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Quand tu calcules la hauteur d’un bâtiment sans y monter, quand un ingénieur modélise les vibrations d’un pont ou quand un GPS calcule ta position, c’est le cosinus, le sinus ou la tangente qui font le travail. Ce cours retrace la progression de ces trois notions : rapports dans un triangle rectangle (3ème), coordonnées sur le cercle trigonométrique (Seconde), puis fonctions à part entière (Première). Tu trouveras ici les définitions, les propriétés fondamentales, 6 exercices corrigés pas à pas et les pièges classiques à éviter.
Programme officiel : Ce cours couvre les compétences des programmes de Seconde (cercle trigonométrique, cosinus et sinus d’un nombre réel) et de Première spécialité mathématiques (fonctions trigonométriques, propriétés). Conforme au BO spécial n°1 du 22 janvier 2019. Consulter le programme sur Eduscol
I. Définitions dans le triangle rectangle (rappel 3ème)
C’est en 3ème que tu rencontres le cosinus, le sinus et la tangente pour la première fois. Le cadre est simple : un triangle rectangle, un angle aigu, et trois côtés à nommer correctement. Si cette partie est un rappel pour toi, elle est indispensable : tout le reste de la trigonométrie s’appuie sur ces définitions.
A. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Considère un triangle rectangle ABC, rectangle en C. L’angle \(\widehat{BAC}\) est un angle aigu. Par rapport à cet angle, les côtés du triangle portent des noms précis :
- Hypoténuse : le côté le plus long, opposé à l’angle droit (ici AB).
- Côté adjacent : le côté de l’angle droit qui touche l’angle considéré (ici AC).
- Côté opposé : le côté de l’angle droit qui ne touche pas l’angle considéré (ici BC).
Définitions — Cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle
Soit \(\alpha\) un angle aigu d’un triangle rectangle. On définit :
\(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\tan(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
Remarque importante : ces rapports ne dépendent pas de la taille du triangle, uniquement de l’angle. Deux triangles rectangles qui partagent le même angle aigu donnent les mêmes valeurs de cos, sin et tan — c’est la propriété clé du théorème de Thalès appliqué aux triangles semblables.
B. Retenir les trois rapports — SOH-CAH-TOA
Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA :
- Sinus = Opposé / Hypoténuse → SOH
- Cosinus = Adjacent / Hypoténuse → CAH
- Tangente = Opposé / Adjacent → TOA
Répète « SOH-CAH-TOA » jusqu’à ce que ça devienne automatique. C’est un réflexe qui te suivra tout le lycée.
Exemple : Dans un triangle rectangle ABC, rectangle en C, on donne AB = 13 cm et AC = 5 cm. Calcule BC, puis cos(\(\widehat{A}\)), sin(\(\widehat{A}\)) et tan(\(\widehat{A}\)).
Étape 1 : Par le théorème de Pythagore : \(BC = \sqrt{AB^2 – AC^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\) cm.
Étape 2 : Par rapport à l’angle \(\widehat{A}\), le côté adjacent est AC = 5, le côté opposé est BC = 12, et l’hypoténuse est AB = 13.
\(\cos(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{5}{13}\), \(\quad \sin(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{12}{13}\), \(\quad \tan(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{12}{5}\)
Vérification : \(\tan(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})} = \displaystyle\frac{12/13}{5/13} = \displaystyle\frac{12}{5}\) ✓
Pour approfondir les calculs dans le triangle rectangle avec davantage d’exemples et d’exercices type brevet, consulte notre cours dédié à la trigonométrie dans le triangle rectangle.
II. Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
En 3ème, le cosinus et le sinus ne sont définis que pour des angles aigus (entre 0° et 90°). Mais dès la Seconde, tu as besoin de calculer le cosinus de 120°, de 250° — voire d’un nombre réel quelconque. Pour cela, on passe du triangle au cercle trigonométrique.
A. Du triangle au cercle : pourquoi généraliser ?
Imagine que tu places ton triangle rectangle dans un repère orthonormé, avec l’angle en O (l’origine) et l’hypoténuse de longueur 1. Le sommet du triangle se retrouve sur un cercle de rayon 1 centré en O : c’est le cercle trigonométrique (ou cercle unité).
