La fonction affine est l’un des concepts les plus importants du programme de mathématiques, de la 3ème jusqu’en Seconde. Elle modélise toute situation du type « partie fixe + partie proportionnelle » (coûts, conversions, trajectoires…) et constitue le socle de l’étude des fonctions plus complexes. Dans ce cours complet, tu découvriras la définition, la représentation graphique, les méthodes de détermination et l’étude complète d’une fonction affine.
Navigue dans le chapitre Fonctions :
- Fonctions en maths — vue d’ensemble (pilier)
- Exercices corrigés sur les fonctions affines
- Image et antécédent d’une fonction
- Fonctions en 3ème : cours complet
- Fonctions en Seconde : cours et méthodes
Définition : qu’est-ce qu’une fonction affine ?
Définition — Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
- \(a\) est le coefficient directeur (la « pente ») ;
- \(b\) est l’ordonnée à l’origine : \(b = f(0)\).
Fonction affine vs fonction linéaire : la différence
Définition — Fonction linéaire (cas particulier)
Une fonction linéaire est une fonction affine avec \(b = 0\), donc de la forme :
\(f(x) = ax\)
Sa droite passe toujours par le point O \((0 ; 0)\).
| Type | Forme | Courbe | À retenir |
|---|---|---|---|
| Constante | \(f(x) = b\) | Droite horizontale | \(a = 0\) (pas de pente) |
| Linéaire | \(f(x) = ax\) | Droite passant par (0 ; 0) | \(b = 0\) donc \(f(0) = 0\) |
| Affine | \(f(x) = ax + b\) | Droite (pas forcément par (0 ; 0)) | \(b = f(0)\) = ordonnée à l’origine |
Comment reconnaître si une fonction est affine (ou non) ?
- À partir d’une expression : si tu peux écrire l’expression sous la forme \(ax + b\), alors c’est affine.
- À partir de valeurs : si le taux de variation est constant (par exemple, quand \(x\) augmente de 1, \(f(x)\) augmente toujours de la même quantité), alors c’est affine.
- À partir d’une courbe : si la courbe est une droite, alors c’est une fonction affine.
Exemples
- Exemple 1 : \(f(x) = 2(x – 3) + 5\). Beaucoup d’élèves bloquent car ce n’est pas écrit \(ax + b\). On simplifie : \(f(x) = 2x – 6 + 5 = 2x – 1\). Donc c’est bien une fonction affine avec \(a = 2\) et \(b = -1\).
- Exemple 2 : \(g(x) = |x| + 1\). Sa courbe a une « cassure » en \(0\) : ce n’est pas une seule droite, donc ce n’est pas affine.
Erreur classique : confondre fonction affine et fonction linéaire
- Toute fonction linéaire est une fonction affine (cas particulier où \(b = 0\)).
- Toute fonction affine n’est pas forcément linéaire : si \(b \neq 0\), elle n’est pas linéaire.
Représentation graphique d’une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Deux informations la déterminent entièrement : le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.
Caractéristiques de la droite
Une fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\). Le nombre \(a\) règle la pente de la droite, et \(b\) indique où la droite coupe l’axe des ordonnées.
À retenir
- Coefficient directeur : \(a\) (la pente). Si \(a\) > \(0\), la droite monte ; si \(a\) < \(0\), elle descend.
- Ordonnée à l’origine : \(b = f(0)\). C’est la coordonnée en \(y\) du point d’intersection avec l’axe vertical.
Si la droite passe par deux points \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\) (avec \(x_A \neq x_B\)), alors :
\(a = \displaystyle\frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\)
Astuce « triangle de pente »
Choisis deux points bien lisibles sur le quadrillage. Calcule \(\Delta x\) (déplacement horizontal) et \(\Delta y\) (déplacement vertical), puis \(a = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Si la droite descend, \(a\) est négatif.
Tracer une fonction affine
Pour tracer une droite, deux points suffisent. Mais pour éviter les erreurs d’étourderie, une technique très fiable consiste à utiliser 3 points : 2 pour tracer, 1 pour vérifier.
