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Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Cette structure, au programme de MPSI/PCSI en première année et approfondie en MP/PSI/PC en deuxième année, constitue le cadre naturel de la géométrie analytique et de l’algèbre bilinéaire. Tu trouveras ici les définitions fondamentales, les théorèmes structurants — inégalité de Cauchy-Schwarz, procédé de Gram-Schmidt, théorème spectral —, les démonstrations exigibles et des exercices corrigés de type concours. Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026.
I. Définition d’un espace euclidien
A. Définition formelle
Plaçons-nous dans le cadre de l’algèbre linéaire sur \(\mathbb{R}\). La notion d’espace euclidien ajoute à la structure d’espace vectoriel un outil fondamental : le produit scalaire, qui permet de mesurer des longueurs, des angles et de définir l’orthogonalité.
Définition — Espace euclidien
On appelle espace euclidien tout couple \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) où :
- \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie,
- \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(E\), c’est-à-dire une forme bilinéaire symétrique définie positive (voir section II).
L’hypothèse de dimension finie est essentielle. Un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire mais de dimension éventuellement infinie est appelé espace préhilbertien réel. L’espace euclidien est donc un espace préhilbertien réel de dimension finie. Cette restriction garantit l’existence de bases orthonormées, la validité du procédé de Gram-Schmidt et les théorèmes de projection — autant de résultats qui, en dimension infinie, nécessitent des hypothèses supplémentaires (complétude, séparabilité).
B. Exemples fondamentaux
Trois exemples canoniques reviennent systématiquement en CPGE :
- \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique. Pour \(x = (x_1, \ldots, x_n)\) et \(y = (y_1, \ldots, y_n)\) :
\(\langle x, y \rangle = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k y_k\)
C’est l’espace euclidien de référence. - \(\mathbb{R}_n[X]\) muni du produit scalaire intégral. Pour \(P, Q \in \mathbb{R}_n[X]\) :
\(\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,dt\)
C’est un espace euclidien de dimension \(n+1\). - \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) muni du produit scalaire trace. Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) :
\(\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A \, B)\)
C’est un espace euclidien de dimension \(n^2\).
Réflexe de colle : quand un énoncé dit « soit \(E\) un espace euclidien », la première question à se poser est : quel produit scalaire ? Si rien n’est précisé, l’examinateur attend souvent que tu travailles avec un produit scalaire « abstrait » \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), sans choisir de base.
II. Produit scalaire : axiomes et exemples
Le produit scalaire est la brique de base de toute la théorie euclidienne. Sa définition repose sur quatre propriétés qui doivent être vérifiées rigoureusement pour chaque exemple.
A. Axiomes du produit scalaire
Définition — Produit scalaire
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Une application \(\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}\) est un produit scalaire sur \(E\) si elle vérifie :
- Bilinéarité : \(\forall x, y, z \in E, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\),
\(\langle \lambda x + \mu y, \, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \mu \langle y, z \rangle\)
- Symétrie : \(\forall x, y \in E, \quad \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\)
- Définie positive : \(\forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle \geq 0\), et \(\langle x, x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0_E\)
En combinant bilinéarité et symétrie, on obtient la linéarité à droite : \(\langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \mu \langle x, z \rangle\).
On dit aussi que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Si seule la positivité est vérifiée (sans la condition de séparation), on parle de forme bilinéaire symétrique positive — attention, ce n’est alors plus un produit scalaire.
Piège classique en colle : pour montrer qu’une application est un produit scalaire, l’erreur la plus fréquente est d’oublier de vérifier la séparation (le fait que \(\langle x, x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0_E\)). La positivité seule ne suffit pas. Par exemple, sur \(\mathbb{R}^2\), l’application \(\langle (x_1, x_2), (y_1, y_2) \rangle = x_1 y_1\) est bilinéaire, symétrique et positive, mais pas définie : \(\langle (0, 1), (0, 1) \rangle = 0\) alors que \((0, 1) \neq 0_E\).
B. Exemples canoniques
| Espace \(E\) | Produit scalaire \(\langle x, y \rangle\) | Dimension |
|---|---|---|
| \(\mathbb{R}^n\) | \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k y_k\) | \(n\) |
| \(\mathbb{R}_n[X]\) | \(\displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,dt\) | \(n+1\) |
| \(\mathbb{R}_n[X]\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_k\) (coefficients) | \(n+1\) |
| \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) | \(\mathrm{tr}({}^t\!A \, B)\) | \(n^2\) |
| \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) | \(\mathrm{tr}(AB)\) | \(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) |
Remarque importante : sur \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) (matrices symétriques réelles), la formule se simplifie en \(\mathrm{tr}(AB)\) car \({}^t\!A = A\).
