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Calculer des aires, des volumes, modéliser des phénomènes physiques : en mathématiques, les primitives et le calcul intégral sont des outils incontournables. Une fonction primitive permet de « remonter » de la dérivée à la fonction d’origine — c’est l’opération inverse de la dérivation. Au programme de Terminale et des classes préparatoires, ce chapitre est un pilier de l’analyse. Tu trouveras ici les définitions formelles, les propriétés essentielles, le lien entre dérivée et primitive, un panorama des méthodes de calcul, des exemples corrigés et une FAQ complète.
Conforme au programme officiel de Terminale (BO spécial n°1 du 22 janvier 2019) et de CPGE.
📚 Tout le cours « Intégrales et Primitives »
- 📖 Primitives et Intégrales : Cours Complet (cette page)
- → Tableau des Primitives Usuelles
- → Intégration par Parties (IPP)
- → Primitive de ln x
- → Primitives de Fonctions Composées
- → Changement de Variable
- → Intégrale de Gauss
- → Intégrales Généralisées
- → Intégrales de Wallis
- → Intégrale de Riemann
- → Formule de Taylor (reste intégral)
- ✏️ Exercices Corrigés
I. Définitions et notions fondamentales
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir exactement ce qu’est une primitive et ce qu’est une intégrale. Ces deux notions sont étroitement liées, mais elles ne désignent pas la même chose.
A. Définition d’une primitive
Définition — Primitive d’une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que, pour tout réel \(x \in I\) :
\(F^\prime(x) = f(x)\)
Autrement dit, primitiver une fonction, c’est chercher une fonction dont la dérivée est la fonction de départ. C’est exactement l’opération inverse de la dérivation.
Exemple : Soit \(f(x) = 3x^2\). La fonction \(F(x) = x^3\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), car \(F^\prime(x) = 3x^2 = f(x)\).
Mais \(G(x) = x^3 + 5\) est aussi une primitive de \(f\), car \(G^\prime(x) = 3x^2 = f(x)\).
Comme le montre cet exemple, une primitive n’est jamais unique : on peut toujours lui ajouter une constante réelle. On note alors la famille de toutes les primitives de \(f\) sous la forme \(F(x) + C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
B. L’intégrale définie
L’intégrale définie donne un nombre à partir d’une fonction et de deux bornes. Elle relie les primitives au calcul concret d’aires et de grandeurs.
Définition — Intégrale définie (formule de Newton-Leibniz)
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle. L’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre :
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a)\)
On note aussi \(\left[F(x)\right]_a^b = F(b) – F(a)\). Ce nombre ne dépend pas du choix de la primitive \(F\) : la constante \(C\) s’annule dans la différence \((F(b)+C) – (F(a)+C) = F(b) – F(a)\).
Interprétation géométrique. Quand \(f\) est positive sur \([a\,;b]\), l’intégrale \(\int_a^b f(x)\,dx\) mesure l’aire du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\).
C. Notation et vocabulaire
Le symbole \(\int\) est un S allongé, introduit par Leibniz au XVIIe siècle : il évoque le mot latin summa (somme), car l’intégrale est une somme continue d’aires infinitésimales. Voici les conventions à connaître :
- \(\int_a^b f(x)\,dx\) : intégrale définie de \(f\) entre les bornes \(a\) et \(b\). C’est un nombre.
- \(\int f(x)\,dx\) : notation abrégée pour « une primitive de \(f\) ». C’est une fonction (à une constante près).
- \(dx\) : indique la variable d’intégration. Dans \(\int_0^1 f(t)\,dt\), la variable est \(t\), pas \(x\).
Retiens bien : une primitive est une fonction, une intégrale définie est un nombre. Cette distinction revient constamment dans les exercices et les copies de bac — ne la confonds jamais.
Maintenant que les définitions sont posées, voyons les propriétés qui permettent de manipuler les primitives et les intégrales dans les calculs.
II. Propriétés essentielles des primitives et intégrales
Les propriétés suivantes sont les outils quotidiens du calcul intégral. Tu les utiliseras dans chaque exercice — les connaître par cœur est indispensable.
A. Existence et unicité à une constante près
Théorème — Existence de primitives
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
C’est un résultat fondamental : la continuité suffit à garantir l’existence d’une primitive. En pratique, au lycée, toutes les fonctions de référence que tu rencontres sont continues sur leur domaine de définition.
Propriété — Unicité à une constante près
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions de la forme :
\(F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}\)
Autrement dit : deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Pour déterminer la constante \(C\), on utilise une condition initiale : par exemple, « trouver la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(0) = 2\) ».
