Tu as compris le cours sur l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais dès qu’un exercice te demande de choisir le bon \(\delta\) ou de majorer une probabilité, tu bloques ? C’est normal : cette inégalité est simple à énoncer, mais elle demande de l’entraînement pour être maniée avec aisance. Voici 20 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct au problème type bac, jusqu’à quatre exercices de niveau prépa. Chacun est corrigé pas à pas, avec les justifications qu’un correcteur attend. Un PDF bonus t’attend en fin de page pour t’entraîner encore plus.
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, garde ces trois résultats sous les yeux. Tout le reste en découle. Pour la théorie complète, va voir le cours sur l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Inégalité de Markov — Si \(X\) est une variable aléatoire positive d’espérance \(E(X)\), alors pour tout réel \(a\) > \(0\) :
\(P(X \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{a}\)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Si \(X\) admet une espérance \(\mu\) et une variance \(V(X)\), alors pour tout réel \(\delta\) > \(0\) :
\(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\)
Inégalité de concentration — Si \(M_n\) est la moyenne de \(n\) variables indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\), alors pour tout réel \(\delta\) > \(0\) :
\(P(|M_n- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2}\)
Ces inégalités s’inscrivent dans une chaîne : Markov donne la majoration de base, Bienaymé-Tchebychev l’applique à l’écart à la moyenne, l’inégalité de concentration l’applique à une moyenne empirique, et la loi des grands nombres en découle. Passons à la pratique.
Exercices d’application directe (★)
On commence par du calcul mécanique : identifier \(\mu\), \(V(X)\) et \(\delta\), puis appliquer la formule. Prends le réflexe d’écrire l’inégalité complète avant de remplacer par les nombres.
Exercice 1 — Première majoration ★
Une variable aléatoire \(X\) vérifie \(E(X) = 20\) et \(V(X) = 4\). Majore la probabilité \(P(|X- 20| \geq 5)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec \(\mu = 20\) et \(\delta = 5\) :
\(P(|X- 20| \geq 5) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2} = \displaystyle\frac{4}{5^2} = \displaystyle\frac{4}{25}\)Donc \(P(|X- 20| \geq 5) \leq 0{,}16\). La probabilité que \(X\) s’écarte de sa moyenne d’au moins 5 est au plus 16 %.
Exercice 2 — Trouver le bon δ ★
Avec la même variable (\(E(X) = 20\), \(V(X) = 4\)), détermine une valeur de \(\delta\) garantissant \(P(|X- 20| \geq \delta) \leq 0{,}01\).
Voir la correction de l’exercice 2
Il suffit que la borne soit inférieure à \(0{,}01\) :
\(\displaystyle\frac{4}{\delta^2} \leq 0{,}01 \Longleftrightarrow \delta^2 \geq \displaystyle\frac{4}{0{,}01} = 400 \Longleftrightarrow \delta \geq 20\)Toute valeur \(\delta \geq 20\) convient. En particulier \(\delta = 20\) suffit à garantir \(P(|X- 20| \geq 20) \leq 0{,}01\).
Exercice 3 — Le dé équilibré ★
On lance un dé équilibré à six faces et on note \(X\) le résultat. On rappelle \(E(X) = 3{,}5\) et \(V(X) = \displaystyle\frac{35}{12}\). Majore \(P(|X- 3{,}5| \geq 2{,}5)\), puis calcule la probabilité exacte.
Voir la correction de l’exercice 3
Borne de Bienaymé-Tchebychev :
\(P(|X- 3{,}5| \geq 2{,}5) \leq \displaystyle\frac{35/12}{(2{,}5)^2} = \displaystyle\frac{35/12}{6{,}25} \approx 0{,}467\)Probabilité exacte : l’événement \(|X- 3{,}5| \geq 2{,}5\) signifie \(X \leq 1\) ou \(X \geq 6\), c’est-à-dire \(X \in \{1\,;\,6\}\). Donc :
\(P(|X- 3{,}5| \geq 2{,}5) = \displaystyle\frac{2}{6} \approx 0{,}333\)Conclusion : la borne (0,467) majore bien la vraie valeur (0,333), mais elle est grossière. C’est normal : l’inégalité n’utilise que l’espérance et la variance, elle ignore la forme de la loi.
