Formule du taux de variation (variation relative)
\(t = \displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\) (avec \(V_i \neq 0\))
\(V_i\) = valeur initiale (départ) · \(V_f\) = valeur finale (arrivée) · \(t\) = taux en décimal.
Le taux de variation mesure l’évolution d’une grandeur en proportion de la valeur de départ, et s’exprime en pourcentage une fois multiplié par 100. Sur cette page : la formule de la variation relative détaillée, la conversion en %, le lien avec le coefficient multiplicateur, et les pièges classiques à éviter.
Attention : ici on parle de la variation relative (en %). Pour le taux de variation d’une fonction entre a et b (type \(\displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)) : voir la page dédiée.
Pages du chapitre :
- 📘 Taux de variation — cours complet (définition, exemples, méthodes)
- 🧠 Calcul du taux de variation — méthode pas à pas
- 🧮 Calculatrice de taux de variation — résultat en ligne
- ✅ Exercices de taux de variation corrigés — entraînement + PDF
Sommaire :
- La formule (notations, conversion en %)
- Variation absolue vs variation relative
- Coefficient multiplicateur et taux de variation
- Exemples corrigés
- Pièges classiques
- Ne pas confondre : taux de variation d’une fonction
- FAQ
La formule du taux de variation (à connaître)
Cette formule mesure l’évolution en proportion : on compare l’écart \(V_f - V_i\) à la valeur de départ \(V_i\). C’est pour cela qu’on divise par \(V_i\) (et non par \(V_f\)).
Les notations courantes
Selon les manuels, les mêmes grandeurs portent des noms différents :
| Notation | Signifie | Où on la trouve |
|---|---|---|
| \(V_i\) et \(V_f\) | Valeur initiale / Valeur finale | La plus fréquente (maths, lycée) |
| \(V_D\) et \(V_A\) | Valeur de Départ / Valeur d’Arrivée | Certains manuels de Seconde |
| \(y_1\) et \(y_2\) | Première valeur / Deuxième valeur | Statistiques, séries temporelles |
Peu importe la notation : le dénominateur est toujours la valeur de départ. La logique reste « écart ÷ départ ».
Écriture équivalente (très utile en SES)
On rencontre aussi une forme compacte, pratique quand on manipule des rapports :
\(t = \displaystyle\frac{V_f}{V_i} - 1\)
| Écriture | Formule | Quand c’est utile |
|---|---|---|
| Forme « différence » | \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\) | La plus directe : « écart / départ ». |
| Forme « rapport − 1 » | \(\displaystyle\frac{V_f}{V_i} - 1\) | Fréquente en SES (lien avec le coefficient multiplicateur). |
Taux en décimal ou en pourcentage : quand le « ×100 » ?
La formule de la variation relative donne naturellement un nombre décimal \(t\). Pour l’exprimer en pourcentage, on convertit :
\(t_{\%} = 100 \times t\)
Piège classique. Ne mélange pas « taux » et « % ».
- Si \(t = 0{,}12\), alors le taux vaut 12 % (et pas \(0{,}12\%\)).
- Si tu écris directement une formule « avec 100 », tu obtiens un résultat en %. Sinon, tu obtiens un décimal.
Interpréter le signe du résultat
- Si \(t\) > \(0\) → \(V_f\) > \(V_i\) → augmentation.
- Si \(t\) < \(0\) → \(V_f\) < \(V_i\) → diminution.
- Si \(t = 0\) → \(V_f = V_i\) → pas de variation.
Astuce de vérification. Avant même de calculer, compare \(V_f\) à \(V_i\) : si \(V_f\) est plus grand, ton résultat doit être positif ; si \(V_f\) est plus petit, négatif. Ça permet de repérer immédiatement une erreur de signe.
Variation absolue vs variation relative : ne pas confondre
Beaucoup d’erreurs viennent de là : on confond variation absolue et variation relative.
| Nom | Définition | Interprétation |
|---|---|---|
| Variation absolue | \(\Delta V = V_f - V_i\) | « Combien j’ai gagné / perdu » (en €, points, kg…). |
| Variation relative (taux de variation) | \(t = \displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\) | « De combien ça a changé en proportion du départ ». |
Mémo express. La formule de la variation relative compare l’écart au départ : « différence / valeur initiale ».
Une relation très utile (notamment en SES) relie ces notions :
\(V_f = V_i \times (1 + t)\)
Elle dit : « valeur finale = valeur initiale × (1 + taux) », à condition que \(t\) soit un décimal.
Coefficient multiplicateur et taux de variation
Le coefficient multiplicateur (CM) est une autre façon d’exprimer une évolution. Le passage de l’un à l’autre est immédiat :
- \(CM = \displaystyle\frac{V_f}{V_i} = 1 + t\)
- \(t = CM - 1\) (taux en décimal).
Tableau de correspondance
| Évolution | Taux de variation \(t\) | CM = \(1 + t\) | Lecture |
|---|---|---|---|
| Hausse de 20 % | \(+0{,}20\) | \(1{,}20\) | « multiplier par 1,20 » |
| Hausse de 50 % | \(+0{,}50\) | \(1{,}50\) | « multiplier par 1,50 » |
| Baisse de 15 % | \(-0{,}15\) | \(0{,}85\) | « multiplier par 0,85 » |
| Baisse de 30 % | \(-0{,}30\) | \(0{,}70\) | « multiplier par 0,70 » |
Lecture immédiate. Si \(CM = 1{,}12\), alors \(t = 0{,}12\), soit +12 %. Si \(CM = 0{,}85\), alors \(t = -0{,}15\), soit −15 %.
