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Le sujet de mathématiques e3a-Polytech PC 2026, proposé le 23 avril 2026 pour une durée de 4 heures sans calculatrice, se compose de trois exercices indépendants. L’exercice 1 explore la réduction d’un endomorphisme antisymétrique de \(\mathbb{R}^5\), l’exercice 2 porte sur des intégrales paramétriques et un opérateur fonctionnel, et l’exercice 3 mêle probabilités discrètes et optimisation sous contrainte sur un domaine triangulaire. L’ensemble est d’un niveau globalement abordable pour un candidat de PC bien préparé, avec des questions finales plus sélectives dans chaque exercice.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Préliminaires (Q1-4) | Propriétés spectrales de \(g^2\) | Accessible | Valeurs propres, sous-espaces propres, déterminant |
| Exercice 1 – Propriétés de f (Q5.1-5.6) | Endomorphisme antisymétrique | Accessible | Matrice transposée, rang, produit scalaire |
| Exercice 1 – Éléments propres et réduction (Q6-10) | Réduction de \(f\) et \(f^2\) | Élevé | Diagonalisation, somme directe, similitude |
| Exercice 2 – Préliminaires (Q1-3) | DL et régularité d’intégrales | Accessible | Développement limité, théorème fondamental |
| Exercice 2 – Opérateur T et exemples (Q4-6) | Intégrales paramétriques | Élevé | Intégration par parties, changement de variable, logarithme |
| Exercice 3 (Q1-6) | Optimisation de la variance | Élevé | Variable aléatoire, gradient, extrema sur compact |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 — Réduction d’un endomorphisme antisymétrique de \(\mathbb{R}^5\)
Cet exercice est le plus long du sujet et constitue le cœur de l’épreuve. Il débute par quatre questions préliminaires classiques sur les valeurs propres de \(g^2\) en fonction de celles de \(g\), la stabilité des sous-espaces propres, et les propriétés du déterminant. Ces résultats sont ensuite exploités dans l’étude d’un endomorphisme \(f\) de \(E = \mathbb{R}^5\) défini par une matrice \(M\) de type tridiagonal à coefficients \(\pm 1\).
Les questions 5.1 à 5.6 établissent les propriétés fondamentales de \(f\) : la matrice \(M\) est antisymétrique (c’est-à-dire \(M + M^\mathrm{T} = 0\)), ce qui entraîne que \(f^2\) est symétrique et donc diagonalisable. Les questions 6 à 10 utilisent cette structure pour montrer que 0 est la seule valeur propre de \(f\), que \(f\) n’est pas diagonalisable, et que les valeurs propres de \(f^2\) sont \(0\), \(-1\) et \(-3\). L’exercice culmine avec la construction d’une base adaptée de \(\mathrm{Im}(f)\) et la détermination d’une matrice \(T\) semblable à \(M\), formée de deux blocs de rotation \(2 \times 2\).
Exercice 2 — Intégrales paramétriques et opérateur fonctionnel
L’exercice 2 introduit un opérateur \(T\) qui associe à toute fonction continue \(f\) sur \([0,1]\) la fonction \(F : x \mapsto \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{f(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\). Après des préliminaires sur le développement limité de la fonction exponentielle et la régularité des intégrales à paramètre, deux exemples sont étudiés en détail.
Le premier exemple (\(f_n(t) = t^n\)) mène à une jolie relation de récurrence entre les \(F_n\), puis à une formule télescopique faisant apparaître les sommes partielles de la série de \(\ln(1 + X)\). Le second exemple (\(g(t) = e^t\)) est plus technique : il fait intervenir un changement de variable, les intégrales \(J(x) = \displaystyle\int_0^x \displaystyle\frac{e^t – 1}{t}\,\mathrm{d}t\) et \(K(x) = \displaystyle\int_0^x \displaystyle\frac{e^t}{1+t}\,\mathrm{d}t\), et demande de prouver qu’une certaine combinaison est constante pour en déduire le comportement de \(G(x)\) en \(0^+\).
Exercice 3 — Optimisation de la variance d’une variable aléatoire
Le dernier exercice est le plus original : il relie probabilités discrètes et optimisation à deux variables. On considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\{1, 2, 3\}\) et on cherche à maximiser puis minimiser sa variance. Le calcul de \(\mathrm{V}(X)\) en fonction de \(p_1\) et \(p_2\) donne exactement la fonction \(f(x,y) = 4x + y – 4x^2 – y^2 – 4xy\) dont il faut trouver les extrema sur le triangle \(T = \{(x,y) \in [0,1]^2,\; x+y \leq 1\}\). L’exercice combine gradient, absence de point critique intérieur et étude sur le bord du compact.
Notions et chapitres testés
- Algèbre linéaire et réduction : valeurs propres et vecteurs propres, sous-espaces propres, somme directe, matrice transposée et antisymétrie, rang, déterminant, endomorphismes symétriques, théorème spectral, similitude de matrices.
