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La factorielle d’un entier naturel \(n\), notée \(n!\), est le produit de tous les entiers de 1 à \(n\) : \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\). Ainsi \(5! = 120\) et, par convention, \(0! = 1\). Cette petite écriture avec un point d’exclamation compte le nombre de façons d’ordonner \(n\) objets : c’est l’outil de base du dénombrement en Terminale, et une brique que tu retrouveras à chaque page de ta copie en prépa.
Au programme
- 🔵 Terminale spécialité — combinatoire et dénombrement : factorielle, permutations, coefficients binomiaux.
- 🟠 Prépa (MPSI, PCSI, MP2I) — chapitre « Calculs algébriques », croissance comparée, formule de Stirling.
- 🔴 Approfondissement — fonction Gamma, double factorielle.
Notation \(n!\) introduite par Christian Kramp en 1808.
I. Définition de la factorielle
Commençons par le cas le plus concret : tu as 3 livres à ranger côte à côte sur une étagère. Combien d’ordres possibles ? Pour la première place, 3 choix ; pour la deuxième, 2 ; pour la dernière, 1. Au total \(3 \times 2 \times 1 = 6\) rangements. Ce produit « en escalier », c’est exactement la factorielle.
Définition — Factorielle
Pour tout entier naturel \(n \geq 1\), la factorielle de \(n\), notée \(n!\) et lue « factorielle \(n\) », est le produit de tous les entiers de 1 à \(n\) :
\(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} k\)
On pose de plus \(0! = 1\).
L’écriture avec le symbole produit \(\displaystyle\prod\) est la plus compacte : elle dit « multiplie tous les \(k\) quand \(k\) va de 1 à \(n\) ». C’est le pendant, pour la multiplication, du symbole \(\displaystyle\sum\) que tu utilises pour les sommes avec la notation sigma.
Il existe aussi une définition par récurrence, très utile pour les démonstrations : \(0! = 1\) et, pour tout \(n \geq 0\),
\((n+1)! = (n+1) \times n!\)Autrement dit, chaque factorielle se déduit de la précédente en multipliant par un entier de plus. Cette relation est la clé de presque toutes les propriétés qui suivent.
II. Tableau des factorielles
La factorielle explose très vite : dès \(13!\) on dépasse le milliard, et \(20!\) a déjà 19 chiffres. Voici les valeurs à avoir en tête (jusqu’à \(10!\) au bac), puis quelques grands nombres emblématiques.
| \(n\) | \(n!\) (valeur exacte) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
| 52 | \(\approx 8{,}07 \times 10^{67}\) |
| 70 | \(\approx 1{,}20 \times 10^{100}\) |
| 100 | \(\approx 9{,}33 \times 10^{157}\) |
Valeurs vérifiées le 15/10/2026 par calcul exact.
À retenir : \(7! = 5\,040\) et \(4! = 24\) sont deux valeurs utiles à mémoriser. Et déjà à \(70!\), on franchit la barre de \(10^{100}\) — une information qui expliquera plus bas pourquoi certaines calculatrices affichent une erreur.
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III. Calculer une factorielle
Quatre façons de calculer \(n!\), de la plus scolaire à la plus automatique.
- À la main : multiplie en montant, \(1 \times 2 = 2\), \(\times 3 = 6\), \(\times 4 = 24\)… C’est le plus sûr jusqu’à \(7!\).
- À la calculatrice : la touche
!(menu maths > probabilités sur les modèles courants). Tape6puis!pour obtenir \(720\). - Au tableur : la fonction
=FACT(n). Par exemple=FACT(6)renvoie 720. - En Python : la fonction
math.factorial(n), ou une boucle si l’on veut la programmer soi-même.
Les programmes ci-dessous supposent que n est un entier naturel. Pour une saisie utilisateur, il faut vérifier cette condition.
from math import factorial
print(factorial(6)) # affiche 720
# version avec une boucle
def fact(n):
resultat = 1
for k in range(2, n + 1):
resultat = resultat * k
return resultatPython gère les très grands entiers sans limite, donc factorial(100) affiche les 158 chiffres exacts. Ce n’est pas le cas de ta calculatrice, et il faut comprendre pourquoi.