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C. Matrice de Gram et calcul pratique
Soit \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\). La matrice de Gram de \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) dans \(\mathcal{B}\) est la matrice :
\(G = \big(\langle e_i, e_j \rangle\big)_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\)
Si \(x = \sum x_i e_i\) et \(y = \sum y_j e_j\) ont pour colonnes de coordonnées \(X\) et \(Y\), alors :
\(\langle x, y \rangle = {}^t\!X \, G \, Y\)
Conséquence clé : dans une base orthonormée, \(G = I_n\). Le produit scalaire se réduit alors au produit canonique des coordonnées : \(\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i\). C’est la raison fondamentale pour laquelle on cherche toujours à travailler dans une base orthonormée.
La matrice de Gram est aussi l’outil central pour vérifier qu’une forme bilinéaire est un produit scalaire : elle doit être symétrique définie positive, c’est-à-dire que toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
III. Norme euclidienne, distance et orthogonalité
Le produit scalaire engendre naturellement une norme, une distance et une notion d’orthogonalité. Ces trois outils structurent toute la géométrie d’un espace euclidien.
A. Norme euclidienne
Définition — Norme associée au produit scalaire
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien. On appelle norme euclidienne l’application :
\(\Vert \cdot \Vert : E \to \mathbb{R}^+, \quad x \mapsto \sqrt{\langle x, x \rangle}\)
Propriété — Axiomes de norme ⋆
L’application \(\Vert \cdot \Vert\) vérifie :
- Séparation : \(\Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_E\)
- Homogénéité : \(\forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \Vert \lambda x \Vert = |\lambda| \, \Vert x \Vert\)
- Inégalité triangulaire : \(\Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert\)
La démonstration de l’inégalité triangulaire repose sur l’inégalité de Cauchy-Schwarz (section IV).
On dispose aussi de deux identités fondamentales reliant norme et produit scalaire.
Propriété — Identités de polarisation
Pour tout \(x, y \in E\) :
\(\langle x, y \rangle = \displaystyle\frac{1}{2}\big(\Vert x + y \Vert^2 – \Vert x \Vert^2 – \Vert y \Vert^2\big)\)
\(\langle x, y \rangle = \displaystyle\frac{1}{4}\big(\Vert x + y \Vert^2 – \Vert x – y \Vert^2\big)\)
Ces identités montrent que le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme : connaître les longueurs suffit à retrouver les angles. C’est le point de départ de nombreuses démonstrations en colle.
B. Distance euclidienne
La distance induite par la norme euclidienne est définie par :
\(d(x, y) = \Vert x – y \Vert = \sqrt{\langle x – y, \, x – y \rangle}\)
Elle fait de \((E, d)\) un espace métrique (complet, puisque \(E\) est de dimension finie).
C. Orthogonalité
Définition — Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs \(x, y \in E\) sont dits orthogonaux, noté \(x \perp y\), si :
\(\langle x, y \rangle = 0\)
Une famille orthogonale est une famille \((e_1, \ldots, e_p)\) telle que \(\langle e_i, e_j \rangle = 0\) pour \(i \neq j\). Si de plus \(\Vert e_i \Vert = 1\) pour tout \(i\), la famille est dite orthonormée.
Propriété — Famille orthogonale et liberté
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Démonstration. Soit \((e_1, \ldots, e_p)\) orthogonale avec \(e_i \neq 0\) pour tout \(i\). Supposons \(\sum_{i=1}^{p} \lambda_i e_i = 0\). En prenant le produit scalaire avec \(e_k\) :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{p} \lambda_i \langle e_i, e_k \rangle = \lambda_k \Vert e_k \Vert^2 = 0\)
Puisque \(e_k \neq 0\), on a \(\Vert e_k \Vert^2\) > \(0\), donc \(\lambda_k = 0\). Ceci vaut pour tout \(k\), donc la famille est libre. ∎
D. Base orthonormée
Définition — Base orthonormée (BON)
Une base orthonormée de \(E\) est une base \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) vérifiant :
\(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}\)
où \(\delta_{ij}\) est le symbole de Kronecker.
Tout espace euclidien admet une base orthonormée. C’est une conséquence directe du procédé de Gram-Schmidt (section V). Dans une telle base, les calculs sont considérablement simplifiés : la matrice de Gram est \(I_n\), et le produit scalaire se lit directement sur les coordonnées.
