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Le sujet de Mathématiques 1 Mines-Ponts MP 2026 porte sur l’équation d’Euler-Lagrange et quelques applications. Épreuve de 3 heures sans calculatrice, le problème est structuré en cinq parties progressives : du lemme fondamental du calcul variationnel jusqu’à des applications concrètes en géométrie et physique (plus court chemin, brachistochrone, caténoïde). L’ensemble est cohérent, bien guidé, mais d’un niveau globalement élevé, avec des passages techniques exigeants notamment en Parties II et IV.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| I – Lemme fondamental (Q1-4) | Calcul variationnel : lemme préliminaire | Accessible | Régularité C∞, fonction plateau, raisonnement par l’absurde |
| II – Équation d’Euler-Lagrange (Q5-10) | Dérivation d’une fonctionnelle, EDP d’Euler-Lagrange | Élevé | Intégration par parties, dérivation sous l’intégrale, Bolzano-Weierstrass |
| III – Plus court chemin (Q11) | Géodésique dans le plan | Accessible | Identité de Beltrami, fonctions affines |
| IV – Brachistochrone (Q12-15) | Courbe du temps minimal : cycloïde | Élevé | Fonction cotangente, bijections réciproques, paramétrisation |
| V – Caténoïde (Q16-18) | Surface minimale de révolution | Élevé | Cosinus hyperbolique, argch, équations différentielles |
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Structure et thèmes du sujet
Partie I – Lemme fondamental du calcul variationnel (Q1-4)
Cette partie pose les fondations de tout le sujet. On étudie la fonction \(\varphi(x) = e^{-1/x}\) pour \(x > 0\) et \(\varphi(x) = 0\) sinon. Les questions Q1 et Q2 demandent de montrer que cette fonction est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbf{R}\), en prouvant que les dérivées successives s’écrivent \(\varphi^{(n)}(x) = P_n\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}\) sur \(\mathbf{R}_+^{\star}\). La question Q3 construit une fonction plateau \(\psi_{c,d}\), positive sur \(]c,d[\) et nulle en dehors. Enfin, Q4 utilise ce lemme pour prouver qu’une fonction continue orthogonale à toutes les fonctions \(\mathcal{C}^{\infty}\) à support compact est nécessairement nulle.
Partie II – Équation d’Euler-Lagrange (Q5-10)
C’est le cœur théorique du sujet. On considère une fonctionnelle \(T(y) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} f(x, y(x), y^\prime(x))\,\mathrm{d}x\) définie sur un ensemble \(\mathcal{C}\) de fonctions \(\mathcal{C}^2\). On suppose que \(T\) admet un extremum local en \(z_0\). Les questions Q5-Q9 mènent à l’équation d’Euler-Lagrange : \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x, z_0(x), z_0^\prime(x)) – \displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}(x, z_0(x), z_0^\prime(x))\right) = 0.\) La question Q10 établit l’identité de Beltrami dans le cas où \(f\) ne dépend pas explicitement de \(x\). Ces résultats servent de boîte à outils pour les trois parties suivantes.
Partie III – Le chemin le plus court est la ligne droite (Q11)
Application directe et élégante de l’identité de Beltrami à la fonctionnelle longueur \(\mathcal{L}(g) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} \sqrt{1 + g^\prime(x)^2}\,\mathrm{d}x\). Une seule question (Q11) suffit à montrer que l’extremum est une fonction affine, ce qui confirme l’intuition géométrique.
Partie IV – Le chemin le plus rapide est la cycloïde (Q12-15)
On minimise le temps de parcours d’un point soumis à la pesanteur. La fonctionnelle est \(T(y) = \displaystyle\int_{x_A}^{x_B} \sqrt{\displaystyle\frac{1 + y^\prime(x)^2}{y(x)}}\,\mathrm{d}x\). La question Q12 applique Beltrami pour obtenir \(y_0(x)(1 + y_0^\prime(x)^2) = C\). Les questions Q13-Q15 introduisent la fonction cotangente et sa réciproque arccotan pour paramétrer la solution, aboutissant à la cycloïde : \(x = \theta – \sin(\theta) + c\), \(y = 1 – \cos(\theta)\).
Partie V – La caténoïde (Q16-18)
On minimise l’aire d’une surface de révolution (film de savon), soit la fonctionnelle \(T(y) = 2\pi \displaystyle\int_0^1 y(x)\sqrt{1 + y^\prime(x)^2}\,\mathrm{d}x\). La question Q16 applique encore Beltrami. La Q17 étudie le cosinus hyperbolique et sa réciproque argch. La Q18 conclut en donnant l’expression explicite de \(y_0\) : un cosinus hyperbolique, caractéristique de la caténoïde.
Notions et chapitres testés
- Analyse – Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\) : régularité, dérivées successives, continuité et dérivabilité en un point, croissances comparées (\(e^{-1/x}\) en 0).
