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L’inégalité de Cauchy-Schwarz est l’une des inégalités les plus universelles en mathématiques. Elle relie le produit scalaire à la norme dans tout espace euclidien, et intervient en algèbre bilinéaire, en analyse, en probabilités et dans les problèmes de concours les plus exigeants. Tu trouveras ici l’énoncé rigoureux, quatre démonstrations distinctes comparées, le cas d’égalité complet, et trois exercices corrigés de niveau MPSI à concours.
I. Énoncé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
A. Théorème — Forme générale
Théorème — Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace préhilbertien réel (en particulier, un espace euclidien). Alors :
\(\displaystyle\forall\, x, y \in E, \quad |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\)
avec égalité si et seulement si la famille \((x, y)\) est liée.
Sous forme équivalente, en élevant au carré (les deux membres étant positifs) :
\(\displaystyle\langle x, y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \cdot \|y\|^2\)Cette seconde forme est souvent plus maniable en calcul, car elle évite la valeur absolue.
Remarque historique. L’inégalité porte les noms de Cauchy (cas discret, 1821), Bunyakovsky (cas intégral, 1859) et Schwarz (cas fonctionnel, 1885). En Russie et dans certains ouvrages, on parle d’inégalité de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz (CBS).
B. Forme « sommes » dans ℝⁿ
Dans \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique \(\langle a, b \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\), l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :
Corollaire — Forme discrète
\(\displaystyle\forall\, (a_1, \ldots, a_n), (b_1, \ldots, b_n) \in \mathbb{R}^n, \quad \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^{\!2} \leq \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)
C’est la version que Cauchy a démontrée en 1821. Elle intervient fréquemment dans les exercices de MPSI portant sur les sommes finies et les inégalités classiques.
C. Interprétation géométrique
Dans un espace euclidien \(E\), l’angle \(\theta \in [0, \pi]\) entre deux vecteurs non nuls \(x\) et \(y\) est défini par :
\(\displaystyle\cos \theta = \displaystyle\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}\)L’inégalité de Cauchy-Schwarz garantit précisément que cette expression est bien comprise entre \(-1\) et \(1\), ce qui rend la définition de l’angle cohérente.
Géométriquement, elle traduit le fait que la projection orthogonale de \(x\) sur la droite \(\mathrm{Vect}(y)\) a une norme au plus égale à \(\|x\|\). C’est le théorème de Pythagore à l’œuvre : la composante projetée est toujours plus courte que le vecteur original.
II. Quatre démonstrations comparées
L’inégalité de Cauchy-Schwarz admet de nombreuses preuves. Voici les quatre plus classiques en CPGE, chacune éclairant le résultat sous un angle différent. Un tableau comparatif en fin de section t’aidera à choisir la bonne en situation de kholle ou de concours.
A. Par le discriminant ⋆ (exigible)
C’est la démonstration standard, exigible en kholle. Elle repose sur l’étude du signe d’un trinôme du second degré.
Démonstration. Soient \(x, y \in E\). Si \(y = 0_E\), les deux membres de l’inégalité valent \(0\) : c’est immédiat.
Supposons \(y \neq 0_E\). Pour tout \(t \in \mathbb{R}\), on a \(\|x + ty\|^2 \geq 0\). En développant :
\(\displaystyle\|x + ty\|^2 = \|x\|^2 + 2t\langle x, y \rangle + t^2\|y\|^2\)C’est un trinôme du second degré en \(t\), de coefficient dominant \(\|y\|^2\) > \(0\), positif ou nul pour tout \(t \in \mathbb{R}\). Son discriminant est donc négatif ou nul :
\(\displaystyle\Delta = 4\langle x, y \rangle^2 – 4\|x\|^2\|y\|^2 \leq 0\)D’où \(\langle x, y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \cdot \|y\|^2\), soit \(|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\). ∎
B. Par projection orthogonale
Cette preuve exploite directement le théorème de Pythagore via la projection orthogonale sur \(\mathrm{Vect}(y)\). Elle est plus géométrique et donne immédiatement le cas d’égalité.
