Les fonctions affines sont omniprésentes en mathématiques, de la classe de 3ème jusqu’aux classes préparatoires. Elles modélisent de nombreuses situations concrètes (coûts, trajectoires, conversions…) et constituent un socle fondamental pour l’étude des fonctions plus complexes.

Dans ce cours complet, nous abordons la définition, les propriétés, les procédures de détermination et les applications de telles fonctions.

Pour avancer plus vite dans le chapitre “Fonctions” : Fonctions en maths (page pilier), exercices corrigés sur les fonctions affines et image et antécédent d’une fonction (indispensable pour résoudre \(f(x)=k\)).

1. Définition : qu’est-ce qu’une fonction affine ?

Une fonction affine est une fonction de la forme
\(f(x)=ax+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.

  • \(a\) est le coefficient directeur (la “pente”) ;
  • \(b\) est l’ordonnée à l’origine : \(b=f(0)\).

Fonction affine vs fonction linéaire : la différence

Fonction linéaire (cas particulier).
Une fonction linéaire est une fonction affine avec \(b=0\), donc de la forme :

\(f(x)=ax\)

Sa droite passe toujours par le point O \((0,0)\).

Fonction constante, linéaire, affine : formes et lecture graphique
Type Forme Courbe À retenir
Constante \(f(x)=b\) Droite horizontale \(a=0\) (pas de pente)
Linéaire \(f(x)=ax\) Droite passant par (0,0) \(b=0\) donc \(f(0)=0\)
Affine \(f(x)=ax+b\) Droite (pas forcément par (0,0)) \(b=f(0)\) = ordonnée à l’origine

Comment reconnaître si une fonction est affine (ou non) ?

  • À partir d’une expression : si tu peux écrire l’expression sous la forme \(ax+b\), alors c’est affine.
  • À partir de valeurs : si le taux de variation est constant (par exemple, quand \(x\) augmente de 1, \(f(x)\) augmente toujours de la même quantité), alors c’est affine.
  • À partir d’une courbe : si la courbe est une droite, alors c’est une fonction affine.

Exemples

  • Exemple 1
    \(f(x)=2(x-3)+5\). Beaucoup d’élèves bloquent car ce n’est pas écrit \(ax+b\).
    On simplifie : \(f(x)=2x-6+5=2x-1\). Donc c’est bien une fonction affine avec \(a=2\) et \(b=-1\).
  • Exemple 2
    \(g(x)=|x|+1\). Sa courbe a une “cassure” en \(0\) : ce n’est pas une seule droite, donc ce n’est pas affine.

Attention !
Une erreur fréquente consiste à confondre fonction affine et fonction linéaire. Retenez bien :

  • Toute fonction linéaire est une fonction affine (cas particulier où \(b=0\)).
  • Toute fonction affine n’est pas forcément linéaire : si \(b\neq 0\), elle n’est pas linéaire.

Représentation graphique : comment tracer une fonction affine

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Deux informations la déterminent entièrement : le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

Caractéristiques de la représentation graphique

Une fonction affine s’écrit \(f(x)=ax+b\). Le nombre \(a\) règle la pente de la droite, et \(b\) indique où la droite coupe l’axe des y.

À retenir.

  • Coefficient directeur : \(a\) (la pente). Si \(a\) > 0, la droite monte ; si \(a\) < 0, elle descend.
  • Ordonnée à l’origine : \(b=f(0)\). C’est la coordonnée en y du point d’intersection avec l’axe vertical.

Si la droite passe par deux coordonnées \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) (avec \(x_A\neq x_B\)), alors : \(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).

Astuce “triangle de pente”. Choisis deux points bien lisibles sur le quadrillage. Calcule
\(\Delta x\) (déplacement horizontal) et \(\Delta y\) (déplacement vertical), puis
\(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Si la droite descend, \(a\) est négatif.

Tracer une fonction affine

Pour tracer une droite, deux points suffisent. Mais pour éviter les erreurs d’étourderie, une technique très fiable consiste à utiliser 3 points : 2 pour tracer, 1 pour vérifier.

  1. Choisir deux valeurs simples de \(x\) (souvent \(0\) et \(1\), ou \(0\) et \(2\)).
  2. Calculer les images correspondantes \(f(x)\).
  3. Placer les deux coordonnées \((x;f(x))\) dans le repère et tracer la droite.
  4. Vérifier avec un point de contrôle : choisir une troisième valeur de \(x\), calculer \(f(x)\), placer le point et vérifier qu’il est bien aligné avec la droite tracée.

Exemple : Tracer une fonction affine avec la méthode des 3 points

Tracer la fonction \(f(x) = 2x – 1\) en utilisant 3 points de contrôle.