- Analyse – Intégration : intégration par parties, dérivation sous le signe intégral (théorème de régularité d’une intégrale à paramètre), continuité de l’intégrale.
- Analyse – Topologie : théorème de Bolzano-Weierstrass (compacité, suites extraites), extrema locaux dans un espace normé.
- Analyse – Fonctions réciproques : bijections réciproques, calcul de dérivées de fonctions réciproques (arccotan, argch).
- Analyse – Fonctions hyperboliques : propriétés de ch, sh, argch, liens avec les exponentielles.
- Analyse – Équations différentielles : équations différentielles du premier et second ordre implicites, résolution par séparation ou changement de variable.
- Calcul variationnel : fonctionnelles, extrema de fonctionnelles, équation d’Euler-Lagrange, identité de Beltrami (hors programme strict mais entièrement guidé).
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet s’inscrit dans la lignée des épreuves Mines-Ponts Math 1 MP récentes, avec un fil directeur physico-mathématique autour d’un grand théorème (ici Euler-Lagrange). La difficulté est comparable à celle du sujet 2024 (qui portait sur l’analyse spectrale et les opérateurs compacts) : un socle accessible pour démarrer, un cœur technique exigeant, et des applications finales qui récompensent ceux qui maîtrisent bien le cours.
Points de comparaison :
- Partie I : les questions sur \(\varphi(x) = e^{-1/x}\) sont très classiques en MP (vues aussi en 2022, 2023 dans d’autres concours). Un candidat bien préparé devrait les traiter rapidement.
- Partie II : la dérivation de l’équation d’Euler-Lagrange est plus technique que les parties analogues des sujets 2023-2025 car elle exige de manier simultanément dérivation sous l’intégrale, IPP et le lemme fondamental.
- Parties III-V : les applications sont bien guidées mais demandent de l’aisance avec les fonctions réciproques et trigonométriques/hyperboliques. Le niveau est comparable aux parties finales des Mines-Ponts MP 2023-2025.
Globalement, un candidat solide peut espérer traiter les Parties I, III et la majorité de la Partie II. Les Parties IV et V départagent les très bons candidats.
Pièges et points techniques délicats
Q1 – Récurrence sur les dérivées de \(\varphi\) : le piège est d’oublier que la dérivée de \(e^{-1/x}\) fait apparaître \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\), ce qui modifie le polynôme \(P_n\). Il faut poser proprement la récurrence : \(\varphi^{(n+1)}(x) = \left(P_n^\prime\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) + P_n\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)e^{-1/x}\).
Q2 – Passage à la limite en 0 : beaucoup de candidats écrivent que « \(\varphi\) est \(\mathcal{C}^{\infty}\) car composée de fonctions \(\mathcal{C}^{\infty}\) ». Non ! La difficulté est en \(x = 0\). Il faut montrer que \(\varphi^{(n)}(x) \to 0\) quand \(x \to 0^+\) par croissances comparées (\(P_n(1/x)\,e^{-1/x} \to 0\)), puis utiliser le théorème de prolongement \(\mathcal{C}^1\) par récurrence.
Q6 – Utilisation de Bolzano-Weierstrass : l’énoncé demande un raisonnement par l’absurde. Le piège est d’oublier de vérifier les conditions sur \(y_\varepsilon(x) \in U\) et \(y_\varepsilon^\prime(x) \in V\). Il faut exploiter la compacité de \([x_A, x_B]\) et le fait que \(z_0([x_A, x_B]) \subset U\) avec \(U\) ouvert, ce qui donne une marge uniforme.
Q7 – Dérivation sous l’intégrale : il ne suffit pas de « dériver formellement ». Tu dois vérifier les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral : continuité de \(f\) et de ses dérivées partielles, domination par une fonction intégrable. La régularité \(\mathcal{C}^2\) de \(f\) sur l’ouvert est cruciale ici.
Q8 – IPP délicate : l’intégration par parties porte sur le terme \(\eta^\prime(x)\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\). Les conditions aux bords \(\eta(x_A) = \eta(x_B) = 0\) font disparaître le terme de bord. Ne pas oublier que la dérivée \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}(x, z_0(x), z_0^\prime(x))\right)\) existe bien car \(z_0 \in \mathcal{C}^2\) et \(f \in \mathcal{C}^2\).
Q13 – Domaine de cotan et bijectivité : attention à bien justifier que cotan est strictement décroissante sur \(]0, \pi[\) (sa dérivée vaut \(-1/\sin^2(x)\)) et que ses limites sont \(+\infty\) en \(0^+\) et \(-\infty\) en \(\pi^-\). Pour arccotan’, utilise le théorème de dérivation des fonctions réciproques.
Q16-18 – Passage de l’EDO à l’expression explicite : de \(1 + y_0^\prime(x)^2 = c^2 y_0(x)^2\), il faut passer à \(y_0^\prime = \sqrt{c^2 y_0^2 – 1}\) (car \(y_0^\prime > 0\) par hypothèse) puis séparer les variables et reconnaître argch. Ne pas confondre argch et argsh !