Démonstration. Si \(y = 0_E\), c’est immédiat. Supposons \(y \neq 0_E\). La projection orthogonale de \(x\) sur \(\mathrm{Vect}(y)\) est :
\(\displaystyle p(x) = \displaystyle\frac{\langle x, y \rangle}{\|y\|^2}\, y\)Comme \(x – p(x) \perp p(x)\), le théorème de Pythagore donne :
\(\displaystyle\|x\|^2 = \|p(x)\|^2 + \|x – p(x)\|^2 \geq \|p(x)\|^2 = \displaystyle\frac{\langle x, y \rangle^2}{\|y\|^2}\)En multipliant par \(\|y\|^2\) > \(0\) :
\(\displaystyle\|x\|^2 \cdot \|y\|^2 \geq \langle x, y \rangle^2\) ∎
C. Par l’identité de Lagrange (dans ℝⁿ)
Cette démonstration ne s’applique qu’à \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique, mais elle fournit une information plus fine : elle quantifie l’écart entre les deux membres. 🟡 MP
Identité de Lagrange
\(\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) – \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^{\!2} = \displaystyle\sum_{1 \leq i \lt j \leq n} (a_i b_j – a_j b_i)^2\)
Démonstration de l’identité. Par développement du membre de gauche :
\(\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i} a_i^2\right)\!\left(\displaystyle\sum_{j} b_j^2\right) = \displaystyle\sum_{i,j} a_i^2 b_j^2\)et
\(\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i} a_i b_i\right)^{\!2} = \displaystyle\sum_{i,j} a_i b_i a_j b_j\)La différence donne \(\displaystyle\sum_{i,j} a_i^2 b_j^2 – a_i a_j b_i b_j\). Les termes diagonaux \(i = j\) s’annulent. Pour \(i \neq j\), on regroupe les couples \((i,j)\) et \((j,i)\) :
\(\displaystyle a_i^2 b_j^2 + a_j^2 b_i^2 – 2a_i a_j b_i b_j = (a_i b_j – a_j b_i)^2\)En sommant sur \(i\) < \(j\), on obtient l’identité de Lagrange. Le membre de droite est une somme de carrés, donc positif ou nul, ce qui prouve Cauchy-Schwarz. ∎
D. Par normalisation des vecteurs
La preuve la plus courte, élégante mais peu informative sur le cas d’égalité.
Démonstration. Si \(x = 0_E\) ou \(y = 0_E\), c’est immédiat. Sinon, posons \(u = \displaystyle\frac{x}{\|x\|}\) et \(v = \displaystyle\frac{y}{\|y\|}\). Alors \(\|u\| = \|v\| = 1\).
De \(\|u – v\|^2 \geq 0\), on tire \(\|u\|^2 – 2\langle u, v \rangle + \|v\|^2 \geq 0\), soit \(\langle u, v \rangle \leq 1\).
De \(\|u + v\|^2 \geq 0\), on tire de même \(\langle u, v \rangle \geq -1\).
Donc \(|\langle u, v \rangle| \leq 1\), c’est-à-dire \(\displaystyle\frac{|\langle x, y \rangle|}{\|x\| \cdot \|y\|} \leq 1\). ∎
E. Quelle démonstration retenir ?
| Démonstration | Cadre | ⋆ Exigible | Points forts | Points faibles |
|---|---|---|---|---|
| Discriminant | Tout espace préhilbertien | Oui | Courte, universelle, canonique | Cas d’égalité via discriminant nul (un pas de plus) |
| Projection orthogonale | Tout espace préhilbertien | Non | Interprétation géométrique limpide, cas d’égalité immédiat | Nécessite de connaître la projection |
| Identité de Lagrange | \(\mathbb{R}^n\) canonique seulement | Non | Quantifie le défaut d’égalité, cas d’égalité explicite | Non généralisable aux espaces abstraits |
| Normalisation | Tout espace préhilbertien | Non | Très courte, élégante | Pas d’information sur le cas d’égalité |
Conseil kholle. En situation de kholle, la démonstration par le discriminant est la seule exigible. C’est elle que tu dois savoir rédiger les yeux fermés. La preuve par projection est un excellent complément pour impressionner l’examinateur si une question porte sur la géométrie de la projection.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz résumée en une fiche
Énoncé, 4 démonstrations, cas d’égalité, pièges de rédaction et modèle de copie — tout sur une page recto-verso.
