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Parmi les équations fondamentales en mathématiques, celle de la droite est probablement la plus utilisée au lycée. Mais quelle écriture choisir : \(y = mx + p\), \(ax + by + c = 0\), ou un système paramétrique ? Dans ce cours, tu vas maîtriser les trois formes de l’équation de droite, apprendre à passer de l’une à l’autre, et t’entraîner sur 6 exercices corrigés pas à pas. Contenu conforme au programme officiel du lycée 2025-2026.
I. Définition et formes d’une équation de droite
A. Qu’est-ce qu’une équation de droite ?
Dans un repère \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) du plan, chaque point possède des coordonnées \((x\,;\,y)\). L’idée fondamentale de la géométrie analytique est de caractériser une droite par une relation entre \(x\) et \(y\) que vérifient exactement les points de cette droite.
Définition — Équation de droite
Une équation de droite est une relation entre les coordonnées \(x\) et \(y\) telle qu’un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à la droite \((d)\) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette relation.
L’équation agit comme un filtre : elle sélectionne exactement les points de la droite et exclut tous les autres. Trois écritures différentes permettent de décrire la même droite, chacune avec ses avantages.
B. Les trois formes en un tableau
| Forme | Écriture | Droites verticales ? | Niveau |
|---|---|---|---|
| Réduite | \(y = mx + p\) | ❌ Non | 🟢 Seconde |
| Cartésienne | \(ax + by + c = 0\) | ✅ Oui | 🟡 Première |
| Paramétrique | \(x = x_0 + t\alpha\), \(y = y_0 + t\beta\) | ✅ Oui | 🔴 Terminale |
Comment savoir laquelle utiliser ? Tout dépend de l’information de départ.
Quelle forme choisir ?
- Tu connais deux points → forme réduite (calcule \(m\) puis \(p\)).
- Tu connais un point et un vecteur directeur → cartésienne ou paramétrique.
- Tu connais un point et un vecteur normal → cartésienne directement.
- Tu cherches l’intersection de deux droites → mets les deux en cartésienne et résous le système d’équations.
- Tu veux parcourir la droite point par point → paramétrique.
II. L’équation réduite \(y = mx + p\)
C’est la première forme que tu rencontres en Seconde. Elle est simple, visuelle et directement liée au tracé de la droite dans un repère.
A. Formule et interprétation graphique
Définition — Équation réduite
Toute droite non verticale du plan admet une unique équation de la forme :
\(y = mx + p\)
où :
- \(m\) est le coefficient directeur (ou pente) : il mesure de combien \(y\) augmente quand \(x\) augmente de 1.
- \(p\) est l’ordonnée à l’origine : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées, c’est-à-dire le point \((0\,;\,p)\).
L’écriture \(y = mx + p\) correspond à la représentation graphique d’une fonction affine \(f(x) = mx + p\). Chaque droite non verticale est le graphe d’une unique fonction affine, et réciproquement. En Première et Terminale, cette même forme intervient dans l’équation de la tangente à une courbe : \(y = f^\prime(a)(x – a) + f(a)\) est bien de la forme \(y = mx + p\) avec \(m = f^\prime(a)\).
B. Déterminer l’équation réduite à partir de deux points
C’est la situation la plus fréquente en exercice. Tu connais deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) avec \(x_A \neq x_B\).
Formule du coefficient directeur
\(m = \displaystyle\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\)
Méthode en 3 étapes :
- Calcule \(m\) avec la formule ci-dessus.
- Substitue les coordonnées d’un des deux points dans \(y = mx + p\) pour trouver \(p\).
- Écris l’équation \(y = mx + p\) et vérifie avec l’autre point.
Exemple : Déterminer l’équation réduite de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,9)\).
Étape 1 : \(m = \displaystyle\frac{9 – 3}{4 – 1} = \displaystyle\frac{6}{3} = 2\)
Étape 2 : Avec \(A(1\,;\,3)\) : \(3 = 2 \times 1 + p\), donc \(p = 1\).
Étape 3 : L’équation réduite est \(y = 2x + 1\).
Vérification : Pour \(B(4\,;\,9)\) : \(2 \times 4 + 1 = 9\) ✓
C. Droites horizontales et verticales
Deux cas particuliers méritent une attention spéciale :
- Droite horizontale : son équation est \(y = p\) (le coefficient directeur vaut \(m = 0\)). Elle est parallèle à l’axe des abscisses.