Dans une BON \((e_1, \ldots, e_n)\), tout vecteur \(x \in E\) se décompose sous la forme :
\(x = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle \, e_k\)
Les coefficients \(\langle x, e_k \rangle\) sont les coordonnées de \(x\) dans la BON. Cette formule, parfois appelée « formule de reconstruction », est fondamentale : elle rend explicite la décomposition de tout vecteur en combinaison linéaire de la base.
IV. Inégalité de Cauchy-Schwarz
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est le résultat le plus utilisé de toute la théorie euclidienne. Elle relie produit scalaire et norme, et intervient dans un nombre considérable de preuves (inégalité triangulaire, projection, distance).
Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz ⋆
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien. Pour tout \(x, y \in E\) :
\(|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert\)
Cas d’égalité : \(|\langle x, y \rangle| = \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert \Leftrightarrow (x, y) \text{ liée}\), c’est-à-dire \(x\) et \(y\) colinéaires.
Idée de démonstration (par le discriminant). Pour \(y \neq 0\), on considère la fonction \(t \mapsto \Vert x + ty \Vert^2 = \Vert x \Vert^2 + 2t\langle x, y \rangle + t^2 \Vert y \Vert^2\). C’est un trinôme en \(t\) qui est positif pour tout \(t \in \mathbb{R}\) (c’est une norme au carré). Son discriminant est donc négatif ou nul :
\(4\langle x, y \rangle^2 – 4\Vert x \Vert^2 \Vert y \Vert^2 \leq 0\)
d’où l’inégalité. L’égalité correspond au cas où le trinôme s’annule, c’est-à-dire où \(x + ty = 0\) pour un certain \(t\) : les vecteurs sont colinéaires.
La démonstration complète — ainsi que trois autres preuves classiques (projection normalisée, identité de Lagrange, approche géométrique), les exercices de concours et le traitement détaillé du cas d’égalité — se trouvent sur la page dédiée : inégalité de Cauchy-Schwarz.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz se décline dans des cadres variés : produit scalaire intégral (pour les fonctions continues sur un segment) et covariance de variables aléatoires (en probabilités).
V. Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Le procédé de Gram-Schmidt est l’algorithme constructif qui transforme toute base en base orthonormée. Il garantit l’existence d’une BON dans tout espace euclidien et fournit un outil de calcul effectif indispensable en exercice.
Théorème — Gram-Schmidt ⋆
Soit \((v_1, \ldots, v_n)\) une base de \(E\). Il existe une unique base orthonormée \((e_1, \ldots, e_n)\) telle que :
- \(\forall k \in \{1, \ldots, n\}, \quad \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_k)\)
- \(\forall k, \quad \langle v_k, e_k \rangle\) > \(0\)
Principe de la construction. On procède par récurrence. On pose \(e_1 = \displaystyle\frac{v_1}{\Vert v_1 \Vert}\). Au rang \(k\), on retranche à \(v_k\) ses projections sur les vecteurs déjà construits :
\(w_k = v_k – \displaystyle\sum_{j=1}^{k-1} \langle v_k, e_j \rangle \, e_j\)
puis on normalise : \(e_k = \displaystyle\frac{w_k}{\Vert w_k \Vert}\). Le vecteur \(w_k\) est orthogonal à \(e_1, \ldots, e_{k-1}\) par construction.
La méthode pas à pas détaillée, les exemples dans \(\mathbb{R}^3\), dans \(\mathbb{R}_2[X]\) avec le produit intégral, et dans \(L^2\), ainsi que les exercices corrigés, sont développés sur la page : procédé de Gram-Schmidt.
Application directe : le procédé de Gram-Schmidt est aussi la brique de base de la décomposition QR en analyse numérique. Dans cette factorisation, \(A = QR\) où \(Q\) est une matrice orthogonale et \(R\) est triangulaire supérieure.
VI. Projection orthogonale et supplémentaire orthogonal
La projection orthogonale est l’outil central de la géométrie euclidienne. Elle résout le problème d’approximation au sens des moindres carrés : quel est l’élément d’un sous-espace le plus proche d’un vecteur donné ?
A. Supplémentaire orthogonal
Définition — Orthogonal d’un sous-espace
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). L’orthogonal de \(F\) est :
\(F^\perp = \{ x \in E \mid \forall y \in F, \; \langle x, y \rangle = 0 \}\)
Théorème — Décomposition orthogonale ⋆
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien \(E\). Alors :
\(E = F \oplus F^\perp \qquad \text{et} \qquad \dim F^\perp = \dim E – \dim F\)
De plus, \((F^\perp)^\perp = F\).