📄 Télécharger la fiche PDFIdéal pour réviser avant une kholle ou un DS sur les espaces euclidiens.
III. Cas d’égalité — Démonstration détaillée
Le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz est systématiquement demandé en kholle et en concours. Il est pourtant souvent bâclé dans les copies. Voici un traitement rigoureux et complet.
Proposition — Cas d’égalité
Soient \(x, y \in E\). Alors :
\(\displaystyle|\langle x, y \rangle| = \|x\| \cdot \|y\| \quad \Leftrightarrow \quad (x, y) \text{ est liée}\)
c’est-à-dire \(x\) et \(y\) sont colinéaires (l’un est multiple scalaire de l’autre).
Démonstration.
\((\Leftarrow)\) Si \((x, y)\) est liée, alors il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(x = \lambda y\) (quitte à permuter). Alors :
\(\displaystyle|\langle x, y \rangle| = |\lambda| \cdot \|y\|^2 \quad \text{et} \quad \|x\| \cdot \|y\| = |\lambda| \cdot \|y\|^2\)Donc l’égalité a lieu.
\((\Rightarrow)\) Supposons \(|\langle x, y \rangle| = \|x\| \cdot \|y\|\).
Cas \(y = 0_E\) : la famille \((x, y)\) est trivialement liée.
Cas \(y \neq 0_E\) : reprenons la preuve par le discriminant. Le trinôme \(P(t) = \|x + ty\|^2\) est positif et de discriminant nul. Il admet donc une racine double \(t_0 \in \mathbb{R}\) telle que :
\(\displaystyle\|x + t_0 y\|^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + t_0 y = 0_E \quad \Rightarrow \quad x = -t_0 y\)Donc \((x, y)\) est liée. ∎
Lecture via la projection. Avec la preuve par projection orthogonale, le cas d’égalité est encore plus limpide. On a \(\|x\|^2 = \|p(x)\|^2 + \|x – p(x)\|^2\). L’égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à \(\|x – p(x)\| = 0\), c’est-à-dire \(x = p(x) \in \mathrm{Vect}(y)\).
Via l’identité de Lagrange. Dans \(\mathbb{R}^n\), l’égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à \(a_i b_j = a_j b_i\) pour tous \(i, j\), ce qui signifie que les vecteurs \(a\) et \(b\) sont proportionnels composante par composante. 🟡 MP
IV. Cauchy-Schwarz dans toutes ses formes
L’inégalité de Cauchy-Schwarz n’est pas limitée aux espaces euclidiens de dimension finie. Elle s’applique dans tout espace muni d’un produit scalaire (ou pseudo-produit scalaire). Voici les deux déclinaisons majeures du programme CPGE, traitées en profondeur dans des pages dédiées.
A. Pour les intégrales
Sur l’espace \(\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})\) muni de \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_a^b f(t)g(t)\,dt\), Cauchy-Schwarz donne :
\(\displaystyle\left(\displaystyle\int_a^b f(t)g(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \displaystyle\int_a^b f(t)^2\,dt \cdot \displaystyle\int_a^b g(t)^2\,dt\)C’est la forme la plus fréquente aux concours d’analyse. Elle permet de majorer des intégrales de produits et intervient dans l’étude des espaces \(L^2\).