Puisque l’hypoténuse vaut 1 :
- \(\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{adjacent}}{1} = \text{abscisse du point}\)
- \(\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{opposé}}{1} = \text{ordonnée du point}\)
Le cosinus et le sinus sont les coordonnées du point sur le cercle. Et cette lecture fonctionne pour n’importe quel angle — pas seulement les angles aigus.
B. Cosinus et sinus d’un angle orienté
Définition — Cosinus et sinus d’un nombre réel
Soit \(x \in \mathbb{R}\) un nombre réel (mesuré en radians). On considère le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1) dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).
Le point M associé à l’angle \(x\) est le point du cercle tel que l’arc \(\overset{\frown}{IM} = x\) (mesuré à partir du point I(1; 0) dans le sens trigonométrique).
Alors : \(M\bigl(\cos(x)\,;\,\sin(x)\bigr)\)
Autrement dit : \(\cos(x)\) est l’abscisse de M et \(\sin(x)\) est l’ordonnée de M.
Cette définition est la clé de voûte de toute la trigonométrie. Elle prolonge la définition du triangle rectangle à tout angle, y compris les angles obtus, les angles négatifs et les angles supérieurs à \(2\pi\). Pour une construction détaillée du cercle et de ses propriétés, consulte notre cours complet sur le cercle trigonométrique.
C. La tangente sur le cercle
Définition — Tangente
Pour tout réel \(x\) tel que \(\cos(x) \neq 0\) :
\(\tan(x) = \displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
La tangente n’est pas définie pour \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)), c’est-à-dire quand \(\cos(x) = 0\).
Interprétation géométrique : sur le cercle trigonométrique, trace la droite verticale passant par le point I(1; 0). La tangente de l’angle \(x\) est l’ordonnée du point d’intersection entre cette droite et la droite (OM). C’est d’ailleurs de cette construction que vient le nom « tangente » — la droite est tangente au cercle en I.
D. Valeurs remarquables
Certaines valeurs de cos, sin et tan reviennent constamment dans les exercices et les démonstrations. Voici les cinq angles à connaître par cœur :
| Angle (degrés) | Angle (radians) | \(\cos\) | \(\sin\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| 30° | \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| 45° | \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| 60° | \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(1\) | non définie |
Pour retrouver toutes les valeurs (y compris celles des angles non remarquables), consulte notre tableau complet des valeurs trigonométriques.
Astuce pour retrouver le tableau : observe la ligne du cosinus : \(1\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(0\). C’est la suite \(\displaystyle\frac{\sqrt{4}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{0}}{2}\). Le numérateur décroît de \(\sqrt{4}\) à \(\sqrt{0}\). La ligne du sinus se lit dans l’autre sens.
III. Propriétés fondamentales de cos, sin et tan
Les définitions posées, il est temps de découvrir les propriétés qui rendent cosinus et sinus si puissants. Ces résultats sont valables pour tout réel \(x\) et constituent le socle de tous les calculs trigonométriques.
A. La relation cos²(x) + sin²(x) = 1
Propriété fondamentale
Pour tout réel \(x\) :
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
Démonstration (au programme) : Le point \(M\bigl(\cos(x)\,;\,\sin(x)\bigr)\) appartient au cercle de centre O et de rayon 1. L’équation de ce cercle est \(X^2 + Y^2 = 1\). En remplaçant \(X\) par \(\cos(x)\) et \(Y\) par \(\sin(x)\), on obtient immédiatement \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). ∎
C’est tout simplement le théorème de Pythagore appliqué dans le cercle de rayon 1. Cette relation est omniprésente : elle permet de calculer sin quand on connaît cos (et inversement), de simplifier des expressions, et de résoudre des équations trigonométriques.
Exemple : On sait que \(\cos(x) = \displaystyle\frac{3}{5}\) et que \(x \in \left[0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\). Trouver \(\sin(x)\).
D’après la relation fondamentale : \(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x) = 1 – \displaystyle\frac{9}{25} = \displaystyle\frac{16}{25}\).
