Endomorphisme Adjoint et Auto-Adjoint : Définition, Propriétés et Exercices Corrigés

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L’adjoint d’un endomorphisme est l’un des outils centraux de la théorie des espaces euclidiens. Il permet de définir les endomorphismes auto-adjoints — dont les propriétés spectrales remarquables fondent le théorème spectral — et intervient dans la classification des isométries vectorielles. Ce cours couvre la construction de l’adjoint, ses propriétés algébriques, les endomorphismes auto-adjoints et trois exercices corrigés de niveau MPSI à concours.

I. Adjoint d’un endomorphisme : définition et existence

Dans tout ce qui suit, \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) désigne un espace euclidien : un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) muni d’un produit scalaire.

A. Définition et théorème d’existence

Autrement dit, \(u^*\) est l’endomorphisme qui « passe de l’autre côté » du produit scalaire.

Démonstration ⋆

Unicité. Si \(v_1\) et \(v_2\) vérifient la propriété, alors pour tout \((x, y) \in E^2\) :

\(\langle x, v_1(y) – v_2(y) \rangle = 0\)

En prenant \(x = v_1(y) – v_2(y)\), on obtient \(\|v_1(y) – v_2(y)\|^2 = 0\), donc \(v_1(y) = v_2(y)\) pour tout \(y\).

Existence. Fixons \(y \in E\). L’application \(\varphi_y : x \longmapsto \langle u(x), y \rangle\) est une forme linéaire sur \(E\). Par le théorème de représentation de Riesz (qui s’obtient directement en dimension finie par non-dégénérescence du produit scalaire), il existe un unique \(z_y \in E\) tel que :

\(\forall x \in E, \quad \varphi_y(x) = \langle x, z_y \rangle\)

On pose \(u^*(y) = z_y\). Vérifions la linéarité de \(u^*\) : pour \(y_1, y_2 \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), l’unicité dans Riesz et la bilinéarité du produit scalaire donnent :

\(\forall x \in E, \quad \langle x, u^*(y_1 + \lambda y_2) \rangle = \langle u(x), y_1 + \lambda y_2 \rangle = \langle u(x), y_1 \rangle + \lambda \langle u(x), y_2 \rangle = \langle x, u^*(y_1) + \lambda u^*(y_2) \rangle\)

D’où \(u^*(y_1 + \lambda y_2) = u^*(y_1) + \lambda u^*(y_2)\) par non-dégénérescence. ∎

B. Matrice de l’adjoint en base orthonormée

Démonstration. Notons \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\). Le coefficient d’indices \((i, j)\) de \([u^*]_{\mathcal{B}}\) est \(\langle u^*(e_j), e_i \rangle\) (car \(\mathcal{B}\) est orthonormée). Or :

\(\langle u^*(e_j), e_i \rangle = \langle e_j, u(e_i) \rangle = \langle u(e_i), e_j \rangle = a_{ji}\)

C’est le coefficient \((j, i)\) de \(A\), soit le coefficient \((i, j)\) de \({}^t\!A\). ∎

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II. Propriétés de l’application \(u \longmapsto u^*\)

L’application qui à un endomorphisme associe son adjoint est elle-même un objet algébrique riche. Ses propriétés sont au cœur des raisonnements sur les endomorphismes d’espaces euclidiens.

A. Propriétés algébriques

Chacune se vérifie directement à partir de la définition, en jouant sur la bilinéarité du produit scalaire. Détaillons l’involution et l’anti-morphisme, qui sont les plus sollicités en colle.

Involution. Pour tout \((x, y)\) : \(\langle (u^*)^*(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle\) par définition de l’adjoint de \(u^*\). Mais \(\langle x, u^*(y) \rangle = \langle u(x), y \rangle\) par définition de \(u^*\). Donc \((u^*)^* = u\). ∎

Anti-morphisme. \(\langle (u \circ v)(x), y \rangle = \langle u(v(x)), y \rangle = \langle v(x), u^*(y) \rangle = \langle x, v^*(u^*(y)) \rangle = \langle x, (v^* \circ u^*)(y) \rangle\). ∎

B. Noyau, image et rang

Démonstration ⋆ (première égalité — la seconde s’en déduit par involution)

\(y \in \ker u^* \Leftrightarrow u^*(y) = 0 \Leftrightarrow \forall x \in E,\, \langle x, u^*(y) \rangle = 0 \Leftrightarrow \forall x \in E,\, \langle u(x), y \rangle = 0 \Leftrightarrow y \in (\mathrm{Im}\, u)^{\perp}\)

Pour la seconde : \(\mathrm{Im}\, u^* = (\ker(u^*)^*)^{\perp} = (\ker u)^{\perp}\) par la première relation appliquée à \(u^*\) et par l’involution \((u^*)^* = u\).