Exercice 4 — Inégalité de Markov ★
Un temps d’attente \(X\) (en minutes) est une variable aléatoire positive d’espérance \(E(X) = 3\). Majore la probabilité d’attendre au moins 12 minutes.
Voir la correction de l’exercice 4
Comme \(X\) est positive, on peut utiliser l’inégalité de Markov avec \(a = 12\) :
\(P(X \geq 12) \leq \displaystyle\frac{E(X)}{12} = \displaystyle\frac{3}{12} = \displaystyle\frac{1}{4}\)La probabilité d’attendre au moins 12 minutes est au plus 25 %. Remarque : Markov ne nécessite pas la variance, seulement l’espérance et la positivité de la variable.
Exercice 5 — Moyenne d’un échantillon ★
On répète 100 fois de façon indépendante une même expérience, dont le résultat \(X_i\) a pour espérance \(\mu = 5\) et variance \(\sigma^2 = 2\). On note \(M_{100}\) la moyenne des 100 résultats. Majore \(P(|M_{100}- 5| \geq 0{,}5)\).
Voir la correction de l’exercice 5
On utilise l’inégalité de concentration avec \(n = 100\), \(\sigma^2 = 2\) et \(\delta = 0{,}5\) :
\(P(|M_{100}- 5| \geq 0{,}5) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2} = \displaystyle\frac{2}{100 \times 0{,}25} = \displaystyle\frac{2}{25}\)Donc \(P(|M_{100}- 5| \geq 0{,}5) \leq 0{,}08\) : au plus 8 % de chances que la moyenne s’écarte de plus de 0,5 de sa valeur théorique.
Exercice 6 — Combien de répétitions ? ★
Des variables \(X_i\) indépendantes de même loi ont pour variance \(\sigma^2 = 1\). Combien d’expériences \(n\) faut-il pour garantir \(P(|M_n- \mu| \geq 0{,}1) \leq 0{,}05\) ?
Voir la correction de l’exercice 6
Il suffit que la borne de concentration soit inférieure à \(0{,}05\) :
\(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2} \leq 0{,}05 \Longleftrightarrow \displaystyle\frac{1}{n \times 0{,}01} \leq 0{,}05\) \(\Longleftrightarrow n \geq \displaystyle\frac{1}{0{,}01 \times 0{,}05} = \displaystyle\frac{1}{0{,}0005} = 2000\)Il faut au moins \(n = 2000\) répétitions. La borne de Bienaymé-Tchebychev exige beaucoup d’échantillons : c’est le prix de sa généralité.
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Exercices d’approfondissement (★★)
On monte d’un cran : ici tu dois modéliser, raisonner ou combiner plusieurs étapes avant d’appliquer une inégalité. Ce sont exactement les compétences testées au bac.
Exercice 7 — Contrôle qualité ★★
Une machine produit des pièces dont la longueur \(X\) (en mm) a pour espérance \(\mu = 100\) et pour écart-type \(\sigma = 0{,}5\). Une pièce est refusée si elle s’écarte de plus de 2 mm de la longueur cible. Majore la proportion de pièces refusées.
Voir la correction de l’exercice 7
Une pièce est refusée si \(|X- 100| \geq 2\). On a \(V(X) = \sigma^2 = 0{,}25\) et \(\delta = 2\) :
\(P(|X- 100| \geq 2) \leq \displaystyle\frac{0{,}25}{2^2} = \displaystyle\frac{0{,}25}{4} = 0{,}0625\)La proportion de pièces refusées est au plus 6,25 %, quelle que soit la loi précise de la longueur.
Exercice 8 — Retrouver l’inégalité par Markov ★★
Soit \(X\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V(X)\). On pose \(Y = (X- \mu)^2\). Démontre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de l’inégalité de Markov appliquée à \(Y\).
Voir la correction de l’exercice 8
Étape 1 — \(Y = (X- \mu)^2\) est positive, donc Markov s’applique. Son espérance est, par définition de la variance : \(E(Y) = E\big((X-\mu)^2\big) = V(X)\).