Donc \(\sin(x) = \pm\displaystyle\frac{4}{5}\). Or \(x \in \left[0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) (premier quadrant), donc \(\sin(x)\) > \(0\).
Conclusion : \(\sin(x) = \displaystyle\frac{4}{5}\).
B. Parité et périodicité
Les fonctions cosinus et sinus possèdent des symétries remarquables qui simplifient beaucoup de calculs.
Propriétés de symétrie
Pour tout réel \(x\) :
- Le cosinus est pair : \(\cos(-x) = \cos(x)\)
- Le sinus est impair : \(\sin(-x) = -\sin(x)\)
- La tangente est impaire : \(\tan(-x) = -\tan(x)\)
Pour tout réel \(x\) :
- Périodicité : \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)
- \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\) (la tangente est \(\pi\)-périodique)
Interprétation sur le cercle : la parité du cosinus signifie que deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ont la même abscisse. L’imparité du sinus signifie qu’ils ont des ordonnées opposées. La périodicité traduit simplement le fait qu’après un tour complet (\(2\pi\) radians), on revient au même point.
Pour les formules d’angles associés (comme \(\cos(\pi – x)\) ou \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – x\right)\)) et les formules d’addition, consulte notre formulaire complet de trigonométrie.
C. Signes selon le quadrant
Connaître le signe de cos, sin et tan selon la position de l’angle dans le cercle est indispensable pour résoudre les équations et pour lever les ambiguïtés de signe (comme dans l’exemple ci-dessus).
| Quadrant | Intervalle de \(x\) | \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\tan(x)\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(\left]0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(\left]\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\) | \(–\) | \(+\) | \(–\) |
| III | \(\left]\pi\,;\,\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right[\) | \(–\) | \(–\) | \(+\) |
| IV | \(\left]\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right[\) | \(+\) | \(–\) | \(–\) |
Astuce : retiens « Tous Sinus Tangente Cosinus » pour les quadrants I, II, III, IV. La première lettre de chaque mot indique quel rapport est positif dans ce quadrant (T = tous, S = sinus seul, T = tangente seule, C = cosinus seul).
Pour aller plus loin (Prépa) : en CPGE, la formule d’Euler \(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\) unifie trigonométrie et nombres complexes. Le théorème de Moivre et les fonctions hyperboliques prolongent ces propriétés. La linéarisation (passage des puissances de cos/sin aux sommes) devient un outil central en calcul intégral.
IV. Trois approches, un même concept — Tableau comparatif
Tu as maintenant vu le cosinus et le sinus sous deux angles différents (triangle et cercle). En Première, une troisième approche apparaît : celle des fonctions. Le tableau ci-dessous synthétise ces trois regards — un pont que tu ne trouveras dans aucun autre cours.
| Aspect | 🟢 Triangle rectangle (3ème) | 🟡 Cercle trigonométrique (2nde) | 🔴 Fonctions (1ère) |
|---|---|---|---|
| Objet de départ | Triangle rectangle + angle aigu | Cercle de rayon 1 + angle orienté | Nombre réel \(x\) |
| cos est… | un rapport : adjacent/hypoténuse | l’abscisse du point M | une fonction \(x \mapsto \cos(x)\) |
| sin est… | un rapport : opposé/hypoténuse | l’ordonnée du point M | une fonction \(x \mapsto \sin(x)\) |
| tan est… | un rapport : opposé/adjacent | \(\displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) | une fonction \(x \mapsto \tan(x)\) |
| Domaine des angles | Angles aigus (0° à 90°) | Tout angle orienté (\(\mathbb{R}\)) | \(\mathbb{R}\) pour cos/sin |
| Valeurs de cos et sin | entre 0 et 1 | entre \(-1\) et \(1\) | entre \(-1\) et \(1\) |
| Outil visuel | le triangle | le cercle | la courbe |
| Niveau | 3ème | Seconde | Première |
L’idée essentielle : ces trois approches ne sont pas trois définitions différentes. Elles sont trois façons de regarder la même chose. Quand tu places un triangle rectangle d’hypoténuse 1 dans un cercle unité, le côté adjacent devient l’abscisse, et le côté opposé devient l’ordonnée. Le passage du triangle au cercle est automatique.