B. Pour les variables aléatoires
Si \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires réelles de carré intégrable, l’application \((X,Y) \mapsto E(XY)\) définit un produit scalaire. Cauchy-Schwarz donne alors :
\(\displaystyle E(XY)^2 \leq E(X^2) \cdot E(Y^2)\)En centrant, on retrouve l’inégalité classique sur la covariance : \(\mathrm{Cov}(X,Y)^2 \leq V(X) \cdot V(Y)\), ce qui justifie que le coefficient de corrélation est dans \([-1, 1]\).
C. Généralisations : Hölder et Minkowski 🔴 Prolongement
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est le cas \(p = q = 2\) de l’inégalité de Hölder : pour \(p, q\) > \(1\) conjugués (\(\displaystyle\frac{1}{p} + \displaystyle\frac{1}{q} = 1\)) :
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left(\displaystyle\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{\!1/p} \left(\displaystyle\sum_{i=1}^n |b_i|^q\right)^{\!1/q}\)L’inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire dans \(\ell^p\)) en découle. Ces généralisations sont hors programme CPGE mais interviennent en L3 et en agrégation.
V. Exemples types CPGE
La difficulté de Cauchy-Schwarz n’est presque jamais dans l’inégalité elle-même, mais dans le choix du bon produit scalaire et des bons vecteurs. Voici trois exemples canoniques qui couvrent les trois cadres du programme.
A. Dans ℝⁿ — Inégalité arithmético-quadratique 🟢 MPSI
Exemple. Montrer que pour tous \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) :
\(\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i\right)^{\!2} \leq n \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\)
Solution. On applique Cauchy-Schwarz dans \((\mathbb{R}^n, \langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathrm{can}})\) avec \(x = (a_1, \ldots, a_n)\) et \(y = (1, \ldots, 1)\) :
\(\displaystyle\langle x, y \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i, \quad \|x\|^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2, \quad \|y\|^2 = n\)
L’inégalité \(\langle x, y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \cdot \|y\|^2\) donne le résultat. L’égalité a lieu si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\).
B. Sur les polynômes 🟡 MP
Exemple. Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on pose \(\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t)Q(t)\,dt\). Montrer que pour tout \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) :
\(\displaystyle\left(\displaystyle\int_0^1 P(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \displaystyle\int_0^1 P(t)^2\,dt\)
Solution. On applique Cauchy-Schwarz avec \(Q = 1\) (polynôme constant) :
\(\displaystyle\langle P, 1 \rangle^2 \leq \|P\|^2 \cdot \|1\|^2\)
Or \(\langle P, 1 \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,dt\), \(\|1\|^2 = \displaystyle\int_0^1 1\,dt = 1\), et \(\|P\|^2 = \displaystyle\int_0^1 P(t)^2\,dt\). D’où le résultat. L’égalité a lieu si et seulement si \(P\) est constant.
C. Sur les fonctions L² 🟡 MP
Exemple. Montrer que \(\displaystyle\left(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \pi \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2(t)\,dt\).
Solution. Sur \(\mathcal{C}^0([0,\pi], \mathbb{R})\) muni de \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_0^{\pi} f(t)g(t)\,dt\), on applique Cauchy-Schwarz avec \(f = \sin\) et \(g = \mathbf{1}\) :
\(\displaystyle\langle \sin, \mathbf{1} \rangle^2 \leq \|\sin\|^2 \cdot \|\mathbf{1}\|^2\)
Vérification numérique. Le membre de gauche vaut \([-\cos t]_0^{\pi} = 2\), donc \(4\) au carré. Le membre de droite : \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2(t)\,dt = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) et \(\displaystyle\int_0^{\pi} 1\,dt = \pi\), soit \(\displaystyle\frac{\pi^2}{2} \approx 4{,}93\). On vérifie bien \(4 \leq 4{,}93\). L’inégalité est stricte car \(\sin\) et \(\mathbf{1}\) ne sont pas colinéaires.
VI. Exercices corrigés — Trois niveaux
Exercice 1 — ★ Entraînement MPSI 🟢
Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des réels strictement positifs.