Comment faire

Étape 1 : Calculer deux points éloignés (pour plus de précision)

  • Point A : \(f(0) = 2 \times 0 – 1 = -1\) donc \(A(0, -1)\)
  • Point B : \(f(3) = 2 \times 3 – 1 = 5\) donc \(B(3, 5)\)

Étape 2 : Calculer un point de contrôle intermédiaire

  • Point C : \(f(1) = 2 \times 1 – 1 = 1\) donc \(C(1, 1)\)

Étape 3 : Tracer la droite passant par A et B

Étape 4 : Vérifier que le point C est bien aligné sur cette droite

Méthode de tracé d'une fonction affine avec 3 points de contrôle

Vérification : Les trois points A, B et C sont bien alignés sur la droite \(y = 2x – 1\). ✓

3. Comment déterminer l’expression d’une fonction affine ?

Déterminer l’expression d’une fonction affine revient à trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) dans \(f(x)=ax+b\). Trois techniques principales existent selon les informations dont vous disposez.

3.1 Méthode 1 : déterminer f à partir de 2 valeurs

Méthode : déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs

Si l’on connaît deux points distincts \((x_1;f(x_1))\) et \((x_2;f(x_2))\), on procède ainsi :

  1. Écrire la forme générale : \(f(x)=ax+b\).
  2. Calculer le coefficient directeur \(a\) :
    \(a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).
  3. Calculer l’ordonnée à l’origine \(b\) : remplacer dans \(f(x_1)=ax_1+b\) (ou \(f(x_2)=ax_2+b\)) et isoler \(b\).
  4. Écrire la fonction : \(f(x)=ax+b\) avec les valeurs trouvées.

Astuce de calcul.
L’ordre dans lequel vous prenez les points n’a pas d’importance :
\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\).
Pour trouver \(b\) vite, utilisez le point le plus simple (par exemple si l’un des points a \(x=0\)).

Exemple détaillé. Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2)=5\) et \(f(4)=9\).

Voir la correction

Étape 1 : On pose \(f(x)=ax+b\).

Étape 2 : Calcul de \(a\) :

\(a=\frac{f(4)-f(2)}{4-2}=\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}=2\)

Étape 3 : Calcul de \(b\) avec \(f(2)=5\) :

\(5=2\times 2+b\) donc \(b=1\).

Conclusion : \(f(x)=2x+1\).

Vérification : \(f(4)=2\times 4+1=9\) ✓

3.2 Méthode 2 : lecture graphique

Si l’on dispose du graphique, on peut déterminer directement \(a\) et \(b\) par lecture graphique. Cette procédure est fréquente en contrôle quand on vous donne une droite sans équation.

Méthode : lecture graphique de \(a\) et \(b\)

  1. Lire \(b\) : repérer l’intersection avec l’axe des ordonnées. La coordonnée en y vaut \(b\).
  2. Lire \(a\) : choisir deux points bien lisibles sur la droite et calculer
    \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

Astuce visuelle.
Trace un “triangle de pente” : si tu avances de \(\Delta x\) horizontalement, tu montes/descends de \(\Delta y\).
Alors \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Si la droite descend, \(a\) < 0.

Exemple de lecture graphique.
La droite coupe l’axe des ordonnées en \(-2\), donc \(b=-2\).
Entre les points \((0;-2)\) et \((1;1)\), on a \(\Delta y=3\) et \(\Delta x=1\),
donc \(a=3\).
Résultat : \(f(x)=3x-2\).

3.3 Méthode 3 : à partir de la propriété des accroissements proportionnels

Cette démarche repose sur une idée clé : une fonction est affine si son taux d’accroissement est constant.

Propriété caractéristique.
\(f\) est affine si et seulement si il existe un réel \(a\) tel que,
pour tous réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) :

\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a\)

Autrement dit : le taux d’accroissement ne dépend pas des points choisis.

Cette propriété est très utile avec un tableau de valeurs : si le rapport est constant, alors il vaut \(a\), puis on retrouve \(b\) en remplaçant dans \(f(x)=ax+b\).

Exemple avec un tableau de valeurs. Montrer que \(f\) est affine et déterminer son expression.

\(x\) 1 3 5
\(f(x)\) 7 13 19
Voir la correction

Étape 1 : Vérifier que le taux d’accroissement est constant.

Entre \(1\) et \(3\) :

\(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{13-7}{2}=\frac{6}{2}=3\)

Entre \(3\) et \(5\) :

\(\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{19-13}{2}=\frac{6}{2}=3\)

Le taux est constant : \(a=3\). Donc \(f\) est affine.

Étape 2 : Trouver \(b\) avec \(f(1)=7\) :

\(7=3\times 1+b\) donc \(b=4\).

Conclusion : \(f(x)=3x+4\).

Attention : erreur fréquente.
Si le taux d’accroissement n’est pas constant entre différentes paires de points, alors la fonction n’est pas affine.
Par exemple, pour \(f(x)=x^2\), le taux d’accroissement varie selon les valeurs choisies.