En Première, on étudie \(x \mapsto \cos(x)\) et \(x \mapsto \sin(x)\) comme des fonctions trigonométriques à part entière : on trace leurs courbes, on étudie leurs dérivées, leurs variations, et on résout des équations du type \(\cos(x) = a\).
V. Méthode : calculer un cosinus, un sinus ou une tangente
Selon le contexte, la méthode de calcul diffère. Voici comment procéder dans les trois situations les plus courantes.
Situation 1 — Dans un triangle rectangle
- Repère l’angle considéré et identifie les trois côtés (hypoténuse, adjacent, opposé) par rapport à cet angle.
- Choisis le bon rapport (SOH-CAH-TOA) selon les données et l’inconnue.
- Pose l’équation et résous.
Situation 2 — Sur le cercle trigonométrique
- Convertis l’angle en radians si nécessaire (rappel : \(180° = \pi\) rad).
- Place le point M sur le cercle unité en partant du point I(1; 0) et en tournant dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre).
- Lis l’abscisse de M pour obtenir \(\cos(x)\) et l’ordonnée pour \(\sin(x)\).
- Calcule \(\tan(x) = \displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) si besoin.
Situation 3 — Avec la calculatrice
Piège classique : avant tout calcul à la calculatrice, vérifie que tu es dans le bon mode — degrés (DEG) ou radians (RAD). Si tu tapes cos(π) en mode degrés, tu obtiendras cos(3,14°) ≈ 0,998 au lieu de \(-1\). C’est l’erreur la plus fréquente en contrôle.
- Vérifie le mode de ta calculatrice : RAD pour les radians, DEG pour les degrés.
- Tape directement cos(valeur), sin(valeur) ou tan(valeur).
- Pour un angle remarquable, préfère la valeur exacte (en fraction avec des racines) plutôt que la valeur approchée. La calculatrice donne une approximation décimale, pas une valeur exacte.
VI. Exercices corrigés
Voici 6 exercices progressifs pour vérifier que tu maîtrises chaque aspect du cours. Essaie chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 ★ — Dans un triangle rectangle DEF, rectangle en F, on donne DE = 10 et DF = 8. Calcule cos(\(\widehat{D}\)), sin(\(\widehat{D}\)) et tan(\(\widehat{D}\)).
Voir la correction
Étape 1 : Calculer EF par le théorème de Pythagore.
\(EF = \sqrt{DE^2 – DF^2} = \sqrt{100 – 64} = \sqrt{36} = 6\)Étape 2 : Par rapport à \(\widehat{D}\), le côté adjacent est DF = 8, le côté opposé est EF = 6, et l’hypoténuse est DE = 10.
\(\cos(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{8}{10} = \displaystyle\frac{4}{5}\), \(\quad \sin(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{6}{10} = \displaystyle\frac{3}{5}\), \(\quad \tan(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{6}{8} = \displaystyle\frac{3}{4}\)
Vérification : \(\cos^2(\widehat{D}) + \sin^2(\widehat{D}) = \displaystyle\frac{16}{25} + \displaystyle\frac{9}{25} = \displaystyle\frac{25}{25} = 1\) ✓
Exercice 2 ★ — Donne les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) et \(\tan\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
Voir la correction
L’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) correspond à 45°. C’est une valeur remarquable à connaître par cœur :
\(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\quad \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\quad \tan\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1\)
À 45°, le point M est situé exactement sur la première bissectrice : son abscisse et son ordonnée sont égales.
Exercice 3 ★★ — On sait que \(\cos(x) = -\displaystyle\frac{1}{3}\) et que \(x \in \left]\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\). Calcule \(\sin(x)\) et \(\tan(x)\).
Voir la correction
Étape 1 : Utiliser la relation fondamentale.
\(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x) = 1 – \displaystyle\frac{1}{9} = \displaystyle\frac{8}{9}\)Donc \(\sin(x) = \pm\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Étape 2 : Déterminer le signe. L’angle \(x\) est dans le deuxième quadrant (\(\left]\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\)), donc \(\sin(x)\) > \(0\).