- Droite verticale : son équation est \(x = k\) (où \(k \in \mathbb{R}\)). Elle n’admet aucune équation réduite \(y = mx + p\), car le coefficient directeur n’est pas défini.
Piège classique : Écrire « \(y = \ldots\) » pour une droite verticale. La droite \(x = 3\) est verticale : sa pente est « infinie », et on ne peut pas l’exprimer sous la forme \(y = mx + p\). C’est la limite de l’équation réduite — la forme cartésienne, elle, gère ce cas sans difficulté.
III. L’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\)
En Première, l’introduction des vecteurs permet une écriture plus puissante : l’équation cartésienne. Contrairement à la forme réduite, elle peut décrire toutes les droites du plan, y compris les verticales.
A. Définition — vecteur directeur et vecteur normal
Définition — Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation de la forme :
\(ax + by + c = 0\)
où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels avec \((a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)\).
- Le vecteur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur de la droite (il est parallèle à la droite).
- Le vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b)\) est un vecteur normal à la droite (il est perpendiculaire à la droite).
L’idée est la suivante. Soit \(A(x_A\,;\,y_A)\) un point de la droite \((d)\) et \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\) un vecteur directeur. Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \((d)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est colinéaire à \(\vec{u}\). La condition de colinéarité s’écrit :
\((x – x_A) \times \beta – (y – y_A) \times \alpha = 0\)En développant, on obtient \(\beta x – \alpha y + (\alpha y_A – \beta x_A) = 0\), ce qui est bien de la forme \(ax + by + c = 0\) avec \(a = \beta\), \(b = -\alpha\) et \(c = \alpha y_A – \beta x_A\). La manipulation de ces expressions s’appuie sur la maîtrise du calcul littéral.
B. Passer d’une forme à l’autre
Le passage entre forme réduite et forme cartésienne est immédiat.
| Conversion | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Réduite → Cartésienne | On passe tout à gauche : \(mx – y + p = 0\) | \(y = 2x + 1\) → \(2x – y + 1 = 0\) |
| Cartésienne → Réduite (si \(b \neq 0\)) | On isole \(y\) : \(y = -\displaystyle\frac{a}{b}\,x – \displaystyle\frac{c}{b}\) | \(3x + 2y – 6 = 0\) → \(y = -\displaystyle\frac{3}{2}\,x + 3\) |
Lecture rapide des vecteurs : pour la droite \(ax + by + c = 0\), le vecteur normal se lit directement \(\vec{n}(a\,;\,b)\), et le vecteur directeur se déduit en « croisant » les coefficients : \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).
C. Déterminer une équation cartésienne
Deux situations courantes se présentent en exercice.
Cas 1 — Point + vecteur directeur : on utilise la condition de colinéarité.
Exemple : Déterminer une équation cartésienne de la droite \((d)\) passant par \(A(2\,;\,-1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(3\,;\,5)\).
Condition de colinéarité entre \(\overrightarrow{AM}(x – 2\,;\,y + 1)\) et \(\vec{u}(3\,;\,5)\) :
\(5(x – 2) – 3(y + 1) = 0\)
\(5x – 10 – 3y – 3 = 0\)
\(5x – 3y – 13 = 0\)
Vérification : \(5(2) – 3(-1) – 13 = 10 + 3 – 13 = 0\) ✓
Cas 2 — Point + vecteur normal : si tu connais le vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b)\) et un point \(A(x_A\,;\,y_A)\), l’équation est directe :
\(a(x – x_A) + b(y – y_A) = 0\)On développe et on obtient \(ax + by + c = 0\) avec \(c = -ax_A – by_A\).
Extension — Dans l’espace (Terminale) : en géométrie dans l’espace, une équation \(ax + by + cz + d = 0\) représente un plan, pas une droite. Pour décrire une droite dans l’espace, on utilise la représentation paramétrique (section suivante) ou l’intersection de deux plans.
IV. Représentation paramétrique d’une droite 🔴
La troisième forme est la représentation paramétrique. Plus abstraite, elle est particulièrement utile en Terminale pour décrire des droites dans l’espace, et elle offre un avantage unique : elle permet de « parcourir » la droite point par point grâce au paramètre \(t\).
