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L’inégalité de Cauchy-Schwarz, que tu maîtrises dans \(\mathbb{R}^n\), se transpose naturellement au cadre des fonctions continues grâce au produit scalaire \(L^2\). Cette version intégrale est omniprésente en CPGE : majoration d’intégrales, étude de normes, inégalités fonctionnelles. Tu trouveras ici l’énoncé précis dans le cadre \(L^2\), la démonstration par le discriminant (exigible ⋆ en colle), le cas d’égalité — souvent bâclé en copie — et trois exercices corrigés classés par difficulté croissante.
I. Produit scalaire L² et énoncé de l’inégalité
A. Le cadre fonctionnel
On travaille sur l’espace vectoriel \(\mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\) des fonctions continues de \([a\,;\,b]\) dans \(\mathbb{R}\). Cet espace devient un espace préhilbertien lorsqu’on le munit du produit scalaire suivant :
Définition — Produit scalaire \(L^2\)
Pour \(f, g \in \mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\), on pose :
\(\displaystyle \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)\,g(t)\,dt\)
Cette application est bilinéaire, symétrique et définie positive. La norme associée est :
\(\displaystyle \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\int_a^b f(t)^2\,dt}\)
La définie-positivité repose sur un argument de continuité : si \(\langle f, f \rangle = \int_a^b f(t)^2\,dt = 0\) avec \(f^2 \geq 0\) continue, alors \(f = 0\) sur \([a\,;\,b]\). C’est cet argument que les concurrents SERP omettent systématiquement — et que le correcteur attend.
B. Énoncé du théorème
Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale
Pour toutes fonctions \(f, g \in \mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\) :
\(\displaystyle \left(\int_a^b f(t)\,g(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \left(\int_a^b f(t)^2\,dt\right)\!\left(\int_a^b g(t)^2\,dt\right)\)
Autrement dit : \(\langle f, g \rangle^2 \leq \|f\|_2^2 \cdot \|g\|_2^2\), ou encore \(|\langle f, g \rangle| \leq \|f\|_2 \cdot \|g\|_2\).
Ce résultat est un cas particulier de l’inégalité de Cauchy-Schwarz générale dans un espace euclidien. Ici, l’espace vectoriel est \(\mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\) (de dimension infinie) et le produit scalaire est celui de \(L^2\).
Interprétation géométrique. Exactement comme dans \(\mathbb{R}^n\), l’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de définir un « angle » \(\theta\) entre deux fonctions non nulles :
\(\displaystyle \cos\theta = \displaystyle\frac{\langle f, g \rangle}{\|f\|_2 \cdot \|g\|_2}\)
L’inégalité garantit que ce quotient appartient bien à \([-1\,;\,1]\), ce qui rend la définition licite. Deux fonctions orthogonales (\(\langle f, g \rangle = 0\)) forment un angle droit dans \(L^2\).
Passons à la démonstration, qui repose sur une idée aussi simple qu’élégante : étudier un trinôme du second degré.
II. Démonstration par le discriminant ⋆
Cette démonstration est exigible en colle dans toutes les filières (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI). Elle repose sur la positivité d’une intégrale de carré et sur l’étude du discriminant du trinôme associé.
Démonstration.
Cas \(g = 0\). Les deux membres de l’inégalité valent \(0\) : l’inégalité est triviale.
Cas \(g \neq 0\). Pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), la fonction \((f + \lambda g)^2\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\), donc :
\(\displaystyle P(\lambda) = \int_a^b \bigl(f(t) + \lambda\,g(t)\bigr)^2\,dt \geq 0\)
En développant le carré :
\(\displaystyle P(\lambda) = \int_a^b f(t)^2\,dt + 2\lambda\!\int_a^b f(t)\,g(t)\,dt + \lambda^2\!\int_a^b g(t)^2\,dt\)
Soit, avec les notations compactes :
\(\displaystyle P(\lambda) = \|f\|_2^2 + 2\lambda\,\langle f, g \rangle + \lambda^2\,\|g\|_2^2\)
C’est un polynôme de degré \(2\) en \(\lambda\) (car \(\|g\|_2^2 \neq 0\) puisque \(g \neq 0\)), à coefficient dominant strictement positif, et qui est \(\geq 0\) pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\).