1) Montrer que \(\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\right)\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{x_i}\right) \geq n^2\).
2) Déterminer le cas d’égalité.
Voir la correction
1) On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique, avec :
\(\displaystyle a = (\sqrt{x_1}, \ldots, \sqrt{x_n}) \quad \text{et} \quad b = \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_1}}, \ldots, \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_n}}\right)\)Alors :
- \(\langle a, b \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_i} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_i}} = n\)
- \(\|a\|^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\)
- \(\|b\|^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{x_i}\)
L’inégalité \(\langle a, b \rangle^2 \leq \|a\|^2 \cdot \|b\|^2\) donne :
\(\displaystyle n^2 \leq \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\right)\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{x_i}\right)\)2) L’égalité a lieu si et seulement si \(a\) et \(b\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(\sqrt{x_i} = \lambda \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_i}}\) pour tout \(i\), soit \(x_i = \lambda\) pour tout \(i\). L’égalité a lieu si et seulement si tous les \(x_i\) sont égaux.
Exercice 2 — ★★★ Kholle MP 🟡
Soit \(f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\).
1) Montrer que \(\displaystyle\left(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\right)^{\!2} \leq \displaystyle\int_0^1 f(t)^2\,dt\).
2) En déduire que si \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 1\), alors \(\displaystyle\int_0^1 f(t)^2\,dt \geq 1\).
3) Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) telles que \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 1\) et \(\displaystyle\int_0^1 f(t)^2\,dt = 1\).
Voir la correction
1) On munit \(\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_0^1 f(t)g(t)\,dt\). En prenant \(g = \mathbf{1}\) (fonction constante égale à \(1\)), l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne :
\(\displaystyle\langle f, \mathbf{1} \rangle^2 \leq \|f\|^2 \cdot \|\mathbf{1}\|^2\)Or \(\langle f, \mathbf{1} \rangle = \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\), \(\|f\|^2 = \displaystyle\int_0^1 f(t)^2\,dt\) et \(\|\mathbf{1}\|^2 = \displaystyle\int_0^1 1\,dt = 1\). D’où le résultat.
2) Immédiat en appliquant le 1) avec \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 1\) : le membre de gauche vaut \(1\).
3) On cherche le cas d’égalité dans Cauchy-Schwarz : \(f\) et \(\mathbf{1}\) doivent être colinéaires dans \(\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\), c’est-à-dire \(f\) est constante. La condition \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 1\) impose \(f = 1\). On vérifie : \(\displaystyle\int_0^1 1^2\,dt = 1\). La seule fonction est \(f = 1\).
Exercice 3 — ★★★★ Type concours (d’après CCINP MP) 🔴
Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A B)\).
1) Montrer que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) définit un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2) En déduire que pour toutes \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) :
\(\displaystyle\mathrm{tr}({}^t\!A B)^2 \leq \mathrm{tr}({}^t\!A A) \cdot \mathrm{tr}({}^t\!B B)\)3) Montrer que pour toute \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) : \((\mathrm{tr}(M))^2 \leq n \cdot \mathrm{tr}({}^t\!M M)\).
4) En déduire que si \(M\) est une matrice orthogonale, alors \(|\mathrm{tr}(M)| \leq n\).
Voir la correction
1) Notons \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\). On a \(\mathrm{tr}({}^t\!A B) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ij}\).
- Bilinéarité : immédiate par linéarité de la trace et de la transposition.
- Symétrie : \(\mathrm{tr}({}^t\!A B) = \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} = \displaystyle\sum_{i,j} b_{ij} a_{ij} = \mathrm{tr}({}^t\!B A)\).
- Définie positive : \(\langle A, A \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!A A) = \displaystyle\sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0\), et cette somme est nulle si et seulement si tous les \(a_{ij}\) sont nuls, c’est-à-dire \(A = 0\).
Ainsi \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2) C’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire du 1).