- Choisir deux valeurs simples de \(x\) (souvent \(0\) et \(1\), ou \(0\) et \(2\)).
- Calculer les images correspondantes \(f(x)\).
- Placer les deux points \((x ; f(x))\) dans le repère et tracer la droite.
- Vérifier avec un point de contrôle : choisir une troisième valeur de \(x\), calculer \(f(x)\), placer le point et vérifier qu’il est bien aligné avec la droite tracée.
Exemple : tracer \(f(x) = 2x – 1\) avec la méthode des 3 points
Étape 1 : Calculer deux points éloignés (pour plus de précision).
- Point A : \(f(0) = 2 \times 0 – 1 = -1\) donc \(A(0 ; -1)\)
- Point B : \(f(3) = 2 \times 3 – 1 = 5\) donc \(B(3 ; 5)\)
Étape 2 : Calculer un point de contrôle intermédiaire.
- Point C : \(f(1) = 2 \times 1 – 1 = 1\) donc \(C(1 ; 1)\)
Étape 3 : Tracer la droite passant par A et B.
Étape 4 : Vérifier que le point C est bien aligné sur cette droite. ✓
Comment déterminer l’expression d’une fonction affine ?
Déterminer l’expression d’une fonction affine revient à trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) dans \(f(x) = ax + b\). Trois techniques principales existent selon les informations dont tu disposes.
Méthode 1 : déterminer f à partir de deux valeurs
Méthode : déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs
Si l’on connaît deux points distincts \((x_1 ; f(x_1))\) et \((x_2 ; f(x_2))\), on procède ainsi :
- Écrire la forme générale : \(f(x) = ax + b\).
- Calculer le coefficient directeur \(a\) : \(a = \displaystyle\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}\).
- Calculer l’ordonnée à l’origine \(b\) : remplacer dans \(f(x_1) = ax_1 + b\) et isoler \(b\).
- Écrire la fonction : \(f(x) = ax + b\) avec les valeurs trouvées.
Astuce de calcul
L’ordre dans lequel tu prends les points n’a pas d’importance : \(\displaystyle\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = \displaystyle\frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2}\). Pour trouver \(b\) rapidement, utilise le point le plus simple (par exemple si l’un des points a \(x = 0\)).
Exemple détaillé. Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2) = 5\) et \(f(4) = 9\).
▶ Voir la correction
Étape 1 : On pose \(f(x) = ax + b\).
Étape 2 : Calcul de \(a\) :
\(a = \displaystyle\frac{f(4) – f(2)}{4 – 2} = \displaystyle\frac{9 – 5}{2} = \displaystyle\frac{4}{2} = 2\)
Étape 3 : Calcul de \(b\) avec \(f(2) = 5\) :
\(5 = 2 \times 2 + b\) donc \(b = 1\).
Conclusion : \(f(x) = 2x + 1\).
Vérification : \(f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9\) ✓
Méthode 2 : lecture graphique de a et b
Si tu disposes du graphique, tu peux déterminer directement \(a\) et \(b\) par lecture graphique. Cette procédure est fréquente en contrôle quand on te donne une droite sans équation.
Méthode : lecture graphique de \(a\) et \(b\)
- Lire \(b\) : repérer l’intersection avec l’axe des ordonnées. La coordonnée en \(y\) vaut \(b\).
- Lire \(a\) : choisir deux points bien lisibles sur la droite et calculer \(a = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Exemple de lecture graphique
La droite coupe l’axe des ordonnées en \(-2\), donc \(b = -2\).
Entre les points \((0 ; -2)\) et \((1 ; 1)\), on a \(\Delta y = 3\) et \(\Delta x = 1\), donc \(a = 3\).
Résultat : \(f(x) = 3x – 2\).
Méthode 3 : à partir de la propriété des accroissements proportionnels
Cette démarche repose sur une idée clé : une fonction est affine si son taux d’accroissement est constant. Pour approfondir cette notion, consulte la page taux de variation d’une fonction.
