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Pourquoi la primitive de \(\ln(x)\) ne figure-t-elle pas dans le tableau des primitives usuelles ? Parce qu’elle nécessite une technique spécifique : l’intégration par parties. Le résultat — \(x\ln(x) – x + C\) — est à connaître par cœur dès la Terminale et en prépa, mais le comprendre et savoir le démontrer fait toute la différence sur une copie. Tu trouveras ici la démonstration détaillée, la méthode en 4 étapes, 5 exemples résolus progressifs (du lycée à la prépa), les pièges classiques et des exercices corrigés.
Niveau : Terminale spé maths · Prépa scientifique (MPSI, PCSI, BCPST)
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- 📖 Primitives et Intégrales : Cours Complet
- → Tableau des Primitives Usuelles
- → Intégration par Parties (IPP)
- → Primitive de ln(x) : Démonstration et Exemples (cette page)
- → Primitives de Fonctions Composées
- → Changement de Variable
- → Intégrale de Gauss
- → Intégrales de Wallis
- → Intégrale de Riemann
- → Intégrales Généralisées
- → Formule de Taylor (Reste Intégral)
- ✏️ Exercices Corrigés Primitives et Intégrales
I. Pourquoi ln(x) est un cas particulier
Quand tu ouvres le tableau des primitives usuelles, tu y trouves les puissances \(x^n\), l’exponentielle \(e^x\), les fonctions trigonométriques… mais pas \(\ln(x)\) en tant que fonction à primitiver. Pourquoi ?
Parce que \(\ln(x)\) n’est ni un polynôme, ni une exponentielle, ni une fraction rationnelle. Aucune formule directe du tableau ne s’applique. Le problème, c’est que \(\ln(x)\) apparaît « seul » — sans facteur évident qui permettrait de reconnaître une primitive de fonction composée.
L’astuce fondamentale : écrire \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) pour faire apparaître artificiellement un produit. On peut alors appliquer l’intégration par parties en posant \(u = \ln(x)\) (qu’on dérive facilement) et \(v^\prime = 1\) (qu’on primitive en \(x\)). C’est exactement la même stratégie que pour \(\arctan(x)\) ou \(\arcsin(x)\) : quand une fonction est plus facile à dériver qu’à primitiver, on la place dans le rôle de \(u\).
Voyons cette démonstration en détail.
II. Démonstration par intégration par parties
La preuve rigoureuse repose sur l’intégration par parties (IPP). On réécrit \(\ln(x)\) comme un produit :
\(\ln(x) = \underbrace{1}_{v^\prime(x)} \;\times\; \underbrace{\ln(x)}_{u(x)}\)
On pose :
| Fonction choisie | Calcul | |
|---|---|---|
| \(u(x) = \ln(x)\) | → on dérive | \(u^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) |
| \(v^\prime(x) = 1\) | → on primitive | \(v(x) = x\) |
La formule d’intégration par parties donne :
\(\displaystyle\int u(x) \cdot v^\prime(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) – \int u^\prime(x) \cdot v(x) \, dx\)
En remplaçant :
\(\displaystyle\int 1 \times \ln(x) \, dx = x \cdot \ln(x) – \int \displaystyle\frac{1}{x} \cdot x \, dx = x\ln(x) – \int 1 \, dx\)
D’où :
\(\displaystyle\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) – x + C\)
La démonstration est terminée. Regroupons maintenant le résultat, sa forme factorisée et ses généralisations.
III. La formule et ses variantes
A. Le résultat fondamental
Primitive de ln(x)
Pour tout réel \(x\) strictement positif :
\(\displaystyle\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) – x + C \qquad (C \in \mathbb{R})\)
Autrement dit, \(F(x) = x\ln(x) – x\) est une primitive de \(\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Une forme factorisée encore plus facile à mémoriser :
\(F(x) = x\bigl(\ln(x) – 1\bigr)\)
Vérification rapide : dérivons \(F(x) = x\ln(x) – x\). Par la règle de dérivation d’un produit :
\(F^\prime(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} – 1 = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\) ✓
On retrouve bien \(\ln(x)\). Cette vérification par dérivation est le meilleur réflexe pour ne jamais douter du résultat.
Retrouver la formule par intuition (sans calcul) : tu sais que \((x\ln(x))^\prime = \ln(x) + 1\). C’est presque \(\ln(x)\), avec un « \(+1\) » en trop. Il suffit de retrancher une primitive de \(1\) — c’est-à-dire \(x\) — pour obtenir \(F(x) = x\ln(x) – x\). La stratégie : devine, ajuste, vérifie.