L’égalité des rangs en découle : \(\mathrm{rg}(u^*) = \dim(\mathrm{Im}\, u^*) = \dim((\ker u)^{\perp}) = n – \dim(\ker u) = \mathrm{rg}(u)\). ∎

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III. Endomorphismes auto-adjoints

Le cas le plus riche est celui où un endomorphisme coïncide avec son adjoint. Ces endomorphismes possèdent des propriétés spectrales remarquables qui culminent dans le théorème spectral.

A. Définition et caractérisations

Caractérisations équivalentes. Pour \(u \in \mathcal{L}(E)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(u = u^*\)
2. \(\forall (x, y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle\)
3. La matrice de \(u\) dans toute base orthonormée est symétrique
4. Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) est symétrique

L’équivalence entre (1), (2) et (3) est immédiate par la relation \([u^*]_{\mathcal{B}} = {}^t\![u]_{\mathcal{B}}\) en BON. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (4) est triviale ; la réciproque résulte du fait que le changement de BON conserve la symétrie.

B. Valeurs propres réelles

Démonstration ⋆

Soit \(A = [u]_{\mathcal{B}}\) dans une BON, de sorte que \(A = {}^t\!A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Soit \(\lambda \in \mathbb{C}\) racine de \(\chi_A\) et \(Z \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}\) tel que \(AZ = \lambda Z\).

Posons le scalaire \(s = {}^t\!\bar{Z} \, A \, Z \in \mathbb{C}\).

D’une part, \(s = {}^t\!\bar{Z}(\lambda Z) = \lambda \, {}^t\!\bar{Z} Z = \lambda \|Z\|^2\).

D’autre part, montrons que \(s \in \mathbb{R}\). En conjuguant : \(\bar{s} = {}^t Z \, \bar{A} \, \bar{Z} = {}^t Z \, A \, \bar{Z}\) (car \(A\) est réelle). Or \(s\) est un scalaire, donc \(s = {}^t s\). En transposant le produit :

\(s = {}^t({}^t\!\bar{Z} \, A \, Z) = {}^t Z \, {}^t\!A \, \bar{Z} = {}^t Z \, A \, \bar{Z} = \bar{s}\)

Donc \(s \in \mathbb{R}\), et comme \(\|Z\|^2\) > \(0\), on obtient \(\lambda = \displaystyle\frac{s}{\|Z\|^2} \in \mathbb{R}\). ∎

C. Sous-espaces propres orthogonaux

Démonstration ⋆

Soient \(x \in E_\lambda\) et \(y \in E_\mu\). Alors :

\(\lambda \langle x, y \rangle = \langle \lambda x, y \rangle = \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle = \langle x, \mu y \rangle = \mu \langle x, y \rangle\)

D’où \((\lambda – \mu) \langle x, y \rangle = 0\). Comme \(\lambda \neq \mu\), on conclut \(\langle x, y \rangle = 0\). ∎

D. Vers le théorème spectral

Les deux résultats précédents convergent vers le théorème fondamental des espaces euclidiens :

La démonstration complète (par récurrence sur la dimension) et ses applications (ACP, diagonalisation de matrices symétriques) sont traitées dans le théorème spectral.

Voici un récapitulatif comparant les propriétés de l’adjoint et de l’auto-adjoint :

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IV. Exemples fondamentaux

Illustrons ces notions sur les trois familles d’exemples les plus fréquentes en CPGE.

A. Matrices symétriques dans \(\mathbb{R}^n\)

Muni du produit scalaire canonique, \(\mathbb{R}^n\) est un espace euclidien dont toute base canonique est orthonormée. L’adjoint d’un endomorphisme de matrice \(A\) a pour matrice \({}^t\!A\). Ainsi :

un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) est auto-adjoint si et seulement si sa matrice dans la base canonique est symétrique.

B. Projection orthogonale

Démonstration. Pour tout \((x, y) \in E^2\), décomposons \(x = x_F + x_{F^{\perp}}\) et \(y = y_F + y_{F^{\perp}}\) :

\(\langle p_F(x), y \rangle = \langle x_F, y_F + y_{F^{\perp}} \rangle = \langle x_F, y_F \rangle\) \(\langle x, p_F(y) \rangle = \langle x_F + x_{F^{\perp}}, y_F \rangle = \langle x_F, y_F \rangle\)

D’où \(\langle p_F(x), y \rangle = \langle x, p_F(y) \rangle\). ∎

La réciproque est également vraie : tout projecteur auto-adjoint est une projection orthogonale (cf. exercice 3 ci-dessous).