- Analyse — Intégrales : développement limité à l’ordre 2, théorème fondamental de l’analyse, dérivation sous le signe intégral, régularité des intégrales à paramètre, changement de variable, intégration par parties, séries de Taylor du logarithme.
- Probabilités : variable aléatoire discrète finie, espérance, variance, loi donnée par paramètres soumis à contrainte.
- Optimisation à deux variables : gradient, points critiques, extrema d’une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un compact, étude sur le bord d’un domaine triangulaire, fonction \(g(x) = x(1-x)\).
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet 2026 se situe dans la moyenne haute des sujets e3a-Polytech PC récents. L’exercice 1 est ambitieux par sa longueur (10 questions principales, dont plusieurs sous-questions) et par l’enchaînement logique qu’il exige, mais les questions préliminaires guident bien le candidat. C’est un exercice dans l’esprit des sujets 2023-2024 qui testaient déjà la réduction en grande dimension.
L’exercice 2, centré sur les intégrales paramétriques, est classique dans sa structure (préliminaires puis exemples) mais la question 6.2 (constance d’une combinaison intégrale) est techniquement plus exigeante que ce qu’on trouvait dans les sujets 2022-2023. Le lien avec les sommes partielles de \(\ln(1+X)\) en question 5.4 est un beau résultat rarement vu à ce niveau.
L’exercice 3 est le plus accessible au démarrage (calcul d’espérance, variance), mais l’originalité de relier la variance à une optimisation sur un compact triangulaire constitue un point de sélection. Comparé aux exercices de probabilités des années précédentes, la difficulté réside davantage dans la partie optimisation que dans le calcul probabiliste lui-même.
Pièges et points techniques délicats
Q5.2 — Automorphisme et dimension impaire. Le piège classique ici serait de tenter un calcul direct du déterminant de \(M\). Or, l’antisymétrie \(M^\mathrm{T} = -M\) combinée à la dimension impaire \(n = 5\) donne immédiatement \(\det(M) = \det(-M) = (-1)^5 \det(M) = -\det(M)\), donc \(\det(M) = 0\). Il ne faut pas oublier d’utiliser la question 4 du préliminaire.
Q5.6 — Antisymétrie de l’endomorphisme. L’identité \((f(x)|y) = -(x|f(y))\) découle directement de \(M^\mathrm{T} = -M\) via la formule \((Mx)^\mathrm{T} Y = X^\mathrm{T} M^\mathrm{T} Y\). Attention à ne pas inverser le signe : c’est un moins, pas un plus.
Q6.1 — Valeurs propres de \(f\). Si \(f(x) = \lambda x\), alors \((f(x)|x) = \lambda \Vert x \Vert^2\) mais aussi \((f(x)|x) = -(x|f(x)) = -\lambda \Vert x \Vert^2\) par Q5.6. Donc \(2\lambda \Vert x \Vert^2 = 0\) et \(\lambda = 0\). Ce raisonnement est rapide mais demande de bien exploiter la question précédente.
Q6.3 — Signe strict des valeurs propres non nulles de \(f^2\). Si \(f^2(x) = \mu x\), alors \(\mu \Vert x \Vert^2 = (f^2(x)|x) = (f(f(x))|x) = -(f(x)|f(x)) = -\Vert f(x) \Vert^2 \leq 0\). Le caractère strictement négatif vient du fait que \(\mu \neq 0\) implique \(f(x) \neq 0\). Si tu oublies cette implication, tu ne conclus qu’à \(\mu \leq 0\).
Q4.5 (Exercice 3) — Absence de point critique intérieur. Le système \(2x + y = 1\) et \(4x + 2y = 1\) est incompatible (la seconde est le double de la première sauf pour le second membre). L’erreur serait de chercher à résoudre numériquement au lieu de constater la contradiction.
Q5.3 (Exercice 2) — Somme télescopique. La relation \(\displaystyle\frac{F_k(x)}{(-x)^k} – \displaystyle\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}} = \displaystyle\frac{(-1)^k}{k} \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^k\) s’obtient en substituant la récurrence de Q5.2. L’annulation de certains termes repose sur l’identité \((-1)^k + (-1)^{k-1} = 0\), qu’il faut repérer sans quoi le calcul s’enlise.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
Q1-Q2 : Pour montrer que \(\mu^2\) est valeur propre de \(g^2\), il suffit d’appliquer \(g\) deux fois au vecteur propre. Pour Q2, on applique \(g\) au vecteur propre de \(g^2\) et on vérifie que l’image est propre pour la même valeur propre.
Q5.1-5.3 : Le calcul de \(M + M^\mathrm{T}\) révèle l’antisymétrie. Le rang se détermine par réduction : en dimension 5, le noyau est de dimension 1 (on peut le vérifier par échelonnement), donc le rang vaut 4.
Q7 : L’antisymétrie \((f(x)|y) = -(x|f(y))\) entraîne \(\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)^\perp\), d’où la décomposition orthogonale \(E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)\).