Démonstration. Soit \((e_1, \ldots, e_p)\) une BON de \(F\) (obtenue par Gram-Schmidt). Montrons que \(F \cap F^\perp = \{0\}\) : si \(x \in F \cap F^\perp\), alors \(\langle x, x \rangle = 0\) (car \(x \in F\) et \(x \perp F\)), d’où \(x = 0\).
Il reste à montrer que \(E = F + F^\perp\). Pour tout \(x \in E\), posons \(x_F = \sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle \, e_k \in F\) et \(x_{F^\perp} = x – x_F\). Vérifions que \(x_{F^\perp} \in F^\perp\) : pour tout \(j \in \{1, \ldots, p\}\),
\(\langle x_{F^\perp}, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle – \displaystyle\sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle \langle e_k, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle – \langle x, e_j \rangle = 0\)
Puisque \((e_1, \ldots, e_p)\) engendre \(F\), on a \(x_{F^\perp} \perp F\), donc \(x_{F^\perp} \in F^\perp\). Ainsi \(x = x_F + x_{F^\perp} \in F + F^\perp\). La formule de dimension s’ensuit. ∎
B. Théorème de la projection orthogonale
Théorème — Projection orthogonale ⋆
Soit \(F\) un sous-espace de \(E\) et \(x \in E\). Il existe un unique \(p_F(x) \in F\) tel que :
\(\Vert x – p_F(x) \Vert = \min_{y \in F} \Vert x – y \Vert\)
Le vecteur \(p_F(x)\) est le projeté orthogonal de \(x\) sur \(F\). Il est caractérisé par :
\(p_F(x) \in F \quad \text{et} \quad x – p_F(x) \in F^\perp\)
Si \((e_1, \ldots, e_p)\) est une BON de \(F\), alors :
\(p_F(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle \, e_k\)
C. Distance à un sous-espace
La distance de \(x\) au sous-espace \(F\) s’exprime simplement :
\(d(x, F) = \Vert x – p_F(x) \Vert = \sqrt{\Vert x \Vert^2 – \displaystyle\sum_{k=1}^{p} \langle x, e_k \rangle^2}\)
La dernière égalité provient du théorème de Pythagore appliqué à la décomposition \(x = p_F(x) + (x – p_F(x))\) avec \(p_F(x) \perp (x – p_F(x))\).
En pratique (concours) : pour calculer \(p_F(x)\), commence toujours par trouver une BON de \(F\) via Gram-Schmidt, puis applique la formule de projection. N’essaie pas de résoudre un système linéaire — c’est plus long et source d’erreurs.
VII. Endomorphismes d’un espace euclidien
La structure euclidienne permet de définir des classes d’endomorphismes aux propriétés remarquables, qui jouent un rôle central dans la réduction des matrices et dans les applications géométriques.
A. Adjoint d’un endomorphisme
Définition — Endomorphisme adjoint
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\). Il existe un unique endomorphisme \(u^* \in \mathcal{L}(E)\), appelé adjoint de \(u\), tel que :
\(\forall x, y \in E, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle\)
Dans une BON, la matrice de \(u^*\) est \({}^t\!A\) (transposée de la matrice de \(u\)).
L’existence de l’adjoint repose sur le théorème de représentation de Riesz (en dimension finie, toute forme linéaire s’écrit \(x \mapsto \langle x, a \rangle\) pour un unique \(a \in E\)).
B. Endomorphismes auto-adjoints (symétriques)
Définition — Endomorphisme auto-adjoint
Un endomorphisme \(u \in \mathcal{L}(E)\) est auto-adjoint (ou symétrique) si \(u^* = u\), c’est-à-dire :
\(\forall x, y \in E, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle\)
Dans une BON, cela revient à dire que la matrice de \(u\) est symétrique : \(A = {}^t\!A\).
Les propriétés fondamentales des endomorphismes auto-adjoints — valeurs propres réelles, sous-espaces propres orthogonaux — sont au cœur du théorème spectral (section VIII). Le cours complet avec démonstrations et exercices est sur la page dédiée : endomorphismes auto-adjoints.
C. Endomorphismes orthogonaux
Définition — Endomorphisme orthogonal
Un endomorphisme \(u \in \mathcal{L}(E)\) est orthogonal s’il conserve le produit scalaire :
\(\forall x, y \in E, \quad \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle\)
Cela équivaut à \(u^* \circ u = \mathrm{Id}_E\), ou encore : la matrice de \(u\) dans une BON est une matrice orthogonale (\({}^t\!A \, A = I_n\)).
