Les formules de probabilité sont les règles qui permettent de calculer proprement des probabilités à partir d’événements (\(A\), \(B\)…) dans un univers \(\Omega\). Le vrai enjeu n’est pas de mémoriser une liste, mais de choisir la bonne formule selon l’énoncé, puis d’éviter les erreurs classiques (union vs intersection, incompatibles vs indépendants, \(P(A\mid B)\) vs \(P(B\mid A)\), etc.).
À lire si tu veux aller plus loin
- Le cours complet : probabilités (cours, méthodes, exercices).
- La démarche de calcul pas à pas : calculer une probabilité.
- Les situations à étapes : arbre de probabilité (arbre pondéré).
Notations indispensables (pour lire les formules)
On note \(\Omega\) l’univers (ensemble des issues possibles). Un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\). La probabilité d’un événement \(A\) se note \(P(A)\).
- Complémentaire : “non \(A\)” se note \(\overline{A}\) (ou \(A^c\)).
- Intersection : \(A\cap B\) signifie “\(A\) ET \(B\)”.
- Union : \(A\cup B\) signifie “\(A\) OU \(B\)” (au sens “au moins l’un des deux”).
Mini-exemple (traduction rapide). Dé équilibré :
\(A=\{\text{obtenir un nombre pair}\}\), \(B=\{\text{obtenir un multiple de 3}\}\).
Alors \(A\cap B=\{6\}\) (pair ET multiple de 3) et \(A\cup B=\{2,3,4,6\}\) (pair OU multiple de 3).
Tableau des formules (le “formulaire” à connaître)
Lis ce tableau comme un formulaire : Nom → Quand l’utiliser → Formule → Mini-exemple.
| Formule | Quand l’utiliser | Écriture (LaTeX) | Mini-exemple (très court) |
|---|---|---|---|
| Complément | Quand l’événement contraire est plus simple (“au moins”, “pas”, “aucun”, etc.). | \(P(\overline{A})=1-P(A)\) | Si \(P(A)=0,2\), alors \(P(\overline{A})=0,8\). |
| Union / intersection (inclusion-exclusion) |
Quand tu as “\(A\) ou \(B\)” (au moins un), mais \(A\) et \(B\) peuvent arriver ensemble. | \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) | Si \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,5\), \(P(A\cap B)=0,3\), alors \(P(A\cup B)=0,8\). |
| Cas incompatibles (disjonction) |
Quand \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble. |
\(A\cap B=\emptyset\)
\(\emptyset\) = ensemble vide (impossible), donc \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) |
Si \(P(A)=0,4\) et \(P(B)=0,1\), alors \(P(A\cup B)=0,5\). |
| Conditionnelle | Quand l’énoncé dit “sachant”, “parmi”, “en supposant que”. |
\(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
avec \(P(B)\) > 0 |
Si \(P(B)=0,5\) et \(P(A\cap B)=0,2\), alors \(P(A\mid B)=0,4\). |
| Produit (intersection) |
Quand tu veux calculer \(P(A\cap B)\) à partir d’une conditionnelle. | \(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\) | Si \(P(B)=0,3\) et \(P(A\mid B)=0,5\), alors \(P(A\cap B)=0,15\). |
| Indépendance | Quand \(A\) ne “change rien” à \(B\) (et réciproquement). On ne la suppose pas : on la justifie ou on la teste. |
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
(équiv. \(P(A\mid B)=P(A)\) si \(P(B)\) > 0) |
Si \(P(A)=0,3\) et \(P(B)=0,5\) (indépendants), alors \(P(A\cap B)=0,15\). |
| Probabilités totales | Quand tu fais un calcul “cas par cas” sur une partition (\(B_1\), …, \(B_n\)). |
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A\mid B_i)\)
(avec \((B_i)\) partition de \(\Omega\)) |
Si \(P(B)=0,7\), \(P(A\mid B)=0,1\), \(P(\overline{B})=0,3\), \(P(A\mid \overline{B})=0,4\), alors \(P(A)=0,19\). |
| Formule de Bayes | Quand tu veux “inverser” une conditionnelle : passer de \(P(A\mid B)\) à \(P(B\mid A)\). |
\(P(B\mid A)=\frac{P(B)\,P(A\mid B)}{P(A)}\)
avec \(P(A)\) > 0 |
Si \(P(B)=0,7\), \(P(A\mid B)=0,1\), \(P(A)=0,19\), alors \(P(B\mid A)=\frac{0,7\times 0,1}{0,19}\approx 0,368\). |
À retenir. Si tu bloques, ne saute pas sur une formule au hasard : commence par identifier le bon outil, et si l’énoncé a des étapes successives (tirages, tests, branchements), passe par l’arbre de probabilité.
