\(M = \displaystyle\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\)
Montrer que \(f\) est une isométrie vectorielle et déterminer sa nature géométrique.
Voir la correction
Étape 1 : vérifier que \(M\) est orthogonale.
\({}^{t}\!M \, M = \displaystyle\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 + 3 & 0 \\ 0 & 3 + 1 \end{pmatrix} = I_2\)
Donc \(f \in \mathrm{O}(\mathbb{R}^2)\).
Étape 2 : déterminer le type.
\(\det(M) = \displaystyle\frac{1}{4}(1 + 3) = 1\) > \(0\). Donc \(f\) est une isométrie directe : c’est une rotation \(R_\theta\).
Étape 3 : trouver l’angle. On identifie \(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), d’où :
\(\fbox{\theta = \displaystyle\frac{\pi}{3}}\)
\(f\) est la rotation vectorielle d’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Exercice 2 — ★★ Décomposition en produit de réflexions (niveau MP)
Énoncé. Soit \(r = R_{\pi/4}\) la rotation d’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien canonique. Décomposer \(r\) en produit de deux réflexions et vérifier le résultat.
Voir la correction
Principe. D’après Cartan-Dieudonné (section IV.B), \(R_\theta = s_{D_2} \circ s_{D_1}\) où \(D_1\) et \(D_2\) forment un angle \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\). Ici \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{4}\), donc l’angle entre les deux droites est \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Choix. Posons \(D_1 = \mathbb{R} \cdot e_1\) (axe des abscisses) et \(D_2 = \mathbb{R} \cdot \bigl(\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}, \sin\displaystyle\frac{\pi}{8}\bigr)\).
Matrices des réflexions.
\(s_{D_1}\) : matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
\(s_{D_2}\) : l’angle de \(D_2\) avec \(e_1\) est \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8}\), donc :
\(\mathrm{Mat}(s_{D_2}) = \begin{pmatrix} \cos\displaystyle\frac{\pi}{4} & \sin\displaystyle\frac{\pi}{4} \\ \sin\displaystyle\frac{\pi}{4} & -\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)
Vérification.
\(s_{D_2} \circ s_{D_1} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = R_{\pi/4}\) ✓
La décomposition n’est pas unique : on peut choisir n’importe quelle droite \(D_1\), puis \(D_2\) s’en déduit par rotation de \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Exercice 3 — ★★★ Classification en dimension 3 (type oral Mines-Ponts)
Énoncé. Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)\) dont la matrice dans la base canonique est :
\(M = \displaystyle\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\)
- Montrer que \(f\) est une isométrie vectorielle et déterminer si elle est directe ou indirecte.
- Déterminer l’axe de \(f\).
- Calculer l’angle de rotation.
Voir la correction
1. Vérification. Calculons \({}^{t}\!M \, M\). Les colonnes de \(3M\) sont \(C_1 = (2, 2, -1)\), \(C_2 = (-1, 2, 2)\), \(C_3 = (2, -1, 2)\).
- \(\|C_1\|^2 = 4 + 4 + 1 = 9\), \(\|C_2\|^2 = 1 + 4 + 4 = 9\), \(\|C_3\|^2 = 4 + 1 + 4 = 9\)
- \(\langle C_1, C_2 \rangle = -2 + 4 – 2 = 0\), \(\langle C_1, C_3 \rangle = 4 – 2 – 2 = 0\), \(\langle C_2, C_3 \rangle = -2 – 2 + 4 = 0\)
Donc \({}^{t}(3M)(3M) = 9\,I_3\), soit \({}^{t}\!M\,M = I_3\) : \(f\) est une isométrie.
Déterminant : \(\det(3M) = 2(4 + 2) + 1(4 – 1) + 2(4 + 2) = 12 + 3 + 12 = 27\). Donc \(\det(M) = \displaystyle\frac{27}{27} = 1\). L’isométrie est directe : c’est une rotation.