Q8-Q9 : Pour montrer que \((x, f(x))\) est libre quand \(x\) est propre de \(f^2\) pour une valeur propre non nulle \(\lambda\), on suppose \(\alpha x + \beta f(x) = 0\), on applique \(f\), et on utilise \(f^2(x) = \lambda x\) pour conclure. La base de \(\mathrm{Im}(f)\) se construit en combinant les vecteurs issus des deux sous-espaces propres de \(f^2\).
Q10 : Dans la base \((w, u, f(u), v, f(v))\) avec \(w \in \mathrm{Ker}(f)\), \(f^2(u) = -u\) et \(f^2(v) = -3v\), la matrice \(T\) se lit directement : \(\alpha = -1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = -3\), \(\delta = 1\).
Exercice 2
Q5.1-5.2 : Le calcul de \(F_0(x) = \ln\!\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)\) est direct par primitive de \(\displaystyle\frac{1}{x+t}\). La relation \(F_k(x) + xF_{k-1}(x) = \displaystyle\frac{1}{k}\) s’obtient en factorisant \(t^{k-1}(t+x)\) au numérateur.
Q5.4 : On somme la relation télescopique de Q5.3 pour faire apparaître les sommes partielles de la série \(\sum (-1)^{k+1} \displaystyle\frac{X^k}{k}\), qui est le développement de \(\ln(1+X)\). Le polynôme \(P_n\) est cette somme partielle évaluée en \(\displaystyle\frac{1}{x}\).
Q6.1 : Le changement de variable \(u = x + t\) transforme \(G(x)\) en \(e^{-x} \displaystyle\int_x^{x+1} \displaystyle\frac{e^u}{u}\,\mathrm{d}u\). La régularité découle du résultat préliminaire Q3 et du produit par \(e^{-x}\).
Q6.2.2-6.2.3 : Pour montrer que la fonction \(L(x) = G(x)\,e^x – e\,K(x) + J(x) + \ln(x)\) est constante, on calcule \(L^\prime(x)\) et on vérifie qu’elle est identiquement nulle. La limite de \(G(x)\) en \(0^+\) se déduit alors de la valeur de cette constante et des comportements de \(J\), \(K\) et \(\ln\) en \(0^+\).
Exercice 3
Q1-Q3 : On exprime \(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) – (\mathrm{E}(X))^2\) en éliminant \(p_3 = 1 – p_1 – p_2\). On retrouve exactement \(f(p_1, p_2) = 4p_1 + p_2 – 4p_1^2 – p_2^2 – 4p_1 p_2\).
Q4.4-4.5 : Le gradient \(\nabla f = (4 – 8x – 4y,\; 1 – 2y – 4x)\) s’annule pour un système incompatible, donc pas de point critique intérieur.
Q4.7 : On étudie \(f\) sur les trois côtés du triangle. Sur \(y = 0\), \(f(x,0) = 4x(1-x)\) admet son maximum \(1\) en \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\). Sur \(x = 0\) et \(x + y = 1\), le maximum vaut \(\displaystyle\frac{1}{4}\). Les sommets donnent \(f = 0\). Conclusion : le maximum global vaut \(1\) et le minimum vaut \(0\).
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise l’antisymétrie. Les endomorphismes antisymétriques (\(f^* = -f\)) reviennent régulièrement dans les sujets e3a et Centrale. Retiens les propriétés clés : valeurs propres réelles nulles, \(f^2\) symétrique négatif, \(\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)^\perp\). Ce sont des résultats rapides à démontrer et très puissants.
Travaille les intégrales paramétriques. L’exercice 2 est typique des sujets e3a-Polytech : des intégrales dépendant d’un paramètre, avec des relations de récurrence et des changements de variable. Entraîne-toi à reconnaître les structures télescopiques et à manipuler les primitives de \(\displaystyle\frac{1}{x+t}\) et \(\displaystyle\frac{t^n}{x+t}\).
Ne néglige pas l’optimisation à deux variables. L’exercice 3 montre qu’une question de probabilités peut se ramener à une optimisation sur un compact. Sache systématiquement : calculer le gradient, vérifier l’existence de points critiques intérieurs, puis étudier la restriction de la fonction aux arêtes du domaine. La méthode des tableaux de variation sur chaque segment du bord est indispensable.
Lis les questions préliminaires comme un plan de route. Dans l’exercice 1, les questions 1 à 4 préparent tous les outils utilisés ensuite. Prends le temps de les traiter soigneusement : même si elles semblent « gratuites », elles te guident vers la bonne approche pour les questions plus difficiles.
Gère ton temps. L’exercice 1 est le plus long mais aussi le plus guidé. Si tu bloques sur Q10, passe à l’exercice 2 dont les premières questions rapportent des points rapidement. L’exercice 3 est court mais technique à la fin : les questions 1-3 et 4.1-4.5 sont très accessibles et constituent une source de points sûre.