Étape 2 — Pour \(\delta\) > \(0\), l’événement \(|X- \mu| \geq \delta\) équivaut à \((X- \mu)^2 \geq \delta^2\), c’est-à-dire \(Y \geq \delta^2\). Donc :
\(P(|X- \mu| \geq \delta) = P(Y \geq \delta^2)\)Étape 3 — On applique Markov à \(Y\) avec \(a = \delta^2\) :
\(P(Y \geq \delta^2) \leq \displaystyle\frac{E(Y)}{\delta^2} = \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\)D’où \(P(|X- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\). C’est bien Bienaymé-Tchebychev. ∎
Exercice 9 — Sondage et proportion ★★
On interroge \(n\) personnes indépendamment ; chacune répond « oui » avec la probabilité inconnue \(p\). On note \(F\) la fréquence de « oui ». On admet \(V(F) = \displaystyle\frac{p(1-p)}{n}\) et \(p(1-p) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\). Majore \(P(|F- p| \geq 0{,}05)\) pour \(n = 1000\).
Voir la correction de l’exercice 9
\(F\) est une moyenne empirique d’espérance \(p\). Bienaymé-Tchebychev donne :
\(P(|F- p| \geq 0{,}05) \leq \displaystyle\frac{V(F)}{(0{,}05)^2} = \displaystyle\frac{p(1-p)/n}{0{,}0025}\)En majorant \(p(1-p) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\) avec \(n = 1000\) :
\(P(|F- p| \geq 0{,}05) \leq \displaystyle\frac{1/4}{1000 \times 0{,}0025} = \displaystyle\frac{0{,}25}{2{,}5} = 0{,}1\)La fréquence observée s’écarte de plus de 5 points de \(p\) avec une probabilité au plus 10 %. C’est le principe qui justifie la marge d’erreur d’un sondage.
Exercice 10 — Vers la loi des grands nombres ★★
Soit \(M_n\) la moyenne de \(n\) variables indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). Montre que pour tout \(\delta\) > \(0\) fixé, \(P(|M_n- \mu| \geq \delta)\) tend vers 0 quand \(n \to +\infty\). Quel théorème vient-on de justifier ?
Voir la correction de l’exercice 10
D’après l’inégalité de concentration, pour tout \(n\) :
\(0 \leq P(|M_n- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2}\)À \(\delta\) fixé, le terme de droite \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\delta^2}\) tend vers 0 quand \(n \to +\infty\) (c’est \(\displaystyle\frac{\text{constante}}{n}\)). Par le théorème des gendarmes, on conclut :
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(|M_n- \mu| \geq \delta) = 0\)On vient de démontrer la loi (faible) des grands nombres : la moyenne d’un grand échantillon se concentre autour de l’espérance.
Exercice 11 — Borne contre réalité ★★
On lance 100 fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de « pile », qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)\), donc \(E(X) = 50\) et \(V(X) = 25\). Majore \(P(|X- 50| \geq 10)\), puis compare à la valeur réelle (environ 0,046).
Voir la correction de l’exercice 11
Borne de Bienaymé-Tchebychev avec \(\delta = 10\) :
\(P(|X- 50| \geq 10) \leq \displaystyle\frac{25}{10^2} = \displaystyle\frac{25}{100} = 0{,}25\)Comparaison : la valeur réelle est d’environ 0,046. La borne (0,25) est plus de 5 fois trop grande.
Explication : Bienaymé-Tchebychev n’utilise que \(E(X)\) et \(V(X)\). Ici la loi est presque symétrique en cloche (approchée par la loi normale), une information que l’inégalité ignore complètement. D’où une majoration très lâche.
Exercice 12 — Minorer une probabilité ★★
Une variable \(X\) a pour espérance \(\mu = 60\) et pour écart-type \(\sigma = 4\). Montre que \(P(52 \lt X \lt 68) \geq 0{,}75\).