Son discriminant est donc négatif ou nul :
\(\displaystyle \Delta = 4\,\langle f, g \rangle^2 – 4\,\|f\|_2^2\,\|g\|_2^2 \leq 0\)
En simplifiant par \(4\) :
\(\displaystyle \langle f, g \rangle^2 \leq \|f\|_2^2 \cdot \|g\|_2^2\)
Ce qui est exactement l’inégalité de Cauchy-Schwarz. ∎
Pourquoi cette méthode ? Le trinôme en \(\lambda\) est l’outil universel pour démontrer Cauchy-Schwarz, quel que soit le cadre (sommes finies, intégrales, espérance). Si tu retiens une seule preuve pour la colle, c’est celle-ci.
Cauchy-Schwarz intégrale : la fiche de synthèse
Énoncé, démonstration en 6 lignes, cas d’égalité et pièges de rédaction — tout sur une page recto, prête pour tes révisions de colle.
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La démonstration dit plus que l’inégalité : elle caractérise exactement quand l’égalité a lieu. Voyons cela.
III. Cas d’égalité
Le cas d’égalité est la partie la plus souvent ratée en copie de concours. Les correcteurs y accordent pourtant une attention particulière : c’est un critère de rigueur.
Proposition — Cas d’égalité
L’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale a lieu si et seulement si \(f\) et \(g\) sont colinéaires dans \(\mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\), c’est-à-dire :
\(\exists\,(\alpha, \beta) \neq (0, 0), \quad \alpha f + \beta g = 0 \text{ sur } [a\,;\,b]\)
Démonstration du cas d’égalité.
Si \(g = 0\), l’égalité est triviale et \(f\), \(g\) sont colinéaires.
Si \(g \neq 0\) : l’égalité revient à \(\Delta = 0\), donc le trinôme \(P(\lambda)\) admet une racine double \(\lambda_0 \in \mathbb{R}\) telle que \(P(\lambda_0) = 0\).
Or \(P(\lambda_0) = \int_a^b (f(t) + \lambda_0\,g(t))^2\,dt = 0\). Comme \((f + \lambda_0\,g)^2\) est continue et positive, on conclut que \(f + \lambda_0\,g = 0\) sur \([a\,;\,b]\).
Donc \(f = -\lambda_0\,g\) : les fonctions sont proportionnelles. ∎
Piège classique. Écrire « il existe \(\lambda\) tel que \(f = \lambda g\) » ne couvre pas le cas \(f \neq 0\), \(g = 0\). La formulation correcte utilise la colinéarité : \(\exists\,(\alpha, \beta) \neq (0, 0)\) avec \(\alpha f + \beta g = 0\).
Mettons maintenant ce théorème en pratique avec trois exercices de difficulté croissante.
IV. Exercices corrigés
Exercice 1 — Majoration directe (★ · 1re année MPSI/PCSI)
Soit \(f \in \mathcal{C}([0\,;\,1],\,\mathbb{R})\). Montrer que :
\(\displaystyle \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \int_0^1 f(t)^2\,dt\)Préciser le cas d’égalité.
Voir la correction
On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale à \(f\) et à la fonction constante \(g = 1\) sur \([0\,;\,1]\) :
\(\displaystyle \langle f, 1 \rangle^2 \leq \|f\|_2^2 \cdot \|1\|_2^2\)Calculons chaque terme :
- \(\langle f, 1 \rangle = \int_0^1 f(t) \cdot 1\,dt = \int_0^1 f(t)\,dt\)
- \(\|1\|_2^2 = \int_0^1 1^2\,dt = 1\)
D’où : \(\displaystyle \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \int_0^1 f(t)^2\,dt\).
Cas d’égalité : \(f\) et \(1\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(f\) est constante sur \([0\,;\,1]\).
Exercice 2 — Inégalité triangulaire dans L² (★★ · Application norme L²)
On munit \(\mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\) de la norme \(\|f\|_2 = \sqrt{\int_a^b f(t)^2\,dt}\).
