Face à un exercice de probabilités, la difficulté n’est pas de connaître les formules — mais de choisir la bonne. Union ou intersection ? Conditionnelle ou Bayes ? Complément ou calcul direct ? Cette page t’aide à décider : tu y trouveras un arbre de décision pour identifier la bonne formule, le tableau récapitulatif complet, chaque formule détaillée avec un exemple, et les 5 erreurs de choix les plus fréquentes.

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Comment choisir la bonne formule de probabilités

En 15 secondes, tu dois pouvoir « diagnostiquer » l’énoncé et choisir la bonne formule. Pose-toi ces questions dans l’ordre :

Choisir la bonne formule de probabilité selon l'énoncé
Ce que dit l’énoncé Ce que tu cherches Formule à utiliser
« pas », « aucun », « au moins un » \(P(\overline{A})\) ou \(P(A)\) par le contraire Complément : \(P(\overline{A}) = 1 – P(A)\)
« A ou B », « au moins l’un des deux » \(P(A \cup B)\) Union : \(P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
« sachant que », « parmi ceux qui » \(P(A\mid B)\) Conditionnelle : \(\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
« A et B », connaissant une conditionnelle \(P(A \cap B)\) Produit : \(P(B)\,P(A\mid B)\)
Expériences indépendantes \(P(A \cap B)\) Indépendance : \(P(A)\,P(B)\)
Plusieurs cas / sources / machines \(P(A)\) globale Probabilité totale
« Sachant le résultat, quelle cause ? » \(P(B\mid A)\) à partir de \(P(A\mid B)\) Bayes

Si tu bloques. Ne saute pas sur une formule au hasard : commence par identifier les événements en jeu, et si l’énoncé a des étapes successives (tirages, tests, branchements), passe par l’arbre de probabilité.

Tableau récapitulatif : toutes les formules de probabilités

Ce tableau est ton formulaire de référence. Chaque formule est détaillée avec un exemple dans les sections suivantes.

Fiche formules de probabilités — tableau complet
Formule Quand l’utiliser Écriture
Complément « pas », « aucun », « au moins un » (par le contraire) \(P(\overline{A}) = 1 – P(A)\)
Union (inclusion-exclusion) « A ou B » (au moins l’un des deux) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
Union (incompatibles) \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Conditionnelle « sachant que », « parmi », « en supposant que » \(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Produit (intersection) Calculer \(P(A \cap B)\) à partir d’une conditionnelle \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\)
Indépendance \(A\) ne change rien à \(B\) (et réciproquement) \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\)
Probabilités totales Calcul « cas par cas » sur une partition \(P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\,P(A\mid B_i)\)
Formule de Bayes « Inverser » une conditionnelle \(P(B\mid A) = \displaystyle\frac{P(B)\,P(A\mid B)}{P(A)}\)

Notations indispensables pour lire les formules

On note \(\Omega\) l’univers (ensemble des issues possibles). Un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\). La probabilité d’un événement \(A\) se note \(P(A)\).

  • Complémentaire : « non \(A\) » se note \(\overline{A}\) (ou \(A^c\)).
  • Intersection : \(A \cap B\) signifie « \(A\) ET \(B\) ».
  • Union : \(A \cup B\) signifie « \(A\) OU \(B\) » (au sens « au moins l’un des deux »).

Mini-exemple (traduction rapide). Dé équilibré :

\(A = \{\text{obtenir un nombre pair}\}\), \(B = \{\text{obtenir un multiple de 3}\}\).

Alors \(A \cap B = \{6\}\) (pair ET multiple de 3) et \(A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}\) (pair OU multiple de 3).

Formule du complément

Formule. Pour tout événement \(A\) :

\(P(\overline{A}) = 1 – P(A)\)

Quand l’utiliser : dès que l’événement contraire est plus simple à calculer. Mots-clés : « pas », « aucun », « au moins un » (par le contraire).

Exemple. On lance 3 fois un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?

L’événement contraire \(\overline{A}\) = « aucun 6 en 3 lancers » est plus facile. Par indépendance :

\(P(\overline{A}) = \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3 = \displaystyle\frac{125}{216} \approx 0{,}579\)

Donc : \(P(A) = 1 – \displaystyle\frac{125}{216} = \displaystyle\frac{91}{216} \approx 0{,}421\).

Formule de l’union (inclusion-exclusion) et cas incompatibles

Formule générale (inclusion-exclusion).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

Cas incompatibles : si \(A \cap B = \emptyset\) (les deux événements ne peuvent pas arriver ensemble), alors :

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Exemple (union avec recouvrement). Dans une classe : \(P(A) = 0{,}6\) (fait du sport), \(P(B) = 0{,}5\) (fait de la musique), \(P(A \cap B) = 0{,}3\) (les deux).

\(P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 – 0{,}3 = 0{,}8\).

80 % des élèves font au moins une activité.