Voir la correction de l’exercice 12
L’événement \(52 \lt X \lt 68\) s’écrit \(|X- 60| \lt 8\). C’est l’événement contraire de \(|X- 60| \geq 8\). Donc :
\(P(|X- 60| \lt 8) = 1- P(|X- 60| \geq 8)\)Bienaymé-Tchebychev avec \(V(X) = \sigma^2 = 16\) et \(\delta = 8\) :
\(P(|X- 60| \geq 8) \leq \displaystyle\frac{16}{8^2} = \displaystyle\frac{16}{64} = 0{,}25\)Par passage au complémentaire :
\(P(|X- 60| \lt 8) \geq 1- 0{,}25 = 0{,}75\)On a bien \(P(52 \lt X \lt 68) \geq 0{,}75\). Le piège classique : penser à passer au complémentaire pour transformer une majoration en minoration.
Exercices de synthèse type bac (★★★)
Voici les problèmes structurés que tu retrouveras à l’épreuve de spécialité. Ils enchaînent plusieurs questions : lecture de l’énoncé, mise en place de la variable, application de l’inégalité, interprétation. Prends le temps de rédiger comme sur une copie.
Exercice 13 — Contrôle de production (d’après Métropole 2025) ★★★
Une usine produit des sachets de sucre. La masse \(X\) d’un sachet (en g) vérifie \(E(X) = 1000\) et \(V(X) = 25\). On prélève un sachet au hasard.
1. Majore la probabilité que la masse s’écarte de plus de 10 g de 1000 g.
2. On prélève un échantillon de \(n = 50\) sachets ; soit \(M_{50}\) la masse moyenne. Majore \(P(|M_{50}- 1000| \geq 2)\).
3. Compare les deux résultats et commente.
Voir la correction de l’exercice 13
1. Bienaymé-Tchebychev avec \(\delta = 10\) :
\(P(|X- 1000| \geq 10) \leq \displaystyle\frac{25}{10^2} = 0{,}25\)2. Inégalité de concentration, \(n = 50\), \(\sigma^2 = 25\), \(\delta = 2\) :
\(P(|M_{50}- 1000| \geq 2) \leq \displaystyle\frac{25}{50 \times 2^2} = \displaystyle\frac{25}{200} = 0{,}125\)3. Bien qu’on demande un écart plus petit (2 g au lieu de 10 g), la borne sur la moyenne (0,125) est plus faible que celle sur un sachet isolé (0,25). Le fait de moyenner un échantillon réduit la dispersion : c’est tout l’intérêt de l’échantillonnage.
Exercice 14 — Sondage électoral (d’après Amérique du Nord 2025) ★★★
Un candidat a une intention de vote réelle \(p\). On interroge \(n\) électeurs indépendamment et on note \(F\) la fréquence de personnes favorables. On admet \(V(F) = \displaystyle\frac{p(1-p)}{n} \leq \displaystyle\frac{1}{4n}\).
1. Montre que \(P(|F- p| \geq 0{,}03) \leq \displaystyle\frac{1}{4n \times 0{,}0009}\).
2. Détermine le plus petit \(n\) garantissant \(P(|F- p| \geq 0{,}03) \leq 0{,}05\).
Voir la correction de l’exercice 14
1. Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(F\) (espérance \(p\)) avec \(\delta = 0{,}03\) :
\(P(|F- p| \geq 0{,}03) \leq \displaystyle\frac{V(F)}{(0{,}03)^2} \leq \displaystyle\frac{1/(4n)}{0{,}0009} = \displaystyle\frac{1}{4n \times 0{,}0009}\)2. On veut cette borne \(\leq 0{,}05\) :
\(\displaystyle\frac{1}{4n \times 0{,}0009} \leq 0{,}05 \Longleftrightarrow 4n \times 0{,}0009 \geq \displaystyle\frac{1}{0{,}05} = 20\) \(\Longleftrightarrow n \geq \displaystyle\frac{20}{4 \times 0{,}0009} = \displaystyle\frac{20}{0{,}0036} \approx 5556\)Il faut interroger au moins 5 556 électeurs. C’est beaucoup : Bienaymé-Tchebychev donne une taille d’échantillon très prudente. L’intervalle de confiance fondé sur la loi normale donne un \(n\) bien plus petit pour la même précision.