B. Généralisation : primitive de ln(u)
En prépa et dans les exercices avancés de Terminale, tu rencontres des intégrales de la forme \(\ln(u(x))\) où \(u(x)\) est une fonction dérivable strictement positive. Par un changement de variable \(t = u(x)\), on généralise :
Primitive de ln(u) — Généralisation
Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\) :
\(\displaystyle\int u^\prime(x) \cdot \ln\bigl(u(x)\bigr) \, dx = u(x)\ln\bigl(u(x)\bigr) – u(x) + C\)
Attention : cette formule n’est directement applicable que lorsque le facteur \(u^\prime(x)\) apparaît devant \(\ln(u(x))\). Pour reconnaître cette structure, consulte la page sur les primitives de fonctions composées.
C. Quelle méthode pour quelle intégrale avec ln ?
Face à une intégrale contenant \(\ln\), plusieurs approches existent. Ce tableau t’aide à choisir la bonne du premier coup :
| Tu vois dans l’intégrale… | Méthode à utiliser | Exemple |
|---|---|---|
| \(\ln(x)\) seul ou \((\ln x)^n\) seul | Astuce « \(1 \times \ln(x)\) » + IPP (cette page) | \(\displaystyle\int \ln(x)\,dx\), \(\displaystyle\int (\ln x)^2\,dx\) |
| \(P(x) \cdot \ln(x)\) (polynôme × ln) | IPP classique : \(u = \ln(x)\), \(v^\prime = P(x)\) | \(\displaystyle\int x^2\ln(x)\,dx\) |
| \(\displaystyle\frac{u^\prime(x)}{u(x)}\) | Primitive composée → donne \(\ln|u(x)|+C\) | \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1)+C\) |
| \(\displaystyle\frac{g(\ln x)}{x}\) | Primitive composée ou CDV \(t=\ln x\) | \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(\ln x)^3}{x}\,dx = \displaystyle\frac{(\ln x)^4}{4}+C\) |
Piège fréquent : ne confonds pas \(\displaystyle\frac{1}{x}\) (la dérivée de \(\ln(x)\)) avec la primitive de \(\ln(x)\). Si \(\displaystyle\frac{1}{x}\) apparaît dans une intégrale, sa primitive est \(\ln|x|+C\) — c’est une primitive directe du tableau, pas l’astuce « \(1 \times \ln(x)\) ».
Tu sais maintenant quand appliquer la méthode et pourquoi elle fonctionne. Voici un résumé des 4 étapes — qui reprennent exactement la logique de la démonstration ci-dessus.
IV. Résumé de la méthode en 4 étapes
Méthode — Primitiver ln(x) (ou (ln x)ⁿ)
Étape 1. Écrire le produit : \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\).
Étape 2. Poser \(u = \ln(x)\) (à dériver → \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\)) et \(v^\prime = 1\) (à primitiver → \(v = x\)).
Étape 3. Appliquer l’IPP : \(\displaystyle\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) – \int 1\,dx = x\ln(x) – x + C\).
Étape 4. Vérifier en dérivant : \((x\ln(x) – x)^\prime = \ln(x) + 1 – 1 = \ln(x)\). ✓
Attention au choix inverse : si tu poses \(u = 1\) et \(v^\prime = \ln(x)\), il te faut primitiver \(\ln(x)\)… qui est exactement ce que tu cherches ! Tu tournes en rond. Le logarithme est toujours le « u » dans une IPP.
La méthode en poche, voyons-la en action sur des cas concrets de difficulté croissante.
V. Exemples résolus
A. Exemple 1 — Primitive de ln(3x) (Lycée)
Énoncé : Détermine une primitive de \(\ln(3x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Solution :
On écrit \(\ln(3x) = 1 \times \ln(3x)\) et on pose \(u = \ln(3x)\), \(v^\prime = 1\).
Alors \(u^\prime = \displaystyle\frac{3}{3x} = \displaystyle\frac{1}{x}\) et \(v = x\).
Par IPP :
\(\displaystyle\int \ln(3x)\,dx = x\ln(3x) – \int x \cdot \displaystyle\frac{1}{x}\,dx = x\ln(3x) – \int 1\,dx = x\ln(3x) – x + C\)
Résultat : \(F(x) = x\bigl(\ln(3x) – 1\bigr)\) est une primitive de \(\ln(3x)\).