Piège classique. Ne pas oublier de soustraire \(P(A \cap B)\) quand les événements ne sont pas incompatibles. Si tu additionnes directement \(P(A) + P(B)\), tu comptes deux fois les cas où \(A\) et \(B\) arrivent ensemble.

Formule de la probabilité conditionnelle et formule produit

Conditionnelle. Si \(P(B) \neq 0\) :

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Formule produit (déduction immédiate) :

\(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B) = P(A)\,P(B\mid A)\)

Pour le cours complet : Probabilité conditionnelle.

Exemple (formule produit). Sur un site : \(P(B) = 0{,}30\) (vient d’une publicité), \(P(A\mid B) = 0{,}08\) (achète sachant publicité).

\(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B) = 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}024\).

2,4 % des visiteurs viennent de la publicité et achètent.

Sur un arbre pondéré, la formule produit se lit directement : on multiplie les probabilités le long d’un chemin.

Formule d’indépendance

Définition et formule. \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :

\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\)

Conséquence (si \(P(B) \neq 0\)) : \(P(A\mid B) = P(A)\) (savoir \(B\) ne change rien).

Exemple. On lance un dé et une pièce. \(A\) = « obtenir 6 » (\(P(A) = \displaystyle\frac{1}{6}\)), \(B\) = « obtenir pile » (\(P(B) = \displaystyle\frac{1}{2}\)). Les expériences sont indépendantes, donc :

\(P(A \cap B) = \displaystyle\frac{1}{6} \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{12}\).

Incompatibles ≠ indépendants. Si \(A \cap B = \emptyset\) et \(P(A)\) > \(0\), \(P(B)\) > \(0\), alors \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)\,P(B)\). Donc des événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

Formule des probabilités totales

Formule. Si \((B_1, \dots, B_n)\) forme une partition de \(\Omega\) (cas disjoints et exhaustifs), alors :

\(P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\,P(A\mid B_i)\)

Pour le cours complet (partition, preuve, exercices) : Probabilité totale.

Exemple. Machine \(M_1\) : 70 % de la production, 2 % de défauts. Machine \(M_2\) : 30 %, 5 % de défauts.

\(P(D) = P(M_1)\,P(D\mid M_1) + P(M_2)\,P(D\mid M_2) = 0{,}70 \times 0{,}02 + 0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029\).

La probabilité globale de défaut est 2,9 %.

Formule de Bayes

Formule. Si \(P(A) \neq 0\) :

\(P(B\mid A) = \displaystyle\frac{P(B)\,P(A\mid B)}{P(A)}\)

Utile quand on connaît \(P(A\mid B)\) et qu’on cherche \(P(B\mid A)\) (« inverser » la conditionnelle).

Pour le cours complet (checklist, exemples, exercices) : Formule de Bayes.

Exemple (test médical simplifié). \(P(M) = 0{,}01\) (malade), \(P(T\mid M) = 0{,}95\) (test positif si malade), \(P(T\mid \overline{M}) = 0{,}02\) (faux positif).

D’abord, par probabilité totale : \(P(T) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293\).

Puis Bayes : \(P(M\mid T) = \displaystyle\frac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}0293} = \displaystyle\frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}324\).

Malgré un test positif, la probabilité d’être malade est d’environ 32,4 % (car la maladie est rare).

Les 5 erreurs de choix qui coûtent cher

Les 5 erreurs les plus fréquentes sur les formules de probabilités :

  1. Confondre incompatibles et indépendants. Si \(A \cap B = \emptyset\) et \(P(A)\) > \(0\), \(P(B)\) > \(0\), alors \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants. Beaucoup d’élèves pensent le contraire.
  2. Confondre union et intersection. « Au moins un » → \(\cup\). « Les deux » → \(\cap\). « Exactement un » se traite en séparant les cas.
  3. Inverser \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\). Ce n’est généralement pas la même chose. Pour passer de l’un à l’autre : Bayes.
  4. Deviner l’indépendance. Soit elle est donnée ou justifiée, soit tu la testes via \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\). Ne la suppose jamais « parce que ça semble logique ».
  5. Oublier \(P(A \cap B)\) dans l’union. Si \(A\) et \(B\) ne sont pas incompatibles, tu dois soustraire l’intersection — sinon tu comptes les cas communs deux fois.

Exercices corrigés : choisir et appliquer la bonne formule

4 exercices courts et réalistes. Chaque correction montre le choix de la formule et le calcul détaillé.

Exercice 1 — Contrôle qualité (union / intersection). Dans une production : \(P(A) = 0{,}06\) (défaut batterie), \(P(B) = 0{,}04\) (défaut écran), \(P(A \cap B) = 0{,}01\) (les deux défauts). 1) Calculer la probabilité d’avoir au moins un défaut. 2) Calculer la probabilité d’avoir uniquement un défaut batterie.