Exercice 15 — Le casino et la loi des grands nombres ★★★
À un jeu, le gain \(X_i\) d’un joueur pour une partie vérifie \(E(X_i) = -0{,}2\) € (le jeu est défavorable) et \(V(X_i) = 4\). Le casino organise \(n = 10\,000\) parties indépendantes. Soit \(M_n\) le gain moyen par partie.
1. Majore \(P(|M_n + 0{,}2| \geq 0{,}1)\).
2. Explique pourquoi le casino est « sûr » de gagner sur le long terme.
Voir la correction de l’exercice 15
1. \(M_n\) a pour espérance \(\mu = -0{,}2\). L’événement \(|M_n- (-0{,}2)| \geq 0{,}1\) s’écrit \(|M_n + 0{,}2| \geq 0{,}1\). Inégalité de concentration :
\(P(|M_n + 0{,}2| \geq 0{,}1) \leq \displaystyle\frac{4}{10\,000 \times 0{,}01} = \displaystyle\frac{4}{100} = 0{,}04\)2. Avec une probabilité d’au moins \(0{,}96\), le gain moyen par partie reste dans l’intervalle \([-0{,}3\,;\,-0{,}1]\), donc négatif pour le joueur. Sur un grand nombre de parties, la moyenne se concentre autour de \(-0{,}2\) € : le casino encaisse en moyenne 0,20 € par partie. C’est la loi des grands nombres, et non la « loi des séries », qui garantit ce résultat.
Exercice 16 — Simulation et estimation ★★★
On simule le lancer d’un dé truqué dont on ignore l’espérance \(\mu\) et dont la variance vérifie \(\sigma^2 \leq 3\). On veut estimer \(\mu\) par la moyenne \(M_n\) à \(0{,}05\) près, avec une probabilité d’au moins \(0{,}99\). Quel nombre de lancers \(n\) garantit cet objectif ?
Voir la correction de l’exercice 16
« Estimer \(\mu\) à 0,05 près avec probabilité \(\geq 0{,}99\) » signifie :
\(P(|M_n- \mu| \lt 0{,}05) \geq 0{,}99 \Longleftrightarrow P(|M_n- \mu| \geq 0{,}05) \leq 0{,}01\)On majore la borne de concentration en utilisant \(\sigma^2 \leq 3\) :
\(P(|M_n- \mu| \geq 0{,}05) \leq \displaystyle\frac{3}{n \times (0{,}05)^2} = \displaystyle\frac{3}{n \times 0{,}0025}\)On impose \(\displaystyle\frac{3}{0{,}0025\,n} \leq 0{,}01\), soit :
\(n \geq \displaystyle\frac{3}{0{,}0025 \times 0{,}01} = \displaystyle\frac{3}{0{,}000025} = 120\,000\)Il faut au moins 120 000 lancers. Cet ordre de grandeur illustre bien la prudence de Bienaymé-Tchebychev : la borne surestime largement les besoins réels.
🔴 Pour aller plus loin : exercices niveau prépa
Ces quatre exercices dépassent le programme de Terminale. Ils sont destinés aux étudiants de CPGE qui veulent maîtriser les généralisations (moments d’ordre supérieur, convergence en probabilité, cas d’égalité). La rigueur de rédaction attendue y est celle des concours.
Exercice 17 — Inégalité de Markov à l’ordre r 🔴 ★★★
Soit \(X\) une variable aléatoire admettant un moment d’ordre \(r\) > \(0\). Démontre que pour tout \(a\) > \(0\) : \(P(|X| \geq a) \leq \displaystyle\frac{E(|X|^r)}{a^r}\).