Conclusion : \(\sin(x) = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Étape 3 : Calculer la tangente.
\(\tan(x) = \displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}/3}{-1/3} = -2\sqrt{2}\)Exercice 4 ★★ — Détermine le signe de \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\) et \(\tan\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\).
Voir la correction
Étape 1 : Situer l’angle. On a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) < \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) < \(\pi\), donc l’angle est dans le deuxième quadrant.
Étape 2 : Lire les signes dans le tableau :
- \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\) < \(0\) (cosinus négatif en quadrant II)
- \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\) > \(0\) (sinus positif en quadrant II)
- \(\tan\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\) < \(0\) (tangente négative en quadrant II)
Pour aller plus loin : \(\displaystyle\frac{5\pi}{6} = \pi – \displaystyle\frac{\pi}{6}\), donc par les formules d’angles associés : \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Exercice 5 ★★ — Simplifie l’expression \(E = \cos^2(x) + 3\sin^2(x) – 1\).
Voir la correction
Stratégie : remplacer \(\sin^2(x)\) par \(1 – \cos^2(x)\) grâce à la relation fondamentale.
\(E = \cos^2(x) + 3(1 – \cos^2(x)) – 1\) \(E = \cos^2(x) + 3 – 3\cos^2(x) – 1\) \(E = -2\cos^2(x) + 2\) \(E = 2(1 – \cos^2(x))\) \(E = 2\sin^2(x)\)Conclusion : \(E = 2\sin^2(x)\) pour tout réel \(x\).
Exercice 6 ★★★ — On sait que \(\sin(x) = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) et que \(\cos(x)\) > \(0\). Détermine la valeur de \(x\) dans l’intervalle \([0\,;\,2\pi[\).
Voir la correction
Étape 1 : Identifier le quadrant. On a \(\sin(x)\) < \(0\) et \(\cos(x)\) > \(0\), donc \(x\) est dans le quatrième quadrant (\(\left]\displaystyle\frac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right[\)).
Étape 2 : Identifier l’angle de référence. On cherche l’angle du premier quadrant tel que \(\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\). C’est \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Étape 3 : En déduire \(x\). Dans le quatrième quadrant : \(x = 2\pi – \alpha = 2\pi – \displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{7\pi}{4}\).
Vérification : \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓ et \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) > \(0\) ✓.
Conclusion : \(x = \displaystyle\frac{7\pi}{4}\).
Tu veux t’entraîner davantage ? Découvre nos exercices de trigonométrie corrigés pour le lycée et la prépa (du calcul direct aux problèmes type bac). Pour les exercices de niveau brevet, consulte nos exercices de trigonométrie 3ème.
L’essentiel de cos, sin et tan sur une fiche mémo
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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les identifier te permettra de les éviter systématiquement.
Piège n°1 — Confondre côté adjacent et côté opposé
❌ Copie fautive : « cos(Â) = BC/AB » (dans un triangle ABC rectangle en C, l’élève prend le côté opposé au lieu du côté adjacent).
🔍 Diagnostic : l’adjacent et l’opposé dépendent de l’angle considéré, pas du nom des sommets. Deux angles du même triangle ont des côtés adjacent et opposé inversés.
✅ Correction : Pour l’angle \(\widehat{A}\), le côté adjacent est AC (il touche l’angle  et l’angle droit) et le côté opposé est BC. Donc \(\cos(\widehat{A}) = \displaystyle\frac{AC}{AB}\).
Piège n°2 — Oublier que cos et sin peuvent être négatifs
❌ Copie fautive : « On a cos(x) = 3/5, donc sin(x) = 4/5. » (Sans vérifier le quadrant.)
🔍 Diagnostic : l’élève suppose que sin est toujours positif, comme dans le triangle rectangle. Mais sur le cercle, le sinus est négatif dans les quadrants III et IV, et le cosinus est négatif dans les quadrants II et III.
✅ Correction : « On a \(\sin^2(x) = 16/25\), donc \(\sin(x) = \pm 4/5\). Comme \(x \in ]\pi\,;\,3\pi/2[\) (quadrant III), \(\sin(x) = -4/5\). »
Piège n°3 — Mode degrés/radians de la calculatrice
❌ Copie fautive : « cos(π) = 0,998 » (calculatrice en mode DEG).