A. Définition et construction
Définition — Représentation paramétrique
Soit \(A(x_0\,;\,y_0)\) un point de la droite \((d)\) et \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\) un vecteur directeur. La droite \((d)\) admet la représentation paramétrique :
\(\begin{cases} x = x_0 + t\alpha \\ y = y_0 + t\beta \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\)
Chaque valeur du paramètre \(t\) donne un point de la droite. Pour \(t = 0\), on retrouve le point \(A\).
Exemple : Écrire une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1\,;\,4)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,-3)\).
\(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 4 – 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\)
Pour \(t = 0\) : \((1\,;\,4) = A\) ✓. Pour \(t = 1\) : \((3\,;\,1)\). Pour \(t = -1\) : \((-1\,;\,7)\).
B. Du paramétrique au cartésien
Pour passer d’une représentation paramétrique à une équation cartésienne, il faut éliminer le paramètre \(t\) en l’isolant dans une équation puis en le remplaçant dans l’autre.
Exemple : Soit \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 4 – 3t \end{cases}\). Trouver l’équation cartésienne.
De la première équation : \(t = \displaystyle\frac{x – 1}{2}\).
On substitue dans la seconde : \(y = 4 – 3 \times \displaystyle\frac{x – 1}{2} = 4 – \displaystyle\frac{3(x – 1)}{2}\).
En multipliant par 2 : \(2y = 8 – 3(x – 1) = 8 – 3x + 3 = 11 – 3x\).
D’où : \(3x + 2y – 11 = 0\).
Voici un résumé de toutes les conversions possibles, maintenant que tu connais les trois formes :
Récapitulatif — Comment passer d’une forme à l’autre
- Réduite → Cartésienne : \(y = mx + p\) se réécrit \(mx – y + p = 0\).
- Cartésienne → Réduite : isoler \(y\) (possible seulement si \(b \neq 0\)).
- Cartésienne → Paramétrique : choisir un point \(A\) sur la droite, lire le vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;\,a)\).
- Paramétrique → Cartésienne : éliminer \(t\) entre les deux équations.
- Réduite → Paramétrique : \(\begin{cases} x = t \\ y = mt + p \end{cases}\).
V. Positions relatives de deux droites
Savoir écrire l’équation d’une droite, c’est bien. Savoir comparer deux droites entre elles, c’est indispensable — surtout pour trouver leur point d’intersection, un classique des sujets de bac.
A. Parallélisme, perpendicularité et sécance
Propriété — Positions relatives
Soient deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) non confondues, de vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\).
- Si \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) sont colinéaires : les droites sont parallèles.
- Sinon : les droites sont sécantes en un unique point.
En termes de coefficients directeurs (droites non verticales) :
- \(m_1 = m_2\) → parallèles (ou confondues si même ordonnée à l’origine).
- \(m_1 \neq m_2\) → sécantes.
Propriété — Droites perpendiculaires
Deux droites non verticales de coefficients directeurs \(m_1\) et \(m_2\) sont perpendiculaires si et seulement si :
\(m_1 \times m_2 = -1\)
B. Déterminer le point d’intersection
Quand deux droites sont sécantes, leur point d’intersection est la solution du système d’équations formé par leurs deux équations. C’est exactement un problème de résolution d’équation à deux inconnues.
Exemple : Trouver le point d’intersection des droites \((d_1) : 2x – y + 1 = 0\) et \((d_2) : x + 3y – 7 = 0\).
Étape 1 — Vérification : Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}(1\,;\,2)\) et \(\vec{u_2}(-3\,;\,1)\). Test de colinéarité : \(1 \times 1 – 2 \times (-3) = 1 + 6 = 7 \neq 0\). Les droites sont bien sécantes.
Étape 2 — Résolution : De \((d_1)\) : \(y = 2x + 1\). On substitue dans \((d_2)\) :
\(x + 3(2x + 1) – 7 = 0 \implies 7x – 4 = 0 \implies x = \displaystyle\frac{4}{7}\)
Puis \(y = 2 \times \displaystyle\frac{4}{7} + 1 = \displaystyle\frac{8}{7} + \displaystyle\frac{7}{7} = \displaystyle\frac{15}{7}\).
Conclusion : Le point d’intersection est \(I\!\left(\displaystyle\frac{4}{7}\,;\,\displaystyle\frac{15}{7}\right)\).
L’intersection entre une droite et une courbe (parabole, cercle…) conduit souvent à une équation du second degré dont le discriminant indique le nombre de points d’intersection (0, 1 ou 2).