4. Étudier une fonction affine : variations, zéro, tableau de signe

4.1 Tableau de variation d’une fonction affine

Pour une fonction affine \(f(x)=ax+b\), il n’y a que deux cas (hors cas constant) :

  • si \(a\) > \(0\), \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ;
  • si \(a\) < \(0\), \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Pour la méthode “générale” des tableaux (pour n’importe quelle fonction), tu pourras ensuite t’appuyer sur la page dédiée : Tableau de variation d’une fonction.

4.2 Résoudre \(f(x)=0\) (la racine)

Résoudre \(ax+b=0\) (avec \(a\neq 0\)) donne :

\(x_0=-\frac{b}{a}\)

Piège. Si \(a=0\), alors \(f(x)=b\) est constante :

  • si \(b=0\), alors \(f(x)=0\) pour tout \(x\) (infinité de solutions) ;
  • si \(b\neq 0\), alors \(f(x)=0\) n’a aucune solution.

4.3 Tableau de signe d’une fonction affine

Une fois la racine \(x_0\) trouvée, le signe dépend du sens de variation.

Tableau de signe d’une fonction affine f(x)=ax+b (a ≠ 0)
Cas Signe de \(f(x)\) à gauche de \(x_0\) Valeur en \(x_0\) Signe de \(f(x)\) à droite de \(x_0\)
\(a\) > \(0\) (croissante) négatif \(0\) positif
\(a\) < \(0\) (décroissante) positif \(0\) négatif

Ensuite, pour résoudre une inéquation du type \(f(x)\geq 0\), tu lis directement sur le tableau de signe l’ensemble des \(x\) qui conviennent.

Exemple — Étudier le signe de \(f(x)=2x-6\).

1) On cherche le zéro : \(2x-6=0\) donc \(x=3\).
2) Comme \(a=2\), on a \(a\) > 0 : la fonction est négative avant 3 et positive après 3.

Voir la correction
x -∞ 3 +∞
Signe de f(x) − 0 +

Conclusion : \(f(x)\) < 0 pour \(x\) < \(3\) et \(f(x)\) > 0 pour \(x\) > \(3\).

Pour une méthode plus générale (au-delà des fonctions affines), consulte aussi : tableau de variation d’une fonction.

5. Exercices d’application (exemples types)

Pour un entraînement plus complet avec 25 exercices corrigés progressifs (3ème, Seconde, Terminale), consultez notre page dédiée exercices corrigés sur les fonctions affines.

Exercice 1 : déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs
Soit \(f\) une fonction affine telle que \(f(1)=4\) et \(f(3)=10\). Déterminer l’expression de \(f(x)\).

Voir la correction

On sait que \(f(x)=ax+b\).

1. Calcul de \(a\) :

\(a=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{10-4}{2}=\frac{6}{2}=3\)

2. Calcul de \(b\) avec \(f(1)=4\) :

\(4=3\times 1+b \Rightarrow b=1\)

Réponse : \(f(x)=3x+1\)

Exercice 2 : étudier la monotonie d’une fonction affine
Soit \(g(x)=-5x+7\). Déterminer la monotonie de \(g\) et construire son tableau de variation.

Voir la correction

On a \(a=-5\), donc \(a\) < 0.

Conclusion : \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Tableau de variation :

x -∞ +∞
g(x) +∞ ↘ -∞

Exercice 3 : résoudre une inéquation avec fonction affine
Résoudre l’inéquation \(3x-9\geq 0\).

Voir la correction

On étudie le signe de \(f(x)=3x-9\).

Zéro : \(3x-9=0 \Rightarrow x=3\).

Comme \(a=3\) et \(a\) > 0, la fonction est positive après le zéro.

Réponse : \(S=[3;+\infty[\)

Exercice 4 : application économique
Une entreprise de location de voitures facture 40 € de frais fixes plus 0,20 € par kilomètre parcouru.
Exprimer le coût total \(C(x)\) en relation avec le nombre de kilomètres \(x\). Calculer le coût pour un trajet de 150 km.

Voir la correction

Expression : \(C(x)=40+0{,}20x\)

Calcul pour 150 km :

\(C(150)=40+0{,}20\times 150=40+30=70\) €

Réponse : le coût total pour 150 km est de 70 €.

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6. FAQ (questions fréquentes)

Comment savoir si c’est affine ?

Si tu peux écrire l’expression sous la forme \(ax+b\), alors c’est affine.
Sur un graphique, c’est une droite.

Quelle est la formule générale ?

On écrit \(f(x)=ax+b\), avec \(a\) la pente (coefficient directeur) et \(b=f(0)\).

Qu’est-ce qu’une fonction affine ?

C’est un modèle du 1er degré : \(ax+b\). Graphiquement, une droite. Très utile pour “fixe + proportionnel”.

Pour aller plus loin dans le chapitre