Les endomorphismes orthogonaux conservent les normes et les angles — ce sont les isométries vectorielles. L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de \(E\) forme le groupe orthogonal \(O(E)\). En dimension 2, ce sont les rotations et les réflexions ; en dimension 3, les rotations autour d’un axe, les réflexions et leurs composées. La classification complète est développée sur la page : isométries vectorielles.
VIII. Théorème spectral
Le théorème spectral est le résultat culminant de la théorie euclidienne. Il affirme que tout endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée. C’est un résultat d’une puissance considérable, aux applications nombreuses (formes quadratiques, ACP, optimisation, physique).
Théorème spectral ⋆
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien et \(u \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme auto-adjoint. Alors :
- Toutes les valeurs propres de \(u\) sont réelles.
- Les sous-espaces propres de \(u\) sont deux à deux orthogonaux.
- Il existe une base orthonormée de \(E\) formée de vecteurs propres de \(u\).
En termes matriciels : toute matrice symétrique réelle \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) est diagonalisable dans une base orthonormée, c’est-à-dire qu’il existe \(P \in O_n(\mathbb{R})\) et \(D\) diagonale telles que \(A = P D \, {}^t\!P\).
La démonstration complète par récurrence sur la dimension, les variantes de preuve, les applications (classification des coniques/quadriques, analyse en composantes principales en data science) et les exercices de concours se trouvent sur la page : théorème spectral.
Attention : le théorème spectral ne s’applique qu’aux endomorphismes auto-adjoints (matrices symétriques réelles). Une matrice non symétrique peut être diagonalisable sans être « orthogonalement diagonalisable », ou ne pas être diagonalisable du tout. Ce point est un piège classique de concours.
IX. Espace euclidien vs espace affine euclidien
La distinction entre espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien revient fréquemment en colle, et les confusions sont courantes. Clarifions.
| Critère | Espace euclidien (vectoriel) | Espace affine euclidien |
|---|---|---|
| Objets de base | Vecteurs de \(E\) | Points de \(\mathcal{A}\) + vecteurs de \(\overrightarrow{\mathcal{A}}\) |
| Origine | Oui (\(0_E\) privilégié) | Non (pas d’origine privilégiée) |
| Produit scalaire | Entre vecteurs : \(\langle x, y \rangle\) | Entre vecteurs : \(\langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \rangle\) |
| Distance | \(d(x,y) = \Vert x – y \Vert\) | \(d(A,B) = \Vert \overrightarrow{AB} \Vert\) |
| Sous-structures | Sous-espaces vectoriels | Sous-espaces affines (plans, droites affines) |
| Exemple type | \((\mathbb{R}^n, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) | Le plan géométrique usuel, l’espace physique \(\mathbb{R}^3\) |
Un espace affine euclidien est un espace affine \((\mathcal{A}, \overrightarrow{\mathcal{A}}, +)\) dont l’espace vectoriel directeur \(\overrightarrow{\mathcal{A}}\) est un espace euclidien. On mesure des distances entre points via la norme des vecteurs qui les relient, mais on ne calcule jamais de produit scalaire de points — seuls les vecteurs ont un produit scalaire.
En pratique, \(\mathbb{R}^n\) joue les deux rôles : c’est à la fois un espace vectoriel euclidien (avec \(0\) comme origine) et un espace affine euclidien (quand on « oublie » l’origine pour ne regarder que les distances entre points). La confusion vient du fait qu’on identifie souvent les deux structures. En colle, si l’examinateur parle d’« espace euclidien » sans préciser, il s’agit presque toujours de l’espace vectoriel euclidien.
Ce que le colleur attend : si on te demande « Qu’est-ce qu’un espace euclidien ? », donne la définition vectorielle (espace vectoriel réel de dimension finie + produit scalaire). Si on te demande la distinction avec l’espace affine euclidien, explique que dans le cadre affine, il n’y a pas d’origine privilégiée et que le produit scalaire vit sur les vecteurs, pas sur les points.
X. Exercices corrigés
Voici cinq exercices couvrant l’ensemble du chapitre, classés par difficulté croissante. Chaque exercice est corrigé pas à pas.
Exercice 1 — Vérification d’un produit scalaire (★)
Niveau : Entraînement MPSI
Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on définit \(\varphi(P, Q) = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,dt\).
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_2[X]\).
Voir la correction
Vérifions les quatre propriétés.