✅ Correction : en mode RAD, \(\cos(\pi) = -1\). Vérifie toujours le mode avant de taper un calcul trigonométrique.
Piège n°4 — Écrire cos²(x) comme cos(x²)
❌ Copie fautive : \(\cos(x^2)\) au lieu de \(\cos^2(x)\).
🔍 Diagnostic : \(\cos^2(x)\) signifie \([\cos(x)]^2\) — on élève au carré le résultat de cos(x). L’écriture \(\cos(x^2)\) signifierait « cosinus de x² », ce qui n’a rien à voir.
✅ Correction : toujours écrire l’exposant sur le nom de la fonction : \(\cos^2(x) = [\cos(x)]^2\).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre sinus et cosinus ?
Le cosinus d’un angle est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse (dans un triangle rectangle) ou l’abscisse du point sur le cercle trigonométrique. Le sinus est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse ou l’ordonnée du point. En résumé : cos lit l’axe horizontal, sin lit l’axe vertical. Sur le cercle, \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1\), ce qui illustre bien la différence.
Que signifie le mot cosinus ?
Le mot « cosinus » vient du latin complementi sinus, littéralement « sinus du complémentaire ». Cela signifie que le cosinus d’un angle est le sinus de l’angle complémentaire : \(\cos(\alpha) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – \alpha\right)\). Historiquement, c’est la relation entre les deux fonctions qui a donné son nom au cosinus.
Comment retenir les formules SOH-CAH-TOA ?
SOH-CAH-TOA se prononce comme un mot en trois syllabes. Chaque groupe de trois lettres donne un rapport : Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Tu peux aussi retenir la phrase « Sur On Hisse — Chaque Animal Heureux — Tous Offrent des Applaudissements ».
Pourquoi utilise-t-on cos, sin et tan en maths ?
Le cosinus, le sinus et la tangente permettent de relier des angles à des longueurs. C’est indispensable pour calculer des distances inaccessibles (hauteur d’un bâtiment, distance à un navire), modéliser des phénomènes périodiques (ondes, oscillations, courant alternatif), et résoudre des problèmes géométriques. En physique, en informatique et en ingénierie, la trigonométrie est partout.
Le cosinus peut-il être négatif ?
Oui. Dans un triangle rectangle, cos est toujours positif (c’est un rapport de longueurs positives). Mais sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l’abscisse du point — et l’abscisse peut être négative. Concrètement, \(\cos(x)\) < \(0\) quand l’angle est dans les quadrants II ou III, c’est-à-dire pour \(x \in \left]\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\,\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right[\).
Quelle est la différence entre le cosinus dans le triangle et le cosinus sur le cercle ?
C’est le même cosinus, vu sous deux angles différents. Dans le triangle rectangle, le cosinus est un rapport de longueurs (entre 0 et 1). Sur le cercle, c’est l’abscisse d’un point — ce qui revient exactement au même quand l’hypoténuse vaut 1. Le cercle généralise la définition du triangle en autorisant tous les angles (pas seulement les angles aigus).
Quelles sont les valeurs de cos et sin à connaître par cœur ?
Il faut connaître les valeurs pour cinq angles : 0, \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) (30°), \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) (45°), \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) (60°) et \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) (90°). Retrouve-les dans notre tableau des valeurs trigonométriques. Pour les autres angles, utilise les formules d’angles associés.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les définitions et les propriétés fondamentales de cos, sin et tan. Pour approfondir chaque aspect, voici les ressources du cours de trigonométrie :
- Le cercle trigonométrique — construction, angles orientés, radians et lecture graphique.
- Toutes les formules de trigonométrie — addition, duplication, linéarisation, angles associés.
- Le tableau complet des valeurs trigonométriques — toutes les valeurs exactes à imprimer.
- Les fonctions trigonométriques — étude de fonctions, courbes, dérivées et variations.
- Loi des sinus et théorème d’Al-Kashi — pour les triangles quelconques.
- Résoudre des équations trigonométriques — méthodes et exercices.