Vérification : \(F^\prime(x) = \ln(3x) – 1 + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = \ln(3x) – 1 + 1 = \ln(3x)\) ✓
Méthode alternative : on peut aussi écrire \(\ln(3x) = \ln(3) + \ln(x)\). La primitive de \(\ln(3)\) (constante) est \(x\ln(3)\), celle de \(\ln(x)\) est \(x\ln(x) – x\). En sommant : \(x\ln(3) + x\ln(x) – x = x(\ln(3) + \ln(x)) – x = x\ln(3x) – x\). On retrouve le même résultat — mais l’IPP directe est plus rapide et se généralise mieux.
B. Exemple 2 — Calculer \(\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx\) (Lycée)
Énoncé : Calcule \(\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx\).
Solution :
On utilise la primitive \(F(x) = x\ln(x) – x\) :
\(\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = \bigl[x\ln(x) – x\bigr]_1^{e^2} = \bigl(e^2\ln(e^2) – e^2\bigr) – \bigl(1 \cdot \ln(1) – 1\bigr)\)
Or \(\ln(e^2) = 2\) et \(\ln(1) = 0\), donc :
\(= (2e^2 – e^2) – (0 – 1) = e^2 + 1\)
Résultat : \(\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x)\,dx = e^2 + 1 \approx 8{,}39\).
![Courbe de f(x) = ln(x) tracée en bleu sur l'intervalle [0.3 ; 4] avec l'aire sous la courbe colorée entre x = 1 et x = e²](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/03/primitive-ln-x-aire.png)
Pour mémoire, l’aire sous la courbe de \(\ln(x)\) entre \(x = 1\) et \(x = e\) vaut exactement \(1\) — un résultat élégant qu’on retrouve en posant \(\bigl[x\ln(x) – x\bigr]_1^e = (e – e) – (0 – 1) = 1\).
C. Exemple 3 — Primitive de x·ln(x) (Lycée)
Énoncé : Détermine une primitive de \(x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Solution :
Ici, pas besoin de l’astuce « \(1 \times \ln(x)\) » : le produit \(x \cdot \ln(x)\) est déjà visible. On pose :
- \(u(x) = \ln(x)\) → \(u^\prime(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\)
- \(v^\prime(x) = x\) → \(v(x) = \displaystyle\frac{x^2}{2}\)
Par IPP :
\(\displaystyle\int x\ln(x)\,dx = \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln(x) – \int \displaystyle\frac{x^2}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{x}\,dx = \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln(x) – \int \displaystyle\frac{x}{2}\,dx\)
\(= \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln(x) – \displaystyle\frac{x^2}{4} + C\)
Résultat : \(F(x) = \displaystyle\frac{x^2}{4}\bigl(2\ln(x) – 1\bigr)\).
Règle générale : pour \(\displaystyle\int x^n \cdot \ln(x)\,dx\), pose toujours \(u = \ln(x)\) et \(v^\prime = x^n\). Après l’IPP, l’intégrale restante ne contient plus de logarithme — c’est un simple calcul de puissance.
D. Exemple 4 — Primitive de ln(3x + 1) (Prépa)
Énoncé : Détermine une primitive de \(\ln(3x + 1)\) pour \(x\) > \(-\displaystyle\frac{1}{3}\).
Solution :
On pose le changement de variable \(t = 3x + 1\), soit \(dt = 3\,dx\), d’où \(dx = \displaystyle\frac{dt}{3}\).
\(\displaystyle\int \ln(3x+1)\,dx = \displaystyle\frac{1}{3}\int \ln(t)\,dt = \displaystyle\frac{1}{3}\bigl(t\ln(t) – t\bigr) + C\)
En revenant à la variable \(x\) :
\(= \displaystyle\frac{(3x+1)\ln(3x+1) – (3x+1)}{3} + C\)
Résultat : \(F(x) = \displaystyle\frac{(3x+1)\bigl(\ln(3x+1) – 1\bigr)}{3}\) est une primitive de \(\ln(3x+1)\).
Retiens le schéma : pour \(\displaystyle\int \ln(ax+b)\,dx\), pose \(t = ax+b\) et applique la formule fondamentale. Le facteur \(\displaystyle\frac{1}{a}\) sort naturellement.