Bilinéarité : Soient \(P, Q, R \in \mathbb{R}_2[X]\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Par linéarité de l’intégrale :
\(\varphi(\lambda P + \mu Q, R) = \displaystyle\int_0^1 (\lambda P(t) + \mu Q(t))\,R(t)\,dt = \lambda \displaystyle\int_0^1 P(t)\,R(t)\,dt + \mu \displaystyle\int_0^1 Q(t)\,R(t)\,dt\)
Donc \(\varphi(\lambda P + \mu Q, R) = \lambda \varphi(P, R) + \mu \varphi(Q, R)\). La linéarité en la seconde variable est identique.
Symétrie : \(\varphi(P, Q) = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,dt = \displaystyle\int_0^1 Q(t)\,P(t)\,dt = \varphi(Q, P)\).
Positivité : \(\varphi(P, P) = \displaystyle\int_0^1 P(t)^2\,dt \geq 0\) car \(P(t)^2 \geq 0\).
Séparation : Si \(\varphi(P, P) = 0\), alors \(\displaystyle\int_0^1 P(t)^2\,dt = 0\). Or \(t \mapsto P(t)^2\) est continue et positive sur \([0, 1]\). Une fonction continue, positive et d’intégrale nulle sur un segment est identiquement nulle. Donc \(P(t)^2 = 0\) pour tout \(t \in [0, 1]\), soit \(P = 0\) (un polynôme de degré \(\leq 2\) ayant une infinité de racines est le polynôme nul).
Conclusion : \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_2[X]\). ∎
Exercice 2 — Supplémentaire orthogonal (★★)
Niveau : Colle MPSI/PCSI
Dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique, soit \(F = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 0), (0, 1, 1)\big)\).
- Déterminer \(F^\perp\).
- Calculer le projeté orthogonal de \(x = (3, 1, 2)\) sur \(F\).
- En déduire \(d(x, F)\).
Voir la correction
1. Un vecteur \((a, b, c) \in F^\perp\) vérifie :
\(\begin{cases} \langle (a, b, c), (1, 1, 0) \rangle = a + b = 0 \\ \langle (a, b, c), (0, 1, 1) \rangle = b + c = 0 \end{cases}\)
De la première équation : \(b = -a\). De la seconde : \(c = -b = a\). Donc \(F^\perp = \mathrm{Vect}\big((1, -1, 1)\big)\).
2. Commençons par orthonormaliser une base de \(F\). Posons \(v_1 = (1, 1, 0)\) et \(v_2 = (0, 1, 1)\).
\(e_1 = \displaystyle\frac{v_1}{\Vert v_1 \Vert} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)\) \(w_2 = v_2 – \langle v_2, e_1 \rangle \, e_1 = (0, 1, 1) – \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) = (0, 1, 1) – \displaystyle\frac{1}{2}(1, 1, 0) = \big(-\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, 1\big)\)\(\Vert w_2 \Vert = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\), donc \(e_2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(-1, 1, 2)\).
La projection de \(x = (3, 1, 2)\) :
\(p_F(x) = \langle x, e_1 \rangle \, e_1 + \langle x, e_2 \rangle \, e_2\)
\(\langle x, e_1 \rangle = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(3 + 1 + 0) = \displaystyle\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\) \(\langle x, e_2 \rangle = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(-3 + 1 + 4) = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\) \(p_F(x) = 2\sqrt{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) + \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(-1, 1, 2) = 2(1, 1, 0) + \displaystyle\frac{1}{3}(-1, 1, 2)\)\(p_F(x) = \big(\displaystyle\frac{5}{3}, \displaystyle\frac{7}{3}, \displaystyle\frac{2}{3}\big)\)
3. \(x – p_F(x) = \big(3 – \displaystyle\frac{5}{3}, \; 1 – \displaystyle\frac{7}{3}, \; 2 – \displaystyle\frac{2}{3}\big) = \big(\displaystyle\frac{4}{3}, -\displaystyle\frac{4}{3}, \displaystyle\frac{4}{3}\big) = \displaystyle\frac{4}{3}(1, -1, 1)\)
Vérifions : \((1, -1, 1)\) est bien un vecteur de \(F^\perp\) (cohérent avec la question 1).
\(d(x, F) = \Vert x – p_F(x) \Vert = \displaystyle\frac{4}{3}\sqrt{1 + 1 + 1} = \displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\) ∎
Exercice 3 — Identité de polarisation et norme (★★)
Niveau : Colle MPSI
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien. Démontrer l’identité du parallélogramme :
\(\forall x, y \in E, \quad \Vert x + y \Vert^2 + \Vert x – y \Vert^2 = 2\big(\Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2\big)\)
Voir la correction
Développons chaque terme en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire.