A. Pourquoi la calculatrice affiche une erreur dès 70!
Certaines calculatrices affichent une erreur dès \(70! \approx 1{,}20\times10^{100}\), car leur plage de nombres est limitée. Le seuil dépend du modèle et du mode de calcul. Avec des nombres flottants usuels sur 64 bits, \(170!\) est encore représentable, mais pas \(171!\). Python peut calculer des factorielles entières exactes bien plus grandes, dans les limites de mémoire et de temps disponibles.
IV. Pourquoi 0! = 1 ?
La question revient tout le temps, et la réponse « c’est une convention » est insatisfaisante. En réalité, trois arguments indépendants imposent \(0! = 1\), et aucune autre valeur ne fonctionne.
Trois justifications de \(0! = 1\)
- La relation de récurrence. On veut \((n+1)! = (n+1) \times n!\) pour tout \(n\). Appliquée à \(n = 0\) : \(1! = 1 \times 0!\), donc \(0! = 1\).
- Le produit vide. \(0!\) est un produit qui ne contient aucun facteur. Par convention, un produit vide vaut 1 (l’élément neutre de la multiplication), comme une somme vide vaut 0.
- Le dénombrement. \(n!\) compte les façons d’ordonner \(n\) objets. Il existe exactement une façon de n’ordonner aucun objet : ne rien faire. Donc \(0! = 1\).
Cette valeur n’est pas un caprice : elle rend cohérentes toutes les formules de dénombrement, à commencer par le coefficient binomial \({n \choose n} = \displaystyle\frac{n!}{n! \times 0!} = 1\), qui n’aurait aucun sens sans \(0! = 1\).
V. Propriétés et simplifications
En pratique, on ne calcule presque jamais une factorielle en entier : on simplifie des quotients. Le réflexe à acquérir est de factoriser par la plus petite factorielle grâce à la relation \((n+1)! = (n+1) \times n!\).
Exemple : simplifier \(\displaystyle\frac{(n+2)!}{n!}\).
On écrit \((n+2)! = (n+2)(n+1) \times n!\), donc
\(\displaystyle\frac{(n+2)!}{n!} = \displaystyle\frac{(n+2)(n+1)\,n!}{n!} = (n+2)(n+1)\).
Les \(n!\) se simplifient : il reste un simple produit.
Deux quotients reviennent souvent. Le premier est le nombre d’arrangements, \(\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)\), qui compte les listes ordonnées de \(k\) objets parmi \(n\). Le second, \(\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^2} = {2n \choose n}\), est le coefficient binomial central.
Erreur classique : croire que \((2n)! = 2 \times n!\) ou que \((a+b)! = a! + b!\). C’est faux. La factorielle n’est ni linéaire, ni multiplicative : par exemple \((2 \times 3)! = 6! = 720\), alors que \(2! \times 3! = 2 \times 6 = 12\). On ne « distribue » jamais une factorielle.
VI. À quoi sert la factorielle ?
La factorielle est le moteur du dénombrement. Elle compte le nombre de permutations de \(n\) objets distincts : \(n!\) façons de les ranger dans un ordre. C’est le point de départ des permutations et, en divisant judicieusement, des coefficients binomiaux qui apparaissent dans le triangle de Pascal et la loi binomiale.
A. 52! : mélanger un jeu de cartes
Un jeu de 52 cartes distinctes peut être ordonné de \(52!\) façons, soit environ \(8{,}07\times10^{67}\). Dans le modèle d’un mélange uniforme, chaque ordre précis a une probabilité \(1/52!\). L’écriture scientifique aide à lire cette grandeur.
VII. La croissance de la factorielle
Entre \(2^n\), \(n!\) et \(n^n\), qui gagne la course ? La hiérarchie est nette dès que \(n\) devient grand :
\(2^n\) < \(n!\) < \(n^n\) pour \(n \geq 4\).