Voir la correction de l’exercice 17
La variable \(Y = |X|^r\) est positive et \(r\) > \(0\), donc la fonction \(t \mapsto t^r\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Ainsi :
\(|X| \geq a \Longleftrightarrow |X|^r \geq a^r\)d’où \(P(|X| \geq a) = P(|X|^r \geq a^r)\). On applique alors l’inégalité de Markov à la variable positive \(Y = |X|^r\) avec le seuil \(a^r\) :
\(P(Y \geq a^r) \leq \displaystyle\frac{E(Y)}{a^r} = \displaystyle\frac{E(|X|^r)}{a^r}\)Ce qui établit le résultat. Le cas \(r = 2\) appliqué à \(X- \mu\) redonne Bienaymé-Tchebychev : c’est un cas particulier d’une famille d’inégalités de concentration. ∎
Exercice 18 — Loi faible des grands nombres 🔴 ★★★
Soit \((X_n)_{n \geq 1}\) une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées, admettant une espérance \(\mu\) et une variance \(\sigma^2\). On pose \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) et \(M_n = \displaystyle\frac{S_n}{n}\). Démontre que \(M_n\) converge en probabilité vers \(\mu\).
Voir la correction de l’exercice 18
Espérance et variance de \(M_n\). Par linéarité, \(E(M_n) = \mu\). Par indépendance :
\(V(M_n) = \displaystyle\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} V(X_k) = \displaystyle\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)Application de Bienaymé-Tchebychev. Soit \(\varepsilon\) > \(0\). Alors :
\(P(|M_n- \mu| \geq \varepsilon) \leq \displaystyle\frac{V(M_n)}{\varepsilon^2} = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}\)Passage à la limite. Le majorant tend vers 0 quand \(n \to +\infty\), donc :
\(\forall \varepsilon\) > \(0,\quad \displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(|M_n- \mu| \geq \varepsilon) = 0\)
C’est exactement la définition de la convergence en probabilité : \(M_n \stackrel{P}{\longrightarrow} \mu\). Pour la distinction avec la loi forte, voir loi faible et loi forte des grands nombres. ∎
Exercice 19 — Bienaymé-Tchebychev est-elle optimale ? 🔴 ★★★★
On veut montrer que la borne de Bienaymé-Tchebychev ne peut pas être améliorée en général. Construis une variable aléatoire \(X\) telle que l’inégalité soit une égalité pour un \(\delta\) donné.
Voir la correction de l’exercice 19
On cherche une loi concentrée sur trois valeurs. Soit \(\delta\) > \(0\) et \(0 \lt p \lt 1\). On définit \(X\) par :
\(P(X = -\delta) = P(X = \delta) = \displaystyle\frac{p}{2}, \qquad P(X = 0) = 1- p\)Espérance : par symétrie, \(E(X) = 0 = \mu\).
Variance : \(V(X) = E(X^2) = \delta^2 \cdot \displaystyle\frac{p}{2} + \delta^2 \cdot \displaystyle\frac{p}{2} + 0 = p\,\delta^2\).
Probabilité de l’écart : \(P(|X- 0| \geq \delta) = P(X = -\delta) + P(X = \delta) = p\).
Borne de Bienaymé-Tchebychev : \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2} = \displaystyle\frac{p\,\delta^2}{\delta^2} = p\).
On a donc \(P(|X- \mu| \geq \delta) = p = \displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2}\) : l’inégalité est une égalité. La borne est donc optimale : aucune constante universelle plus petite ne peut la remplacer. ∎
Exercice 20 — Estimation de Monte-Carlo 🔴 ★★★★
On estime une intégrale \(I = \displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx\) par la méthode de Monte-Carlo : on tire \(U_1, \dots, U_n\) indépendantes uniformes sur \([0\,;\,1]\) et on pose \(\hat{I}_n = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(U_k)\). On suppose \(0 \leq g \leq 1\). Majore le nombre de tirages garantissant \(P(|\hat{I}_n- I| \geq 0{,}01) \leq 0{,}05\).
Voir la correction de l’exercice 20
Les variables \(Y_k = g(U_k)\) sont i.i.d. avec \(E(Y_k) = \displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx = I\) : \(\hat{I}_n\) est un estimateur sans biais de \(I\).
Majoration de la variance. Comme \(0 \leq g \leq 1\), on a \(0 \leq Y_k \leq 1\), donc \(V(Y_k) = E(Y_k^2)- I^2 \leq E(Y_k)- I^2 = I(1- I) \leq \displaystyle\frac{1}{4}\).