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Q1 : Récurrence forte. Poser \(u = 1/x\) pour dériver \(P_n(1/x)e^{-1/x}\). Utiliser la règle de dérivation en chaîne.
Q2 : Montrer par récurrence que \(\lim_{x \to 0^+} \varphi^{(n)}(x) = 0\) en utilisant la croissance comparée de l’exponentielle face à tout polynôme. En déduire la classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) par prolongement successif.
Q3 : Poser \(\psi_{c,d}(x) = \varphi(x – c)\,\varphi(d – x)\). Cette fonction est \(\mathcal{C}^{\infty}\) comme produit, positive sur \(]c,d[\) et nulle en dehors.
Q4 : Raisonnement par l’absurde. Si \(f(x_0) \neq 0\) pour un certain \(x_0 \in ]a,b[\), construire \(h\) à partir de \(\psi_{c,d}\) pour obtenir une contradiction avec l’hypothèse \(\displaystyle\int_a^b f(x)h(x)\,\mathrm{d}x = 0\).
Q5 : Justifier par continuité de \(f\) sur le compact \(\{x\} \times \{y(x)\} \times \{y^\prime(x)\}\) pour \(x \in [x_A, x_B]\), et intégrabilité d’une fonction continue sur un segment.
Q6-Q9 : Stratégie en cascade : construire \(y_\varepsilon\) (Q6), dériver \(\varphi(\varepsilon) = T(y_\varepsilon)\) (Q7), faire l’IPP (Q8), appliquer le lemme fondamental de la Partie I (Q9).
Q10 : Dériver \(f(x, z_0(x), z_0^\prime(x)) – z_0^\prime(x)\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}(x, z_0(x), z_0^\prime(x))\) par rapport à \(x\), utiliser \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 0\) et l’équation d’Euler-Lagrange pour montrer que cette expression est constante.
Q11 : Appliquer Beltrami avec \(f(y, z) = \sqrt{1 + z^2}\). On obtient \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + y_0^\prime(x)^2}} = C\), donc \(y_0^\prime\) est constante.
Q12-Q15 : Appliquer Beltrami à \(f(y, z) = \sqrt{(1+z^2)/y}\). Puis poser \(\theta = 2\,\mathrm{arccotan}(y_0^\prime)\) et utiliser les identités trigonométriques (formules de demi-angle) pour retrouver la paramétrisation de la cycloïde.
Q16-Q18 : Appliquer Beltrami à \(f(y, z) = y\sqrt{1+z^2}\). Séparer les variables dans l’EDO obtenue, puis intégrer en reconnaissant un changement de variable faisant apparaître argch.
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise absolue des fonctions \(\mathcal{C}^{\infty}\) et des fonctions plateaux. La fonction \(e^{-1/x}\) est un grand classique. Entraîne-toi à démontrer sa régularité les yeux fermés. Ce type de question revient fréquemment aux Mines-Ponts et à Centrale.
Dérivation sous le signe intégral et IPP : tes meilleurs alliés. Ce sujet illustre parfaitement comment ces deux outils se combinent pour démontrer des résultats variationnels. Révise les hypothèses exactes du théorème de dérivation sous l’intégrale et les conditions d’application de l’IPP sur des fonctions \(\mathcal{C}^2\).
Fonctions réciproques : arccotan, argch, argsh. Les Parties IV et V reposent entièrement sur la maîtrise des bijections réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques. N’oublie pas de préciser le domaine, la bijectivité, et de calculer la dérivée par la formule \((f^{-1})^\prime(y) = \displaystyle\frac{1}{f^\prime(f^{-1}(y))}\).
Pense « structure » avant « calcul ». Ce sujet est un problème à fil conducteur : chaque partie utilise les résultats des précédentes. Lis l’intégralité de l’énoncé avant de commencer pour repérer les connexions. Si tu bloques sur Q8, tu peux quand même admettre le résultat et traiter Q9-Q11 qui sont plus directes.
En termes de chapitres à approfondir pour les sessions à venir :
- Analyse fonctionnelle élémentaire : espaces de fonctions, normes \(\Vert \cdot \Vert_\infty\), extrema de fonctionnelles.
- Fonctions hyperboliques et trigonométriques : bijectivité, réciproques, formules de dérivation.
- Intégration avancée : théorèmes de régularité, dérivation sous l’intégrale, intégration par parties itérée.
- Équations différentielles implicites : séparation des variables, changements de variable, résolution complète.
Ce sujet confirme la tendance des Mines-Ponts à proposer des problèmes longs mais cohérents, mêlant théorie et applications concrètes. Travaille régulièrement des sujets de ce type en conditions chronométrées pour développer ta capacité à enchaîner les questions efficacement.