La factorielle finit toujours par dépasser n’importe quelle exponentielle \(a^n\). Par exemple \(2^{10} = 1\,024\) alors que \(10! = 3\,628\,800\) : la factorielle est déjà plus de mille fois plus grande.
A. 🟠 La formule de Stirling
En prépa, on veut un équivalent simple de \(n!\) quand \(n \to +\infty\). C’est la formule de Stirling :
Formule de Stirling
\(n! \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^{n}\)
Elle donne une excellente approximation même pour de petites valeurs : pour \(n = 10\), elle renvoie environ \(3\,598\,696\) contre \(3\,628\,800\), soit moins de 1 % d’écart. On la démontre classiquement à partir des intégrales de Wallis, et elle est au cœur de la preuve du théorème de Moivre-Laplace qui relie la loi binomiale à la loi normale.
VIII. 🟠 Les factorielles généralisées
La factorielle « classique » n’est définie que sur les entiers naturels. Mais plusieurs objets prolongent l’idée, et tu les croiseras en prépa.
- La double factorielle \(n!!\) multiplie un entier sur deux de même parité : \(7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105\) et \(6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48\). Attention, \(n!! \neq (n!)!\).
- La sous-factorielle \(!n\) compte les dérangements : les permutations sans aucun point fixe. On a \(!n = n! \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \displaystyle\frac{(-1)^k}{k!}\).
- La fonction Gamma prolonge la factorielle : \(\Gamma(n+1)=n!\) pour tout entier \(n\geq0\). Pour un réel \(x>0\), elle est définie par \(\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\). L’intégrale s’étend aux complexes de partie réelle strictement positive ; son prolongement possède des pôles aux entiers non positifs.
C’est grâce à \(\Gamma\) que l’on peut donner un sens à une « factorielle » de \(\displaystyle\frac{1}{2}\), mais pas à celle d’un entier négatif : \(\Gamma\) possède des pôles en \(0, -1, -2, \ldots\), donc \((-1)!\) n’existe pas.
IX. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calcul direct ★
Calculer \(\displaystyle\frac{6!}{4!}\) sans calculatrice.
Voir la correction de l’exercice 1
On factorise par \(4!\) : \(6! = 6 \times 5 \times 4!\).
\(\displaystyle\frac{6!}{4!} = \displaystyle\frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30\).
Inutile de calculer \(6! = 720\) puis de diviser : le résultat est 30.
Exercice 2 — Simplifier une expression ★
Pour \(n \geq 1\), simplifier \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\).
Voir la correction de l’exercice 2
On descend de \((n+1)!\) jusqu’à \((n-1)!\) : \((n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!\).
\(\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1) \times n = n^2 + n\).
Exercice 3 — Résoudre une équation ★★
Résoudre dans les entiers \(n \geq 1\) l’équation \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 12\).
Voir la correction de l’exercice 3
D’après l’exercice 2, l’équation devient \((n+1)\,n = 12\), soit \(n^2 + n- 12 = 0\).
Le discriminant vaut \(\Delta = 1 + 48 = 49\), donc \(n = \displaystyle\frac{-1 + 7}{2} = 3\) (la racine \(-4\) est rejetée).
Vérification : \(\displaystyle\frac{4!}{2!} = \displaystyle\frac{24}{2} = 12\) ✓. La solution est \(n = 3\).
Révise la factorielle sans ta calculatrice
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Exercice 4 — Factoriser avant de sommer ★★
Montrer que, pour tout entier \(n \geq 1\), \(n \times n! = (n+1)!- n!\).
Voir la correction de l’exercice 4
On part du membre de droite et on factorise par \(n!\) :
\((n+1)!- n! = (n+1)\,n!- n! = n!\big((n+1)- 1\big) = n \times n!\).
L’égalité est démontrée. Remarque : cette identité fait de \(\sum k \times k!\) une somme télescopique, dont le résultat se devine immédiatement.
Exercice 5 — Inégalité par récurrence ★★
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\), \(n! \geq 2^{n-1}\).
Voir la correction de l’exercice 5
Initialisation : pour \(n = 1\), \(1! = 1\) et \(2^{0} = 1\), donc \(1 \geq 1\) ✓.