B. Linéarité
Propriété — Linéarité de l’intégrale
Pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([a\,;b]\) et tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) :
\(\int_a^b \bigl(\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\bigr)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx\)
En langage courant : tu peux primitiver terme par terme et sortir les constantes multiplicatives. C’est la propriété la plus utilisée en pratique — elle transforme un calcul complexe en plusieurs calculs simples.
Exemple : Calculer \(\int_0^1 (6x^2 – 4x + 3)\,dx\).
Par linéarité : \(6\int_0^1 x^2\,dx – 4\int_0^1 x\,dx + 3\int_0^1 dx = 6 \times \displaystyle\frac{1}{3} – 4 \times \displaystyle\frac{1}{2} + 3 \times 1 = 2 – 2 + 3 = 3\).
C. Relation de Chasles
Propriété — Relation de Chasles
Pour toute fonction \(f\) continue sur un intervalle contenant \(a\), \(b\) et \(c\) :
\(\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\)
Cette propriété permet de « découper » une intégrale en morceaux. Elle est particulièrement utile lorsque la fonction change d’expression selon les intervalles (fonctions définies par morceaux).
Deux conventions en découlent directement :
- \(\int_a^a f(x)\,dx = 0\) — l’intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut zéro.
- \(\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx\) — inverser les bornes change le signe.
D. Positivité, comparaison et valeur moyenne
Positivité. Si \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [a\,;b]\), alors :
\(\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\)
Comparaison. Si \(f(x) \leq g(x)\) pour tout \(x \in [a\,;b]\), alors :
\(\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx\)
🔴 Prépa. On dispose aussi de l’inégalité triangulaire pour les intégrales, très utilisée en CPGE pour majorer des intégrales et démontrer des convergences :
\(\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx\)
Définition — Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a \neq b\)) est le nombre :
\(\mu = \displaystyle\frac{1}{b – a}\int_a^b f(x)\,dx\)
Géométriquement, \(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;b]\) qui a la même aire que le domaine sous la courbe de \(f\). C’est une notion fréquente dans les exercices de bac.
Ces propriétés constituent ta boîte à outils. Mais pour comprendre en profondeur le calcul intégral, il faut saisir le lien qui unit la dérivation et la primitivation.
III. Dérivée et primitive — le lien fondamental
La dérivation et la primitivation sont deux opérations inverses, comme l’addition et la soustraction. Ce lien est le cœur du calcul intégral : on l’appelle le théorème fondamental de l’analyse.
A. Deux opérations inverses
Partons de ce que tu sais :
- Dériver une fonction \(F\) donne une nouvelle fonction \(f = F^\prime\).
- Primitiver une fonction \(f\) revient à chercher \(F\) telle que \(F^\prime = f\).
Primitiver, c’est donc « annuler » l’effet de la dérivation (à une constante près). Si tu dérives la primitive \(F\) d’une fonction \(f\), tu retrouves \(f\) exactement.
Ce schéma résume toute l’idée. C’est aussi la clé des équations différentielles : résoudre une EDO du type \(y^\prime = f(x)\) revient exactement à trouver une primitive de \(f\).
B. Dérivée d’une intégrale à borne variable
Le théorème fondamental de l’analyse donne une formulation précise de ce lien :
Théorème fondamental de l’analyse
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). La fonction \(F\) définie sur \(I\) par :
\(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)
est l’unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s’annule en \(a\). En particulier :
\(F^\prime(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I\)
Exemple : Soit \(g(x) = \int_0^x t^2\,dt\). D’après le théorème fondamental, \(g^\prime(x) = x^2\).
Vérification : \(g(x) = \left[\displaystyle\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \displaystyle\frac{x^3}{3}\), donc \(g^\prime(x) = x^2\). ✓
À retenir : dériver une intégrale à borne variable \(\int_a^x f(t)\,dt\) « fait disparaître » le signe intégral et redonne \(f(x)\). Ce résultat est un classique des exercices de Terminale et des interrogations de prépa.
Tu connais maintenant les définitions et les propriétés clés. Il est temps de voir comment calculer concrètement une primitive.
IV. Panorama des méthodes de calcul
Calculer une primitive ou une intégrale fait appel à plusieurs techniques. Voici un panorama des méthodes, de la plus simple à la plus avancée, pour t’aider à choisir la bonne approche face à chaque intégrale.