2. Axe. On cherche \(\ker(M – I_3)\). Comme \(M – I_3 = \displaystyle\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\), on résout :
\(\begin{cases} -x – y + 2z = 0 \\ 2x – y – z = 0 \\ -x + 2y – z = 0 \end{cases}\)
\(L_2 + 2L_1\) donne \(-3y + 3z = 0\), soit \(y = z\). La première équation donne \(x = -y + 2z = z\). Donc \(x = y = z\) et :
\(\fbox{D = \mathrm{Vect}(1, 1, 1)}\)
3. Angle. \(\mathrm{tr}(M) = \displaystyle\frac{2 + 2 + 2}{3} = 2 = 1 + 2\cos\theta\), d’où \(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\theta = \pm \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Détermination du signe. Prenons \(u = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0) \in D^\perp\). Son image :
\(f(u) = \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}}(2+1, \; 2-2, \; -1-2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1, \; 0, \; -1\right)\)
Le produit vectoriel \(u \wedge f(u) = \displaystyle\frac{1}{2}(1, 1, 1)\) est positivement colinéaire à l’axe \((1, 1, 1)\). Donc, pour l’axe orienté par \((1, 1, 1)\) :
\(\fbox{f \text{ est la rotation d’angle } \displaystyle\frac{\pi}{3} \text{ autour de } D = \mathrm{Vect}(1, 1, 1)}\)
VI. Erreurs fréquentes et rédaction concours
A. Pièges classiques
Erreur n°1 — Confondre « isométrie » et « rotation »
❌ Copie fautive : « \(f \in \mathrm{O}(E)\) donc \(f\) est une rotation. »
→ Diagnostic : toute rotation est une isométrie, mais pas l’inverse ! Les réflexions et les anti-rotations sont aussi des isométries.
✅ Correction : « \(f \in \mathrm{O}(E)\). Comme \(\det(f) = 1\), \(f \in \mathrm{SO}(E)\) : c’est une rotation. »
Erreur n°2 — Oublier de vérifier \({}^{t}\!M\,M = I_n\)
❌ Copie fautive : « \(\det(M) = 1\) donc \(f\) est une rotation. »
→ Diagnostic : \(\det(M) = 1\) ne suffit pas ! Toute matrice de \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})\) a un déterminant 1, mais seules celles qui vérifient aussi \({}^{t}\!M\,M = I_n\) sont des rotations.
✅ Correction : d’abord montrer \({}^{t}\!M\,M = I_n\) (isométrie), puis conclure avec \(\det(M) = 1\) (directe).
Erreur n°3 — Angle non orienté en dimension 3
La formule \(\mathrm{tr}(f) = 1 + 2\cos\theta\) donne \(\theta\) à signe près. Pour lever l’ambiguïté, il faut choisir une orientation de l’axe et calculer \(u \wedge f(u)\) (cf. exercice 3). En colle, précise toujours l’orientation de l’axe avant de donner l’angle.
B. Comment rédiger en colle et en concours
Structure attendue pour « Montrer que \(f\) est une rotation et déterminer ses éléments »
- Orthogonalité : « Vérifions que \({}^{t}\!M\,M = I_n\) : […]. Donc \(f \in \mathrm{O}(E)\). »
- Déterminant : « \(\det(M) = 1\), donc \(f \in \mathrm{SO}(E)\) : \(f\) est une rotation. »
- Axe : « Déterminons \(\ker(M – I_3)\) : […]. L’axe est \(D = \mathrm{Vect}(\ldots)\). »
- Angle : « \(\mathrm{tr}(M) = 1 + 2\cos\theta = \ldots\), d’où \(\cos\theta = \ldots\), soit \(\theta = \pm \ldots\) »
- Signe de l’angle : « Soit \(u \in D^\perp\) unitaire. Le produit vectoriel \(u \wedge f(u) = \ldots\) est [positivement/négativement] colinéaire à l’axe orienté par \((\ldots)\), donc \(\theta = \ldots\) »
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une isométrie vectorielle ?