\(\Vert x + y \Vert^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \Vert x \Vert^2 + 2\langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2\) \(\Vert x – y \Vert^2 = \langle x – y, x – y \rangle = \Vert x \Vert^2 – 2\langle x, y \rangle + \Vert y \Vert^2\)En sommant :
\(\Vert x + y \Vert^2 + \Vert x – y \Vert^2 = 2\Vert x \Vert^2 + 2\Vert y \Vert^2\)
Les termes en \(\langle x, y \rangle\) se compensent. ∎
Interprétation géométrique : dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés. Cette identité caractérise les normes qui proviennent d’un produit scalaire (c’est le théorème de Jordan–von Neumann).
Exercice 4 — Inégalité via Cauchy-Schwarz (★★★)
Niveau : Kholle MP
Soient \(a_1, \ldots, a_n\) des réels strictement positifs. Démontrer que :
\(\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{a_k}\right) \geq n^2\)
Voir la correction
On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique.
Posons \(x = (\sqrt{a_1}, \ldots, \sqrt{a_n})\) et \(y = \big(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a_1}}, \ldots, \displaystyle\frac{1}{\sqrt{a_n}}\big)\).
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne \(|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert\), soit :
\(\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{a_k} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{a_k}}\right| \leq \sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k} \cdot \sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{a_k}}\)
Le membre de gauche vaut \(n\). En élevant au carré :
\(n^2 \leq \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{a_k}\right)\)
Cas d’égalité : l’égalité dans Cauchy-Schwarz a lieu si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(\sqrt{a_k} = \lambda \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{a_k}}\) pour tout \(k\), soit \(a_k = \lambda\) : tous les \(a_k\) sont égaux. On retrouve bien l’inégalité arithmético-harmonique. ∎
Exercice 5 — Diagonalisation orthogonale (★★★★ — CCINP MP 2019)
Niveau : Type concours
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_3(\mathbb{R})\).
- Calculer le polynôme caractéristique de \(A\) et déterminer ses valeurs propres.
- Déterminer les sous-espaces propres et vérifier qu’ils sont orthogonaux.
- Construire une matrice orthogonale \(P\) telle que \({}^t\!P \, A \, P\) soit diagonale.
Voir la correction
1. \(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_3)\).
\(A – \lambda I_3 = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}\)
Opération \(C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3\) : la somme de chaque ligne vaut \(4 – \lambda\). On factorise :
\(\chi_A(\lambda) = (4 – \lambda) \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}\)
En soustrayant la première ligne aux deux autres :
\(= (4 – \lambda) \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (4 – \lambda)(1 – \lambda)^2\)
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\) (double) et \(\lambda_2 = 4\) (simple).
2. \(E_1 = \ker(A – I_3) = \ker \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\), soit le plan d’équation \(x + y + z = 0\).
Une base de \(E_1\) : \(\{(-1, 1, 0), \; (-1, 0, 1)\}\). Donc \(\dim E_1 = 2\).
\(E_4 = \ker(A – 4I_3)\). On trouve \(E_4 = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)\).
Orthogonalité : \(\langle (-1, 1, 0), (1, 1, 1) \rangle = -1 + 1 + 0 = 0\) et \(\langle (-1, 0, 1), (1, 1, 1) \rangle = -1 + 0 + 1 = 0\). Les sous-espaces propres sont bien orthogonaux — conformément au théorème spectral.
3. On orthonormalise une base de \(E_1\) par Gram-Schmidt.
\(e_1 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1, 0)\) \(w_2 = (-1, 0, 1) – \langle (-1, 0, 1), e_1 \rangle \, e_1 = (-1, 0, 1) – \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1, 0) = (-1, 0, 1) – \displaystyle\frac{1}{2}(-1, 1, 0) = \big(-\displaystyle\frac{1}{2}, -\displaystyle\frac{1}{2}, 1\big)\)\(\Vert w_2 \Vert = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{4} + 1} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\), donc \(e_2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(-1, -1, 2)\).
Pour \(E_4\) : \(e_3 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\).
La matrice de passage orthogonale est :
\(P = \begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \displaystyle\frac{2}{\sqrt{6}} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}\)
Alors \({}^t\!P \, A \, P = \mathrm{diag}(1, 1, 4)\). ∎
XI. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un espace euclidien en maths ?
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire (forme bilinéaire symétrique définie positive). Cette structure permet de définir des longueurs, des angles et une notion d’orthogonalité. L’exemple fondamental est \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique \(\langle x, y \rangle = \sum x_k y_k\).