A. Primitives des fonctions usuelles
La première étape face à un calcul de primitive est de vérifier si la fonction figure dans le tableau des primitives usuelles. Voici les cinq formules les plus courantes :
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) (si \(n \in \mathbb{N}\)) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
Retrouve l’intégralité des formules (puissances, exponentielles, trigonométriques, hyperboliques et leurs conditions de validité) dans le tableau complet des primitives.
B. Quelle technique pour quelle intégrale ?
Quand la lecture directe du tableau ne suffit pas, il faut identifier la bonne technique. Voici un guide de choix rapide :
| Tu reconnais… | Technique à utiliser | Fiche dédiée |
|---|---|---|
| La forme \(u^\prime(x) \times g\bigl(u(x)\bigr)\) | Primitive de fonction composée | Voir la fiche |
| Un produit de fonctions de « natures différentes » | Intégration par parties (IPP) | Voir la fiche |
| \(\ln(x)\) seul à primitiver | Astuce IPP : écrire \(1 \times \ln(x)\) | Voir la fiche |
| Une substitution qui simplifie l’intégrande | Changement de variable | Voir la fiche |
🔴 En prépa, tu rencontreras aussi des intégrales classiques qui demandent des techniques spécifiques :
- Intégrale de Gauss — calcul par passage en coordonnées polaires, liée à la loi normale en probabilités.
- Intégrales de Wallis — relation de récurrence et équivalent asymptotique.
- Intégrale de Riemann — construction rigoureuse par sommes de Darboux.
- Intégrales généralisées (impropres) — convergence sur des intervalles non bornés.
- Formule de Taylor avec reste intégral — approximation polynomiale avec contrôle de l’erreur.
Passons maintenant à la pratique avec quelques exemples d’application.
V. Exemples d’application
Voici trois exemples pour mettre en pratique les notions vues dans ce cours. Chacun mobilise une propriété ou une formule différente.
Exemple 1 ★ — Trouver une primitive
Déterminer une primitive de \(f(x) = 4x^3 – 6x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On primitive terme par terme grâce à la linéarité :
\(F(x) = 4 \times \displaystyle\frac{x^4}{4} – 6 \times \displaystyle\frac{x^2}{2} + 5x = x^4 – 3x^2 + 5x + C\)
Vérification : \(F^\prime(x) = 4x^3 – 6x + 5 = f(x)\) ✓
Exemple 2 ★ — Calculer une intégrale définie
Calculer \(I = \int_1^3 (2x + 1)\,dx\).
Solution : Une primitive de \(f(x) = 2x + 1\) est \(F(x) = x^2 + x\).
\(I = \left[x^2 + x\right]_1^3 = (9 + 3) – (1 + 1) = 12 – 2 = 10\)
Exemple 3 ★ — Valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;3]\).
Solution : On applique la formule \(\mu = \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\) :
\(\mu = \displaystyle\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx = \displaystyle\frac{1}{3}\left[\displaystyle\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{27}{3} = \displaystyle\frac{1}{3} \times 9 = 3\)
La valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;3]\) vaut \(3\).
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales, classés par difficulté croissante de la Terminale à la prépa. Mais d’abord, vérifie que tu connais les pièges à éviter.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs les plus courantes sur les primitives et les intégrales. Apprends à les repérer pour ne plus les commettre — les correcteurs de bac les voient dans une copie sur deux.
Piège n°1 — Oublier la constante C
❌ Copie fautive : « La primitive de \(f(x) = 2x\) est \(F(x) = x^2\). »
Diagnostic : L’élève donne une primitive mais oublie la famille complète.
✅ Correction : « Une primitive de \(f(x) = 2x\) est \(F(x) = x^2\). L’ensemble des primitives est \(F(x) = x^2 + C\), \(C \in \mathbb{R}\). »
Quand l’énoncé impose une condition initiale (par exemple \(F(0) = 3\)), détermine \(C\) en dernier.
Piège n°2 — Confondre dérivée et primitive
❌ Copie fautive : « La primitive de \(\cos(x)\) est \(-\sin(x)\). »
Diagnostic : L’élève a dérivé au lieu de primitiver. C’est la dérivée de \(\cos(x)\) qui vaut \(-\sin(x)\).
✅ Correction : La primitive de \(\cos(x)\) est \(\sin(x)\) (car \((\sin(x))^\prime = \cos(x)\)).
Réflexe : vérifie toujours en dérivant ta réponse. Si tu retrouves la fonction de départ, c’est bon.