Hérédité : supposons \(n! \geq 2^{n-1}\) pour un \(n \geq 1\) fixé. Alors
\((n+1)! = (n+1)\,n! \geq (n+1)\,2^{n-1} \geq 2 \times 2^{n-1} = 2^{n}\),
car \(n + 1 \geq 2\). L’inégalité est vraie au rang \(n+1\).
Par le principe de récurrence, l’inégalité est vraie pour tout \(n \geq 1\).
Exercice 6 — Les zéros de 100! ★★★
Par combien de zéros se termine l’écriture décimale de \(100!\) ?
Voir la correction de l’exercice 6
Un zéro final correspond à un facteur 10, donc à un couple de facteurs premiers \((2, 5)\). Comme les multiples de 2 sont bien plus nombreux que ceux de 5, le nombre de zéros est le nombre de facteurs 5 dans \(100!\).
On compte les multiples de 5, puis ceux de 25 (qui apportent un 5 supplémentaire) :
\(\left\lfloor \displaystyle\frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \displaystyle\frac{100}{25} \right\rfloor = 20 + 4 = 24\).
(Formule de Legendre.) \(100!\) se termine par 24 zéros.
X. Erreurs fréquentes
« \((2n)! = 2 \times n!\) » — Non. La factorielle n’est pas linéaire. On a \(4! = 24\), pas \(2 \times 2! = 4\). Pour simplifier \((2n)!\), il faut écrire tout le produit.
« \(0! = 0\) » — Non, \(0! = 1\). Un zéro ici casserait tous les coefficients binomiaux (division par \(0!\)).
Oublier de factoriser avant de simplifier. Face à \(\displaystyle\frac{10!}{8!}\), ne calcule pas les deux factorielles : écris \(10! = 10 \times 9 \times 8!\) et simplifie pour trouver \(90\). C’est plus rapide et sans risque d’erreur.
XI. Questions fréquentes
Comment calculer une factorielle ?
On multiplie tous les entiers de 1 jusqu’à \(n\) : par exemple \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). À la calculatrice, on utilise la touche ! ; au tableur, la fonction =FACT(n) ; en Python, math.factorial(n). Pour simplifier un quotient, on factorise par la plus petite factorielle.
Pourquoi 0 factorielle égale 1 ?
Trois raisons concordent : la relation \(1! = 1 \times 0!\) impose \(0! = 1\) ; un produit vide vaut 1 par convention ; et il existe exactement une façon de n’ordonner aucun objet. Cette valeur rend cohérentes toutes les formules de dénombrement.
Que vaut 52 factorielle ?
\(52!\) vaut environ \(8{,}07 \times 10^{67}\), soit un nombre à 68 chiffres. C’est le nombre d’ordres possibles d’un jeu de 52 cartes : un chiffre si grand que chaque mélange sérieux produit un ordre jamais obtenu auparavant.
La factorielle d’un nombre négatif existe-t-elle ?
Non. La factorielle classique n’est définie que sur les entiers naturels. Son prolongement, la fonction Gamma, possède des pôles aux entiers négatifs : \((-1)!\) n’a donc pas de valeur. En revanche, \(\Gamma\) permet de définir une « factorielle » de certains réels non entiers, comme \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Quelle différence entre factorielle et coefficient binomial ?
La factorielle \(n!\) compte les permutations (ordres) de \(n\) objets. Le coefficient binomial \({n \choose k} = \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\) compte les sous-ensembles de \(k\) objets, sans tenir compte de l’ordre. Le coefficient binomial se construit à partir de factorielles, mais répond à une question différente.
Pourquoi ma calculatrice affiche une erreur pour 70 factorielle ?
Sur certains modèles, \(70!\approx1{,}20\times10^{100}\) dépasse la plage de nombres disponible. La limite dépend de la calculatrice. Pour un calcul entier exact de cette taille, on peut utiliser math.factorial(70) en Python.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la factorielle, son tableau de valeurs, \(0! = 1\) et les simplifications de quotients. Pour continuer dans le cocon et au-delà :