Montrer que pour tous \(f, g \in \mathcal{C}([a\,;\,b],\,\mathbb{R})\) :
\(\displaystyle \|f + g\|_2 \leq \|f\|_2 + \|g\|_2\)Voir la correction
On développe \(\|f + g\|_2^2\) par bilinéarité du produit scalaire :
\(\displaystyle \|f + g\|_2^2 = \langle f + g,\, f + g \rangle = \|f\|_2^2 + 2\,\langle f, g \rangle + \|g\|_2^2\)Par Cauchy-Schwarz : \(\langle f, g \rangle \leq |\langle f, g \rangle| \leq \|f\|_2 \cdot \|g\|_2\).
Donc :
\(\displaystyle \|f + g\|_2^2 \leq \|f\|_2^2 + 2\,\|f\|_2\,\|g\|_2 + \|g\|_2^2 = \bigl(\|f\|_2 + \|g\|_2\bigr)^2\)En prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs) :
\(\displaystyle \|f + g\|_2 \leq \|f\|_2 + \|g\|_2\) ∎
Remarque. On vient de prouver que \(\|\cdot\|_2\) vérifie l’inégalité triangulaire, ce qui achève — avec l’homogénéité et la séparation — la preuve que \(\|\cdot\|_2\) est bien une norme.
Exercice 3 — Majoration via Fubini et Cauchy-Schwarz (★★★ · Kholle MP/PC)
Soit \(f \in \mathcal{C}^1([0\,;\,1],\,\mathbb{R})\) telle que \(f(0) = 0\). Montrer que :
\(\displaystyle \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \displaystyle\frac{1}{3}\int_0^1 f^\prime(t)^2\,dt\)Préciser le cas d’égalité.
Voir la correction
Étape 1 — Réécriture par le théorème fondamental.
Puisque \(f(0) = 0\) et \(f^\prime\) est continue :
\(\displaystyle f(t) = \int_0^t f^\prime(s)\,ds\)Étape 2 — Interversion (Fubini).
\(\displaystyle \int_0^1 f(t)\,dt = \int_0^1 \!\left(\int_0^t f^\prime(s)\,ds\right)dt = \int_0^1 f^\prime(s)\!\left(\int_s^1 dt\right)ds = \int_0^1 (1-s)\,f^\prime(s)\,ds\)Étape 3 — Application de Cauchy-Schwarz.
On applique l’inégalité aux fonctions \(s \mapsto (1-s)\) et \(s \mapsto f^\prime(s)\) sur \([0\,;\,1]\) :
\(\displaystyle \left(\int_0^1 (1-s)\,f^\prime(s)\,ds\right)^{\!2} \leq \left(\int_0^1 (1-s)^2\,ds\right)\!\left(\int_0^1 f^\prime(s)^2\,ds\right)\)Étape 4 — Calcul de l’intégrale.
\(\displaystyle \int_0^1 (1-s)^2\,ds = \left[-\displaystyle\frac{(1-s)^3}{3}\right]_0^1 = 0 – \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{3}\)Conclusion :
\(\displaystyle \left(\int_0^1 f(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \displaystyle\frac{1}{3}\int_0^1 f^\prime(t)^2\,dt\) ∎
Cas d’égalité : Par le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz, les fonctions \(s \mapsto 1-s\) et \(s \mapsto f^\prime(s)\) sont proportionnelles, donc \(f^\prime(s) = c\,(1-s)\) pour une constante \(c \in \mathbb{R}\).
En intégrant avec \(f(0) = 0\) : \(f(t) = c\!\left(t – \displaystyle\frac{t^2}{2}\right)\).
V. Pièges classiques et rédaction concours
A. Erreurs fréquentes en colle et en concours
❌ Erreur n°1 — Oublier le cas \(g = 0\).
La preuve par le discriminant suppose \(g \neq 0\) (sinon le trinôme est de degré \(\leq 1\)). Un candidat qui traite directement le trinôme sans séparer ce cas perd des points. Le correcteur attend une phrase : « Si \(g = 0\), l’inégalité est triviale (les deux membres sont nuls). »
❌ Erreur n°2 — Mal rédiger le cas d’égalité.
Écrire « \(\exists\,\lambda,\; f = \lambda g\) » oublie le cas \(g = 0\) avec \(f \neq 0\). La formulation attendue est : « \(f\) et \(g\) sont colinéaires, i.e. \(\exists\,(\alpha, \beta) \neq (0,0), \; \alpha f + \beta g = 0\) ».
❌ Erreur n°3 — Affirmer la positivité d’une intégrale de carré sans justifier.