E. Exemple 5 — Primitive de (ln x)² par double IPP (Prépa)
Énoncé : Détermine une primitive de \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Solution :
Même astuce : on écrit \((\ln x)^2 = 1 \times (\ln x)^2\) et on pose :
- \(u(x) = (\ln x)^2\) → \(u^\prime(x) = \displaystyle\frac{2\ln(x)}{x}\)
- \(v^\prime(x) = 1\) → \(v(x) = x\)
Par IPP :
\(\displaystyle\int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 – \int x \cdot \displaystyle\frac{2\ln(x)}{x}\,dx = x(\ln x)^2 – 2\int \ln(x)\,dx\)
On reconnaît l’intégrale calculée à la section III :
\(= x(\ln x)^2 – 2\bigl(x\ln(x) – x\bigr) + C = x(\ln x)^2 – 2x\ln(x) + 2x + C\)
Résultat : \(F(x) = x\bigl((\ln x)^2 – 2\ln(x) + 2\bigr)\).
La méthode fonctionne pour \((\ln x)^n\) quel que soit l’entier \(n\), par IPP itérées. On retrouve ainsi une relation de récurrence élégante (voir l’exercice 4 ci-dessous).
La fiche méthode « Primitive de ln(x) » en recto-verso
Formule, méthode en 4 étapes, arbre de décision et les 3 erreurs à ne jamais commettre — tout sur une seule fiche.
Tu l’imprimes, tu la glisses dans ton classeur — et tu ne refais plus jamais l’erreur.
La méthode est claire sur les exemples, mais les copies de concours et de bac montrent que certaines erreurs reviennent encore et encore. Voici les pièges les plus fréquents.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Erreur 1 — Confondre dérivée et primitive de ln(x)
❌ Copie fautive :
« La primitive de \(\ln(x)\) est \(\displaystyle\frac{1}{x}\). »
Diagnostic : confusion entre dérivée et primitive. La dérivée de \(\ln(x)\) est \(\displaystyle\frac{1}{x}\). Sa primitive est \(x\ln(x) – x\). L’opération inverse de la dérivation donne un résultat plus complexe, pas plus simple.
✅ Correction : \(\displaystyle\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) – x + C\).
Erreur 2 — Inverser les rôles dans l’IPP
❌ Copie fautive :
« Posons \(u(x) = 1\) et \(v^\prime(x) = \ln(x)\)… »
Diagnostic : avec ce choix, l’élève doit primitiver \(\ln(x)\)… c’est-à-dire résoudre exactement le problème initial. Le calcul tourne en boucle.
✅ Correction : poser \(u = \ln(x)\) (à dériver) et \(v^\prime = 1\) (à primitiver). Le logarithme est toujours le « u » dans une IPP — c’est la règle d’or.
Erreur 3 — Oublier le domaine de validité
❌ Copie fautive :
« \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \ln(x)\,dx = \bigl[x\ln(x) – x\bigr]_{-1}^{1}\) »
Diagnostic : \(\ln(x)\) n’est défini ni pour \(x\) < \(0\), ni en \(x = 0\). L’intégrale \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \ln(x)\,dx\) n’a pas de sens en tant qu’intégrale classique.
✅ Correction : vérifier systématiquement que les bornes d’intégration appartiennent à \(]0\,;\,+\infty[\), domaine de définition de \(\ln\).
Ces erreurs éliminées, il est temps de mettre la méthode en pratique sur des exercices progressifs.
VII. Exercices d’application
Essaie chaque exercice sur papier avant de consulter la correction. Pour un entraînement plus complet, retrouve nos exercices corrigés sur les primitives et intégrales.
Exercice 1 — Lycée (★)
Énoncé : Calcule \(\displaystyle\int_2^4 \ln(x)\,dx\). Donne la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.
▶ Voir la correction
On utilise \(F(x) = x\ln(x) – x\) :
\(\displaystyle\int_2^4 \ln(x)\,dx = \bigl[x\ln(x) – x\bigr]_2^4 = \bigl(4\ln(4) – 4\bigr) – \bigl(2\ln(2) – 2\bigr)\)
\(= 4\ln(4) – 2\ln(2) – 2\)
Or \(\ln(4) = 2\ln(2)\), donc :
\(= 8\ln(2) – 2\ln(2) – 2 = 6\ln(2) – 2\)
Valeur approchée : \(6 \times 0{,}693 – 2 \approx 2{,}16\).