Quelle formule utiliser ? Méthode guidée (5 questions)
Voici une démarche très simple : en 15 secondes, tu dois pouvoir “diagnostiquer” l’énoncé.
- Y a-t-il un “pas”, “aucun”, “au moins” ?
Pense d’abord au complément : passer de \(A\) à \(\overline{A}\) simplifie souvent le calcul. - Est-ce un “ou” (au moins un) ou un “et” ?
“\(A\) ou \(B\)” → \(A\cup B\). “\(A\) et \(B\)” → \(A\cap B\). Si l’énoncé précise qu’ils ne peuvent pas arriver ensemble : cas incompatibles. - L’énoncé dit “sachant”, “parmi”, “en supposant que” ?
C’est une conditionnelle : \(P(A\mid B)\). Si tu dois enchaîner plusieurs conditions, l’arbre pondéré est souvent le plus sûr. - Tu veux une probabilité d’intersection ?
Si tu connais une conditionnelle, utilise le produit : \(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\). - Tu as plusieurs “cas” (type \(B\) ou \(\overline{B}\), ou une partition) ?
C’est un calcul “cas par cas” : probabilités totales. Et si on te demande “parmi ceux qui vérifient \(A\), quelle proportion vient du cas \(B\) ?” → formule de Bayes.
Pièges classiques (les erreurs qui coûtent cher)
Pièges fréquents. Les erreurs ci-dessous sont celles qui font perdre le plus de points (même quand tu connais les formules).
- Incompatibles ≠ indépendants. Si \(A\cap B=\emptyset\) (événement impossible) et si \(P(A)\) > 0 et \(P(B)\) > 0, alors \(A\) et \(B\) ne peuvent pas être indépendants (car \(P(A\cap B)=0\) mais \(P(A)P(B)\) > 0).
- Union vs intersection. “au moins un” → \(\cup\). “les deux” → \(\cap\). “exactement un” se traite souvent en séparant les cas (événements qui ne se chevauchent pas).
- Ne pas confondre \(P(A\mid B)\) et \(P(B\mid A)\). Ce n’est généralement pas la même chose (Bayes sert précisément à passer de l’un à l’autre).
- Indépendance : ne pas la “deviner”. Soit elle est donnée / justifiée, soit tu la testes via \(P(A\cap B)\) et \(P(A)P(B)\).
Probabilités totales & Bayes (aperçu + orientation)
Ces deux outils sont très puissants, mais ils demandent une lecture propre de l’énoncé. Pour une version détaillée avec plusieurs cas types, tu pourras t’appuyer sur probabilité totale et formule de Bayes.
Probabilités totales : “cas par cas” proprement
Si \((B_1,\dots,B_n)\) forme une partition de \(\Omega\), alors l’événement \(A\) se réalise en passant par exactement un des cas \(B_i\). On écrit donc :
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)\) puis \(P(A\cap B_i)=P(B_i)P(A\mid B_i)\).
Formule de Bayes : “inverser” la conditionnelle
On part de l’égalité :
\(P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A)\)
et on isole \(P(B\mid A)\) (avec \(P(A)\) > 0), ce qui donne Bayes.
Arbre ou formules ? Si la situation a des étapes successives (tirages successifs, choix puis test, événements qui s’enchaînent), l’arbre de probabilité est souvent plus clair : tu appliques 3 règles (nœud → branches → somme des chemins) et tu évites les confusions.
Exercices (situations concrètes) + corrections
Voici 4 exercices courts, mais réalistes. Clique sur chaque exercice pour afficher une correction détaillée.
Exercice 1 — Contrôle qualité (union / intersection)
Énoncé. Dans une production :
- \(P(A)=0,06\) : défaut batterie,
- \(P(B)=0,04\) : défaut écran,
- \(P(A\cap B)=0,01\) : les deux défauts.
1) Calculer la probabilité qu’un produit ait au moins un défaut. 2) Calculer la probabilité d’avoir uniquement un défaut batterie.
Correction.
1) “Au moins un défaut” signifie : batterie ou écran, donc \(A\cup B\).
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) donc \(P(A\cup B)=0,06+0,04-0,01=0,09\).
2) “Uniquement batterie” signifie : batterie et pas écran, donc \(A\cap \overline{B}\).
Les événements \(A\cap B\) et \(A\cap \overline{B}\) ne se chevauchent pas, et leur union donne \(A\). Donc : \(P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\), d’où \(P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,06-0,01=0,05\).