C. Endomorphisme associé à une forme bilinéaire symétrique

Si \(\varphi : E \times E \to \mathbb{R}\) est une forme bilinéaire quelconque, le théorème de Riesz garantit l’existence d’un unique \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(\varphi(x, y) = \langle u(x), y \rangle\) pour tout \((x, y)\). Alors :

\(\varphi \text{ est symétrique} \Leftrightarrow u \text{ est auto-adjoint}\)

En effet, \(\varphi(x, y) = \varphi(y, x)\) se traduit par \(\langle u(x), y \rangle = \langle u(y), x \rangle = \langle x, u(y) \rangle\). Ce lien entre formes bilinéaires symétriques et endomorphismes auto-adjoints est fondamental pour l’étude des formes quadratiques.

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V. Exercices corrigés

Trois exercices classés par difficulté croissante, couvrant les situations types de colle et de concours.

Exercice 1 — Vérification et diagonalisation en BON (★ entraînement MPSI)

Soit \(E = \mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique et \(u\) l’endomorphisme de matrice :

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)

1. Vérifier que \(u\) est auto-adjoint.
2. Déterminer les valeurs propres de \(u\).
3. Trouver une base orthonormée de vecteurs propres de \(u\).

Voir la correction

1. La base canonique est orthonormée, donc \(u\) est auto-adjoint si et seulement si \(A = {}^t\!A\). On vérifie immédiatement que \(A\) est symétrique. ✓

2. Polynôme caractéristique : \(\chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I_3)\).

\(\chi_A(\lambda) = (3 – \lambda)[(2 – \lambda)(3 – \lambda) – 1] – 1[(3 – \lambda) – 0] + 0\) \(= (3 – \lambda)(\lambda^2 – 5\lambda + 5) – (3 – \lambda)\) \(= (3 – \lambda)(\lambda^2 – 5\lambda + 4)\) \(= (3 – \lambda)(\lambda – 1)(\lambda – 4)\) \(= -(\lambda – 1)(\lambda – 3)(\lambda – 4)\)

Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 3\), \(\lambda_3 = 4\) (toutes réelles, comme prévu).

3. Sous-espaces propres :

• \(E_1 : (A – I_3)X = 0\) donne \(v_1 = (1, -2, 1)\), normalisé : \(e_1 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}(1, -2, 1)\)
• \(E_3 : (A – 3I_3)X = 0\) donne \(v_2 = (-1, 0, 1)\), normalisé : \(e_2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 0, 1)\)
• \(E_4 : (A – 4I_3)X = 0\) donne \(v_3 = (1, 1, 1)\), normalisé : \(e_3 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\)

On vérifie que \(\langle e_i, e_j \rangle = 0\) pour \(i \neq j\) : c’est garanti par le théorème d’orthogonalité des sous-espaces propres. La famille \((e_1, e_2, e_3)\) est une BON de vecteurs propres. ∎

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Exercice 2 — Adjoint avec matrice de Gram (★★ kholle MP)

On munit \(\mathbb{R}^2\) du produit scalaire dont la matrice de Gram dans la base canonique \(\mathcal{B} = (e_1, e_2)\) est :

\(G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Soit \(u\) l’endomorphisme de matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) dans \(\mathcal{B}\).

1. Justifier que \(G\) définit bien un produit scalaire.
2. Déterminer la matrice de \(u^*\) dans \(\mathcal{B}\).
3. L’endomorphisme \(u\) est-il auto-adjoint ?

Voir la correction

1. \(G\) est symétrique (\(G = {}^t\!G\)). On vérifie qu’elle est définie positive : \(\det(G) = 4 – 1 = 3\) > \(0\) et le coefficient \((1,1)\) est \(2\) > \(0\). Par le critère de Sylvester, \(G\) définit bien un produit scalaire.

2. La base \(\mathcal{B}\) n’est pas orthonormée pour ce produit scalaire (car \(G \neq I_2\)). On utilise la formule générale : \([u^*]_{\mathcal{B}} = G^{-1} \, {}^t\!A \, G\).

Calcul de \(G^{-1}\) : \(G^{-1} = \displaystyle\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).