Exercice 2 — Lycée (★★)
Énoncé : Détermine une primitive de \(f(x) = \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^2}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
▶ Voir la correction
On applique l’IPP avec \(u = \ln(x)\) et \(v^\prime = x^{-2}\).
Alors \(u^\prime = \displaystyle\frac{1}{x}\) et \(v = -\displaystyle\frac{1}{x}\) (primitive de \(x^{-2}\)).
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = -\displaystyle\frac{\ln(x)}{x} – \int \left(-\displaystyle\frac{1}{x}\right) \cdot \displaystyle\frac{1}{x}\,dx = -\displaystyle\frac{\ln(x)}{x} + \int \displaystyle\frac{1}{x^2}\,dx\)
\(= -\displaystyle\frac{\ln(x)}{x} – \displaystyle\frac{1}{x} + C = -\displaystyle\frac{\ln(x) + 1}{x} + C\)
Vérification : \(\left(-\displaystyle\frac{\ln(x)+1}{x}\right)^\prime = \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{x} \cdot x + (\ln(x)+1)}{x^2} = \displaystyle\frac{\ln(x)}{x^2}\) ✓
Exercice 3 — Lycée (★★)
Énoncé : Calcule \(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x)\,dx\).
▶ Voir la correction
On pose \(t = 1 + x\), donc \(dt = dx\). Quand \(x = 0\), \(t = 1\) ; quand \(x = 1\), \(t = 2\).
\(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \int_1^2 \ln(t)\,dt = \bigl[t\ln(t) – t\bigr]_1^2\)
\(= (2\ln(2) – 2) – (0 – 1) = 2\ln(2) – 1\)
Résultat : \(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = 2\ln(2) – 1 \approx 0{,}386\).
Exercice 4 — Prépa (★★★)
Énoncé : Pour tout entier \(n \geq 0\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_1^e \bigl(\ln(x)\bigr)^n\,dx\).
- Calcule \(I_0\) et \(I_1\).
- Montre que pour tout \(n \geq 1\) : \(I_n = e – n\,I_{n-1}\).
- En déduis \(I_2\) et \(I_3\).
▶ Voir la correction
1. \(I_0 = \displaystyle\int_1^e 1\,dx = e – 1\).
\(I_1 = \displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx = 1\) (cf. exemple 2 de la section V).
2. Pour \(n \geq 1\), on applique l’IPP avec :
- \(u(x) = (\ln x)^n\) → \(u^\prime(x) = \displaystyle\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\)
- \(v^\prime(x) = 1\) → \(v(x) = x\)
\(I_n = \bigl[x(\ln x)^n\bigr]_1^e – \int_1^e x \cdot \displaystyle\frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\,dx\)
Or \(\bigl[x(\ln x)^n\bigr]_1^e = e \cdot (\ln e)^n – 1 \cdot (\ln 1)^n = e \cdot 1 – 0 = e\).
Donc \(I_n = e – n\displaystyle\int_1^e (\ln x)^{n-1}\,dx = e – n\,I_{n-1}\). ∎
3. \(I_2 = e – 2\,I_1 = e – 2\).
\(I_3 = e – 3\,I_2 = e – 3(e – 2) = e – 3e + 6 = 6 – 2e\).
Si tu es en prépa, la section suivante t’explique comment rédiger parfaitement une IPP dans une copie de concours.
VIII. Rédaction concours — Ce que le correcteur attend
En classe préparatoire, la rigueur de rédaction compte autant que le résultat. Voici le modèle attendu pour une IPP en copie de concours.
Modèle de rédaction — \(\displaystyle\int_1^e \ln(t)\,dt\)
« Posons, pour tout \(t \in [1\,;\,e]\), \(u(t) = \ln(t)\) et \(v(t) = t\).
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([1\,;\,e]\), avec \(u^\prime(t) = \displaystyle\frac{1}{t}\) et \(v^\prime(t) = 1\).
Par intégration par parties :
\(\displaystyle\int_1^e \ln(t)\,dt = \bigl[t\ln(t)\bigr]_1^e – \int_1^e t \cdot \displaystyle\frac{1}{t}\,dt = e\ln(e) – 1 \cdot \ln(1) – \int_1^e 1\,dt = e – (e-1) = 1\). »
Ce que le correcteur attend :
- Nommer les fonctions \(u\) et \(v\) et préciser leur régularité (\(\mathcal{C}^1\) sur l’intervalle d’intégration).
- Écrire explicitement les dérivées \(u^\prime\) et \(v^\prime\) avant d’appliquer la formule.