Une isométrie vectorielle est un endomorphisme d’un espace euclidien qui conserve la norme de tout vecteur : \(\|f(x)\| = \|x\|\) pour tout \(x\). De manière équivalente, c’est un endomorphisme dont la matrice dans toute base orthonormée est une matrice orthogonale (\({}^{t}\!M\,M = I_n\)). Les isométries conservent les distances, les angles et les aires.
Quels sont les types d'isométries en dimension 2 et 3 ?
En dimension 2 : il n’y a que deux types — les rotations (isométries directes, \(\det = 1\)) et les réflexions (isométries indirectes, \(\det = -1\)). En dimension 3 : les isométries directes sont les rotations autour d’un axe ; les isométries indirectes sont les anti-rotations (composition d’une rotation et d’une réflexion par rapport au plan perpendiculaire à l’axe), dont les cas particuliers sont les réflexions par rapport à un plan et la symétrie centrale \(-\mathrm{Id}\).
Quel est le déterminant d'une isométrie vectorielle ?
Le déterminant d’une isométrie vectorielle vaut toujours \(+1\) ou \(-1\). Si \(\det(f) = 1\), l’isométrie est directe (rotation). Si \(\det(f) = -1\), elle est indirecte (réflexion ou anti-rotation). Cela découle de \(\det({}^{t}\!M\,M) = \det(M)^2 = 1\).
Comment trouver l'axe et l'angle d'une rotation en dimension 3 ?
Pour l’axe : résoudre le système \((M – I_3)X = 0\) (chercher l’espace propre associé à la valeur propre 1). Pour l’angle : utiliser \(\mathrm{tr}(M) = 1 + 2\cos\theta\), qui donne \(\theta\) à signe près. Pour le signe de \(\theta\) : prendre un vecteur \(u \in D^\perp\), calculer \(u \wedge f(u)\), et vérifier s’il est positivement ou négativement colinéaire à l’axe orienté.
Quelle est la différence entre isométrie vectorielle et matrice orthogonale ?
Une isométrie vectorielle est un endomorphisme d’un espace euclidien (objet géométrique, indépendant du choix de base). Une matrice orthogonale est une matrice \(M \in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \({}^{t}\!M\,M = I_n\) (objet algébrique, dépendant d’une base). Le lien : la matrice d’une isométrie dans une BON est une matrice orthogonale, et réciproquement. Voir notre page sur les matrices orthogonales pour approfondir.
Quelle est la différence entre isométrie vectorielle et isométrie affine ?
Une isométrie vectorielle est un endomorphisme linéaire d’un espace vectoriel euclidien qui conserve la norme (elle fixe nécessairement l’origine). Une isométrie affine est une application affine d’un espace affine euclidien qui conserve les distances entre points (elle ne fixe pas forcément l’origine : les translations sont des isométries affines). Toute isométrie affine s’écrit \(f(M) = g(\overrightarrow{OM}) + \vec{t}\) où \(g\) est une isométrie vectorielle et \(\vec{t}\) un vecteur de translation.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la classification des isométries vectorielles en dimensions 2 et 3. Pour approfondir les espaces euclidiens et les notions connexes :
- Espace euclidien : cours complet (MPSI, MP, PSI) — la page pilier du cocon, avec produit scalaire, norme, orthogonalité
- Matrices orthogonales et groupe orthogonal — propriétés algébriques de \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\)
- Endomorphismes auto-adjoints — valeurs propres réelles et diagonalisation en BON, prérequis du théorème spectral
- Procédé de Gram-Schmidt — construction de bases orthonormées, outil clé pour trouver des BON adaptées aux isométries
Prolongements : en L3 et à l’agrégation, les isométries se généralisent aux espaces hermitiens (groupe unitaire \(\mathrm{U}(n)\)) et aux espaces de dimension infinie (isométries d’espaces de Hilbert). En physique, le groupe \(\mathrm{SO}(3)\) décrit les rotations de l’espace tridimensionnel et joue un rôle central en mécanique du solide et en cristallographie.