VI. Exercices corrigés
Voici 6 exercices classés par difficulté croissante. Chaque correction est détaillée pas à pas : essaie de chercher avant de dérouler la solution.
Exercice 1 ★ — Équation réduite à partir de deux points
Déterminer l’équation réduite de la droite \((d)\) passant par \(A(-2\,;\,5)\) et \(B(4\,;\,-1)\).
Voir la correction
Étape 1 : Coefficient directeur :
\(m = \displaystyle\frac{-1 – 5}{4 – (-2)} = \displaystyle\frac{-6}{6} = -1\)Étape 2 : Ordonnée à l’origine avec \(A(-2\,;\,5)\) :
\(5 = (-1) \times (-2) + p = 2 + p\), donc \(p = 3\).
Conclusion : \(y = -x + 3\).
Vérification avec \(B(4\,;\,-1)\) : \(-4 + 3 = -1\) ✓
Exercice 2 ★ — Lecture d’une équation cartésienne
Soit la droite \((d)\) d’équation \(3x – 2y + 8 = 0\).
- Déterminer l’équation réduite de \((d)\).
- Donner un vecteur directeur et un vecteur normal de \((d)\).
- Le point \(C(2\,;\,7)\) appartient-il à \((d)\) ?
Voir la correction
1. On isole \(y\) : \(3x + 8 = 2y\), soit \(y = \displaystyle\frac{3}{2}\,x + 4\). Donc \(m = \displaystyle\frac{3}{2}\) et \(p = 4\).
2. Pour \(3x – 2y + 8 = 0\) : \(a = 3\), \(b = -2\).
- Vecteur directeur : \(\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(2\,;\,3)\).
- Vecteur normal : \(\vec{n}(a\,;\,b) = \vec{n}(3\,;\,-2)\).
3. On vérifie : \(3 \times 2 – 2 \times 7 + 8 = 6 – 14 + 8 = 0\). Oui, \(C \in (d)\) ✓.
Exercice 3 ★★ — Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((d)\) passant par \(A(3\,;\,-2)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(4\,;\,1)\).
Voir la correction
On utilise la condition de colinéarité entre \(\overrightarrow{AM}(x – 3\,;\,y + 2)\) et \(\vec{u}(4\,;\,1)\) :
\((x – 3) \times 1 – (y + 2) \times 4 = 0\) \(x – 3 – 4y – 8 = 0\) \(x – 4y – 11 = 0\)Vérification : \(3 – 4(-2) – 11 = 3 + 8 – 11 = 0\) ✓
Le vecteur directeur de \(x – 4y – 11 = 0\) est \(\vec{u}(-b\,;\,a) = (4\,;\,1)\) ✓
Exercice 4 ★★ — Alignement de trois points
Les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(7\,;\,11)\) sont-ils alignés ?
Voir la correction
Méthode : trois points sont alignés s’ils appartiennent tous à une même droite.
Étape 1 : Équation de \((AB)\). Coefficient directeur :
\(m = \displaystyle\frac{5 – 2}{3 – 1} = \displaystyle\frac{3}{2}\)Ordonnée à l’origine avec \(A(1\,;\,2)\) :
\(2 = \displaystyle\frac{3}{2} \times 1 + p \implies p = 2 – \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\)Équation : \(y = \displaystyle\frac{3}{2}\,x + \displaystyle\frac{1}{2}\).
Étape 2 : \(C(7\,;\,11)\) appartient-il à \((AB)\) ?
\(\displaystyle\frac{3}{2} \times 7 + \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{21}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{22}{2} = 11\) ✓
Conclusion : \(C\) vérifie l’équation de \((AB)\), donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Exercice 5 ★★★ — Intersection et droite perpendiculaire
Soient les droites \((d_1) : 3x + y – 5 = 0\) et \((d_2) : x – 2y + 3 = 0\).
- Montrer que \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(I\).
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(I\) et perpendiculaire à \((d_1)\).
Voir la correction
1. Vecteurs directeurs : \(\vec{u_1}(-1\,;\,3)\) et \(\vec{u_2}(2\,;\,1)\).
Test de colinéarité : \((-1) \times 1 – 3 \times 2 = -1 – 6 = -7 \neq 0\). Les droites sont sécantes.