Application. Par l’inégalité de concentration :
\(P(|\hat{I}_n- I| \geq 0{,}01) \leq \displaystyle\frac{V(Y_k)}{n \times (0{,}01)^2} \leq \displaystyle\frac{1/4}{n \times 0{,}0001}\)On impose \(\displaystyle\frac{1/4}{0{,}0001\,n} \leq 0{,}05\) :
\(n \geq \displaystyle\frac{0{,}25}{0{,}0001 \times 0{,}05} = \displaystyle\frac{0{,}25}{5 \times 10^{-6}} = 50\,000\)Il faut 50 000 tirages pour cette précision. Cet exercice montre que Bienaymé-Tchebychev fournit une garantie non asymptotique, valable pour tout \(n\), au prix d’un majorant prudent. ∎
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Ces erreurs coûtent des points au bac alors qu’elles sont faciles à corriger. Vérifie que tu ne tombes dans aucune d’elles.
Piège n°1 — Croire que la borne est proche du vrai résultat. Bienaymé-Tchebychev donne une majoration grossière (exercices 3 et 11). Elle n’utilise que l’espérance et la variance, jamais la forme de la loi. Ne conclus jamais « la probabilité vaut 0,25 » : écris « la probabilité est au plus 0,25 ».
Piège n°2 — Appliquer Markov à une variable qui peut être négative. L’inégalité de Markov exige \(X \geq 0\). Pour un gain qui peut être négatif, applique-la à \(|X|\) ou à \((X- \mu)^2\), jamais à \(X\) directement.
Piège n°3 — Oublier le passage au complémentaire. Quand l’énoncé demande de minorer \(P(|X- \mu| \lt \delta)\), commence toujours par écrire \(P(|X- \mu| \lt \delta) = 1- P(|X- \mu| \geq \delta)\), puis majore le second terme (exercice 12).
Questions fréquentes
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev tombe-t-elle au bac ?
Oui. La restriction « non évaluable à l’écrit » ne concernait que la session 2022, dans le cadre des aménagements sanitaires. Depuis, le chapitre « Concentration, loi des grands nombres » de la spécialité mathématiques de Terminale est évaluable dans son intégralité, et l’inégalité est tombée à plusieurs sessions récentes (Métropole 2025, Amérique du Nord 2025).
Quelle est la différence entre l’inégalité de Markov et celle de Bienaymé-Tchebychev ?
L’inégalité de Markov s’applique à une variable positive et majore \(P(X \geq a)\) à l’aide de l’espérance seule. Bienaymé-Tchebychev majore l’écart à la moyenne \(P(|X- \mu| \geq \delta)\) à l’aide de la variance. En fait, Bienaymé-Tchebychev se démontre en appliquant Markov à la variable \((X- \mu)^2\) (exercice 8).
Comment choisir la valeur de delta dans un exercice ?
Si l’énoncé fixe l’écart, \(\delta\) est donné : applique directement la formule. Si l’énoncé impose une probabilité maximale ou une taille d’échantillon, écris l’inégalité \(\displaystyle\frac{V(X)}{\delta^2} \leq p\) puis résous pour \(\delta\) ou \(n\) (exercices 2, 6, 14).
Pourquoi la borne trouvée est-elle si éloignée de la vraie probabilité ?
Parce que Bienaymé-Tchebychev ne connaît que l’espérance et la variance. Elle vaut pour toutes les lois ayant ces caractéristiques, y compris les plus dispersées. Elle est donc volontairement prudente. Pour une loi précise (binomiale, normale), la vraie probabilité est souvent bien plus petite (exercice 11).
Quel lien avec la loi des grands nombres ?
Appliquée à la moyenne d’un échantillon \(M_n\), l’inégalité donne \(P(|M_n- \mu| \geq \delta) \leq \displaystyle\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\). Comme ce majorant tend vers 0 quand \(n \to +\infty\), la moyenne se concentre autour de l’espérance : c’est la loi (faible) des grands nombres (exercices 10 et 18).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev en exercices. Pour consolider et élargir, poursuis avec :
- Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- 18 Exercices de Statistiques en Seconde Corrigés (PDF)
- Probabilités : définitions, formules et exercices corrigés
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