Pourcentage vs points de pourcentage
En SES, attention à la distinction : quand un taux (chômage, intérêt…) passe d’une valeur à une autre, l’écart brut se mesure en points de pourcentage, pas en « % ». Le taux de variation, lui, se calcule normalement avec la formule \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\). Voir Piège 5 pour un exemple chiffré.
Pour approfondir : taux de variation (cours complet).
Exemples corrigés (2 minutes)
Exemple 1 — augmentation. Un prix passe de \(50\) € à \(62\) €. Calculer le taux de variation.
\(V_i = 50\), \(V_f = 62\).
\(t = \displaystyle\frac{62 - 50}{50} = \displaystyle\frac{12}{50} = 0{,}24\).
Donc le prix a augmenté de 24 %.
Exemple 2 — diminution. Un effectif passe de \(125\) à \(110\).
\(V_i = 125\), \(V_f = 110\).
\(t = \displaystyle\frac{110 - 125}{125} = \displaystyle\frac{-15}{125} = -0{,}12\).
Donc l’effectif a diminué de 12 %.
Pour la méthode détaillée (choix des valeurs, vérifications, cas particuliers) : calcul du taux de variation. Et pour t’entraîner : exercices corrigés.
Les pièges classiques sur la formule (et comment les éviter)
Piège 1 — le mauvais dénominateur. Le dénominateur est toujours la valeur initiale \(V_i\).
La logique : « écart / départ ». Si tu divises par \(V_f\), tu changes la référence… et tu n’obtiens pas la variation relative standard.
Piège 2 — oublier la conversion en %. La formule donne souvent un décimal \(t\).
- Si \(t = 0{,}05\), alors 5 %.
- Si \(t = -0{,}2\), alors −20 %.
Piège 3 — parenthèses à la calculatrice.
Tape (Vf − Vi) ÷ Vi avec des parenthèses. Sinon, tu risques de calculer \(V_f - \displaystyle\frac{V_i}{V_i}\) au lieu de \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\).
Piège 4 — cas interdit : \(V_i = 0\).
La formule \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\) n’a pas de sens si \(V_i = 0\) (division par zéro). Dans ce cas, le taux de variation n’est pas défini : il faut reformuler le problème.
Piège 5 — confondre % et points de pourcentage (SES).
Un taux de chômage qui passe de 7 % à 9 % a augmenté de 2 points de pourcentage. Le taux de variation, lui, est \(\displaystyle\frac{9 - 7}{7} \approx +28{,}6\%\). En SES, cette distinction revient dans presque chaque DS.
Ne pas confondre : taux de variation d’une fonction
En maths (Première / Terminale), le taux de variation d’une fonction \(f\) entre deux nombres \(a\) et \(b\) s’écrit :
\(\displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
C’est la pente de la sécante entre les points d’abscisses \(a\) et \(b\), et c’est le point de départ du concept de dérivée.
La différence avec la formule « classique » : ici on compare des images d’une fonction sur un intervalle, alors que la variation relative compare deux valeurs numériques (prix, effectifs, taux…).
Cours complet (lecture graphique, interprétation, exercices) :
taux de variation d’une fonction.
Pour aller plus loin : fonctions (cours complet) · dérivées (cours complet).
FAQ — formule du taux de variation
Faut-il multiplier par 100 dans la formule ?
La formule \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\) donne un décimal. Pour l’exprimer en %, on multiplie par 100 : \(t_{\%} = 100t\). Certaines fiches écrivent directement une formule « en % » avec 100 : c’est la même idée, mais il ne faut pas mélanger les deux conventions.
Quelle est la différence entre taux de variation et variation relative ?
Dans la plupart des contextes scolaires (SES, lycée), ce sont des synonymes : la variation relative est le taux de variation \(\displaystyle\frac{V_f - V_i}{V_i}\). La variation absolue, elle, vaut simplement \(V_f - V_i\).
Peut-on avoir un taux de variation supérieur à 100 % ?
Oui. Par exemple, si une valeur passe de \(40\) à \(100\), alors \(\displaystyle\frac{100 - 40}{40} = 1{,}5\), soit 150 %. Cela signifie que la valeur a plus que doublé.
Quel est le dénominateur : Vi ou Vf ?
C’est \(V_i\) (la valeur initiale). Le taux de variation compare l’écart à la valeur de départ : « écart / départ ». Diviser par \(V_f\) ne correspond pas à la définition standard.
Comment passer du coefficient multiplicateur au taux de variation ?
Il suffit de soustraire 1 : \(t = CM - 1\). Par exemple, \(CM = 1{,}25\) donne \(t = 0{,}25\), soit +25 %. Inversement, \(CM = 1 + t\).
Et pour une fonction, quelle est la formule ?
Entre \(a\) et \(b\), c’est \(\displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) (la pente de la sécante). Cours dédié : taux de variation d’une fonction.
Quelle différence entre % et points de pourcentage ?
Les points de pourcentage mesurent un écart entre deux taux (ex : 7 % à 9 % = +2 points). Le taux de variation compare la nouvelle valeur à l’ancienne (ici \(\displaystyle\frac{9 - 7}{7} \approx +28{,}6\%\)).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la formule du taux de variation et ses pièges. Pour approfondir :
- Taux de variation : cours complet
- Calcul du taux de variation : méthode en 3 étapes
- Taux de variation d’une fonction
- Exercices corrigés sur le taux de variation
- Calculatrice de taux de variation en ligne
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