3) On applique le 2) avec \(A = M\) et \(B = I_n\). Alors :
- \(\langle M, I_n \rangle = \mathrm{tr}({}^t\!M \cdot I_n) = \mathrm{tr}({}^t\!M) = \mathrm{tr}(M)\)
- \(\|I_n\|^2 = \mathrm{tr}({}^t\!I_n \cdot I_n) = \mathrm{tr}(I_n) = n\)
- \(\|M\|^2 = \mathrm{tr}({}^t\!M M)\)
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne \((\mathrm{tr}(M))^2 \leq n \cdot \mathrm{tr}({}^t\!M M)\).
4) Si \(M\) est orthogonale, alors \({}^t\!M M = I_n\), donc \(\mathrm{tr}({}^t\!M M) = n\). Le 3) donne \((\mathrm{tr}(M))^2 \leq n^2\), soit \(|\mathrm{tr}(M)| \leq n\).
Remarque. L’égalité \(|\mathrm{tr}(M)| = n\) a lieu si et seulement si \(M\) et \(I_n\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(M = \pm I_n\).
VII. Pièges classiques et rédaction concours
A. Erreurs fréquentes en colle
Piège n°1 — Oublier la valeur absolue.
❌ Copie fautive : « On a \(\langle x, y \rangle \leq \|x\| \cdot \|y\|\). »
Diagnostic : Cette inégalité est fausse quand \(\langle x, y \rangle\) < \(0\). Si \(x\) et \(y\) sont en sens opposé, le membre de gauche est négatif tandis que le droit est positif, mais l’inégalité est trivialement satisfaite dans ce cas. Le vrai problème est la perte d’information : c’est \(|\langle x, y \rangle|\) qui est contrôlé.
✅ Correction : « On a \(|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\). »
Piège n°2 — Ne pas traiter le cas \(y = 0\) dans la preuve par discriminant.
❌ Copie fautive : « Soit \(t \in \mathbb{R}\). Le trinôme \(\|y\|^2 t^2 + 2\langle x, y \rangle t + \|x\|^2 \geq 0\) a un discriminant négatif… »
Diagnostic : Si \(y = 0_E\), le coefficient dominant \(\|y\|^2\) est nul. Ce n’est plus un trinôme du second degré et l’argument du discriminant ne s’applique pas.
✅ Correction : Traiter le cas \(y = 0_E\) séparément en première ligne (l’inégalité est alors triviale), puis écrire « Supposons \(y \neq 0_E\) » avant de lancer l’argument du discriminant.
Piège n°3 — Appliquer Cauchy-Schwarz à une forme qui n’est pas un produit scalaire.
❌ Copie fautive : « On applique Cauchy-Schwarz à la forme \(\varphi(f,g) = \displaystyle\int_0^1 f(t)g(t)^2\,dt\)… »
Diagnostic : Cette application \(\varphi\) n’est pas bilinéaire (pas linéaire en \(g\)), donc ce n’est pas un produit scalaire. L’inégalité de Cauchy-Schwarz ne s’y applique pas.
✅ Correction : Avant toute application de Cauchy-Schwarz, vérifier que la forme considérée est bien un produit scalaire (bilinéarité, symétrie, définie positive) — ou citer un résultat du cours qui l’établit.
B. Rédiger Cauchy-Schwarz proprement en 6 lignes
Voici un modèle de rédaction concise et complète, tel qu’attendu par un correcteur de concours :
Modèle de rédaction (preuve par discriminant).
« Soient \(x, y \in E\). Si \(y = 0_E\), l’inégalité est immédiate. Supposons \(y \neq 0_E\). Pour tout \(t \in \mathbb{R}\), \(\|x + ty\|^2 \geq 0\), soit \(\|y\|^2 t^2 + 2\langle x, y \rangle t + \|x\|^2 \geq 0\). Ce trinôme en \(t\), de coefficient dominant \(\|y\|^2\) > \(0\), est positif pour tout \(t \in \mathbb{R}\) ; son discriminant est donc négatif ou nul : \(4\langle x, y \rangle^2 – 4\|x\|^2\|y\|^2 \leq 0\). D’où \(|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\). »
Ce que le correcteur attend :
- Le cas \(y = 0_E\) traité explicitement (même en une seule phrase).