- Détailler les évaluations aux bornes : écrire \(\ln(e) = 1\) et \(\ln(1) = 0\). Le correcteur veut voir que tu ne devines pas.
- Conclure proprement : encadrer ou souligner le résultat final.
Erreur de rédaction pénalisée : écrire directement \(\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx = 1\) sans justification. En concours, chaque signe \(=\) doit être justifié — un calcul non détaillé peut coûter jusqu’à la moitié des points de la question.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la primitive de ln(x) ?
La primitive de \(\ln(x)\) est \(F(x) = x\ln(x) – x + C\), où \(C\) est une constante réelle. Cette formule est valable pour tout \(x\) strictement positif. On la retrouve par intégration par parties en écrivant \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\). Une forme factorisée, plus facile à retenir : \(F(x) = x(\ln(x) – 1) + C\).
Comment calculer la primitive de ln(u) ?
Si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive, la primitive de \(u^\prime(x) \cdot \ln(u(x))\) est \(u(x)\ln(u(x)) – u(x) + C\). C’est une application de la formule fondamentale combinée aux primitives de fonctions composées. Attention : le facteur \(u^\prime(x)\) doit apparaître dans l’intégrale pour appliquer directement cette formule.
Pourquoi la primitive de ln(x) se calcule-t-elle par intégration par parties ?
Parce que \(\ln(x)\) n’est ni un polynôme, ni une exponentielle, ni une fraction rationnelle : aucune formule directe du tableau des primitives ne s’applique. L’astuce consiste à écrire \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) pour créer un produit, puis à poser \(u = \ln(x)\) (facile à dériver) et \(v^\prime = 1\) (facile à primitiver). C’est le même principe que pour \(\arctan(x)\) : on place dans le rôle de \(u\) la fonction qu’on sait dériver mais pas primitiver directement.
Pourquoi écrire ln(x) = 1 × ln(x) pour trouver sa primitive ?
L’intégration par parties nécessite un produit de deux fonctions. Or \(\ln(x)\) apparaît seul. L’astuce consiste à écrire \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\) pour créer artificiellement ce produit, avec \(u = \ln(x)\) (qu’on dérive) et \(v^\prime = 1\) (qu’on primitive en \(x\)). C’est la même technique que pour trouver la primitive de \(\arctan(x)\).
Quelle est la différence entre la dérivée et la primitive de ln(x) ?
Ce sont deux opérations inverses. La dérivée de \(\ln(x)\) est \(\displaystyle\frac{1}{x}\) — un résultat plus simple. La primitive de \(\ln(x)\) est \(x\ln(x) – x\) — un résultat plus complexe. C’est la confusion la plus fréquente sur les copies : écrire \(\displaystyle\frac{1}{x}\) quand on demande la primitive. Retrouve toutes les formules dans le tableau des primitives usuelles.
Peut-on trouver la primitive de ln(x) sans intégration par parties ?
Oui, par « devinette vérifiée » : on sait que \((x\ln(x))^\prime = \ln(x) + 1\). C’est presque \(\ln(x)\), avec un \(+1\) en trop. On ajuste en retranchant \(x\) : \((x\ln(x) – x)^\prime = \ln(x)\). Cette approche est rapide pour retrouver la formule, mais l’IPP reste la méthode officielle — et la seule acceptée en rédaction de concours pour justifier le calcul.
La primitive de ln(x) est-elle au programme du bac ?
Oui. En Terminale spé maths, le calcul de \(\displaystyle\int \ln(x)\,dx\) par intégration par parties fait partie des savoir-faire attendus. C’est un cas classique d’IPP qui tombe régulièrement au bac, soit comme question directe, soit comme étape intermédiaire dans un problème plus large (calcul d’aire, étude de suite intégrale).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul de la primitive de \(\ln(x)\) et ses variantes. Pour approfondir tes compétences en calcul intégral :
- 📖 Primitives et intégrales : cours complet — définitions, propriétés et vue d’ensemble
- 📋 Tableau des primitives usuelles — toutes les formules en un seul tableau
- 🔧 Intégration par parties : méthode complète — pour tous les autres cas d’IPP
- 🔧 Primitives de fonctions composées — reconnaître et calculer les formes en \(u^\prime \cdot f(u)\)
- ✏️ Exercices corrigés : primitives et intégrales — 15+ exercices progressifs avec correction détaillée