Système : \(\begin{cases} 3x + y = 5 \\ x – 2y = -3 \end{cases}\)
De \((d_2)\) : \(x = 2y – 3\). On substitue dans \((d_1)\) :
\(3(2y – 3) + y = 5 \implies 6y – 9 + y = 5 \implies 7y = 14 \implies y = 2\)Puis \(x = 2(2) – 3 = 1\). Donc \(I(1\,;\,2)\).
2. \((\Delta)\) est perpendiculaire à \((d_1)\). Le vecteur normal de \((d_1)\) est \(\vec{n_1}(3\,;\,1)\). Ce vecteur est parallèle à \((\Delta)\) : c’est un vecteur directeur de \((\Delta)\).
Condition de colinéarité avec \(\overrightarrow{IM}(x-1\,;\,y-2)\) et \(\vec{u}(3\,;\,1)\) :
\(1(x – 1) – 3(y – 2) = 0\) \(x – 1 – 3y + 6 = 0\) \(x – 3y + 5 = 0\)Vérification de la perpendicularité : direction de \((d_1)\) : \(\vec{u_1}(-1\,;\,3)\) ; direction de \((\Delta)\) : \((3\,;\,1)\).
Produit scalaire : \((-1)(3) + 3(1) = -3 + 3 = 0\) ✓ Les droites sont bien perpendiculaires.
Exercice 6 ★★★ — Problème de synthèse (type bac)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(0\,;\,4)\), \(B(6\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,6)\).
- Déterminer l’équation réduite de la droite \((AB)\).
- Déterminer une équation cartésienne de la droite \((d)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
- La droite \((d)\) coupe l’axe des ordonnées en un point \(D\). Déterminer les coordonnées de \(D\).
Voir la correction
1. Coefficient directeur de \((AB)\) :
\(m = \displaystyle\frac{0 – 4}{6 – 0} = \displaystyle\frac{-4}{6} = -\displaystyle\frac{2}{3}\)Le point \(A(0\,;\,4)\) est sur l’axe des ordonnées, donc \(p = 4\).
Équation de \((AB)\) : \(y = -\displaystyle\frac{2}{3}\,x + 4\).
2. \((d)\) est parallèle à \((AB)\), donc \(m_d = -\displaystyle\frac{2}{3}\).
\((d) : y = -\displaystyle\frac{2}{3}\,x + p^\prime\).
\(C(2\,;\,6) \in (d) : 6 = -\displaystyle\frac{2}{3} \times 2 + p^\prime = -\displaystyle\frac{4}{3} + p^\prime\), donc \(p^\prime = 6 + \displaystyle\frac{4}{3} = \displaystyle\frac{22}{3}\).
Forme réduite : \(y = -\displaystyle\frac{2}{3}\,x + \displaystyle\frac{22}{3}\).
Forme cartésienne (en multipliant par 3) : \(2x + 3y – 22 = 0\).
3. L’axe des ordonnées a pour équation \(x = 0\). On substitue :
\(y = -\displaystyle\frac{2}{3} \times 0 + \displaystyle\frac{22}{3} = \displaystyle\frac{22}{3}\)Conclusion : \(D\!\left(0\,;\,\displaystyle\frac{22}{3}\right)\).
Fiche de synthèse — Équation de droite
Les 3 formes, les formules clés et le tableau de conversion sur une seule page à garder sous la main.
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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs reviennent dans la majorité des copies. Les identifier maintenant t’évitera de perdre des points.
❌ Erreur 1 — Inverser numérateur et dénominateur dans le coefficient directeur
Copie fautive : « \(m = \displaystyle\frac{x_B – x_A}{y_B – y_A}\) »
Diagnostic : Le numérateur contient la variation des \(y\), le dénominateur celle des \(x\). L’erreur est fréquente quand on va trop vite.
✅ Correct : \(m = \displaystyle\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\) — retiens « \(y\) sur \(x\) ».
❌ Erreur 2 — Écrire une équation réduite pour une droite verticale
Copie fautive : « La droite verticale passant par \((3\,;\,0)\) a pour équation \(y = 3\). »
Diagnostic : \(x = 3\) est verticale, \(y = 3\) est horizontale. Une droite verticale n’a pas de forme réduite.
✅ Correct : \(x = 3\), ou en cartésienne : \(x – 3 = 0\).