Exercice 2 — Envoi d’un devoir (complément + indépendance)
Énoncé. Un élève envoie son devoir deux fois par email. Chaque envoi arrive avec probabilité \(0,9\), de façon indépendante. Calculer la probabilité que le professeur reçoive au moins un des deux emails.
Correction.
La méthode la plus simple est le complément : “au moins un reçu” = 1 − “aucun reçu”.
Un email non reçu a probabilité \(0,1\). Les deux envois étant indépendants : \(P(\text{aucun reçu})=0,1\times 0,1=0,01\).
Donc \(P(\text{au moins un reçu})=1-0,01=0,99\).
Exercice 3 — Achat après publicité (conditionnelle → produit)
Énoncé. Sur un site :
- \(P(B)=0,30\) : 30% des visiteurs viennent d’une publicité.
- \(P(A\mid B)=0,08\) : parmi eux, 8% effectuent un achat.
Calculer \(P(A\cap B)\), la probabilité qu’un visiteur vienne de la publicité et achète.
Correction.
Ici, on connaît une probabilité “sachant”. On passe à l’intersection avec la formule du produit :
\(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\) donc \(P(A\cap B)=0,30\times 0,08=0,024\).
Interprétation : environ 2,4% des visiteurs sont à la fois “publicité” et “achat”.
Exercice 4 — Test médical (probabilités totales + Bayes)
Énoncé. Une maladie touche 1% de la population : \(P(M)=0,01\). Le test est positif :
- avec probabilité \(P(T\mid M)=0,95\) si la personne est malade,
- avec probabilité \(P(T\mid \overline{M})=0,02\) si la personne n’est pas malade.
1) Calculer \(P(T)\). 2) Calculer \(P(M\mid T)\).
Correction.
1) On sépare les cas “malade” / “pas malade” : c’est un calcul de probabilités totales.
\(P(\overline{M})=1-P(M)=0,99\). Puis : \(P(T)=P(M)P(T\mid M)+P(\overline{M})P(T\mid \overline{M})\).
Numériquement : \(P(T)=0,01\times 0,95+0,99\times 0,02=0,0095+0,0198=0,0293\).
2) On veut inverser la conditionnelle : on applique Bayes (avec \(P(T)\) > 0) :
\(P(M\mid T)=\frac{P(M)P(T\mid M)}{P(T)}\) donc \(P(M\mid T)=\frac{0,0095}{0,0293}\approx 0,324\).
Interprétation : malgré un test positif, la probabilité d’être malade est ici d’environ 32,4% (car la maladie est rare et il existe des faux positifs).
Pour aller plus loin. Si tu veux une méthode complète (identifier les événements, choisir la formule, calculer proprement), consulte calculer une probabilité. Et pour les exercices en plusieurs étapes, l’arbre de probabilité est souvent l’outil le plus clair.
FAQ : formules de probabilités
Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?
Incompatibles : ils ne peuvent pas arriver ensemble, donc \(A\cap B=\emptyset\) et \(P(A\cap B)=0\). Indépendants : l’un ne change pas la probabilité de l’autre, donc \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Si \(P(A)\) > 0 et \(P(B)\) > 0, incompatibles ⇒ pas indépendants.
Comment savoir si je dois utiliser une union ou une intersection ?
Repère les mots : “au moins un” → \(A\cup B\). “les deux / simultanément” → \(A\cap B\). Si l’énoncé dit “exactement un”, on sépare les cas (événements qui ne se chevauchent pas).
Que signifie vraiment une probabilité conditionnelle P(A|B) ?
\(P(A\mid B)\) est la probabilité de \(A\) parmi les cas où \(B\) est réalisé. On calcule avec \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (avec \(P(B)\) > 0). Voir aussi : probabilité conditionnelle.
P(A|B) et P(B|A), c’est pareil ?
Non, en général ce sont deux nombres différents. Pour passer de \(P(A\mid B)\) à \(P(B\mid A)\), on utilise la formule de Bayes : \(P(B\mid A)=\frac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)}\) (avec \(P(A)\) > 0). Voir : formule de Bayes.
Quand faut-il faire un arbre de probabilité plutôt qu’une formule ?
Dès que la situation se déroule en plusieurs étapes (tirages successifs, choix puis test, événements qui s’enchaînent). L’arbre de probabilité te permet de poser les branches, lire les chemins (produits) et additionner les chemins pertinents, sans te perdre dans les notations.
Objectif (niveau lycée → exigence prépa). Si tu sais (1) traduire l’énoncé en \(\cup\), \(\cap\), \(\overline{\phantom{A}}\) et (2) choisir la bonne formule du tableau, alors tu as déjà la structure qui fait réussir la majorité des exercices de probabilités au lycée, et une base solide pour aller plus loin.
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