▶ Voir la correction

1) « Au moins un défaut » = \(A \cup B\). → Formule d’union.

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0{,}06 + 0{,}04 – 0{,}01 = 0{,}09\).

2) « Uniquement batterie » = \(A \cap \overline{B}\). Or \(A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\) (union disjointe), donc :

\(P(A \cap \overline{B}) = P(A) – P(A \cap B) = 0{,}06 – 0{,}01 = 0{,}05\).

Exercice 2 — Envoi d’un devoir (complément + indépendance). Un élève envoie son devoir deux fois par email. Chaque envoi arrive avec probabilité \(0{,}9\), de façon indépendante. Calculer la probabilité que le professeur reçoive au moins un des deux emails.

▶ Voir la correction

« Au moins un reçu » → complément : \(1 –\) « aucun reçu ».

Un email non reçu a probabilité \(0{,}1\). Par indépendance : \(P(\text{aucun reçu}) = 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01\).

Donc \(P(\text{au moins un reçu}) = 1 – 0{,}01 = 0{,}99\).

Exercice 3 — Achat après publicité (conditionnelle → produit). Sur un site : \(P(B) = 0{,}30\) (vient d’une publicité), \(P(A\mid B) = 0{,}08\) (achète sachant publicité). Calculer \(P(A \cap B)\).

▶ Voir la correction

On connaît une conditionnelle et on cherche l’intersection → formule produit.

\(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B) = 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}024\).

2,4 % des visiteurs viennent de la publicité et achètent.

Exercice 4 — Test médical (probabilités totales + Bayes). Une maladie touche 1 % de la population : \(P(M) = 0{,}01\). Le test est positif avec probabilité \(P(T\mid M) = 0{,}95\) si malade, et \(P(T\mid \overline{M}) = 0{,}02\) si non malade. 1) Calculer \(P(T)\). 2) Calculer \(P(M\mid T)\).

▶ Voir la correction

1) Plusieurs cas (malade / non malade) → probabilités totales avec partition \((M, \overline{M})\) :

\(P(T) = P(M)\,P(T\mid M) + P(\overline{M})\,P(T\mid \overline{M}) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293\).

2) On connaît \(P(T\mid M)\) et on cherche \(P(M\mid T)\) → Bayes :

\(P(M\mid T) = \displaystyle\frac{P(M)\,P(T\mid M)}{P(T)} = \displaystyle\frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}324\).

Malgré un test positif, la probabilité d’être malade est d’environ 32,4 % (car la maladie est rare et il existe des faux positifs).

Pour plus d’entraînement : Exercices de probabilités corrigés (tous niveaux).

Questions fréquentes sur les formules de probabilités


Quelle formule utiliser pour calculer P(A∪B) ?

La formule d’inclusion-exclusion : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)), on simplifie en \(P(A) + P(B)\).

Quelle différence entre P(A∩B) et P(A|B) ?

\(P(A \cap B)\) est la probabilité que \(A\) et \(B\) arrivent ensemble (dans l’univers complet). \(P(A\mid B)\) est la probabilité de \(A\) dans l’univers restreint à \(B\). Elles sont liées par \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\). Pour le cours complet : Probabilité conditionnelle.

Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?

Incompatibles : \(A \cap B = \emptyset\) (l’un empêche l’autre). Indépendants : \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\) (l’un ne change pas la probabilité de l’autre). Si \(P(A)\) > \(0\) et \(P(B)\) > \(0\), incompatibles implique non indépendants.

Quand utiliser un arbre de probabilité plutôt qu'une formule ?

Dès que la situation se déroule en plusieurs étapes (tirages successifs, choix puis test, événements qui s’enchaînent). L’arbre te permet de poser les branches, lire les chemins (produits) et additionner les chemins pertinents.

Comment passer de P(A|B) à P(B|A) ?

Avec la formule de Bayes : \(P(B\mid A) = \displaystyle\frac{P(B)\,P(A\mid B)}{P(A)}\). Il faut connaître \(P(A)\), souvent calculé par probabilité totale.

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Si \((B_1, \dots, B_n)\) est une partition de \(\Omega\) : \(P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\,P(A\mid B_i)\). On additionne les contributions de chaque cas. Pour le détail : Probabilité totale.

Quelle formule utiliser quand les événements ne sont pas indépendants ?

Si les événements ne sont pas indépendants, tu ne peux pas utiliser \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). Il faut passer par la formule produit : \(P(A \cap B) = P(B)\,P(A\mid B)\), qui nécessite de connaître (ou de calculer) la probabilité conditionnelle.

Quelle est la différence entre probabilité totale et Bayes ?

La formule des probabilités totales calcule \(P(A)\) en décomposant par cas (des causes vers le résultat). La formule de Bayes fait le chemin inverse : connaissant le résultat \(A\), elle remonte vers la cause \(B\). En pratique, on utilise souvent les probabilités totales pour calculer le dénominateur de Bayes.


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