❌ Erreur 3 — Confondre vecteur directeur et vecteur normal
Copie fautive : « La droite \(2x + 3y – 1 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,3)\). »
Diagnostic : \((2\,;\,3)\) est le vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b)\). Le vecteur directeur est \(\vec{u}(-b\,;\,a) = (-3\,;\,2)\).
✅ Retiens : le vecteur normal lit \((a\,;\,b)\) directement ; le vecteur directeur « croise » les coefficients : \((-b\,;\,a)\).
❌ Erreur 4 — Ne pas vérifier avec un point connu
Diagnostic : Après avoir trouvé l’équation d’une droite, substitue toujours les coordonnées d’un point dont tu sais qu’il appartient à la droite. Cette vérification prend 10 secondes et détecte la majorité des erreurs de calcul.
❌ Erreur 5 — Croire que les coefficients de l’équation cartésienne sont uniques
Copie fautive : « L’équation de \((d)\) n’est pas \(x – 2y + 3 = 0\) car j’ai trouvé \(2x – 4y + 6 = 0\). »
Diagnostic : Les deux équations décrivent la même droite. On peut multiplier \(ax + by + c = 0\) par n’importe quel réel \(k \neq 0\) sans changer la droite. Simplifie toujours pour obtenir la forme la plus réduite.
VIII. Questions fréquentes
Comment trouver l'équation d'une droite à partir de deux points ?
Calcule le coefficient directeur \(m = \displaystyle\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\), puis substitue les coordonnées d’un des deux points dans \(y = mx + p\) pour déterminer \(p\). L’équation réduite de la droite est alors \(y = mx + p\). Vérifie toujours avec l’autre point.
Quelle est la différence entre équation réduite et équation cartésienne ?
L’équation réduite \(y = mx + p\) isole \(y\) et donne directement la pente et l’ordonnée à l’origine, mais elle ne peut pas représenter les droites verticales. L’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) est plus générale : elle décrit toutes les droites du plan, y compris les verticales (cas \(b = 0\)), et elle est directement liée aux vecteurs directeur et normal.
Comment savoir si un point appartient à une droite ?
Substitue les coordonnées \((x\,;\,y)\) du point dans l’équation de la droite. Si l’égalité est vérifiée, le point appartient à la droite. Par exemple, pour \(M(3\,;\,5)\) et \(y = 2x – 1\) : \(2 \times 3 – 1 = 5\) ✓, donc \(M \in (d)\).
Pourquoi une droite verticale n'a-t-elle pas d'équation réduite ?
Parce que tous les points d’une droite verticale \(x = k\) ont la même abscisse mais des ordonnées différentes. Il est impossible d’exprimer \(y\) en fonction de \(x\) : le coefficient directeur serait « infini ». On utilise la forme cartésienne \(x – k = 0\) pour la décrire.
Comment trouver le vecteur normal d'une droite ?
Si l’équation cartésienne est \(ax + by + c = 0\), le vecteur normal est \(\vec{n}(a\,;\,b)\) : on lit directement les coefficients de \(x\) et \(y\). Si tu pars de la forme réduite \(y = mx + p\), réécris-la en \(mx – y + p = 0\) pour lire \(\vec{n}(m\,;\,-1)\).
Quel est le lien entre l'équation de droite et l'équation de la tangente ?
La tangente à une courbe en un point est une droite. Son équation est \(y = f^\prime(a)(x – a) + f(a)\), ce qui est exactement de la forme réduite \(y = mx + p\) avec \(m = f^\prime(a)\). Toutes les propriétés vues dans ce cours s’appliquent aux tangentes.
Comment déterminer si deux droites sont parallèles ?
Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : \(m_1 = m_2\). En utilisant les vecteurs, elles sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour les formes cartésiennes \(a_1 x + b_1 y + c_1 = 0\) et \(a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\), la condition est \(a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0\).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les trois formes de l’équation de droite et leurs conversions. Pour approfondir la géométrie analytique et la résolution d’équations :
- Équations et inéquations : cours complet — le cours chapeau qui relie toutes les familles d’équations.
- Équation de la tangente — appliquer l’équation de droite aux courbes via la dérivée.
- Équation du cercle — intersection droite-cercle, un classique du bac.
- Équations à deux inconnues — résoudre des systèmes pour trouver les points d’intersection.
- Résoudre une inéquation — étudier le signe d’une expression affine \(mx + p\).
- Équation du premier degré — les bases de la résolution algébrique.