L’argument « \((f + \lambda g)^2 \geq 0\) donc \(\int (f + \lambda g)^2 \geq 0\) » est correct mais doit être explicité : il repose sur la croissance de l’intégrale (si \(h \geq 0\) continue sur \([a\,;\,b]\), alors \(\int_a^b h \geq 0\)).
B. Comment rédiger la preuve en 6 lignes propres
Modèle de rédaction concours.
- Séparer le cas \(g = 0\) (trivial) du cas \(g \neq 0\).
- Poser le trinôme \(P(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2\) et affirmer \(P(\lambda) \geq 0\) par croissance de l’intégrale.
- Développer par linéarité de l’intégrale.
- Identifier un trinôme de degré 2 à coefficient dominant \(\|g\|_2^2 \neq 0\).
- Conclure \(\Delta \leq 0\).
- Traiter le cas d’égalité (\(\Delta = 0 \Leftrightarrow \exists\,\lambda_0,\; f + \lambda_0 g = 0\)).
Ce plan tient en une demi-page de copie. C’est exactement ce que l’examinateur attend à l’oral.
VI. Questions fréquentes
Qu'est-ce que l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales ?
C’est une inégalité qui borne le produit scalaire \(L^2\) de deux fonctions continues par le produit de leurs normes : \((\int_a^b fg)^2 \leq (\int_a^b f^2)(\int_a^b g^2)\). Elle est l’analogue continu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes finies \((\sum a_i b_i)^2 \leq (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\), avec le produit scalaire \(L^2\) à la place du produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^n\).
Comment démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale ?
La démonstration standard suit quatre étapes : (1) poser le trinôme \(P(\lambda) = \int (f + \lambda g)^2 \geq 0\) ; (2) développer le carré par linéarité de l’intégrale ; (3) identifier un polynôme de degré 2 en \(\lambda\) à coefficient dominant positif ; (4) conclure que son discriminant est \(\leq 0\), ce qui donne exactement Cauchy-Schwarz. Ne pas oublier de traiter le cas \(g = 0\) séparément.
Quelle est la différence entre Cauchy-Schwarz pour les intégrales et pour les sommes ?
La structure est identique : seul le produit scalaire change. Pour les sommes dans \(\mathbb{R}^n\), on utilise \(\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i\). Pour les intégrales, on utilise \(\langle f, g \rangle = \int_a^b fg\). La démonstration par le discriminant fonctionne mot pour mot dans les deux cas. Il existe aussi une version probabiliste avec \(\langle X, Y \rangle = E(XY)\), qui suit le même schéma.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est-elle liée à l'inégalité triangulaire ?
Oui, directement. L’inégalité triangulaire pour la norme \(L^2\) (\(\|f + g\|_2 \leq \|f\|_2 + \|g\|_2\)) se démontre grâce à Cauchy-Schwarz : on développe \(\|f + g\|_2^2\) puis on majore le terme croisé \(2\langle f, g \rangle\) par \(2\|f\|_2\|g\|_2\). C’est l’objet de l’exercice 2 de cette page.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz fonctionne-t-elle pour des fonctions discontinues ?
En toute rigueur, la version présentée ici requiert la continuité sur un segment (pour garantir la définie-positivité et l’intégrabilité). En théorie de l’intégration (Lebesgue), l’inégalité s’étend aux fonctions de \(L^2\) — mais l’égalité \(\int f^2 = 0 \Rightarrow f = 0\) ne tient alors que « presque partout ». Ce raffinement dépasse le programme CPGE.
VII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cadre intégral. Pour approfondir le sujet :
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : toutes les formes et démonstrations — la page de référence du cocon, avec quatre démonstrations comparées et le cas d’égalité général.
- Cauchy-Schwarz et variables aléatoires — la transposition au cadre probabiliste, avec covariance et espérance.
- Procédé de Gram-Schmidt — la construction de bases orthonormées dans \(L^2\), qui utilise le produit scalaire intégral.
- Espace euclidien : cours complet — le cadre général qui unifie toutes ces inégalités.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale est aussi le point de départ des inégalités de Hölder (pour \(p \neq 2\)) et de la théorie des espaces \(L^p\) — un prolongement naturel en L3 et à l’agrégation.