Quelle est la différence entre espace euclidien et espace préhilbertien ?
Un espace préhilbertien réel est un espace vectoriel réel (de dimension quelconque, éventuellement infinie) muni d’un produit scalaire. Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie. L’hypothèse de dimension finie garantit l’existence de bases orthonormées (Gram-Schmidt), le théorème de la projection orthogonale et le théorème spectral. En dimension infinie, ces résultats nécessitent des hypothèses supplémentaires (espace de Hilbert = préhilbertien complet).
Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?
Il faut vérifier quatre propriétés dans l’ordre : (1) bilinéarité — linéarité en chaque variable ; (2) symétrie — \(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\) ; (3) positivité — \(\langle x, x \rangle \geq 0\) ; (4) séparation (définie) — \(\langle x, x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0\). L’erreur la plus fréquente en colle est d’oublier l’étape (4).
Quelle est la différence entre espace euclidien et espace cartésien ?
L’« espace cartésien » n’est pas un terme formel en mathématiques de CPGE. On parle de \(\mathbb{R}^n\) comme espace vectoriel, ou de l’espace muni de coordonnées cartésiennes (repère orthonormé). Un espace euclidien est un concept plus général : c’est tout espace vectoriel réel de dimension finie doté d’un produit scalaire, pas nécessairement \(\mathbb{R}^n\) avec le produit canonique. Par exemple, \(\mathbb{R}_2[X]\) muni de \(\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 PQ\) est un espace euclidien, mais ce n’est pas \(\mathbb{R}^3\).
Norme dans un espace euclidien : comment la calculer ?
La norme euclidienne est \(\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}\). Dans \(\mathbb{R}^n\) avec le produit canonique, cela donne \(\Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\). Dans un espace de polynômes avec \(\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 PQ\), on a \(\Vert P \Vert = \sqrt{\displaystyle\int_0^1 P(t)^2\,dt}\). La formule dépend du produit scalaire choisi.
Pourquoi exige-t-on la dimension finie pour un espace euclidien ?
La dimension finie garantit plusieurs résultats fondamentaux qui tombent en défaut en dimension infinie : (1) le procédé de Gram-Schmidt s’arrête et produit une base finie ; (2) le théorème de la projection orthogonale est automatique (tout sous-espace fermé est un sous-espace vectoriel, et en dimension finie tout sous-espace est fermé) ; (3) le théorème spectral prend sa forme la plus forte (diagonalisation en BON). En dimension infinie, il faut ajouter l’hypothèse de complétude pour obtenir des résultats analogues (espaces de Hilbert).
Le théorème spectral s'applique-t-il à toute matrice ?
Non. Le théorème spectral s’applique uniquement aux endomorphismes auto-adjoints, c’est-à-dire aux matrices symétriques réelles (\(A = {}^t\!A\)). Une matrice non symétrique peut être diagonalisable (dans une base non orthonormée), ou non diagonalisable. La version « orthogonalement diagonalisable dans une BON » est le privilège des matrices symétriques réelles.
Espace euclidien : quelle différence avec un espace affine euclidien ?
Un espace euclidien (au sens courant en CPGE) est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire — il possède un vecteur nul \(0_E\) jouant le rôle d’origine. Un espace affine euclidien est un espace affine dont l’espace vectoriel directeur (l’espace des « translations ») est euclidien — il n’a pas d’origine privilégiée. On mesure des distances entre points (\(d(A,B) = \Vert \overrightarrow{AB} \Vert\)), mais on ne calcule jamais de produit scalaire de points, seulement de vecteurs. Voir le tableau comparatif en section IX.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les fondements des espaces euclidiens : produit scalaire, norme, orthogonalité, projection et endomorphismes remarquables. Pour approfondir chaque aspect, explore les pages spécialisées du cocon :
- Résultats fondamentaux : inégalité de Cauchy-Schwarz (4 démonstrations comparées, cas d’égalité, exercices concours) et procédé de Gram-Schmidt (méthode pas à pas, exemples dans \(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}_n[X]\) et \(L^2\))
- Variantes de Cauchy-Schwarz : Cauchy-Schwarz pour les intégrales et Cauchy-Schwarz et variables aléatoires
- Endomorphismes : endomorphismes auto-adjoints, matrices orthogonales et groupe orthogonal, isométries vectorielles
- Le résultat culminant : théorème spectral (démonstration par récurrence, applications ACP et data science)
Pour une vue d’ensemble du programme d’algèbre bilinéaire, consulte aussi les pages sur la diagonalisation et le calcul des déterminants.
Dernière mise à jour : mai 2026. Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026.