Propriété caractéristique
\(f\) est affine si et seulement si il existe un réel \(a\) tel que, pour tous réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) :
\(\displaystyle\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = a\)
Autrement dit : le taux d’accroissement ne dépend pas des points choisis.
Cette propriété est très utile avec un tableau de valeurs : si le rapport est constant, alors il vaut \(a\), puis on retrouve \(b\) en remplaçant dans \(f(x) = ax + b\).
Exemple avec un tableau de valeurs. Montrer que \(f\) est affine et déterminer son expression.
| \(x\) | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 7 | 13 | 19 |
▶ Voir la correction
Étape 1 : Vérifier que le taux d’accroissement est constant.
Entre \(1\) et \(3\) : \(\displaystyle\frac{f(3) – f(1)}{3 – 1} = \displaystyle\frac{13 – 7}{2} = \displaystyle\frac{6}{2} = 3\)
Entre \(3\) et \(5\) : \(\displaystyle\frac{f(5) – f(3)}{5 – 3} = \displaystyle\frac{19 – 13}{2} = \displaystyle\frac{6}{2} = 3\)
Le taux est constant : \(a = 3\). Donc \(f\) est affine.
Étape 2 : Trouver \(b\) avec \(f(1) = 7\) :
\(7 = 3 \times 1 + b\) donc \(b = 4\).
Conclusion : \(f(x) = 3x + 4\).
Attention : erreur fréquente
Si le taux d’accroissement n’est pas constant entre différentes paires de points, alors la fonction n’est pas affine. Par exemple, pour \(f(x) = x^2\), le taux d’accroissement varie selon les valeurs choisies.
Étudier une fonction affine : variations, zéro et signe
Tableau de variation d’une fonction affine
Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\), il n’y a que deux cas (hors fonction constante) :
- si \(a\) > \(0\), \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
- si \(a\) < \(0\), \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Pour la méthode générale des tableaux de variation (pour n’importe quelle fonction), consulte la page dédiée : tableau de variation d’une fonction.
Résoudre f(x) = 0 (la racine)
Résoudre \(ax + b = 0\) (avec \(a \neq 0\)) donne :
\(x_0 = -\displaystyle\frac{b}{a}\)
Piège : le cas \(a = 0\)
- si \(b = 0\), alors \(f(x) = 0\) pour tout \(x\) (infinité de solutions) ;
- si \(b \neq 0\), alors \(f(x) = 0\) n’a aucune solution.
Tableau de signe d’une fonction affine
Une fois la racine \(x_0\) trouvée, le signe dépend du sens de variation.
| Cas | Signe à gauche de \(x_0\) | Valeur en \(x_0\) | Signe à droite de \(x_0\) |
|---|---|---|---|
| \(a\) > \(0\) (croissante) | négatif | \(0\) | positif |
| \(a\) < \(0\) (décroissante) | positif | \(0\) | négatif |
Pour résoudre une inéquation du type \(f(x) \geq 0\), tu lis directement sur le tableau de signe l’ensemble des \(x\) qui conviennent.
Exemple — Étudier le signe de \(f(x) = 2x – 6\)
1) On cherche le zéro : \(2x – 6 = 0\) donc \(x = 3\).
2) Comme \(a = 2\) > \(0\), la fonction est négative avant \(3\) et positive après \(3\).
▶ Voir le tableau de signe détaillé
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | − | 0 | + |
Conclusion : \(f(x)\) < \(0\) pour \(x\) < \(3\) et \(f(x)\) > \(0\) pour \(x\) > \(3\).
Exercices d’application
Voici 4 exercices types pour t’entraîner. Pour un entraînement plus complet avec 25 exercices corrigés progressifs (3ème, Seconde, Terminale), consulte la page dédiée : exercices corrigés sur les fonctions affines.
Exercice 1 — Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs
Soit \(f\) une fonction affine telle que \(f(1) = 4\) et \(f(3) = 10\). Déterminer l’expression de \(f(x)\).
▶ Voir la correction
On sait que \(f(x) = ax + b\).