Calcul de \({}^t\!A \, G\) :

\({}^t\!A \, G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)

Calcul de \(G^{-1}({}^t\!A \, G)\) :

\([u^*]_{\mathcal{B}} = \displaystyle\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)

Vérification : \({}^t\!A \, G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\) et \(G \, [u^*]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\). ✓

3. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = [u^*]_{\mathcal{B}}\). Donc \(u \neq u^*\) : \(u\) n’est pas auto-adjoint.

Remarquons que \(A \neq {}^t\!A\) non plus, mais la symétrie de \(A\) ne suffirait pas ici à conclure, puisque la base n’est pas orthonormée. ∎

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Exercice 3 — Projecteur auto-adjoint (★★★ d’après CCINP MP 2019)

Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien de dimension \(n \geq 1\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\).

1. Montrer que \(\ker(u^* \circ u) = \ker u\).
2. En déduire que \(\mathrm{rg}(u^* \circ u) = \mathrm{rg}(u)\).

On suppose désormais \(u\) auto-adjoint.

3. Montrer que \(u^2 + \mathrm{Id}_E\) est inversible.
4. On suppose de plus \(u^2 = u\). Montrer que \(u\) est une projection orthogonale.

Voir la correction

1. L’inclusion \(\ker u \subset \ker(u^* \circ u)\) est immédiate. Pour la réciproque, soit \(x \in \ker(u^* \circ u)\) :

\(\|u(x)\|^2 = \langle u(x), u(x) \rangle = \langle x, u^*(u(x)) \rangle = \langle x, 0 \rangle = 0\)

Donc \(u(x) = 0\), c’est-à-dire \(x \in \ker u\). ∎

2. Par le théorème du rang : \(\mathrm{rg}(u^* \circ u) = n – \dim\ker(u^* \circ u) = n – \dim\ker u = \mathrm{rg}(u)\). ∎

3. Raisonnons par l’absurde. Soit \(x \neq 0\) tel que \((u^2 + \mathrm{Id}_E)(x) = 0\), i.e. \(u^2(x) = -x\). Alors :

\(\langle u^2(x), x \rangle = \langle -x, x \rangle = -\|x\|^2\) < \(0\)

Mais, comme \(u = u^*\) :

\(\langle u^2(x), x \rangle = \langle u(u(x)), x \rangle = \langle u(x), u^*(x) \rangle = \langle u(x), u(x) \rangle = \|u(x)\|^2 \geq 0\)

Contradiction. Donc \(\ker(u^2 + \mathrm{Id}_E) = \{0\}\), et en dimension finie, \(u^2 + \mathrm{Id}_E\) est inversible. ∎

4. Puisque \(u^2 = u\), les valeurs propres \(\lambda\) de \(u\) vérifient \(\lambda^2 = \lambda\), donc \(\lambda \in \{0, 1\}\). Par le théorème spectral (puisque \(u\) est auto-adjoint), \(u\) est diagonalisable dans une BON \((e_1, \ldots, e_n)\), avec :

\(E = \ker u \overset{\perp}{\oplus} \ker(u – \mathrm{Id}_E) = \ker u \overset{\perp}{\oplus} \mathrm{Im}\, u\)

Pour tout \(x = x_0 + x_1\) avec \(x_0 \in \ker u\) et \(x_1 \in \mathrm{Im}\, u\), on a \(u(x) = x_1 = p_{\mathrm{Im}\, u}(x)\). Donc \(u\) est la projection orthogonale sur \(\mathrm{Im}\, u\). ∎

Ce que le correcteur attend : La clé de la question 3 est d’utiliser \(u = u^*\) pour écrire \(\langle u^2(x), x \rangle = \|u(x)\|^2\). C’est un argument de positivité classique. Pour la question 4, le théorème spectral doit être cité explicitement.

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VI. Pièges classiques et rédaction concours

A. Erreurs fréquentes en colle

B. Rédiger « \(u\) est auto-adjoint » en concours

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VII. Questions fréquentes

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VIII. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant l’adjoint d’un endomorphisme et les propriétés des endomorphismes auto-adjoints. Voici les prolongements naturels dans le cocon « espace euclidien » :

• Théorème spectral — la démonstration complète par récurrence, la diagonalisation orthogonale et ses applications (ACP, formes quadratiques).
• Matrices orthogonales et groupe O(n) — la matrice de passage dans la diagonalisation orthogonale est orthogonale ; le lien entre endomorphismes orthogonaux et isométries vectorielles.
• Procédé de Gram-Schmidt — pour construire les bases orthonormées nécessaires à la mise en pratique.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz — l’inégalité fondamentale du produit scalaire, omniprésente dans les exercices sur les espaces euclidiens.
• Espace euclidien : cours complet — le pilier qui relie toutes ces notions.