- L’hypothèse \(y \neq 0_E\) posée avant l’argument du trinôme.
- La justification « coefficient dominant \(\|y\|^2\) > \(0\) » pour pouvoir parler de discriminant.
- Le passage du discriminant à l’inégalité finale sans saut logique.
- L’absence totale de bavardage superflu.
VIII. Questions fréquentes
C'est quoi l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?
L’inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que dans tout espace muni d’un produit scalaire, la valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs est majorée par le produit de leurs normes : \(|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\). C’est l’inégalité fondamentale des espaces euclidiens et préhilbertiens.
Quand a-t-on l'égalité dans Cauchy-Schwarz ?
L’égalité \(|\langle x, y \rangle| = \|x\| \cdot \|y\|\) a lieu si et seulement si les vecteurs \(x\) et \(y\) sont colinéaires (la famille \((x,y)\) est liée). Géométriquement, cela signifie que les deux vecteurs sont parallèles — de même sens ou de sens opposé.
Quelle démonstration de Cauchy-Schwarz utiliser en kholle ?
La démonstration par le discriminant est la seule exigible en kholle CPGE. Elle est courte (6 lignes), universelle (valable dans tout espace préhilbertien) et donne accès au cas d’égalité. La preuve par projection orthogonale est un complément utile pour les questions de géométrie euclidienne.
Quelle est la différence entre Cauchy-Schwarz et l'inégalité triangulaire ?
L’inégalité de Cauchy-Schwarz porte sur le produit scalaire (\(|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\)) tandis que l’inégalité triangulaire porte sur la norme (\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)). En fait, l’inégalité triangulaire se démontre à partir de Cauchy-Schwarz : on développe \(\|x + y\|^2\) et on majore \(2\langle x, y \rangle\) par \(2\|x\| \cdot \|y\|\).
Comment appliquer Cauchy-Schwarz aux intégrales ?
On munit l’espace \(\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_a^b f(t)g(t)\,dt\). L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors \((\displaystyle\int_a^b fg)^2 \leq \displaystyle\int_a^b f^2 \cdot \displaystyle\int_a^b g^2\). Le détail est traité dans notre page dédiée à Cauchy-Schwarz pour les intégrales.
Quelle est la généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?
La généralisation naturelle est l’inégalité de Hölder : pour \(p, q\) conjugués (\(\displaystyle\frac{1}{p} + \displaystyle\frac{1}{q} = 1\)), on a \(\displaystyle\sum |a_i b_i| \leq (\displaystyle\sum |a_i|^p)^{1/p}(\displaystyle\sum |b_i|^q)^{1/q}\). Cauchy-Schwarz est le cas \(p = q = 2\). L’inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire dans \(\ell^p\)) en découle. Ces résultats sont hors programme CPGE mais classiques en L3 et en agrégation.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inégalité de Cauchy-Schwarz sous ses aspects théoriques et pratiques. Pour approfondir et consolider ta maîtrise des espaces euclidiens :
- Espace euclidien : cours complet (CPGE) — le chapitre d’ensemble, avec les définitions fondamentales de produit scalaire, norme et orthogonalité.
- Cauchy-Schwarz pour les intégrales — la déclinaison continue, avec démonstration et exercices d’analyse.
- Cauchy-Schwarz et variables aléatoires — l’application en probabilités via la covariance et le coefficient de corrélation.
- Procédé de Gram-Schmidt — la construction de bases orthonormées, qui utilise la projection orthogonale au cœur de notre seconde démonstration.
- Théorème spectral — la diagonalisation orthogonale des endomorphismes auto-adjoints, aboutissement de la théorie des espaces euclidiens.