1. Calcul de \(a\) :
\(a = \displaystyle\frac{f(3) – f(1)}{3 – 1} = \displaystyle\frac{10 – 4}{2} = \displaystyle\frac{6}{2} = 3\)
2. Calcul de \(b\) avec \(f(1) = 4\) :
\(4 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b = 1\)
Réponse : \(f(x) = 3x + 1\)
Exercice 2 — Étudier la monotonie d’une fonction affine
Soit \(g(x) = -5x + 7\). Déterminer la monotonie de \(g\) et construire son tableau de variation.
▶ Voir la correction
On a \(a = -5\) < \(0\).
Conclusion : \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Tableau de variation :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(-\infty\) |
Exercice 3 — Résoudre une inéquation avec une fonction affine
Résoudre l’inéquation \(3x – 9 \geq 0\).
▶ Voir la correction
On étudie le signe de \(f(x) = 3x – 9\).
Zéro : \(3x – 9 = 0 \Rightarrow x = 3\).
Comme \(a = 3\) > \(0\), la fonction est positive à partir du zéro.
Réponse : \(S = [3 ; +\infty[\)
Exercice 4 — Application concrète (coût de location)
Une entreprise de location de voitures facture 40 € de frais fixes plus 0,20 € par kilomètre parcouru. Exprimer le coût total \(C(x)\) en fonction du nombre de kilomètres \(x\). Calculer le coût pour un trajet de 150 km.
▶ Voir la correction
Expression : \(C(x) = 40 + 0{,}20x\)
C’est une fonction affine avec \(a = 0{,}20\) et \(b = 40\).
Calcul pour 150 km :
\(C(150) = 40 + 0{,}20 \times 150 = 40 + 30 = 70\) €
Réponse : le coût total pour 150 km est de 70 €.
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Questions fréquentes sur la fonction affine
Qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) est le coefficient directeur (la pente) et \(b = f(0)\) est l’ordonnée à l’origine. Sa représentation graphique est toujours une droite. C’est le modèle mathématique du « fixe + proportionnel ».
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où \(b = 0\) : elle s’écrit \(f(x) = ax\) et sa droite passe par l’origine \((0 ; 0)\). Une fonction affine avec \(b \neq 0\) n’est pas linéaire : sa droite ne passe pas par l’origine. Toute fonction linéaire est affine, mais l’inverse est faux.
Comment trouver a et b d'une fonction affine ?
Si tu connais deux points \((x_1 ; y_1)\) et \((x_2 ; y_2)\) de la droite, calcule d’abord \(a = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\), puis remplace dans \(y_1 = a x_1 + b\) pour trouver \(b\). Sur un graphique, lis \(b\) à l’intersection avec l’axe des ordonnées et \(a\) grâce au « triangle de pente ».
Comment tracer la droite d'une fonction affine ?
Calcule les images de deux valeurs simples (par exemple \(x = 0\) et \(x = 1\)), place les deux points obtenus dans le repère, puis trace la droite passant par ces points. Vérifie avec un troisième point pour éviter les erreurs de calcul.
Comment savoir si une fonction est affine ?
Trois critères : (1) son expression peut s’écrire sous la forme \(ax + b\) ; (2) son taux de variation est constant quel que soit l’intervalle choisi ; (3) sa courbe est une droite. Si l’une de ces conditions est vérifiée, la fonction est affine.
À quoi sert une fonction affine ?
La fonction affine modélise toute situation où une grandeur varie proportionnellement à une autre, avec éventuellement un terme fixe : coût de transport (fixe + prix au km), conversion de températures (°C vers °F), salaire (fixe + commission), etc. C’est aussi la base de l’étude des fonctions plus complexes au lycée (dérivées, tangentes).
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les fonctions affines. Pour approfondir tes connaissances sur les fonctions :
- Les fonctions en mathématiques — cours complet (page pilier du chapitre)
- 25 exercices corrigés sur les fonctions affines
- Image et antécédent d’une fonction (indispensable pour résoudre \(f(x) = k\))
- Ensemble de définition d’une fonction
- Tableau de variation d’une fonction
- Fonction constante (cas particulier \(a = 0\))
- Fonction carré, cube et racine carrée
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