MP2I

Cours complets

Espaces euclidiens

Isométries Vectorielles : Rotations, Réflexions et Classification en Dimension 2 et 3

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Les isométries vectorielles — les endomorphismes d’un espace euclidien qui conservent toutes les distances — forment l’une des familles d’applications les plus riches du programme de CPGE. Leur classification en dimension 2 (rotations et […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Espaces euclidiens

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les Intégrales : Démonstration, Cas d’Égalité et Exercices Corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur L’inégalité de Cauchy-Schwarz, que tu maîtrises dans , se transpose naturellement au cadre des fonctions continues grâce au produit scalaire . Cette version intégrale est omniprésente en CPGE : majoration d’intégrales, étude de normes, […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Espaces euclidiens

Théorème Spectral : Énoncé, Démonstrations et Exercices Corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur Le théorème spectral est l’aboutissement du chapitre « espaces euclidiens » en classes préparatoires. Il garantit que tout endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidien se diagonalise en base orthonormée — un résultat dont les conséquences […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Espaces euclidiens

Inégalité de Cauchy-Schwarz : Cours, Propriétés et Exercices Corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur L’inégalité de Cauchy-Schwarz est l’une des inégalités les plus universelles en mathématiques. Elle relie le produit scalaire à la norme dans tout espace euclidien, et intervient en algèbre bilinéaire, en analyse, en probabilités et […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Espaces euclidiens

Endomorphisme Adjoint et Auto-Adjoint : Définition, Propriétés et Exercices Corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur L’adjoint d’un endomorphisme est l’un des outils centraux de la théorie des espaces euclidiens. Il permet de définir les endomorphismes auto-adjoints — dont les propriétés spectrales remarquables fondent le théorème spectral — et intervient […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Espaces euclidiens

Inégalité de Cauchy-Schwarz et variables aléatoires : démonstration, covariance et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur En probabilités, l’inégalité de Cauchy-Schwarz prend une forme remarquablement puissante : appliquée à l’espérance, elle borne la corrélation entre deux variables aléatoires et permet de démontrer en quelques lignes l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette version […]

Zakaria Laouar
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2026-05-28
Nombres complexes

Conjugué d’un nombre complexe : définition, propriétés et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur Le conjugué est probablement l’outil que tu utiliseras le plus souvent dans le chapitre des nombres complexes. Simplifier un quotient ? Tu as besoin du conjugué. Calculer un module ? […]

Zakaria Laouar
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2026-05-19
Nombres complexes

Nombres complexes : cours complet du lycée à la prépa

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur Un nombre complexe est un nombre de la forme , où et sont des réels et vérifie . Au programme de Terminale Maths Expertes et fondamentaux en classe préparatoire (conforme […]

Zakaria Laouar
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2026-05-19
Nombres complexes

Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe : cours et exercices corrigés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur Tu connais la forme algébrique d’un nombre complexe. Elle est pratique pour additionner ou soustraire, mais dès qu’il faut multiplier, diviser ou élever à une puissance, les calculs deviennent vite […]

Zakaria Laouar
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2026-05-19
Nombres complexes

Argument d’un Nombre Complexe : Définition, Calcul et Propriétés

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur Pour décrire un nombre complexe non nul dans le plan, deux grandeurs suffisent : sa « longueur » — le module — et sa « direction » — l’argument. L’argument […]

Zakaria Laouar
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2026-05-19