Piège n°3 — Se tromper avec les bornes d’intégration
❌ Copie fautive : « \(\int_3^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_3^1 = 9 – 1 = 8\). »
Diagnostic : L’élève a calculé \(F(a) – F(b)\) au lieu de \(F(b) – F(a)\) (borne du haut moins borne du bas).
✅ Correction : \(\int_3^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_3^1 = 1 – 9 = -8\). On retrouve la convention \(\int_3^1 = -\int_1^3\).
Voyons maintenant les questions les plus fréquemment posées par les élèves sur ce chapitre.
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une primitive en mathématiques ?
En mathématiques, une primitive d’une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) est toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) dont la dérivée est égale à \(f\) : on a \(F^\prime(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\). C’est l’opération inverse de la dérivation. Une primitive n’est jamais unique : on peut toujours lui ajouter une constante réelle \(C\).
Comment calculer la primitive d'une fonction ?
Pour calculer une primitive, suis ces étapes :
- Vérifie si la fonction figure dans le tableau des primitives usuelles.
- Utilise la linéarité pour primitiver terme par terme.
- Si nécessaire, identifie une primitive composée (forme \(u^\prime \times g(u)\)).
- En dernier recours, utilise l’intégration par parties ou un changement de variable.
Termine toujours en dérivant ta réponse pour vérifier que tu retrouves la fonction de départ.
Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?
Une primitive est une fonction \(F\) telle que \(F^\prime = f\). Une intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) est un nombre : c’est la différence \(F(b) – F(a)\). La primitive est l’outil de calcul, l’intégrale définie est le résultat numérique. Pour calculer une intégrale, tu as besoin d’une primitive.
Toute fonction admet-elle une primitive ?
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (théorème fondamental de l’analyse). Une fonction discontinue peut ne pas en admettre. En pratique, au lycée et en prépa, les fonctions que tu rencontres (polynômes, exponentielles, trigonométriques, logarithme) sont continues sur leur domaine de définition : elles admettent donc toujours des primitives.
À quoi servent les primitives et les intégrales ?
Les primitives et les intégrales servent à :
- Calculer des aires et des volumes (aire sous une courbe, volume de révolution).
- Déterminer des valeurs moyennes (température moyenne, vitesse moyenne sur un trajet).
- Résoudre des équations différentielles (modélisation physique, évolution de populations).
- Calculer des probabilités avec des lois à densité (loi normale, loi exponentielle).
Comment trouver la constante d'intégration C ?
La constante \(C\) est déterminée par une condition initiale. Exemple : trouver la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x\) telle que \(F(1) = 5\). Tu écris \(F(x) = x^2 + C\), puis \(F(1) = 1 + C = 5\), donc \(C = 4\). La primitive cherchée est \(F(x) = x^2 + 4\). Sans condition initiale, la primitive est donnée « à une constante près ».
Quelle est la différence entre dérivée et primitive ?
La dérivée d’une fonction \(F\) donne une nouvelle fonction \(f = F^\prime\) : elle mesure la vitesse de variation. La primitive fait le chemin inverse : partant de \(f\), on cherche \(F\) telle que \(F^\prime = f\). Ce sont deux opérations inverses. Si tu dérives une primitive, tu retrouves la fonction de départ.
Qu'est-ce que l'intégrale de Riemann ?
L’intégrale de Riemann est la construction mathématique rigoureuse de l’intégrale à partir de sommes de rectangles (sommes de Darboux). C’est le fondement théorique du calcul intégral, étudié en classe préparatoire. Au lycée, on utilise directement le lien entre primitive et intégrale définie sans passer par cette construction formelle.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les fondamentaux des primitives et du calcul intégral. Pour progresser, explore les fiches détaillées de ce cours :
- 📊 Tableau des primitives usuelles — toutes les formules en un coup d’œil, avec domaines de validité.
- 🔧 Intégration par parties — la technique la plus puissante pour les produits de fonctions.
- 🔧 Primitives de fonctions composées — reconnaître et calculer les formes en \(u^\prime \times g(u)\).
- 🔧 Changement de variable — simplifier une intégrale par substitution.
- 🔗 Les dérivées — le chapitre fondateur, opération inverse de la primitivation.
- ✏️ Exercices corrigés — Primitives et Intégrales — entraîne-toi avec des exercices progressifs.
Au-delà du programme de Terminale et de CPGE, le calcul intégral se prolonge en licence avec l’intégrale de Lebesgue (théorie de la mesure) et les intégrales multiples (intégrales doubles, triples, curvilignes). Ces notions dépassent le cadre de ce cours, mais elles utilisent les mêmes idées fondamentales.
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